第21講二次函數(shù)中的圖形的變換問(wèn)題（含2023黃埔一模）

第21講二次函數(shù)中的圖形的變換問(wèn)題

二次函數(shù)中圖形的變換問(wèn)題在近幾年的中考中屬于熱點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題，中考24題考察。

當(dāng)題目中出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)或平移時(shí)，根據(jù)題意，找出其中的不動(dòng)點(diǎn)及定線段，再依據(jù)題意，畫(huà)出圖形,

分析是否需要分類討論，進(jìn)而，再依據(jù)題意尋找等最關(guān)系，列出關(guān)系式，得到最后答案。

當(dāng)遇到運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)題目中的“變”與“不變”的量，簡(jiǎn)化圖形，化繁為簡(jiǎn)。

9【技巧點(diǎn)撥】

一、二次函數(shù)中的平移問(wèn)題主要是點(diǎn)的平移和圖形的平移：

針對(duì)頂點(diǎn)式拋物線的平移規(guī)律是：“左加右減（括號(hào)內(nèi)），上加下減”，同時(shí)保持a不變。

二、二次函數(shù)中的翻折問(wèn)題

當(dāng)拋物線關(guān)于x軸、y軸翻折時(shí)，開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、解析式又會(huì)如何變化呢？

讓我們先來(lái)觀察下翻折變換后函數(shù)圖像的變化：

通過(guò)觀察圖像，我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圖像關(guān)于y軸翻折時(shí)，開(kāi)口方向不變，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，頂點(diǎn)縱

坐標(biāo)不變；當(dāng)圖像關(guān)于x軸翻折時(shí)，開(kāi)口方向改變，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

因此歸納如下表格：

開(kāi)口方腳頂點(diǎn)解防式

變換前a(-m,k)y=a(x+m)2+k

i

明X種曲折-ay=-a(x+m)2-k

用y種翻折a(m,k)y=a(x-m)2+k

三、二次函數(shù)中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

當(dāng)拋物線繞原點(diǎn)和頂點(diǎn)180°旋轉(zhuǎn)時(shí)，開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、解析式又會(huì)如何變化呢？

讓我們先來(lái)觀察下旋轉(zhuǎn)變換后函數(shù)圖像的變化：

通過(guò)觀察圖像，我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圖像關(guān)于原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°時(shí)，開(kāi)口方向改變，頂點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù);

當(dāng)圖像關(guān)于頂點(diǎn)180°旋轉(zhuǎn)時(shí)，開(kāi)口方向改變，頂點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)不變。因此歸納如下表格：

開(kāi)口方向頂點(diǎn)解Ifi式

變換前a(-m,k)y=a(x+m)2+k

明源、風(fēng)80°旋轉(zhuǎn)-a(m,-k)y=-a(x-m)2-k

2

明項(xiàng)以180°旋轉(zhuǎn)-a(-m,k)y=-a(x+m)+k

【備注】：

1.以下每題教法建議，請(qǐng)老師根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況參考；

2.在講解時(shí)：不宜采用灌輸?shù)姆椒?，?yīng)采用啟發(fā)、誘導(dǎo)的策略，并在讀題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些題目中

的條件（相等的量、不變的量、隱藏的量等等），使學(xué)生在復(fù)雜的背景下自己發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟題目的意思；

3.可以根據(jù)各題的“教法指導(dǎo)”引導(dǎo)學(xué)生逐步解題，并采用講練結(jié)合；注意邊講解邊讓學(xué)生計(jì)算，加

強(qiáng)師生之間的互動(dòng)性，讓學(xué)生參與到例題的分析中來(lái)；

4.例題講解，可以根據(jù)“參考教法”中的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生分析題目，邊講邊讓學(xué)生書(shū)寫(xiě)，每個(gè)問(wèn)題后面

有答案提示；

5.引導(dǎo)的技巧：直接提醒，問(wèn)題式引導(dǎo)，類比式引導(dǎo)等等；

6.部分例題可以先讓學(xué)生自己試一試，之后再結(jié)合學(xué)生做的情況講評(píng)；

7.每個(gè)題目的講解時(shí)間根據(jù)實(shí)際情況處理，建議每題5-7分鐘。

【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】

1.（2023黃浦區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（-1,yi）,B（0,*）,C（/,*）,D（2,泗）

在拋物線y=-x^+bx+c上.

（1）當(dāng)yi=0,>2=”時(shí)，

①求該拋物線的表達(dá)式；

②將該拋物線向下平移2個(gè)單位，再向左平移m個(gè)單位后，所得的新拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(I,0),求m的

值；

(2)若”=0,且yi、”、聲中有且僅有一個(gè)值大于0,請(qǐng)結(jié)合拋物線的位置和圖象特征，先寫(xiě)出一個(gè)

滿足條件的b的值，再求b的取值范圍.

【分析】(1)①根據(jù)yi=0,*=*,可得對(duì)稱軸為x=上，求出匕的值，再根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,求出

2

c,從而得出拋物線解析式；

②把①解析式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)平移變換得出新拋物線解析式，然后把(0,0)代入解析式即可求出

m的值；

(2)根據(jù)題意分對(duì)稱軸在y軸左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論即可.

【解答】解：(1)①：拋物線y=-j^+bx+c經(jīng)過(guò)A(-1,yi),B(0,”)，C(/,*),D(2,興)，

且yi=0,*=*,

：.B,C為對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x=--__=81=」，

2X(-1)22

：.h=i,

-x+x+c,

把A(-1,0)代入y=-7+x+c得：-I-l+c=0,

解得c=2,

???該拋物線的表達(dá)式為y=-f+x+2；

②:y=-f+x+2=-(x-―)2+—,

24

???把該拋物線向下平移2個(gè)單位，再向左平移m個(gè)單位后，所得的新拋物線解析式為y=-(x-

—+m)2+—-2,

24

???新拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),

；?-(1-—+m)2+—=0,

24

解彳導(dǎo)m=0或m=-1；

(2)當(dāng)*=0時(shí)，拋物線過(guò)原點(diǎn)(0,0),

旦/1、”、?4中有且僅有一個(gè)值大于0,

即bVO,此時(shí)*VO,y4<0,如圖:

-1-b>0,

解得Z?<-1；

當(dāng)拋物線對(duì)稱軸在y軸右側(cè)時(shí)即匕>0,且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)，J1<O,

若想yi、”、*中有且僅有一個(gè)值大于0,必然是*>0,)wW0,如圖:

-l-b+0<0

-l+b+0>0

-22+bX2+0<0

解得l<bW2,

綜上所述，6的取值范圍為-1或1V6W2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、二次函數(shù)的增減

性，熟練掌握二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?金山區(qū)二模)已知：在直角坐標(biāo)系中直線y=-x+4與x軸、)，軸相交于點(diǎn)A、B,拋物線y=-

—V^+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)如果直線AB與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)C,求OC的長(zhǎng)；

(3)P是線段OA上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線AB的平行線，與y軸相交于點(diǎn)。，把△OPQ沿直線PQ翻折，

點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)￡),如果點(diǎn)。在拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

-10123456a7

-I-

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可：

(2)先求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；

(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(f,0),先得出四邊形。POQ為矩形，再得出四邊形。PO0為正方形，最后得出點(diǎn)

。的坐標(biāo)，列出方程求解即可.

【解答】解：(1)直線y=-x+4與x軸、y軸相交于點(diǎn)4、B,

r.A(4,0)、B(0,4),

1,c=4,

2

...拋物線的解析式為：y=-lx+x+4.

⑵由y=-^x2+x+4=蔣（X-1）2或，

可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,

當(dāng)x=l時(shí)，y=-x+4=3,

：.C(1,3),

???oc=Vw.

(3)如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為"0),

???AO=8O=4,/4。8=90°,

：.ZOAB=ZOBA=45°,

\UPQ//AB,

：.ZOPQ=ZOQP=45°，

：.ZDPO=ZDQO=90°,又NPOQ=90°,

???四邊形QP。。為矩形，

,/OP=OQ,

???四邊形。尸。。為正方形，

:?DP=DQ=OP=t,

???四邊形QP。。為正方形，

：.D(nr),

?12.

??+t+4，

解得：t[=2&，弋2=-2＞反(不合題意，舍去),

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正確畫(huà)出圖象是解題的關(guān)

鍵.

3.(2022?青浦區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-j^+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(1,0)

和點(diǎn)8(3,0),與)，軸交于點(diǎn)C.

(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸為拋物線上一點(diǎn)，且在x軸下方，聯(lián)結(jié)M.當(dāng)/以8=NAC。時(shí);求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，將拋物線沿平行于y軸的方向平移，平移后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,當(dāng)AQ平分/

【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；

(2)設(shè)PG,-?+4r-3),如圖1,過(guò)點(diǎn)「作PC_Lx軸于點(diǎn)。，連接AC、AP,可證得△APDsaao,

建立方程求解即可得出答案；

(3)如圖2,連接AQ、PQ,過(guò)點(diǎn)P作PE1PA交AQ于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作E/UPQ于點(diǎn)F,可證得aAP。

名△PEF(A4S),得出：PF=AD=Z-,EF=PD=L,即E(23,-您)，再利用待定系數(shù)法求得直線

3999

AE的解析式為y=-Zr+2,再求得。(」9,-1￡),即可求得拋物線平移的距離.

33

【解答】解：(1)???拋物線y=-7+fec+c與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0),

.f-l+b+c=O

1-9+3b+c=0

解得：(b=4,

1c=_3

???該拋物線的表達(dá)式為y=-7+4x-3,

當(dāng)x=0時(shí)，y=-3,

：.C(0,-3)；

(2)設(shè)PG,-P+4L3),如圖1,過(guò)點(diǎn)P作PCx軸于點(diǎn)。，連接AC、AP,

則NAOP=NAOC=90°,AO=L1,PD=-(-?+4r-3)=尸-4什3,

又04=1,0C=3,

ZPAB=ZACOf

：.XAPDSXCAO,

?AD—PD用t-l=t2-4t+3

OCOA31

A3?-13r+10=0,

解得：fl=l(舍去)，￡2=旦，

3

當(dāng)/=此時(shí)，-P+4L3=-(_12_)2+4X也-3=-工

3339

：.P(也-2)；

39

(3)如圖2,連接AQ、PQ,過(guò)點(diǎn)尸作尸公交4Q于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EFLPQ于點(diǎn)F,

由（2）知：P（蛇，-工），ZB4C=90°,

39

：.PD=L,4。=也-1=工，ZADP=90°,

933

???將拋物線沿平行于y軸的方向平移，平移后點(diǎn)尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。,

：.D,P、。在同一條直線上,

AZAPD+ZEPF=90°,

VZPFE=90°=ZADP,

；.NPEF+NEPF=90°,

：.NAPD=ZPEF,

：AQ平分NB4C,

AZR4E=A/B4C=JLX90°=45。，

22

又PE_LB4,

.1△APE是等腰直角三角形，

：.AP=PE,

:.△APDWAPEF（A4S）,

.?.PF=AO=工，EF=PD=L

39

：.E（-21,-毀），

99

'k+d=O

設(shè)直線AE的解析式為y=Ax+d,則,2328,

vk+d=_v

解得：（k=-2,

Id=2

直線AE的解析式為y=-2x+2,

當(dāng)時(shí)，）,=-2x+2=-2xlP.+2=--11,

333

-1￡）,

33

v-7.（.11）=強(qiáng)，

939

.?.拋物線y=-/+4x-3向下平移了里■個(gè)單位.

9

【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全

等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角

形是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?奉賢區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-1+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)4、

2

B.拋物線y=-Lj+Ox+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)4、B,頂點(diǎn)為C.

2

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）將拋物線沿y軸向上平移，平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為。，如果NBOC=/OAB,求平移的距離；

（3）設(shè)拋物線上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為相，將拋物線向左平移三個(gè)單位，如果點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在△OAB內(nèi)，

求，”的取值范圍.

【分析】（1）首先求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可；

（2）求出定點(diǎn)C的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)3作于”，由題意得，平移后所得新拋物線的頂點(diǎn)。在拋物線的

對(duì)稱軸上，CO的長(zhǎng)即平移的距離，根據(jù)NBOC=NOAB,利用正切函數(shù)求出DH,可得。（3,5）,可求

2

出C。的長(zhǎng)，即可求解；

（3）由拋物線的對(duì)稱軸可得點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)例'的坐標(biāo)為（3,2）,則將拋物線向左平移三個(gè)單

位，點(diǎn)M'的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和點(diǎn)B重合，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（1,0）,即可得出機(jī)的取值范圍.

【解答】解：（1）???直線y=-工+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,

2

：.A（4,0）,B（0,2）,

拋物線y=-工2+6尤+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),可得

2

（3

18+4b+c=0,解得

1c=2c=2

.?.拋物線解析式為產(chǎn)-景+*+2；

（2）；y=-22+當(dāng)+2=-工（x-旦）2+至，

22228

：.C（S,絲），對(duì)稱軸為犬=旦，

282

過(guò)點(diǎn)B作8//LCD于",

由題意得，平移后所得新拋物線的頂點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，CZ)的長(zhǎng)即平移的距離,

?:/BDC=/OAB,

/.tanZBDC=tanZOAB,

J.BHJB二2二1,

??瓦?？朔?/p>

:,DH=2BH,

:BHLCD,對(duì)稱軸為》=2，

2

:.BH=3,

2

：.DH=3,

\'B(0,2),

：.H(旦，2),

2

：.D(2,5),

2

?：C(旦，生)，

28

：.CD=5-型=電

88

...平移的距離為生；

8

(3)如圖,

.??點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,2）,

...將拋物線向左平移三個(gè)單位，點(diǎn)M'的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和點(diǎn)B重合，

,將拋物線向左平移三個(gè)單位，點(diǎn)A（4,0）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（1,0）,

,3（機(jī)＜4時(shí)，點(diǎn)何的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在△Q4B內(nèi)，

.?.機(jī)的取值范圍為3〈機(jī)V4.

【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，配方法求頂點(diǎn)式，拋物線的平

移，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?靜安區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)是（2,4）,點(diǎn)B在x軸上，OB=AB

（如圖所示），二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。、A、B三點(diǎn),頂點(diǎn)為Q.

（1）求點(diǎn)2與點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）求二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與線段AB的交點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移后，點(diǎn)A落在原二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上，點(diǎn)。落在線段AB上，求圖象平

移后得到的二次函數(shù)解析式.

【分析】（1）設(shè)B（w,0）,由OB=AB,可求B（5,0）,設(shè)二次函數(shù)解析式為y^ax（%-5）,將（2,

4）代入可求函數(shù)的解析式，從而求。點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求出直線A8解析式為y=-￡+型，令》=至?得y=-匹義互+型=蛇，求得改)：

332-323323

(3)由A點(diǎn)的變化可知A點(diǎn)向右平移工個(gè)單位，則D(5,空)向右平移上個(gè)單位后點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,

2262

再由平移后的。點(diǎn)在線段AB上，從而求出平移后。點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1),可得平移后的函數(shù)解析式為y=

3

-2(x-3)2+l.

33

【解答】解：(1)設(shè)8Cm,0),

坐標(biāo)是(2,4),OB=AB,

.??"?2=(m-2)2+(0-4)2,

解得771=5,

：.B(5,0),

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ox(x-5),將(2,4)代入得：

-6。=4,

解得〃=-2,

3

；.y=-2(x-5)=-2(x-互)2+空，

3326

頂點(diǎn)。(且25)；

26

(2)由(1)知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=互，

2

設(shè)直線AB解析式為尸=履+6,將A(2,4),B(5,0)代入得:

[2k+b=4,

I5k+b=0

，直線AB解析式為尸-&+型，

33

令》=$得＞=-Ax.§.+^2=-12.,

2-3233

：.E(A,12)；

23

(3):二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=§,

2

.1A點(diǎn)向右平移上個(gè)單位，

2

：.D(5,空)也向右平移上個(gè)單位后點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,

262

???平移后的。點(diǎn)在線段AB上，

二平移后。點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1),

3

???平移后的函數(shù)解析式為y=-2(x-3)2+l.

33

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

6.(2022?寶山區(qū)二模)已知拋物線y=a^+hx-2(”W0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)、B(2,0),與y軸交于點(diǎn)

C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)將拋物線向左平移機(jī)個(gè)單位平移后點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記作4、Bi、Cl,過(guò)點(diǎn)Ci

作。Cx軸，垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)￡在y軸負(fù)半軸上，使得以。、E、81為頂點(diǎn)的三角形與△4。。相似，

①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(用含粗的代數(shù)式表示)

②如果平移后的拋物線上存在點(diǎn)凡使得四邊形4FEB1為平行四邊形，求〃?的值.

【分析】(1)將點(diǎn)力(1,0)>B(2,0)代入了二一+法-2,即可求解；

(2)①分別求出Ai(1-/?,0),Bi、(2-m,0),C\(-m,-2),DC-m,0),設(shè)E(0,y),由題意

可知要使三角形相似，只需/08iE=/￡>CiAi或當(dāng)/0劭￡：=/。。4|,1211/08歸=

tanZDCi4i=A,二Z_=則工，求出E(0,1-XM)；當(dāng)NOBIE=NCI4。，則二L=2,求出E(0,4

2m_222m_2

-2m)；

②設(shè)F(x,y),當(dāng)E(0,1-Im)時(shí)，由題意可知四邊形ME為平行四邊形的對(duì)角線，可得

2

l-m=2~m+x

,1,再由y=-(x-—+m)2+-1,求出ni=2(舍)或/?!=—；同理當(dāng)E(0,4-2m)時(shí)，求

y=l~~ia242

得772=5.

【解答】解：(1)將點(diǎn)A(1,0)>B(2,0)代入y=/+"-2,

.(a+b-2=0

14a+2b-2=0

解得卜=T,

lb=3

-/+3x-2；

2

(2)@y=-/+3x-2=~(x--)+—f

24

平移先后拋物線解析式為尸-Cx-1+m)2+1,

令x=0,貝iJy=-2,

：.C(0,-2),

平移后A\(1-0),Bi、(2-0),Ci(--2),

VCiO_Lx軸，

：.D(-m,0),

：.OB]=m-2fCiD=2,40=1,

設(shè)E(0,y),

/.OE=-y,

???N8iOE=90°,ZCiDAi=90°,

???NO8iE=NQCiAi或NOBiE=NCiAiQ,

當(dāng)/O8IE=NOCL4I,

r)F-vAiD-I

/.tanZOB\E=＞匚=—―,tanZDC\A\=-------

B10m-2C?D2

,?y=],

m-22

/.y=l-—mf

2

：.E(0,1-Xn)；

2

當(dāng)NOB1E=NGA1O,

.?.二=2,

m-2

.\y=4-2m,

：.E(0,4-2m)；

綜上所述：E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1-L〃)或(0,4-2/n)；

2

②設(shè)尸(x,y),

當(dāng)E(0,1-A/n)時(shí)，

2

?/四邊形A\FEB\為平行四邊形，

二四邊形4E為平行四邊形的對(duì)角線，

l-m=2-m+x

??<],

y=1-7m

；?X=-1,

?/平移先后拋物線解析式為y=-(x-1+m)2+l,

.,.y=(-—+m)2+A,

24

/.1-LM=-(-—+/n)2+A,

224

解得機(jī)=2(舍)或〃?=工，

2

當(dāng)帆=工時(shí)，y=-3,尸(-1,-3),

244

7

2

當(dāng)E(0,4-2m)時(shí)，

???四邊形AiFEBi為平行四邊形，

???四邊形AiE為平行四邊形的對(duì)角線，

.(l-m=2-m+x

jy=4-2m

Ax=-1,

???平移先后拋物線解析式為產(chǎn)-Cx-1+m)2+1,

/.y=(-—+m)2+—,

24

.".4-2m=-(--+m')2+—,

24

...機(jī)=5或m=2(舍)；

綜上所述：機(jī)=工或〃2=5.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，

拋物線平移的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.(2022普陀區(qū)一模24)如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0中，已知拋物線y^lx+bx^c與直線尸-工戶1

33

交于點(diǎn)/(加，0),5(-3,/?),與y軸交于點(diǎn)乙聯(lián)結(jié)力C.

(1)求小〃的值和拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)〃在拋物線產(chǎn)=工『+6廣c的對(duì)稱軸上，當(dāng)N〃》=90°時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

3

(3)將△/1"平移，平移后點(diǎn)力仍在拋物線上，記作點(diǎn)只此時(shí)點(diǎn)C恰好落在直線四上，求點(diǎn)戶的坐

標(biāo).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出46兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問(wèn)題.

(2)過(guò)點(diǎn)，作碼y軸于點(diǎn)H,由直角三角形的性質(zhì)得出tan/ACgtanNCDH,則迫口，可列出

CODH

方程求出組的長(zhǎng)，則可得出答案；

22

(3)設(shè)P(t,At得出N(t-3,^t_At_2_9)＞由點(diǎn)兒在直線4?上可得出匕的值，

3333

則可得出答案.

【解答】解：(1)將/(如0)代入尸-ly+1,

3

解得277=3,

：.A(3,0),

將6(-3,n)代入y=-1.x+l,

3

解得77=2,

:?B(-3,-2),

把力(3,0),Z?(-3,2)代入y=—x^bx^c中,

3

(1

yX9+3b+c=0

得

-yX9-3b+c=2

O

解得.「3,

c=-2

拋物線的解析式為y^l^-lx-2.

33

(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)〃作加Ly軸于點(diǎn)H,

?.?拋物線的解析式為y=lz-1A--2.

33

...拋物線的對(duì)稱軸為x=--L=l,

2a2

.,./y/=A,

2

VZJG?=90o,

:./AC(^NDCH=9Q°,

又比＞NGW=90°,

：.ZACO=ZCDH,

tanZACO=tanZCD//,

■AOCH

"co"DH"

由(1)可知以=3,0C=2,

.3CH

2

r.CH=3,

4

：.D(A,-11)；

24

(3)如圖2,若平移后的三角形為△制外

!JllJMN=0C=2,PM=0A=3,

2

設(shè)尸(t,J^t.Az-2),

33

2

：.N(?-3,J^+,AZ-2-2),

33

?.?點(diǎn)/在直線三-lx+l上，

3

4=」(t-3)+1,

333

；?t=3或t=~3,^2，

：.P(3A/2-4-圾)或？(-3&,4+V2).

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳

角三角函數(shù)的定義，平移的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利

用參數(shù)構(gòu)建方程確定點(diǎn)的坐標(biāo).

8.(2022年金山一模24)已知：拋物線+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,1)和6(1,4)頂點(diǎn)為點(diǎn)只

拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)Q.

(1)求拋物線的解析式;

(2)求/陽(yáng)。的度數(shù);

(3)把拋物線向上或者向下平移，點(diǎn)B平移到點(diǎn)C的位置，如果BQ=CP,求平移后的拋物線解析式.

▲1

5

4

3

X

c=1

解：（1）根據(jù)題意“（2分）

—1+8+1=4

解得：b=4,c=lo

二拋物線的表達(dá)式是y=-/+4x+l...................................（2分）

（2）y=—幺+4%+1=—（x—2）~+5,...頂點(diǎn)戶的坐標(biāo)是（2,5）.

對(duì)稱軸是直線x之，點(diǎn)0的坐標(biāo)為（2,0）...............................（1分）

，PA=2后,QA=&PQ=5；.....................................（1分）

AP^+Q^^PQ2,ZCOM=90°,...................................（2分）

（3）根據(jù)題意，BC〃PQ.

如果點(diǎn)C在點(diǎn)8的上方，/個(gè)〃60時(shí)，四邊形比用是平行四邊形，

：.BQ=CP,BC=PQ壬,

即拋物線向上平移5個(gè)單位，平移后的拋物線解析式是y=-f+4x+6........（2分）

如果點(diǎn)C在點(diǎn)8的下方，四邊形是等腰梯形時(shí)BQ=CP,

gBELPQ,CFVPQ,垂足分別為日F.

根據(jù)題意可得，PE=QF=\,PQ4BC=EF^>,

即拋物線向下平移3個(gè)單位，平移后的拋物線解析式是y=-f+4x-2.........（2分）.

綜上所述，平移后的拋物線解析式是y=-丁+4%+6或y=-丁+4x-2.

9.（2020閔行一模24）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，直線y=-x+5與x軸交于點(diǎn)A,

與>軸交于點(diǎn)B.點(diǎn)C為拋物線y^ax2-2a2x+ai+-a的頂點(diǎn).

2

(1)用含a的代數(shù)式表示頂點(diǎn)C的坐標(biāo)：

(2)當(dāng)頂點(diǎn)C在?AOB內(nèi)部，且S?A0C=|時(shí)，求拋物線的表達(dá)式：

(3)如果將拋物線向右平移一個(gè)單位，再向下平移g個(gè)單位后，平移后的拋物線的頂點(diǎn)P仍在

2

2A0B內(nèi)，求&的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】解：拋物線y=ax2-2<22x+a3+-a=a(x~a)2+^a,

，頂點(diǎn)「的坐標(biāo)為(a,，。)；

2

【小問(wèn)2詳解】解：對(duì)于y=-x+5,當(dāng)下。時(shí)，尸5,當(dāng)尸0時(shí)，尸5,

：.A(5,0),B(0,5),

?.?頂點(diǎn)C在?AOB內(nèi)部，且S-,A0C=I

2，

/-3=2,

...拋物線的表達(dá)式為y=2f—8x+9；

【小問(wèn)3詳解】解：由題意，平移后的拋物線的頂點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(a+1,ga—g),

:平移后的拋物線的頂點(diǎn)P仍在?AOB內(nèi),

a+l>0

22

-(a+l)+5>-?--

22

解得：l<a<3,

即。的取值范圍為l<a<3.

10.(2022奉賢一模24)(本題滿分12分，第(1)小題滿分4分，第(2)小題每小題滿分4分)

如圖11,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3與%軸交于點(diǎn)4(一1,0)和點(diǎn)

8(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.

(1)求該拋物線的表達(dá)式的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)將拋物線沿y軸上下平移，平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E.

①如果點(diǎn)M落在線段BC上，求?DBE的度數(shù)；

②設(shè)直線ME與x軸正半軸交于點(diǎn)P,與線段BC交于點(diǎn)Q,當(dāng)PE=2PQ時(shí)，求平移后新拋物

線的表達(dá)式.

【解答】解：(1)將點(diǎn)/(-1,0)和點(diǎn)Z?(3,0)代入得,

a-b+3=0

9a+3b+3=0

a=-l

解得

b=2，

-Z+2A+3=-(x-1)'+4,

二頂點(diǎn)2(1,4)；

(2)①設(shè)直線x=l交x軸于G,

,：B(3,0),C(0,3),：.OB=OC=3,:.GM=GB=2,：.DM=DG-GM=2,

二將拋物線y=-￥+2田3沿y軸向下平移2個(gè)單位時(shí)，點(diǎn)M落在BC上,此時(shí)E(0,1),

,:D(1,4),E(0,1),B(3,0),

:.泥=10,E彥=10,“=20,.?.旅+夕片=碗，

△龍應(yīng)是等腰直角三角形，：.ZDBE=A5°；

②當(dāng)點(diǎn)戶在x軸正半軸時(shí)，則點(diǎn)材在x軸下方，如圖，作。憶x軸于〃，

由＜7(0,3),DC1,4)可知,直線5與才軸夾角為45°,

...平移后/。陽(yáng)=45°,:.PH=BH,

'：OE//QH,PE=2PQ,：.OP^2PH,

二4掰=3,:.BH=3

4

：.0P=2BH=*,:.GM=GP=L-A),

222

...平移后拋物線為y=-(X-1)2-L

2

11.(2021?松江區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系中，直線尸3*+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)從B,拋物線

y=a『+6x-5a經(jīng)過(guò)點(diǎn)/.將點(diǎn)8向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求拋物線的對(duì)稱軸；

(3)若拋物線的頂點(diǎn)在△胸的內(nèi)部，求a的取值范圍.

Ox

【分析】(1)由產(chǎn)=3戶3與x、y軸分別交于點(diǎn)力、B,可求出力、6坐標(biāo)，6向右移動(dòng)5個(gè)單位即得C坐

標(biāo)；

(2)將月坐標(biāo)代入y^ax+bx-5a可得b=-4a,根據(jù)對(duì)稱軸公式可得答案；

(3)對(duì)稱軸x=2與a1交于D,與仇?交于E,拋物線的頂點(diǎn)在△灰的內(nèi)部，則頂點(diǎn)在〃和￡之間，

用a表示頂點(diǎn)縱坐標(biāo)列不等式可得答案.

【解答】解：(1)在/=3產(chǎn)3中，令x=0得y=3,令y=0得x=-l,

：.A(-1,0),B(0,3),

?.?點(diǎn)6向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C.

.,.(7(5,3)；

(2)'：A(-1,0),拋物線尸af+bx-5a經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,

/.0=a-b-5a,即b=-4a,

，拋物線y=ax+bx-5a對(duì)稱軸為x=」-=-Wl=2；

2a2a

(3)對(duì)稱軸x=2與4。交于〃與宏交于'如圖:

設(shè)。。解析式為y=kx,

(5,3),

，3=5%

。。解析式為y=—xy

5

令x=2得尸色，BPE(2,A),

55

由(1)知b=-4a

，拋物線為y=ax-\ax-5a,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-9a),

拋物線的頂點(diǎn)在△如。的內(nèi)部，則頂點(diǎn)在〃和月之間，

而D(2,3),

.?.2<-9a<3,

5

-A<a<-2.

315

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的平移、二次函數(shù)圖象等知識(shí)，表示頂點(diǎn)坐標(biāo)列不等式是解題的關(guān)鍵.

12.(2016?楊浦區(qū)三模)已知點(diǎn)4(2,-2)和點(diǎn)6(-4,n)在拋物線y=af(aWO)上.

(1)求a的值及點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)/在y軸上，且△力即是以4?為直角邊的三角形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)將拋物線了=@/(aKO)向右并向下平移，記平移后點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4，點(diǎn)6的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為8',

若四邊形｛仍'A'為正方形，求此時(shí)拋物線的表達(dá)式.

【分析】(1)把點(diǎn)力(2,-2)代入y=a/，得到a,再把點(diǎn)6代入拋物線解析式即可解決問(wèn)題.

(2)求出直線4?解析式，再分別求出過(guò)點(diǎn)4垂直于46的直線的解析式，過(guò)點(diǎn)6垂直于直線的解析

式即可解決問(wèn)題.

(3)先求出點(diǎn)4坐標(biāo)，確定是如何平移的，再確定拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題.

【解答】解：(1)把點(diǎn)/(2,-2)代入尸a『，得到a=-L

2

二拋物線為尸-工『，

2

Ax=-4時(shí)，y=-8,

??.點(diǎn)方坐標(biāo)(-4,-8),

?\a=--1,點(diǎn)8坐標(biāo)(-4,-8).

2

(2)設(shè)直線四為廳履+6,則有卜4k+b=-8,解得［k=l,

12k+b=-2lb=-4

直線46為y=x-4,

過(guò)點(diǎn)6垂直四的直線為y=-x-12,與y軸交于點(diǎn)。(0,-12),

過(guò)點(diǎn)｛垂直49的直線為y=-x,與y軸交于點(diǎn)戶(0,0),

點(diǎn)一在y軸上，且是以"為直角邊的三角形時(shí).點(diǎn)尸坐標(biāo)為(0,0),或(0,-12).

解法二：利用直線與坐標(biāo)軸的夾角為特殊角45°構(gòu)建等腰宜角三角形來(lái)求解坐標(biāo)即可.

(3)如圖四邊形ABB'A'是正方形，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，過(guò)點(diǎn)從點(diǎn)4作x軸的垂線得到點(diǎn)E、

F.

1?直線4?解析式為y=-X-12,...△/%；/都是等腰直角三角形，

AB—AA'=y62+62=

：.AE=A'￡=6,

.?.點(diǎn)4坐標(biāo)為(8,-8),

二點(diǎn)4到點(diǎn)卬是向右平移6個(gè)單位，向下平移6個(gè)單位得到,

.?.拋物線尸-上丁的頂點(diǎn)（0,0）,向右平移6個(gè)單位，向下平移6個(gè)單位得到（6,-6）,

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定函數(shù)

解析式，知道兩條直線垂直力的乘積為-1,屬于中考?？碱}型.

13.【2021年靜安區(qū)二模24］（本題滿分12分，其中第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（2）小題3

分）

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（5,0）（如圖），經(jīng)過(guò)點(diǎn)4的拋物線y=f+治+5與y軸相交

于點(diǎn)8,頂點(diǎn)為點(diǎn)C.

（1）求此拋物線表達(dá)式與頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）求/48C的正弦值；

（3）將此拋物線向上平移，所得新拋物線

頂點(diǎn)為〃且與△46C相似，求平移后的新拋物線的表達(dá)式.

°A

（第24題圖）

24.解:(1)2拋物線(=3+瓜+5經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(5,0),.?.0=25+58+5.（1分）

b=-6-...............................................................（1分）

.?.拋物線表達(dá)式為y=f—6x+5,頂點(diǎn)「的坐標(biāo)為（3,-4）................（2分）

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸、46分別相交于點(diǎn)反凡點(diǎn)6（3,0）.

?.?點(diǎn)6(0,5),：,OA=OB4AB=5叵,NO1比45°,

：.EF=AE=^,CF電.............................................................................................................(1分)

S,?=S.+S=—CF-OE+—CF.?1￡,=—x6x3+—x6x2=15.........................(2分)

ZAA/IDCr^ArFAfirF222

過(guò)點(diǎn)力作力以84垂足為“，

■:噲62+(-4-5)2=3麗，SMBC=^BC.AH=gx3而?A"=15???????(1分)

；.AH=M.sinZABC=—=.......................................................(1分)

AB5725

4/72AH

(3)——=—==—=—,:?Rt/\AECsRt/\AHB,工/AC斤/A

AC2y/55AB

—相似，.啜嘿嚙啜

（1分）

.?.牛=莘或與=坐.或。6.

（1分）

2V53V102V55V23

?.?拋物線和y軸的交點(diǎn)向上平移的距離與頂點(diǎn)平移的距離相同，

平移后的拋物線的表達(dá)式為y=f-6x+］或y=d-6x+U........................（1分）

14.【2021年長(zhǎng)寧二模24】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系9中，拋物線尸af-爭(zhēng)He經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（1,

0）、B（3,0）,且與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如果將拋物線向左平移加（/>0）個(gè)單位長(zhǎng)度，聯(lián)結(jié)4GBC,當(dāng)拋物線與△力回的三邊有且只有一個(gè)

公共點(diǎn)時(shí)，求力的值；

（3）如果點(diǎn)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)8的右側(cè)，聯(lián)結(jié)/V,直線序交y軸于點(diǎn)反當(dāng)4PCE=NPEC

時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

75

【答案】(1)y=—x2-—x+4：(2)zz?=4；(3)

33253

【解析】

【分析】(1)由待定系數(shù)法即可求解;

(2)當(dāng)拋物線與a1的三邊有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則拋物線過(guò)點(diǎn)「(0,4),即可求解;

4

(3)求出直線印的表達(dá)式，得到點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(0,--t+4),由/AC月則點(diǎn)〃在您的中垂線

上，進(jìn)而求解.

16八

Q------FC=0

【詳解】解：(1)將點(diǎn)/、8的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：〈3