初中數(shù)學九年級上冊3 相似三角形的性質 全國優(yōu)質課一等獎

22.3相似三角形的性質1、相似三角形有哪些性質？2、相似三角形有哪些判定方法？對應線段成比例，對應角相等。⑴定義對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。⑵判定定理1兩角對應相等的兩個三角形相似。⑶判定定理2兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似。⑷判定定理3三邊對應成比例的兩個三角形相似。？？溫故知新相似三角形的性質幾何語言與運用

角：對應角相等∴邊：對應邊成比例相似比=對應邊的比值=

如右圖，∵△ABC∽△A'B'C'全等三角形中對應邊上的高、中線、對應角的平分線相等。

問：那么相似三角形中的這些對應線段又有哪些性質呢？想一想：如左下圖，已知:△

ABC∽

△

A'B'C'，它們的相似比為k，AD、A'D'是對應高。求證：ABDCA'B'D'C'證明：∵△

ABC∽△

A'B'C'∴∠B=∠B'∵AD、A'D'分別為BC、B'C'邊上的高∴∠ADB=∠A'D'B'=90°

∴

△

ABD∽△

A'B'D'∴AD：A'D'=AB：A'B'=k結論1相似三角形對應高的比等于相似比。試一試：

若AD、A'D'分別為BC、B'C'邊上的中線，那么AD、A'D'之間有什么關系？若AD、A'D'分別為∠BAC、∠B'A'C'的角平分線呢？

結論2

相似三角形對應中線、對應角平分線的比均為相似比。ABCDB'C'A'D'定理1：相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比。ABCB'C'A'如左圖，已知：△

ABC∽

△

A'B'C'，且它們的相似比為k。求：它們的周長比。解：∵△

ABC∽△

A'B'C'∴∴定理2:相似三角形周長的比等于相似比。繼續(xù)探究做一做

如下圖⑴、⑵、⑶分別是邊長為1、2、3的等邊三角形，它們都相似。⑴⑵⑶⑵與⑴的相似比=（）⑵與⑴的面積比=（）⑶與⑴的相似比=（）⑶與⑴的面積比=（）由此我們可以得到什么結論？對等邊三角形而言，面積比=相似比的平方。2:14:13:19:1

動動你聰明的腦子，想一想

上述結論是否適用于一般的相似三角形？ABCA′B′C′DD′證明：∽△△分別過A、A′，作AD⊥BC于D，∵∴∴∴

定理3

相似三角形面積的比等于相似比的平方。例1：如圖，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80cm，高AD=60cm。要把它加工成矩形零件，使矩形的長、寬之比為2:1，并且矩形長的一邊位于邊BC上，另兩個頂點分別在邊AB、AC上。求這個矩形零件的長與寬。ABC┐D解：如圖，矩形PQRS為加工成的矩形零件，邊SR在BC上，頂點P、Q分別在AB、AC上，

△

ABC的高AD交PQ于點E。設PS為xcm，則PQ為2xcm?！逷Q//BC∴△

APQ∽△

ABC∴即

解方程，得

因而，這個矩形零件的長是48cm，寬是24cm.PQSRE請回答1、若兩個三角形的相似比為3：5，則這兩個三角形對應高的比為（），對應角平分線的比為(），周長之比為（），對應中線之比為（）。2、把一個三角形改成和它相似的三角形，如果面積擴大為原來的100倍，那么邊長擴大為原來的幾倍？3、已知兩個等邊三角形的邊長之比為2：3，且它們的面積之和為26cm2，則較小的等邊三角形的面積為多少？3：53：53：510倍8cm23：5小試牛刀:小試牛刀4、順次連接三角形三邊中點所得的三角形與原三角形周長比是_____,面積比是1／21／4再接再厲

5，如圖DE∥BC,EF∥AB,S△ADE=25,S△CEF=36.求△ABC的面積.ABCDEF2536解：∵DE∥BC，EF∥AB∴∠A=∠CEF,∠AED=∠C∴△ADE∽△EFC∴∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∵S△ADE=25∴S△ABC=121∴∴∴EABC.6、如圖,在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一點,AE=2,在AC上取一點F,使以A、E、F為頂點的三角形與△ABC相似,那么AF=________F2F1再接再厲DQABCP

如圖,邊長為4的正方形ABCD中,P是邊BC上的一點,QP⊥AP

交DC于Q,設

BP=x,△ADQ的面積為y.(1)求y與x之間的函數(shù)關系式,并求自變量x的取值范圍;(2)問P點在何位置時,△ADQ的面積最小?最小面積是多少?相似與函數(shù)的相關習題對于例1，要使得內接矩形PQRS的面積最大，此時該矩形的長與寬各是多少？拓展練習PQSREABC┐D1、相似三角形對應邊成____,對應角______.2、相似三角形對應邊上的高、對應邊上的中線、