專題01直線的方程8種常見考法歸類

專題01直線的方程8種常見考法歸類思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一、直線的傾斜角與斜率考點(diǎn)二、兩條直線的平行和垂直考點(diǎn)三、直線的方程考點(diǎn)四、動直線恒過定點(diǎn)問題及其應(yīng)用考點(diǎn)五、直線的交點(diǎn)問題考點(diǎn)六、直線的距離問題考點(diǎn)七、直線的對稱問題考點(diǎn)八、直線的綜合問題知識點(diǎn)1直線的傾斜角1．傾斜角的定義當(dāng)直線l與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．如圖所示，直線l的傾斜角是∠APx，直線l′的傾斜角是∠BPx.2．傾斜角的范圍直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.注：①每一條直線都有一個確定的傾斜角②已知直線上一點(diǎn)和該直線的傾斜角，可以唯一確定該直線知識點(diǎn)2直線的斜率1．斜率的定義一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．常用小寫字母k表示，即k＝tanα.2．斜率公式經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).當(dāng)x1＝x2時，直線P1P2沒有斜率．知識點(diǎn)3斜率與傾斜角的聯(lián)系傾斜角（范圍）斜率（范圍）不存在知識點(diǎn)4兩條直線平行和垂直1．對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.注：（1）l1∥l2?k1＝k2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在．②l1與l2不重合．（2）當(dāng)兩條直線不重合且斜率都不存在時，與的傾斜角都是，則.（3）兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：或，斜率都不存在.2．如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果它們的斜率之積等于－1，那么它們互相垂直，即l1⊥l2?k1·k2＝－1.注：（1）l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.（2）兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．（3）判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零．知識點(diǎn)5直線的五種方程名稱條件方程圖形適用范圍點(diǎn)斜式直線l過定點(diǎn)P(x0，y0)，斜率為ky－y0＝k(x－x0)不表示垂直于軸的直線斜截式直線l的斜率為k，且與y軸的交點(diǎn)為(0，b)(直線l與y軸的交點(diǎn)(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距)y＝kx＋b不表示垂直于軸的直線兩點(diǎn)式P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線截距式在x軸上截距a，在y軸上截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線及過原點(diǎn)的直線一般式A，B，C為系數(shù)Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)任何位置的直線知識點(diǎn)6兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1、已知兩條直線的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，設(shè)這兩條直線的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P既在直線l1上，也在直線l2上．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點(diǎn)P的坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．2、直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系如表所示：方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點(diǎn)個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行知識點(diǎn)7兩點(diǎn)間的距離公式1．公式：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).2．文字?jǐn)⑹觯浩矫鎯?nèi)兩點(diǎn)的距離等于這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差與縱坐標(biāo)之差的平方和的算術(shù)平方根．知識點(diǎn)8直線系過定點(diǎn)問題1．平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程為Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．2．垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程為Bx－Ay＋λ＝0.3．過兩條已知直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0)．知識點(diǎn)9點(diǎn)到直線的距離與兩條平行線間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點(diǎn)到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長度公式點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))1、求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意(1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0°，當(dāng)直線與x軸垂直時，傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°.2、利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(xiàng)(1)運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因?yàn)楫?dāng)直線與x軸垂直時，斜率是不存在的；(2)斜率公式與兩點(diǎn)P1，P2的先后順序無關(guān)，也就是說公式中的x1與x2，y1與y2可以同時交換位置．3、在0°≤α<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.傾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)4、斜率與傾斜角的關(guān)系1．由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tanα(α≠90°)解決．2．由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率運(yùn)用兩點(diǎn)斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．5、求直線的點(diǎn)斜式方程的方法步驟(1)求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟：定點(diǎn)(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)；(2)點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點(diǎn)P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．6、直線的斜截式方程的求解策略(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在．(2)用斜截式求直線方程，只要確定直線的斜率和截距即可，同時要特別注意截距和距離的區(qū)別；(3)直線的斜截式方程y＝kx＋b不僅形式簡單，而且特點(diǎn)明顯，k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距，只要確定了k和b的值，直線的圖象就一目了然．因此，在解決一次函數(shù)的圖象問題時，常通過把一次函數(shù)解析式化為直線的斜截式方程，利用k，b的幾何意義進(jìn)行判斷．7、求直線的兩點(diǎn)式方程的策略以及注意點(diǎn)(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過這兩點(diǎn)的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫方程．(2)由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時常會將字母或數(shù)字的順序錯位而導(dǎo)致錯誤．在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時，必須注意坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系．8、截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)(1)如果問題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可．(2)選用截距式直線方程時，必須首先考慮直線能否過原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直．(3)要注意截距式直線方程的逆向應(yīng)用．9、求直線一般式方程的策略(1)當(dāng)A≠0時，方程可化為x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，則方程化為eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需確定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值．因此，只要給出兩個條件，就可以求出直線方程．(2)在求直線方程時，設(shè)一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式．10、含參直線方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距．令y＝0可得在x軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式．(3)解分式方程要注意驗(yàn)根．11、利用直線的斜截式方程解決直線平行與垂直問題的策略已知直線l1：y＝k1x＋b1與直線l2：y＝k2x＋b2，(1)若l1∥l2，則k1＝k2，此時兩直線與y軸的交點(diǎn)不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2時，l1∥l2.所以有l(wèi)1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2.(2)若l1⊥l2，則k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1時，l1⊥l2.所以有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.注：若已知含參數(shù)的兩條直線平行或垂直，求參數(shù)的值時，要注意討論斜率是否存在，若是平行關(guān)系注意考慮b1≠b2這個條件．12、利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.13、與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法（1）由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫方程．（2）①可利用如下待定系數(shù)法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過的點(diǎn)確定C1；②與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過的點(diǎn)確定C2.14、利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟15、兩條直線相交的判定方法方法一：聯(lián)立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交．方法二：兩直線斜率都存在且斜率不等．16、過兩條直線交點(diǎn)的直線方程的求法(1)常規(guī)解法(方程組法)：一般是先解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．(2)特殊解法(直線系法)：運(yùn)用過兩直線交點(diǎn)的直線系方程：若兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交點(diǎn)，則過l1與l2交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為待定常數(shù)，不包括直線l2)，設(shè)出方程后再利用其他條件求解．17、計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法(1)對于任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)對于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．18、解決過定點(diǎn)問題常用的三種方法(1)特殊值法，給方程中的參數(shù)取兩個特殊值，可得關(guān)于x，y的兩個方程，從中解出的x，y的值即為所求定點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)斜式法，將含參數(shù)的直線方程寫成點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(diǎn)(x0，y0)．(3)分離參數(shù)法，將含參數(shù)的直線方程整理為過交點(diǎn)的直線系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，則該方程表示的直線必過直線A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)，而此交點(diǎn)就是定點(diǎn)．比較這三種方法可知，方法一計(jì)算較煩瑣，方法二變形較困難，方法三最簡便因而也最常用．19、應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個問題(1)直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式．(2)點(diǎn)P在直線l上時，點(diǎn)到直線的距離為0，公式仍然適用．(3)直線方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解．20、求兩條平行直線間距離的兩種方法(1)轉(zhuǎn)化法：將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離，即化線線距為點(diǎn)線距來求．(2)公式法：設(shè)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則兩條平行直線間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).21、中心對稱問題的兩種類型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱：若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))進(jìn)而求解．(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱，主要求解方法是：①在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；②求出一個對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．22、軸對稱問題的兩種類型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱：①若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．（關(guān)鍵詞：垂直、平分）設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.②若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，則，故可設(shè)的方程為，代入，即可求出m，聯(lián)立直線和的方程，求出兩條直線的交點(diǎn)，即為中點(diǎn)，進(jìn)一步利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求的坐標(biāo)(2)直線關(guān)于直線的對稱：①若直線與對稱軸平行，則在直線上取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，然后用點(diǎn)斜式求解．②若直線與對稱軸相交，則先求出交點(diǎn)，然后再取直線上一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，最后由兩點(diǎn)式求解．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、直線的傾斜角與斜率1．經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)數(shù)m的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直線的傾斜角是鈍角，則斜率小于0，列不等式解實(shí)數(shù)m的范圍【詳解】直線的傾斜角是鈍角，則直線斜率，解得或．故選：D．2.直線的傾斜角是直線的傾斜角的倍，與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于，試求和的值．【答案】或．【分析】利用斜率和傾斜角的關(guān)系得到，再利用三角形的面積公式求出，求解即可．【詳解】解：設(shè)直線的傾斜角為，則，直線的傾斜角是，，即，令，則，令，則，直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于，，即

，由解得或．3.圖中的直線的斜率分別為，則有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線斜率的概念，結(jié)合圖象，可直接得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得，，故選：C4.若直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，則l的斜率取值范圍為_________________；其傾斜角的取值范圍為_________________.【解析】

因?yàn)橹本€l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，所以l的斜率為，所以l的斜率取值范圍為，設(shè)其傾斜角為，，則，所以其傾斜角的取值范圍為，故答案為：，5.直線的傾斜角為，斜率為．若的取值范圍是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的范圍，結(jié)合已知確定的范圍.【詳解】由題設(shè)且，故.故選：D6.已知點(diǎn).若直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出直線恒過定點(diǎn)，然后畫圖觀察直線的變化時斜率的變化，再求的斜率，所以得答案.【詳解】即，又因?yàn)?，所以直線恒過定點(diǎn)，畫圖得直線要想與線段有交點(diǎn)，就需要繞著點(diǎn)，從直線開始逆時針旋轉(zhuǎn)到直線，則，所以直線斜率故選：A7.直線與的夾角為________．【解析】直線的斜率，即傾斜角滿足，直線的斜率，即傾斜角滿足，所以，所以，又兩直線夾角的范圍為，所以兩直線夾角為，故答案為：.考點(diǎn)二、兩條直線的平行和垂直8.【多選】已知兩條不重合的直線，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)直線的位置關(guān)系與斜率關(guān)系即可判斷.【詳解】對A，若，則，故A正確；對B，若，又兩直線不重合，則，故B正確；對C，若，則與不垂直，故C錯誤；對D，若，則，故D正確.故選：ABD.9.設(shè)，直線：，直線，若，則（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)直線平行或重合的條件列方程求，檢驗(yàn)排除重合的情形，可得的值.【詳解】若直線：與直線平行或重合則，解方程可得或，當(dāng)時，的方程為，的方程為，直線重合，所以不滿足條件，當(dāng)時，的方程為，的方程為，直線平行，所以滿足條件，故選：B．10.已知兩條直線：，：，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）因?yàn)閮蓷l直線：，：平行，則，解得或，當(dāng)時，直線重合，不符合題意，舍去，當(dāng)時，直線不重合，符合題意，故．（2）∵∴，解得11.已知、，直線，，且，則的最小值為（

）A． B．C． D．【解析】因?yàn)椤ⅲ本€，，且，所以，即，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為，故選：D考點(diǎn)三、直線的方程12.已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【解析】由題意知：直線的斜率為，則直線的方程為.故選：C.13.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，，則歐拉線的方程為______．【解析】因的頂點(diǎn)，，，則的重心，顯然的外心在線段AC中垂線上，設(shè)，由得：，解得：，即點(diǎn)，直線，化簡整理得：，所以歐拉線的方程為.故答案為：14.如果，，那么直線不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】直線變換為，確定，，得到直線不經(jīng)過的象限.【詳解】由可得，，因?yàn)?，，故?故直線不經(jīng)過第四象限.故選：D15.已知直線：，點(diǎn).(1)求過點(diǎn)且與平行的直線方程；(2)求過點(diǎn)且與垂直的直線方程.【答案】(1)(2).【分析】（1）（2）根據(jù)直線平行垂直的性質(zhì)，求出相應(yīng)的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式直線方程求解.【詳解】（1）易知直線的斜率為，設(shè)過點(diǎn)且與平行的直線的斜率為，則，直線的方程為，即；（2）易知直線的斜率為，設(shè)過點(diǎn)且與垂直的直線的斜率為，則，，直線的方程為，即；16.已知，，，在中：(1)求BC邊所在直線的方程；(2)求BC邊上的中線?高線所在直線的方程.【答案】(1)(2)BC邊上的中線方程為，高線方程為【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)式求解即可；（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得的中點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)式可得邊上的中線方程；根據(jù)直線垂直斜率的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)斜式可得BC邊上的高線方程.【詳解】（1）邊過兩點(diǎn)，，由兩點(diǎn)式，得直線方程為，即，故邊所在的直線方程為（2）設(shè)的中點(diǎn)為，則，，故，又邊的中線過點(diǎn)，所以，即，所以邊上的中線所在直線的方程為.又斜率為，故邊上高線的斜率為，又高線過，故邊上高線方程為，即.故邊上的高線方程為17.已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)（

）A．2或1 B．或 C． D．【答案】A【分析】由題意，分截距為零和不為零兩種情況，建立方程，可得答案.【詳解】由題意，當(dāng)截距為零時，則，解得；當(dāng)截距不為零時，整理截距式方程為，則，由，則解得.故選：A.18.過點(diǎn)且橫、縱截距的絕對值相等的直線其條數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別討論直線過坐標(biāo)原點(diǎn)、橫縱截距相等且不為零、橫縱截距互為相反數(shù)且不為零的情況，結(jié)合直線截距式和所過點(diǎn)坐標(biāo)求得直線方程，由此可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)過點(diǎn)的直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時，直線方程為，滿足題意；當(dāng)過點(diǎn)的直線的橫、縱截距相等且不為零時，設(shè)其方程為：，則，直線方程為；當(dāng)過點(diǎn)的直線的橫、縱截距互為相反數(shù)且不為零時，設(shè)其方程為：，則，直線方程為.綜上所述：滿足題意的直線條數(shù)為.故選：C.考點(diǎn)四、動直線恒過定點(diǎn)問題及其應(yīng)用19.不論為何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)_________.【答案】【分析】直線方程轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)直線系方程求解即可.【詳解】解：將直線方程轉(zhuǎn)化為，所以直線過直線與的交點(diǎn)，所以，聯(lián)立方程，解得所以，直線恒過定點(diǎn)故答案為：20.已知直線的方程為：.(1)求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）列出方程，分別令，可求出定點(diǎn)；（2）令令，表達(dá)出三角形面積后，利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）證明：原方程整理得：．由，可得，不論為何值，直線必過定點(diǎn).（2）設(shè)直線的方程為．令令．．當(dāng)且僅當(dāng)，即時，三角形面積最?。畡t的方程為．21.點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】由題意，求得直線所過定點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間距離公式，可得答案.【詳解】由直線，整理可得，令，解得，點(diǎn)到直線距離的最大值為點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，則，故選：D.考點(diǎn)五、直線的交點(diǎn)問題22.已知直線，，則過和的交點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．【解析】由于所求出直線與直線垂直，所以設(shè)所求直線為，由，得，即和的交點(diǎn)為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，得，所以所求直線方程為，故選：D23.點(diǎn)為軸上的點(diǎn)，，，以，，為頂點(diǎn)的三角形的面積為8，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．或 B．或C．或 D．或【解析】設(shè)，直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，，所以，解得：或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：A24.平行四邊形的四邊所在的直線分別是：，，(1)求直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求平行四邊形的面積．【答案】(1)；(2)9.【分析】（1）聯(lián)立直線方程求出交點(diǎn)的坐標(biāo);（2）由頂點(diǎn)坐標(biāo)求出一條邊的長度，再根據(jù)兩平行直線之間的距離公式可求平行四邊形的高，從而求得平行四邊形的面積．【詳解】（1）設(shè)和的交點(diǎn)為A，由，解得；（2）如圖，易知∥，∥，設(shè)和的交點(diǎn)為B，由，解得，由（1）知，∴．與的距離，∴平行四邊形的面積為．25.【多選】若直線，，不能構(gòu)成三角形，則m的取值可能為（

）．A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由已知可得出不能構(gòu)成三角形的條件，分個討論即可得到.【詳解】因?yàn)橹本€，，不能構(gòu)成三角形，所以存在，，過與的交點(diǎn)三種情況.顯然，.則直線的斜率分別為，，.當(dāng)時，有，即，解得；當(dāng)時，有，即，解得；當(dāng)過與的交點(diǎn)時.先聯(lián)立，解得，則與的交點(diǎn)為，代入，得，解得．綜上：或或．故選：ABD．考點(diǎn)六、直線的距離問題26.已知點(diǎn)A、B是直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得.【詳解】由，令，得，設(shè)；令，得，設(shè).所以.故選：A27.已知直線l與x軸和y軸分別交于A，B兩個點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出直線l的方程根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可得表示原點(diǎn)與點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得出答案.【詳解】解：直線l的方程為，即，表示原點(diǎn)與點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離，則的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，為.故選：D.28.求點(diǎn)（2,）到直線的距離為______【答案】【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式即可求得.【詳解】由點(diǎn)到直線的距離公式可得.故答案為：29.已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【分析】分在的同側(cè)和異側(cè)分類討論求解.【詳解】（1）若在的同側(cè)，則，所以，，（2）若在的異側(cè)，則的中點(diǎn)在直線上，所以解得,故選:D.30.已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為________．【解析】可以理解為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，又∵點(diǎn)在直線上，∴的最小值等于點(diǎn)到直線的距離，且.故答案為：.31.兩條平行直線與間的距離為_______．【答案】【分析】根據(jù)兩平行直線間的距離公式求得正確答案.【詳解】依題意可知，兩直線的距離為.故答案為：32.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)線線平行公式可得，再根據(jù)平行線間的距離公式求解即可.【詳解】直線與直線平行，∴，解得，故直線為直線，化簡得，∴它們之間的距離為．故選：B．考點(diǎn)七直線的對稱問題33.點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用中點(diǎn)和斜率來求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得．所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：A34.直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【分析】首先設(shè)對稱直線上任意一點(diǎn)，得到關(guān)于對稱點(diǎn)為，再代入直線即可得到答案?！驹斀狻吭O(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線上任意一點(diǎn)，則關(guān)于對稱點(diǎn)為，又因?yàn)樵谏?，所以，即。故選：B35.已知直線，，．（1）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程；（2）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由于，所以，可設(shè)的方程為，在直線上取點(diǎn)，求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，代入方程，即得解；（2）與的交點(diǎn)坐標(biāo)為也在上，另取上不同于的一點(diǎn)，求出關(guān)于的對稱點(diǎn)為，利用兩個點(diǎn)坐標(biāo)求出直線方程，即得解【詳解】（1）因?yàn)?，所以．設(shè)直線的方程為（，且）．在直線上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，得，解得，所以直線的方程為．（2）由，得，所以與的交點(diǎn)坐標(biāo)為．另取上不同于A的一點(diǎn)，設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．所以過與的直線的方程為，即．36.已知兩點(diǎn)A（2，3），B（3，2），點(diǎn)C在x軸上，則的最小值為（

）A． B．5 C．2 D．【答案】B【分析】點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則求出最小值即可得出答案.【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，則，所以，的最小值為.故選：B.考點(diǎn)八、直線的綜合問題37.【多選】已知直線l在x軸，y軸上的截距分別為1，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線l的方程為B．過點(diǎn)O且與直線l平行的直線方程為C．若點(diǎn)到直線l的距離為，則D．點(diǎn)O關(guān)于直線l對稱的點(diǎn)為【答案】ABD【分析】對A，由截距式可求；對B，由點(diǎn)斜式可求；對C，由點(diǎn)線距離公式可求；對D，兩對稱點(diǎn)連線與直線l垂直，且兩對稱點(diǎn)中點(diǎn)過直線l.【詳解】對A，直線l在x軸，y軸上的截距分別為1，，直線l的方程為，即，A對；對B，直線l斜率為1，故過點(diǎn)O且與直線l平行的直線方程為，即，B對；對C，點(diǎn)到直線l的距離為，故或0，C錯；對D，點(diǎn)O關(guān)于直線l對稱的點(diǎn)滿足，解得，故該點(diǎn)為，D對.故選：ABD38.已知直線方程為．(1)若直線的傾斜角為，求的值；(2)若直線分別與軸、軸的負(fù)半軸交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值及此時直線的方程．【解析】(1)由題意可得.(2)在直線的方程中，令可得，即點(diǎn)，令可得，即點(diǎn)，由已知可得，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時直線的方程為，即.39.【多選】對于直線.以下說法正確的有（

）A．的充要條件是B．當(dāng)時，C．直線一定經(jīng)過點(diǎn)D．點(diǎn)到直線的距離的最大值為5【解析】當(dāng)時，解得或，當(dāng)時，兩直線為，符合題意；當(dāng)時，兩直線為，符合題意，故A錯誤；當(dāng)時，兩直線為，，所以，故B正確；直線即直線，故直線過定點(diǎn)，C錯誤；因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，當(dāng)直線與點(diǎn)和的連線垂直時，到直線的距離最大，最大值為，故D正確，故選：BD.過關(guān)檢測一、單選題1．若直線l的傾斜角為，則它的方向向量可以為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由傾斜角求出斜率，再根據(jù)斜率的定義求出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)橹本€l的傾斜角為，所以，由斜率的定義可知，取，解得一組解可以是，所以直線的一個方向向量可以是，故選：B2．直線的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．120° D．150°【答案】C【分析】由直線方程得斜率，再求傾斜角即可.【詳解】由直線得，，設(shè)直線的傾斜角為，，則直線斜率為，則.故選：C.3．兩條平行直線與之間的距離為（

）A． B． C．7 D．【答案】D【分析】利用平行線之間的距離公式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，整理：，代入平行直線距離公式，則.故選：D4．點(diǎn)到直線距離的最大值為（

）A．5 B． C． D．3【答案】A【分析】首先確定直線所過的定點(diǎn)，再利用數(shù)形結(jié)合求點(diǎn)到直線的距離的最大值.【詳解】直線：，令，，得直線過定點(diǎn)，所以直線表示過定點(diǎn)的直線，如圖，當(dāng)時，表示點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)不垂直于時，表示點(diǎn)到直線的距離，顯然，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為,所以點(diǎn)到直線距離的最大值為.故選：A5．，，若，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線垂直的充要條件列出方程結(jié)合特殊三角函數(shù)值運(yùn)算即可.【詳解】由題意，則當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得.故選：C.6．過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用直線的平行系方程及點(diǎn)在直線上即可求解.【詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以所求直線的方程為.故選：A.7．已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，題意可轉(zhuǎn)化成求與的距離和與的距離之和的最小值，求出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，故，即可求出答案【詳解】設(shè)點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，由可看作與的距離和與的距離之和，設(shè)點(diǎn)則點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，故，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，取等號，所以的最小值為.故選：C8．一條光線從射出，經(jīng)直線后反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求出關(guān)于的對稱點(diǎn)，然后根據(jù)兩點(diǎn)式求解直線方程即可；【詳解】設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則有，解得：，即，反射光線所在直線為，整理得：故選：B．9．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則＝（）A． B．－C． D．－【答案】C【分析】根據(jù)直線的垂直關(guān)系，可求得垂直直線的斜率；由斜率與傾斜角關(guān)系，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式中齊次式化簡方法可求得式子的值．【詳解】直線的斜率為，因此與此直線垂直的直線的斜率，，∴，把代入得，原式.故選：C．10．已知直線：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線的傾斜角是B．若直線，則C．點(diǎn)到直線的距離是1D．過與直線平行的直線方程是【答案】D【分析】求解直線的傾斜角判斷A；利用直線的斜率乘積判斷B；點(diǎn)到直線的距離判斷C；求解直線方程判斷D．【詳解】直線，直線的斜率為：，所以直線的傾斜角為：，所以A不正確；直線的斜率為：，兩條直線不垂直，所以B不正確；點(diǎn)到直線的距離是：，所以C不正確；過與直線平行的直線方程是，正確，所以D正確；故選：D．二、多選題11．已知兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線：上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．存在使最小 B．存在使最小C．存在使最小 D．存在使最小【答案】ABD【分析】A：先求關(guān)于的對稱點(diǎn)，根據(jù)與的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷；B：設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解出取最小值時點(diǎn)坐標(biāo)；C：結(jié)合圖示進(jìn)行分析判斷；D：根據(jù)絕對值的特點(diǎn)先判斷出取最小值時點(diǎn)的位置，然后聯(lián)立對應(yīng)直線方程求解出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】對于A：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)為與交點(diǎn)時滿足題意，又因?yàn)?，即，所以，所以，所以，故A正確；對于B：設(shè)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時有最小值，此時，所以，故B正確；對于C：如下圖，根據(jù)與的位置關(guān)系可判斷出有最大值，無最小值，故C錯誤；對于D：因?yàn)?，取等號時，即為垂直平分線與的交點(diǎn)，因?yàn)榇怪逼椒志€方程為，即，所以，所以，所以，故D正確；故選：ABD.12．已知直線，直線，則（

）A．當(dāng)時，與的交點(diǎn)是 B．直線與都恒過C．若，則 D．，使得平行于【答案】ABC【分析】將代入，聯(lián)立兩直線方程即可求得交點(diǎn)，則A可解；由直線過定點(diǎn)問題可求B；由兩直線垂直時的斜率之積為可解C，注意討論斜率為0和斜率不存在的情況；由兩直線平行得到關(guān)于a的方程，解方程可得a值，再代入驗(yàn)證兩直線是否重合即可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，，，，解得，故交點(diǎn)為，即A正確；對于B，，恒過定點(diǎn)，，，解得，，也過定點(diǎn)，故B正確；對于C，當(dāng)時，與不垂直，當(dāng)時，由可得，解得，故C正確；對于D，由可得，解得或，當(dāng)時，，，兩直線重合，不符合題意，當(dāng)時，，，兩直線重合，不符合題意，故D錯誤；故選：ABC.三、填空題13．已知點(diǎn)，，則．【答案】【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故答案為：14．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程【答案】或【分析】設(shè)直線方程為，由直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等列方程求出即可.【詳解】過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，所以直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，令，得到；令，得到，所以，解得或，所以直線方程為或．故答案為：或.15．求過兩條直線和的交點(diǎn)，且與平行的直線方程.【答案】【分析】求出兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，代入點(diǎn)求出，得到答案.【詳解】聯(lián)立，解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為，將代入得，解得，故所求直線方程為.故答案為：16．已知點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，則的取值范圍是.【答案】【分析】作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，過的中點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時，取最小值；當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，取最大值，進(jìn)而求解即可.【詳解】作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則，過的中點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時，，此時；當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，，所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題17．直線l的方程為．（1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；（2）若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）0或2；（2）．【分析】（1）當(dāng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時，可求得滿足題意；當(dāng)不過坐標(biāo)原點(diǎn)時，可根據(jù)直線截距式，利用截距相等構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）當(dāng)時，可得直線不經(jīng)過第二象限；當(dāng)時，結(jié)合函數(shù)圖象可知斜率為正，且在軸截距小于等于零，從而構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時，，解得：，滿足題意當(dāng)不過坐標(biāo)原點(diǎn)時，即時若，即時，，不符合題意若，即時，方程可整理為：，解得：綜上所述：或（2）當(dāng)，即時，，不經(jīng)過第二象限