線性代數(shù)（第六版）課件：二次型

1《線性代數(shù)》

（第六版）

二次型23

本章討論把一個n元二次齊次多項式化為僅含有完全平方項的和的形式，并研究有關(guān)的性質(zhì)。

4第一節(jié)二次型與對稱矩陣(一)二次型及其矩陣定義稱為一個(n元)二次型.本書只討論實二次型，即系數(shù)全是實數(shù)的二次型。5于是上述二次型可以寫成如下求和形式67記則上述二次型可以用矩陣形式表示為A稱為二次型的矩陣。8A的秩稱為該二次型的秩。A稱為二次型的矩陣。A是一個實對稱矩陣。事實上，由一個實對稱矩陣也可構(gòu)造唯一的實二次型，也就是說，實二次型與實對稱矩陣是一一對應的，所以，研究二次型的性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化為研究它的矩陣A所具有的性質(zhì)。

9例1設二次型求二次型的矩陣A和二次型的秩。解所以r(A)=3，即二次型的秩等于3。10例2設二次型的矩陣A和二次型的秩，解所以二次型

f

的矩陣為11(二)線性變換在平面解析幾何中，為了確定二次方程所表示的曲線的性態(tài)，通常利用轉(zhuǎn)軸公式：12定義關(guān)系式記則上述線性變換可以寫成矩陣形式：13C稱為該線性變換的矩陣。如果C為正交矩陣，則此線性變換稱為正交變換。容易驗證，轉(zhuǎn)軸公式是一個正交變換。14(三)矩陣的合同關(guān)系由于C是可逆矩陣，所以A和B秩相等，從而兩個二次型的秩相等。15定義與矩陣的相似關(guān)系類似，矩陣之間的合同關(guān)系也具有以下性質(zhì)：(1)反身性：(2)對稱性：(3)傳遞性：AAABBAABBCAC證明只證(3)，其余留作練習。16第二節(jié)二次型與對稱矩陣的標準型17(一)二次型的標準形定義下面介紹二次型化為標準形的方法。181、用拉格朗日配方法化二次型為標準形拉格朗日配方法的基本步驟：2.若二次型中不含有平方項，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項的二次型，然后再按1中方法配方。1.若二次型含有的平方項，則先把含有的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標準形;19例1用配方法化二次型解為標準形，并寫出對應的可逆線性變換。含有平方項去掉配方后多出來的項20標準形為所用變換矩陣為21例2用配方法化二次型解為標準形，并寫出對應的可逆線性變換。所給二次型中無平方項，所以先作線性替換原二次型化為22再配方，得標準形為23所用變換矩陣為對應的線性變換為24練習用配方法化二次型解為標準形，并寫出對應的可逆線性變換。25標準形為所用變換矩陣為26為標準形，并寫出對應的可逆線性變換。解所給二次型中無平方項，所以先作線性變換練習用配方法化二次型27所用可逆線性替換為28(二)用正交變換法化二次型為標準形定理任何二次型都可以通過正交替換化為標準形。而由正交陣性質(zhì)可知，因此這樣的正交29用正交變換化二次型為標準形的具體步驟：30例3用正交變換將二次型解化為標準形，并求所作的正交變換。二次型的矩陣3132再單位化，合在一起，即得所求正交替換的矩陣正交化，33于是所求正交替換為標準形為34例4用正交變換將二次型解化為標準形，并求所作的正交變換。二次型的矩陣全加法353637正交化，3839再單位化，合在一起，即得所求正交替換的矩陣所作正交替換為標準形為40例5解41由題意,這兩個矩陣相似,42化為標準型，并指出表示何種二次曲面.練習求一正交變換，將二次型解對應特征向量為43再單位化，合在一起，即得所求正交變換的矩陣二次型的標準形44例6已知二次型解二次型的矩陣45單位化后拼起來，即得所求正交變換x=Q

y

的矩陣為46(四)二次型與對稱矩陣的規(guī)范形一個實二次型，既可以通過正交替換化為標準形，也可以通過拉格朗日配方法化為標準形，顯然，其標準形一般來說是不唯一的。

但是，標準形中系數(shù)不為零的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩。實際上，不僅標準形中的非零系數(shù)的個數(shù)是確定的，其中正的系數(shù)個數(shù)和負的系數(shù)個數(shù)也被原二次型所確定，這就是下面的“慣性定理”。47定理(慣性定理)p為正慣性指數(shù),正負慣性指數(shù)的差

稱為二次型的符號差.為負慣性指數(shù),無論用何種可逆線性變換把它化為標準形,其中正的系數(shù)個數(shù)(稱正慣性指數(shù))和負的系數(shù)個數(shù)(稱負慣性指數(shù))唯一確定。證略48繼續(xù)作可逆線性變換矩陣形式為49二次型化為稱之為二次型的規(guī)范形。定理任一二次型都可以通過可逆線性變換化為規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的?；涡蜁r，所作的線性變換不一定是正交變換。50定理

任一實對稱矩陣

A與對角陣上式稱為矩陣A的規(guī)范形。51推論

兩個

n階實對稱矩陣合同的充分必要條件是它們的秩和正慣性指數(shù)分別相等。52第三節(jié)二次型與對稱矩陣的有定性定義如果二次型的取值有正有負，就稱為不定二次型。設

A

為實對稱矩陣，對任意非零向量X，53正定矩陣、正定二次型的判別：由定義，可得以下結(jié)論：充分性是顯然的；下面用反證法證必要性：代入二次型，得54由上述兩個結(jié)論可知，研究二次型的正定性，只要通過非退化線性變換，將其化為標準形，就容易由以下定理判別其正定性。55定理準則1實對稱矩陣

A正定的充分必要條件是A的特征值全為正。56解例1判別二次型是否正定。二次型對應的矩陣為57全為正，因此二次型正定。58準則259解例2判別二次型是否正定。二次型對應的矩陣為它的順序主子式為：因此

A是正定的，即二次型

f正定。60解例3設有實二次型

問

t

取何值時，該二次型為正定二次型？

f的矩陣為順序主子式為：解得61正定矩陣的性質(zhì)：準則1實對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的特征值全為正。1、若

A為正定矩陣，則

A

的行列式為正，因而可逆。62都是正定陣，2、若

A為正定矩陣，則其中

k

為正整數(shù)。這是因為：正定矩陣的性質(zhì)：1、若

A為正定矩陣，則

A

的行列式為正，因而可逆。633、若

A為正定矩陣，則

A

的主對角元全為正。證4、若

A

和

B

為正定矩陣，則

A+B

也為正定矩陣。證對任意非零向量X，645、實對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是存在可逆矩陣P，使得實際上，正定二次型的規(guī)范形為即A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E，即存在可逆矩陣P，使65證因為于是66類似結(jié)論有：67顯然，A是負定（半負定）的當且僅當–A是正定(半正定)的。由此，容易得出以下結(jié)論：(2)A負定的充分必要條件是A的特征值全負；(3)A半負定的充分必要條件是A的特征值非正；(4)A負定的充分必要條件是A的奇數(shù)階順序主子式全為負而偶數(shù)階順序主子式全為正；(1)A半正定的充分必要條件是A的特征值非負；(5)若A負定，則A的對角元全為負。注意：1.最后一條只是必要條件；2.A的順序主子式全非負，A也未必是半正定的。68例4設矩陣顯然A的順序主子式但對角元有正有負，顯然A