中考初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點精講第37講圖形的相似

第37講圖形的相似

【考題導(dǎo)向】

相似多邊形的性質(zhì)是中考考查的熱點.

1.相似多邊形的相似比（周長比、面積比等）往往與平行線、等分問題、三角形

的等積轉(zhuǎn)化聯(lián)系起來.

2.相似三角形的識別往往會與特殊三角形、四邊形、圓和三角函數(shù)等相關(guān)知識

聯(lián)系，與探索性、開放性問題相聯(lián)系.

3.主要體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化的思想.

【考點精練】

考點1：比例線段

【典例】（2018?瀘州）如圖，正方形ABCD中，E,F分別在邊AD,CD上，AF,BE相交于點

G,若AE=3ED,DF=CF,則處的值是（）

【同步練】（2018?香坊區(qū)）如圖，點D、E、F分別是aABC的邊AB、AC、BC上的點，若DE

〃BC,EF/7AB,則下列比例式一定成立的是（）

,ADBFEF嶇BFEFDE

=DEB=C=D=

'DB-BC-BC-AD-EC.FC-AB'BC

考點2：相似三角形的性質(zhì)與判定

【典例】（2018?張家界）如圖，點P是。0的直徑AB延長線上一點，且AB=4,點M為窟上

一個動點（不與A,B重合），射線PM與。0交于點N（不與M重合）

（1）當M在什么位置時，△MAB的面積最大，并求出這個最大值；

（2）求證：△PANSAPMB.

【同步練】（2018?株洲）如圖，在RtaABM和Rtz^ADN的斜邊分別為正方形的邊AB和AD,

其中AM=AN.

（1）求證：RtAABM^RtAAND；

（2）線段MN與線段AD相交于T,若AT==AD，求tan/ABM的值.

考點3：相似圖像的性質(zhì)

【典例】如圖，矩形切的兩邊如，切都在坐標軸的正半軸上，⑺=3,另兩邊與反比例

k

函數(shù)尸；(20)的圖象分別相交于點E,F,豆DE=2,過點￡作傲Lx軸于4過點廠作

FG1EH于G,回答下面的問題:

①該反比例函數(shù)的解析式是什么？

②當四邊形4附為正方形時，點尸的坐標是多少？

(1)閱讀以上內(nèi)容，請解答其中的問題.

⑵小亮進一步研究四邊形版肥的特征后提出問題：''當4Q比時，矩形AEGF與矩形DOHE

能否全等？能否相似？”

針對小亮提出的問題，請你判斷這兩個矩形能否全等？直接寫出結(jié)論即可；這兩個矩形能否

相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，試說明理由.

【同步練】寬與長的比是夸二（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形.黃金矩形蘊藏著豐富的

美學(xué)價值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形

ABCD,分別取AD,BC的中點E,F,連結(jié)EF；以點F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延

長線與點G；作GHJ_AD,交AD的延長線于點H.則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）

AEDAEDH

考點4：位似圖形

【典例】如圖，△0AB與AOCD是以點0為位似中心的位似圖形,相似比為1：2,Z0CD=90°,

CO=CD,若B（1,0）,則點C的坐標為（1,-1）.

【同步練】（1）（2016承德二中模擬）如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點0在坐標原

點，邊0A在x軸上，0C在y軸上，如果矩形OA'B'C/與矩形OABC關(guān)于點0位似，且矩

形0A'B'C'的面積等于矩形OABC面積的；那么點B'的坐標是（D）

A.（-2,3）B.（2,-3）C.（3,一2）或（一2,3）D.（一2,3）或（2,-3）

（2）（2016滄州八中二模）如圖，.△OAB與△OCD是以點。為位似中心的位似圖形，相似比

為1：2,Z0CD=90°,CO=CD.若B（l,0）,則點C的坐標為（）

A.(1,2)S.(1,1)C.(g,小)D.(2,1)

考點5：相似三角形的應(yīng)用

【典例】如圖1是一個某物體的支架實物圖，圖2是其右側(cè)部分抽象后的幾何圖形，其中點

C是支桿PD上一可轉(zhuǎn)動點，點P是中間豎桿BA上的一動點，當點P沿BA滑動時，點D隨

之在地面上滑動，點A是動點P能到達的最頂端位置，當P運動到點A時，PC與BC重合于

豎桿BA,經(jīng)測量PC=BC=50cm,CD=60cm,設(shè)AP=xcm,豎桿BA的最下端B到地面的

距離BO=ycm.

⑴求AB的長;

(2)當NPCB=90°時，求y的值；(參考數(shù)據(jù)：*七1.414,結(jié)果精確到0.1cm,可使用科

學(xué)計算器)

(3)當點P運動時，試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

圖1圖2

【同步練】（2018?陜西）周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬.測

量時，他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A,在他們所在的岸邊選擇了點

B,使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標桿BC,再在AB的延長線上選擇點D,豎起標桿DE,

使得點E與點C、A共線.

已知：CB1AD,ED1AD,測得BC=lm,DE=1.5m,BD=8.5m.測量示意圖如圖所示.請根據(jù)相

關(guān)測量信息，求河寬AB.

【真題演練】

1.（2018?玉林）兩三角形的相似比是2：3,則其面積之比是（）

A.料：TB.2：3C.4：9D.8：27

2.（2018?臨安區(qū)）如圖，小正方形的邊長均為1,則下列圖中的三角形（陰影部分）與4

ABC相似的是（）

3.（2018?哈爾濱）如圖，在aABC中，點D在BC邊上，連接AD,點G在線段AD上，GE

〃BD,且交AB于點E,GF〃AC,且交CD于點F,則下列結(jié)論一定正確的是（）

_DGCFG_EGDAE_CF

AEADCFAD'ACBD-BEDF

4.（2018?臨沂）如圖.利用標桿BE測量建筑物的高度.已知標桿BE高1.2m,測得

AB=1.6m.BC=12.4m,則建筑物CD的高是（）

□

□

□

A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m

5.（2018?遵義）如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,AB=5,BC=10,連接AC、

BD,以BD為直徑的圓交AC于點E.若DE=3,則AD的長為（）

6.（2018?揚州）如圖，點A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰Rt^ABC和等腰RtaADE,

CD與BE、AE分別交于點P,M.對于下列結(jié)論：

①△BAEs/\CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CBJCP。。!.其中正確的是（）

7.（2018?泰安）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個

問題：”今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步面見木？”

用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的

正方形小城，東門H位于GD的中點，南門K位于ED的中點，出東門15步的A處有一樹木，

求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點D在直線AC上）？請你計算KC的長為一步.

8.（2018?江西）如圖，在△ABC中，AB=8,BC=4,CA=6,CD〃AB,BD是NABC的平分線,

BD交AC于點E,求AE的長.

9.（2018?東營）如圖，CD是。0的切線，點C在直徑AB的延長線上.

(1)求證：ZCAD=ZBDC；

10.（2018?大慶）如圖，AB是。0的直徑，點E為線段0B上一點（不與0,B重合），作

EC10B,交。。于點C,作直徑Q）,過點C的切線交DB的延長線于點P,作AF_LPC于點F,

連接CB.

（1）求證：AC平分/FAB；

(2)求證:BC2=CE?CP；

（3）當AB=4?且?guī)r卷時，求劣弧俞的長度.

AB

D

11.如圖①，E是線段BC的中點，分別以B,C為直角頂點的4EAB和aEDC均是等腰直角

三角形，且在BC的同側(cè).

(DAE和ED的數(shù)量關(guān)系為；

AE和ED的位置關(guān)系為；

(2)在圖①中，以點E為位似中心，作4EGF與aEAB位似，H是BC所在直線上的一點，連

接GH,HD,分別得到圖②和圖③.

①在圖②中，點F在BE上，AEGF與aEAB的相似比是1：2,H是EC的中點，求證：GH=

HD,GH±HD.

②在圖③中，點F在BE的延長線上，AEGF與aEAB的相似比是k：1,若BC=2,請直接寫

出CH的長為多少時，恰好使得GH-HD且GH_LHD.(用含k的代數(shù)式表示)

【拓展研究】

（2018?濟寧）如圖，在正方形ABCD中，點E,F分別是邊AD,BC的中點，連接DF,過點E

作EHLDF,垂足為H,EH的延長線交DC于點G.

（1）猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）過點H作MN〃CD,分別交AD,BC于點M,N,若正方形ABCD的邊長為10,點P是MN

上一點，求aPDC周長的最小值.

第37講圖形的相似（解析版）

【考題導(dǎo)向】

相似多邊形的性質(zhì)是中考考查的熱點.

1.相似多邊形的相似比（周長比、面積比等）往往與平行線、等分問題、三角形

的等積轉(zhuǎn)化聯(lián)系起來.

2.相似三角形的識別往往會與特殊三角形、四邊形、圓和三角函數(shù)等相關(guān)知識

聯(lián)系，與探索性、開放性問題相聯(lián)系.

3.主要體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化的思想.

【考點精練】

考點1：比例線段

【典例】（2018?瀘州）如圖，正方形ABCD中,E,F分別在邊AD,CD上，AF,BE相交于點

G,若AE=3ED,DF=CF,則處的值是（）

【分析】如圖作，F(xiàn)N〃AD,交AB于N,交BE于M.設(shè)DE=a,則AE=3a,利用平行線分線段

成比例定理解決問題即可；

【解答】解：如圖作，F(xiàn)N〃AD,交AB于N,交BE于M.

?.?四邊形ABCD是正方形，

；.AB〃CD,VFN/7AD,

，四邊形ANFD是平行四邊形,

VZD=90°,

???四邊形ANFD是解析式，

'/AE=3DE,設(shè)DE=a,則AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,

VAN=BN,MN/7AE,

ABM=ME,

3

AMN=—a,

2

R

AFM=—a,

2

VAE^FM,

.AGAE畚6

GFFMya5

故選：C.

【同步練】（2018?香坊區(qū)）如圖，點D、E、F分別是AABC的邊AB、AC、BC上的點，若DE

〃BC,EF〃AB,則下列比例式一定成立的是（）

DBBCBCADECFCABBC

【分析】用平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定即可得出結(jié)論.

【解答】解：：DE〃BC,

,AD_AE

；DE〃BC,

,.△ADE^AABC,

.AD_AE_DE

'AB~AC~BC）

；EF〃AB,

.AE_BF

-CF=CF'

；EF〃AB,

,.△CEF^ACAB,

.CE_CF_EF

'AC^CB"AB'

VDE/7BC,EF〃AB,

四邊形BDEF是平行四邊形，

；.DE=BF,EF=BD,

.AD_AEAE_DEAD_AE_BFCE_CF_BD

,,EF^CE'CE^CF'AB=AC^BC'AE=CB=AB'

.?.笆■上正確，

ECFC

故選：C.

【點評】1.判斷四個數(shù)（或四條線段）是否成比例的方法有兩種：一是按大小排列好，判斷

前兩個數(shù)（或兩條線段）的比和后兩個數(shù)（或兩條線段）的比是否相等；二是查看是否有兩數(shù)

（或兩條線段）的積等于其余兩數(shù)（或兩條線段）的積.

2.有關(guān)比例的問題，解題時要充分利用比例的基本性質(zhì)進行變形或求值，轉(zhuǎn)化為積的形式

就可以轉(zhuǎn)化為方程問題.要重視對變形結(jié)果的檢驗，即檢驗變形后是否仍然滿足“兩內(nèi)項之

積等于兩外項之積”.

考點2：相似三角形的性質(zhì)與判定

【典例】（2018?張家界）如圖，點P是。0的直徑AB延長線上一點，且AB=4,點M為眾上

一個動點（不與A,B重合），射線PM與。0交于點N（不與M重合）

（1）當M在什么位置時，的面積最大，并求出這個最大值；

（2）求證：APAN^APMB.

【分析】（1）當M在弧AB中點時，三角形MAB面積最大，此時OM與AB垂直，求出此時三

角形面積最大值即可；

（2）由同弧所對的圓周角相等及公共角，利用兩對角相等的三角形相似即可得證.

【解答】解：（1）當點M在的中點處時，△MAB面積最大，此時OM_LAB,

VOM=—AB=—X4=2,

22

S，w?=—AB?OM--X4X2=4；

A22

(2)VZPMB=ZPAN,ZP=ZP,

?,.△PAN^APMB.

【同步練】(2018?株洲)如圖，在Rt^ABM和RtZ\ADN的斜邊分別為正方形的邊AB和AD,

其中AM=AN.

(1)求證：RtAABM^RtAAND；

(2)線段MN與線段AD相交于T,若AT=，AD，求tanNABM的值.

【分析】(1)利用HL證明即可;

(2)想辦法證明△DNTs^AMT,可得二二DT由4丁=上短),推出幽工，在Rt^ABM中,

DNAT4DN3

AM_AM_1

tanZABM=

前而7

【解答】解：(1)VAD=AB,AM=AN,ZAMB=ZAND=90"

ARtAABM^RtAAND(HL).

(2)由RtAABM^RtAAND易得：ZDAN-ZBAM,DN=BM

/ZBAM+ZDAM=90°；ZDAN+ZADN=90°

ZDM'f=ZAND

\ND//AM

".△DNT^AAMT

.AM_DT

,DN^AT

>"AT="^AD，

.AM

'DN^?

."RtAABM

AMAM_1

tanZABM=

【點評】判定兩個三角形相似的基本思路：1.條件中若有平行線，或能作出相關(guān)的平行線,

可采用相似三角形的基本定理；2.條件中若有一對等角，可再找一對等角或再找夾邊成比

例；3.條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可判斷夾角相等；4.條件中若有一對直角，可考慮再

找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；5.若無內(nèi)角相等，就考慮三組對應(yīng)邊是否成

比例.

考點3：相似圖像的性質(zhì)

【典例】如圖，矩形48劃的兩邊如，切都在坐標軸的正半軸上，⑺=3,另兩邊與反比例

函數(shù)尸：(A#0)的圖象分別相交于點￡F,且以=2,過點￡作以/_Lx軸于Z4過點廠作

FGLEH于G,回答下面的問題：

AEDAEDH

①該反比例函數(shù)的解析式是什么？

②當四邊形力笈聲為正方形時，點尸的坐標是多少？

(1)閱讀以上內(nèi)容，請解答其中的問題.

(2)小亮進一步研究四邊形力附■的特征后提出問題：“當時，矩形AEGF與矩形DO//E

能否全等？能否相似？”

針對小亮提出的問題，請你判斷這兩個矩形能否全等？直接寫出結(jié)論即可；這兩個矩形能否

相似？若能相似，求出相似比：若不能相似，試說明理由.

解：⑴①???0D=3,DE=2,；.E(2,3),由反比例函數(shù)y=§,可得k=xy=6,...該反比例

函數(shù)的解析式是y=:②設(shè)正方形AEGF的邊長為a,則BF=3—a,0B=2+a,.,.F(2+a,

3—a),(2+a)(3—a)=6,解得8=0(舍去)，az=l,...點F的坐標為(3,2)

FAOD33Q

⑵兩個矩形不可能全等.當m=而=￡時，兩個矩形相似，EA=-EG,設(shè)EG=x,則EA*x,

DUDEZNN

333

0B=2+~x,FB=3—x,AF(2+TX,3—X),(2+-x)(3—x)=6,解得x1=0(舍去)，

5

rcFG3C

xz=w，；加6=可，.?.矩形AEGF與矩形DOHE的相似比為而=5=￡

ooDeZo

【同步練】寬與長的比是夸二（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形.黃金矩形蘊藏著豐富的

美學(xué)價值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形

ABCD,分別取AD,BC的中點E,F,連結(jié)EF；以點F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延

長線與點G；作GHJ_AD,交AD的延長線于點H.則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）

AEDAEDH

解：由作圖方法可知DF=y^）CF,所以CG=（4一1）CF,且GH=Cg2CF,.嗡=—

=嚀2.?.矩形4CG〃是黃金矩形，故選D.

【點評】1.相似多邊形的判斷主要是按定義，先判斷角是否對應(yīng)相等，再判斷對應(yīng)邊是否

成比例.

2.應(yīng)用相似多邊形的性質(zhì)時，一是注意對應(yīng)邊、對應(yīng)角的對應(yīng)關(guān)系；二是在求面積時，注

意面積比是相似比的平方.

考點4：位似圖形

【典例】如圖，AOAB與aOCD是以點0為位似中心的位似圖形，相似比為1:2,Z0CD=90°,

CO=CD,若B（1,0）,則點C的坐標為（1,-1）.

【分析】連接BC,由三角形OAB與三角形OCD為位似圖形且相似比為1：2,根據(jù)B的坐

標確定出D坐標，進而得到B為0D中點，利用直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，

確定出BC與0B的長，再利用三線合一性質(zhì)得到CB垂直于0D,即可確定出C坐標.

【解答】：連接BC,

???△OAB與AOCD是以點0為位似中心的位似圖形，相似比為1：2,且B（與0）,即0B=L

.,.0D=2,即B為0D中點，

VOC=DC.

ACB10D,

在RtZ\OCD中，CB為斜邊上的中線，

?,.CB=OB=BD=1,

則C坐標為（1,-1）,

【同步練】（1）（2016承德二中模擬）如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點0在坐標原

點，邊0A在x軸上，0C在y軸上，如果矩形0A'B'CJ與矩形OABC關(guān)于點0位似，且矩

形0A'B'C'的面積等于矩形OABC面積的;，那么點B'的坐標是（

A.(—2,3)B.(2,一3)C.(3,—2)或(-2,3)D.(—2,3)或(2,—3)

【解析】在第一.象限與第四象限分別能畫出符合條件的矩形0A'B'C’.

【答案】D

（2）（2016滄州八中二模）如圖，aOAB與AOCD是以點0為位似中心的位似圖形，相似比

為1：2,N0CD=90°,CO=CD.若B(l,0),則點C的坐標為()

A.(1,2)B.(1,1)C.(木,y[2)D.(2,1)

【解答】B

【點評】1.位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形，利用位似的方法，

可以把一個多邊形放大或縮小.2.位似圖形所有對應(yīng)點的連線相交于位似中心.

考點5：相似三角形的應(yīng)用

【典例】如圖1是一個某物體的支架實物圖，圖2是其右側(cè)部分抽象后的幾何圖形，其中點

C是支桿PD上一可轉(zhuǎn)動點，點P是中間豎桿BA上的一動點，當點P沿BA滑動時，點D隨

之在地面上滑動，點A是動點P能到達的最頂端位置，當P運動到點A時，PC與BC重合于

豎桿BA,經(jīng)測量PC=BC=50cm,CD=60cm,設(shè)AP=xcm,豎桿BA的最下端B到地面的

距離B0=ycm.

⑴求AB的長；

(2)當NPCB=90°時，求y的值；(參考數(shù)據(jù)：*七1.414,結(jié)果精確到0.1cm,可使用科

學(xué)計算器)

(3)當點P運動時，試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

解：(1)由題意PC=BC=50cm,...AB=PC+BC=100cm

⑵過點C作CELPB于E,VZPCB=90°,PC=BC=50cm,

，/CPB=NCBP=45°,；.PE=50cos45°=25季，

VCE1PB,P01D0,APCE^APDO,

嚅喘即鬻=焉,.??…危

，y=BO=55娟一25鏡義2=5鏡=7.l(cm)

(3)由(2)可知，在運動過程中始終有△PCEs/iPDO,

100—x

.PE_PC.250.__J_

，'PO=PD，，，100-x+y=110,一元x+l0

【同步練】(2018?陜西)周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬.測

量時，他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A,在他們所在的岸邊選擇了點

B,使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標桿BC,再在AB的延長線上選擇點D,豎起標桿DE,

使得點E與點C、A共線.

已知：CB±AD,ED1AD,測得BC=lm,DE=1.5m,BD=8.5m.測量示意圖如圖所示.請根據(jù)相

關(guān)測量信息，求河寬AB.

【分析】由BC〃DE,可得空-空，構(gòu)建方程即可解決問題.

DEAD

【解答】解：；BC〃DE,

.,.△ABC^AADE,

.BC_AB

"DEAD'

.1_―

??IT「AB+8.5'

.*.AB=17（m）,

經(jīng)檢驗：AB=17是分式方程的解，

答：河寬AB的長為17米.

【點評】應(yīng)用相似三角形解決實際問題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為有相似三

角形的數(shù)學(xué)問題,然后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例或相似三角形的性質(zhì)建立等量關(guān)系求解.

【真題演練】

1.（2018?玉林）兩三角形的相似比是2：3,則其面積之比是（）

A.1^3B.2：3C.4：9D.8：27

【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算即可.

【解答】解：???兩三角形的相似比是2：3,

...其面積之比是4：9,

故選：C.

2.（2018?臨安區(qū)）如圖，小正方形的邊長均為1,則下列圖中的三角形（陰影部分）與4

ABC相似的是（）

AC

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出NACB,根據(jù)相似三角形的判定定理判斷即可.

【解答】解：由正方形的性質(zhì)可知，ZACB=180°-45°=135°,

A、C、D圖形中的鈍角都不等于135°,

由勾股定理得，BC=?,AC=2,

對應(yīng)的圖形B中的邊長分別為1和加，

ST

.?.圖B中的三角形（陰影部分）與△ABC相似，

故選：B.

3.（2018?哈爾濱）如圖，在AABC中，點D在BC邊上，連接AD,點G在線段AD上，GE

〃BD,且交AB于點E,GF〃AC,且交CD于點F,則下列結(jié)論一定正確的是（）

BDFC

DFDGFG嶇旦

、組=AGB=C

'AE-AD'CF-AD'AC-而'BE-DF

【分析】由GE〃BD、GF〃AC可得出△AEGSAABD、ADFG^ADCA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

即可找出繪=黑=基，此題得解.

BEDGDF

【解答】解：VGE/7BD,GF〃AC,

.,.△AEG<^AABD,ADFG^ADCA,

.AEAGDG=DF

*'ABAD'DADC*

.AEAG_CF

，-BEDGDF'

故選:D.

4.（2018?臨沂）如圖.利用標桿BE測量建筑物的高度.已知標桿BE高1.2m,測得

AB=1.6m.BC=12.4m,則建筑物CD的高是（）

D

A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m

【分析】先證明...△ABESZ\ACD,則利用相似三角形的性質(zhì)得，J;2“二警，然后利用

1.6+12.4CD

比例性質(zhì)求出CD即可.

【解答】解：；EB〃CD,

.,.△ABE^AACD,

.AB_BE1.6_1.2

,,AC-CD，1.6+12.4"cT'

.,.CD=10.5（米）.

故選：B.

5.（2018?遵義）如圖，四邊形ABCD中，AD#BC,ZABC=90°,AB=5,BC=10,連接AC、

BD,以BD為直徑的圓交AC于點E.若DE=3,則AD的長為（）

A.5B.4C.3巡D.2巡

【分析】先求出AC,進而判斷出△ADFs^CAB,即可設(shè)DF=x,AD=Jgx,利用勾股定理求

出BD,再判斷出△DEFSADBA,得出比例式建立方程即可得出結(jié)論.

【解答】解:如圖，在RtZXABC中,AB=5,BC=10,

.*.AC=5旄

過點D作DF1AC于F,

/.ZAFD=ZCBA,

VAD#BC,

.'.ZDAF=ZACB,

.,.△ADF^ACAB,

.DFAD

ABAC

.DF_AD

,,TW

設(shè)DF=x，則AD二&x,

在R?BD中，BD=7AB2+AD2=A/5X2+25,

VZDEF=ZDBA,ZDFE=ZDAB=90°,

.,.△DEF^ADBA,

???_DE—DF,

BDAD

.3—一x

?”5，+25保

Ax=2,

AD=^y^x=25/"^,

6.（2018?揚州）如圖，點A在線段BD上,在BD的同側(cè)作等腰RtAABC和等腰Rt^ADE,

CD與BE、AE分別交于點P,M.對于下列結(jié)論：

①△BAEs/XCAD；②MP?MD=MA?ME；③2cB%CP?CM.其中正確的是（）

【分析】（1）由等腰Rt^ABC和等腰RtZXADE三邊份數(shù)關(guān)系可證;

（2）通過等積式倒推可知，證明△PAMS/^EMD即可；

（3）2cB2轉(zhuǎn)化為AC2,證明△ACPS^MCA,問題可證.

【解答】解：由己知：AOAD-

.ACAD

"'AB^AE

,/ZBAC=ZEAD

，ZBAE=ZCAD

A△BAEACAI）

所以①正確

,/△BAE^ACAD

，ZBEA=ZCDA

"?ZPME=ZAMD

.,.△PME^AAMD

.HP_ME

"MA=MD

.,.MP?MD=MA?ME

所以②正確

VZBEA=ZCDA

ZPME=ZAMD

；.P、E、D、A四點共圓

.,.ZAPD=ZEAD=90°

,/ZCAE=180°-ZBAC-ZEAD=90°

.?.△CAPs/XCMA

/.AC2=CP*CM

,/AC=V2AB

,,.2CB2=CP<M

所以③正確

故選：A.

7.（2018?泰安）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個

問題：”今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步面見木？”

用今天的話說，大意是：如圖，DEFG是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的

正方形小城，東門H位于GD的中點，南門K位于ED的中點，出東門15步的A處有一樹木，

求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點D在直線AC上）？請你計算KC的長為步.

G

【分析】證明△CDKS^DAH,利用相似三角形的性質(zhì)得黑=罌，然后利用比例性質(zhì)可

10015

求出CK的長.

【解答】解:DH=100,DK=100,A1I=15,

VAHZ/DK,

AZCDK=ZA,

而NCKD二NAHD,

AACDK^ADAII,

.CK_DK即CK_100

DHAH10015

.a—2000

3

答：KC的長為空上步.

故答案為怨Q.

FG

C

8.（2018?江西）如圖，在AABC中，AB=8,BC=4,CA=6,CD//AB,BD是/ABC的平分線,

BD交AC于點E,求AE的長.

【分析】根據(jù)角平分線定義和平行線的性質(zhì)求出ND二NCBD,求出BC=CD=4,證△AEBs/XCED,

得出比例式，求出AE=2CE,即可得出答案.

【解答】解：YBD為NABC的平分線,

AZABD=ZCBD,

VAB/7CD,

AZD=ZABD,

AZD=ZCBD,

???BC=CD,

???BC=4,

.,.CD=4,

VAB/7CD,

AAABE^ACDE,

,ABAE

CDCE，

?8_AE

??~-~,，

4CE

.*.AE=2CE,

VAC=6=AE+CE,

；.AE=4.

9.(2018?東營)如圖，CD是。0的切線，點C在直徑AB的延長線上.

(1)求證：ZCAD=ZBDC；

【分析】(1)連接0D,由0B=0D可得出N0BD=N0DB,根據(jù)切線的性質(zhì)及直徑所對的圓周

角等于180°,利用等角的余角相等，即可證出/CA1ANBDC；

(2)由/C=/C、ZCAD=ZCDB可得出△CDBs/\CAD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合BD=?AD、

AC=3,即可求出CD的氏.

【解答】（1）證明：連接0D,如圖所示.

VOB=OD,

AZOBD=ZODB.

；CD是。0的切線，0D是。。的半徑,

,,.Z0DB+ZBDC=90".

：AB是。。的直徑，

Z.ZADB=90°,

.*.Z0BD+ZCAD=90o,

.\ZCAD=ZBDC.

(2)解:VZC=ZC,ZCAD=ZCDB,

.".△CDB^ACAD,

.BD_CD

?'而AC'

9

VBD=—AD,

3

BD-2

AD3，

CD

一_2

Ac3，

又?；AC=3,

.?.CD=2.

10.（2018?大慶）如圖，AB是。0的直徑，點E為線段0B上一點（不與0,B重合），作

EC10B,交。0于點C,作直徑CD,過點C的切線交DB的延長線于點P,作AF1PC于點F,

連接CB.

（1）求證：AC平分NFAB；

（2）求證:BC2=CE?CP；

（3）當AB=4T且吟=,時，求劣弧俞的長度.

c

r__

【分析】(1)根據(jù)等角的余角相等證明即可；

(2)只要證明△CBEs/\CPB,可得《殳=奧解決問題；

CPCB

(3)作BMJ_PF于M.則CE=CM=CF,設(shè)CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用相似三角形的性

質(zhì)求出BM,求出tan/BCM的值即可解決問題；

【解答】(1)證明：???AB是直徑，

.,.ZACB=90°,

.*.ZBCP+ZACF=90°,ZACE+ZBCE=90°,

ZBCP=ZBCE,

ZACF=ZACE,即AC平分NFAB.

(2)證明：VOC=OB,

，ZOCB=ZOBC,

；PF是。。的切線,CE1AB,

.,.ZOCP=ZCEB=90°,

.".ZPCB+Z0CB=90°,ZBCE+Z0BC=90°,

；./BCE=/BCP,

VCD是直徑，

.?.ZCBD=ZCBP=90°,

.,.△CBE^ACPB,

?.?C_B■_一CE，

CPCB

???BC、CE,CP；

(3)解：作BMJLPF于M.則CE=CM=CF,設(shè)CE=C\仁CF=3a,PC=4a,PM=a,

VZMCB+ZP=90°,NP+NPBM=90°,

JNMCB=NPBM,

:CD是直徑,BM±PC,

???NCMB二NBMP二90°，

.BM_CM

**PM麗’

Z.BM-=CM*PM=3a2,

?*-BM—,

.+ZPCMBMV3

??tan/BCM=--

CM3

/.ZBCM-300,

AZ0CB=Z0BC=ZB0C=60°,NBOD=1200

120?7r>2V3_W3

BD的長二1803-

11.如圖①，E是線段BC的中點，分別以B,C為直角頂點的AEAB和4EDC均是等腰直角

三角形，且在BC的同側(cè).

AE和ED的