虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計算

第5章虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計算§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移a）驗算結(jié)構(gòu)的剛度；b）為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打基礎(chǔ)；c）建筑起拱。MQNkγε↓↓↓↓↓↓↓↓↓-t+t不產(chǎn)生內(nèi)力，產(chǎn)生變形產(chǎn)生位移b）溫度改變和材料脹縮；c）支座沉降和制造誤差；不產(chǎn)生內(nèi)力和變形產(chǎn)生剛體移動位移是幾何量，可用幾何法求，如lD=bxdwd=k22βΔ虛功法，理論基礎(chǔ)是虛功原理a）荷載作用；2、產(chǎn)生位移的原因主要有三種：

計算位移時，常假定：1）σ=Eε；2）小變形；3）具有理想約束的體系。即：線彈性體系。荷載與位移成正比，計算位移可用疊加原理。1、計算位移有三個目的：如屋架在豎向荷載作用下，下弦各結(jié)點產(chǎn)生虛線所示位移

將各下弦桿做得比實際長度短些，拼裝后下弦向上起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計的水平位置。abABCP=1ABCab已知求虛功方程設(shè)虛力狀態(tài)小結(jié)：（1）形式是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程；（2）在擬求位移方向虛設(shè)一單位力，利用平衡條件求出與已知位移相應(yīng)的支座反力。構(gòu)造一個平衡力系；（3）特點是用靜力平衡條件解決幾何問題。單位荷載其虛功正好等于擬求位移。3、虛功原理的另一種應(yīng)用形式——虛力原理4、支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算（1）C點的豎向位移（2）桿CD的轉(zhuǎn)角ABCDABCD1ABCD1已知位移求:

所得正號表明位移方向與假設(shè)的單位力方向一致。求解步驟（1）沿所求位移方向加單位力，求出虛反力；（3）解方程得定出方向。（2）建立虛功方程§5-2結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式——單位荷載法

結(jié)構(gòu)發(fā)生位移，一般情況下內(nèi)部也同時產(chǎn)生應(yīng)變。因此，結(jié)構(gòu)的位移計算問題，一般屬于變形體體系的位移計算問題。計算變形體體系的位移要復(fù)雜一些，采用方法仍然以虛功法最為普遍。推導(dǎo)位移計算公式的兩種途徑{由變形體虛功原理來推導(dǎo)；由剛體虛功原理來推導(dǎo)－局部到整體。

按第二種途徑計算變形體體系位移，推導(dǎo)結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式，可按下列步驟進行：先導(dǎo)出局部變形時的位移公式，然后應(yīng)用疊加原理，導(dǎo)出整體變形時的位移公式。1、局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算舉例設(shè)靜定結(jié)構(gòu)中某個微段出現(xiàn)局部變形（由于制造誤差或其他原因造成微段的彎曲、剪切、拉伸變形），微段兩端相鄰截面出現(xiàn)相對位移（角位移、線位移），而結(jié)構(gòu)的其他部分沒有變形、仍舊是剛體。BABA1AB

虛功方程：BA

BA1

A

例1、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)角d

，試求A點在i-i方向的位移。

例2、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對剪位移d

，試求A點在i-i方向的位移。

例3、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生軸向位移d

，

試求A點在i-i方向的位移。BABA

BA

1由平衡條件：虛功方程：

當(dāng)截面B同時產(chǎn)生三種相對位移時，在i-i方向所產(chǎn)生的位移，即是三者的疊加，有：2、局部變形時的位移公式基本思路：dsR

dsdsRds（1）三種變形：在剛性桿中，取微段ds設(shè)為變形體，分析局部變形所引起的位移。dsR

dsdsRds

1（2）微段兩端相對位移：續(xù)基本思路：設(shè)

微段的變形以截面B左右兩端的相對位移的形式出現(xiàn)，即剛體位移，于是可以利用剛體虛功原理求位移。（3）應(yīng)用剛體虛功原理求位移d

－即前例的結(jié)論?；?、結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式

一根桿件各個微段變形引起的位移總和：如果結(jié)構(gòu)由多個桿件組成，則整個結(jié)構(gòu)變形引起某點的位移為：若結(jié)構(gòu)的支座還有位移，則總的位移為：適用范圍與特點：2）形式上是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程。關(guān)于公式普遍性的討論：（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。（2）變形原因：荷載與非荷載。（3）結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。（4）材料種類：各種變形固體材料。1）適于小變形，可用疊加原理。位移計算公式也是變形體虛功原理的一種表達式。dsdsK1dsdsdsdsdsdsds外虛功：內(nèi)虛功：變形體虛功原理：各微段內(nèi)力在應(yīng)變上所作的內(nèi)虛功總和Wi，等于荷載在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虛功總和We。即：4、結(jié)構(gòu)位移計算的一般步驟:K1實際變形狀態(tài)虛力狀態(tài)(1)建立虛力狀態(tài)：在待求位移方向上加單位力；(2)求虛力狀態(tài)下的內(nèi)力及反力表達式;(3)用位移公式計算所求位移，注意正負(fù)號問題。5、廣義位移的計算作功的兩方面因素：力、位移。與力有關(guān)的因素，稱為廣義力S。與位移有關(guān)的因素，稱為廣義位移Δ。廣義力與廣義位移的關(guān)系是：它們的乘積是虛功。即：T=SΔ1）廣義力是單個力，則廣義位移是該力的作用點的位移在力作用方向上的分量PΔmβ2）廣義力是一個力偶，則廣義位移是它所作用的截面的轉(zhuǎn)角β。3）若廣義力是等值、反向的一對力PPPttABΔBΔA這里Δ是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。表示AB兩點間距的改變，即AB兩點的相對位移。4）若廣義力是一對等值、反向的力偶mABΔmm

A

B這里Δ是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。表示AB兩截面的相對轉(zhuǎn)角。§3-8、剛體體系的虛功原理：設(shè)體系上作用任意的平衡力系，又設(shè)體系發(fā)生符合約束條件的無限小剛體位移，則主動力在位移上所作的虛功總和恒等于零。虛力原理：§5-8、變形體的虛功原理：設(shè)變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，又設(shè)變形體由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)變形，則外力在位移上所作的外虛功總和恒等于各個微段切割面上的應(yīng)力合力在應(yīng)變上所作的內(nèi)虛功總和。結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式：§5-3荷載作用下的位移計算研究對象：靜定結(jié)構(gòu)、線性彈性材料。重點在于解決荷載作用下應(yīng)變的表達式。1、計算步驟（1）在荷載作用下建立的方程，可經(jīng)由荷載內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)變過程推導(dǎo)應(yīng)變表達式。（2）由上面的內(nèi)力計算應(yīng)變，其表達式由材料力學(xué)知k--為截面形狀系數(shù)1.2(3)荷載作用下的位移計算公式2、各類結(jié)構(gòu)的位移計算公式（1）梁與剛架（2）桁架（4）拱（3）桁梁混合結(jié)構(gòu)已知：EI為常數(shù)。求：qlAx解：§5-4荷載作用下的位移計算舉例1、梁的位移計算qACB(a)實際狀態(tài)P=1ACB(b)虛設(shè)狀態(tài)AC段CB段例1.試計算懸臂梁A點的豎向位移。1）列出兩種狀態(tài)的內(nèi)力方程：AC段CB段2)將上面各式代入位移公式分段積分計算AC段在荷載作用下的內(nèi)力均為零，故積分也為零。CB段CB段設(shè)為矩形截面k=1.23）討論剪切變形與彎曲變形對位移的影響。設(shè)材料的泊松比,由材料力學(xué)公式。設(shè)矩形截面寬度為b、高度為h，則有代入上式圖示屋架的壓桿采用鋼筋混凝土桿，拉桿采用鋼桿。求C的豎向位移。柱↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q解：1)將q化為結(jié)點荷載P=ql/4-4.74P-4.42P4.5P3.0P2)求3)求NPPPPP/2P/20.287l0.25l0.222l0.25l0.263l0.263lADCEGBFl/12l/122P2P2桁架的位移計算ADCEGBF11/21/21.501.50-1.58-1.58002)求4)求ΔC材料桿件NPAlNEAlNNP鋼筋混凝土鋼筋A(yù)DCDDECEAEEG－1.58－1.5001.501.50－4.74P－4.42P4.50P3.00P0.263l0.263l0.088l0.278l0.278l0.222lAbAb0.75AbAg3Ag2Ag1.97Pl/AbEb1.84Pl/AbEb000.63Pl/AgEg0.5Pl/AgEgΔC=Pl(3.81/AbEb+1.13/AgEg)·23)求NPPP=1例：求圖示曲桿（1/4圓?。╉旤c的豎向位移Δ。解：1）虛擬單位荷載qcos=Qq

sin-=Nqsin-=RMqcos=PQPqsin-=PNPqsin-=PRMP虛擬荷載3）位移公式為QNMD+D+D=PPPGAdsQQEAdsNNEIdsMM++=DòòòGAPREAPREIPR++=D4443pkppds=Rdθθdθds2）實際荷載dGAPRdEAPREIPR+??è???+=òòcossin20203qqkqqpp22òkidsEIMMòT=kiCEIdxMMEI1?ò?==DPEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAkdxxMtgEI1aòTBAkMdxxtgMEIi1a是直線òTkidxEIMM直桿αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0ω注：①∑表示對各桿和各桿段分別圖乘再相加。②圖乘法的應(yīng)用條件：a）EI=常數(shù)；b）直桿；c）兩個彎矩圖至少有一個是直線。③豎標(biāo)y0取在直線圖形中，對應(yīng)另一圖形的形心處。④面積ω與豎標(biāo)y0在桿的同側(cè)，ωy0

取正號，否則取負(fù)號。y0=x0tgα§5-5圖乘法⑤幾種常見圖形的面積和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次拋物線ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線ω=hl/3二次拋物線ω=2hl/34l/5l/5hh三次拋物線ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線ω=hl/(n+1)頂點頂點頂點頂點頂點⑥當(dāng)圖乘法的適用條件不滿足時的處理方法：a）曲桿或EI=EI（x）時，只能用積分法求位移；b）當(dāng)EI分段為常數(shù)或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4ql2/2

MPMPP=1l

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqAB例：求梁B段轉(zhuǎn)角。例：求梁B點豎向位移。3l/4M、MP均非直線時，應(yīng)分段圖乘再疊加。PPaaa例：求圖示梁中點的撓度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求圖示梁C點的撓度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×??llEIyC22210?è?××==Dw5Pl/6？？圖乘法位移計算舉例?ò?==DPEIydxEIMM0w①∑表示對各桿和各桿段分別圖乘而后相加。②圖乘法的應(yīng)用條件：③豎標(biāo)y0④面積ω與豎標(biāo)y0在桿的同側(cè)，ωy0

取正號，否則取負(fù)號。⑤幾種常見圖形的面積和形心的位置：h3l/4l/4二次拋物線ω=hl/3頂點l/2l/2h二次拋物線ω=2hl/3頂點

a）EI=常數(shù)；b）直桿；c）兩個彎矩圖至少有一個是直線。取在直線圖形中，對應(yīng)另一圖形的形心處。⑥當(dāng)圖乘法的適用條件不滿足時的處理方法：a）曲桿或EI=EI（x）時，只能用積分法求位移；b）當(dāng)EI分段為常數(shù)或M、MP均非直線時，應(yīng)分段圖乘再疊加。⑦非標(biāo)準(zhǔn)圖形乘直線形a）直線形乘直線形abdcl/3l/3l/3ω1ω1y1y2()bcadbdacl+++=226??dc?è?+323bl+2dc???è?+332al=2òyydxMMki+=2211wwMiMk各種直線形乘直線形，都可以用該公式處理。如豎標(biāo)在基線同側(cè)乘積取正，否則取負(fù)。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）=111（1）32649S=9/6×（－2×6×2+2×0×3+6×3－0×2）=－9S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）=332364（2）9（3）2369＝labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=b)非標(biāo)準(zhǔn)拋物線成直線形↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPP=111lω1y1ω2y2ω2y3B23=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222=????è?++=EIqllqllqllqlEI()1332211++=DMyyyEIwwwNP=ql/2NP=0900193434832101222122423=====DD=lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122=××==D?PNEAqlEAlqlEAlNNP=1MPql2/2

ll/2AB2EIEIl/2求B點的豎向位移。EIql256174=lllqlEI25.023232212+·-lqllqllqllqllEI8222822265.0212222ú?ù++ê?é++lqlEIlB432831122··=DEIqlllqlEIB843231142=·=Dq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？ql2/8l/2ql2/32y0dxMMEIlPò+021dxMMEIEIlPò????è?-=021111dxEIMMdxEIMMlPlPòò＋020211dxEIMMdxEIMMllPlPVBòò+=D20111上式中的兩項積分都是標(biāo)準(zhǔn)圖形相乘。如l1=l/2，EI2=2EI1，則1325617EIql=214323121llqlEI·+2112432831211llqlEIEIVB··????è?-=DMPP=1xl1l↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABEI2EI1ql2/2lql2/8l/2－aEI2aEI1allEI2aEI2—+allEI2aEI1=aEI1òò-+llPllPdxEIMMdxEIMM1111òò+=llPlPdxEIMMdxEIMM11201òò+=DllPlPdxEIMMdxEIMM11201()ò-－llPdxMMMEI1211ò=lPdxMMEI011MPMPx↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qll11M1M2例：試求等截面簡支梁C截面的轉(zhuǎn)角。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql/54l/52ql2/25ql2/8MP11/54/51=qllqll125853225252122ú?ù·????è?···+··-lqlEIC2183212ê?é···=qEIql100333=1）溫度改變對靜定結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力，材料為自由脹縮。2）溫度沿截面高度為線性分布。t1t2t0hh1h2t0=（h1t2+h2t1）/hΔt=t2-t13）微段的變形

dsdθat0dsk=d

/ds=a（t2-t1）ds/hds

=

a

t/hγ=0?ò?òD±=dsMhtdsNtaa0?ò?òD±=DdshtMdstNaa0該公式僅適用于靜定結(jié)構(gòu)e=at0at1dsat2ds§5-6溫度作用時的結(jié)構(gòu)位移計算

求圖示剛架C點的豎向位移，各桿截面為矩形。aa0

+10

+10

CP=1P=1－1aN支座移動，不產(chǎn)生內(nèi)力和變形，所以e=0，k=0，g=0。代入：得：，僅適用于靜定結(jié)構(gòu)abl/2l/2h11支座移動產(chǎn)生的位移計算1h1h00例：求CBAFP=1虛擬力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)實際位移狀態(tài)CBAll解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)()FAyFAx例：已知l=12m,h=8m,

求例：求實際位移狀態(tài)CBAllFP=1解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)CBA虛擬力狀態(tài)FP=1同時考慮荷載、溫度和支座位移影響應(yīng)用條件：1)應(yīng)力與應(yīng)變成正比;2)變形是微小的。即：線性變形體系。P1P2①F1F2②N1M1Q1N2M2Q21、功的互等定理?ò???è?++dsGAQkQEIMMEANN121212?=D=FW1221?ò

???è?++=dsGAQkQEIMMEANN212121?D=PW2112在任一線性變形體系中，狀態(tài)①的外力在狀態(tài)②的位移上作的功W12等于狀態(tài)②的外力在狀態(tài)①的位移上作的功W21。即：W12=W21§5-9互等定理2、位移互等定理P1①P2②在任一線性變形體系中，由荷載P1所引起的與荷載P2相應(yīng)的位移影響系數(shù)δ21

等于由荷載P2所引起的與荷載P1相應(yīng)的位移影響系數(shù)δ12

?；颍河蓡挝缓奢dP1=1所引起的與荷載P2相應(yīng)的位移δ21等于由單位荷載P2=1所引起的與荷載P1相應(yīng)的位移δ12

。

21

122112dd=jijijPdD=PPD=D121212PPD=D212121：位移影響系數(shù)，等于Pj=1所引起的與Pi相應(yīng)的位移。注：1）荷載可是廣義荷載，位移是相應(yīng)的廣義位移。

2）δ12與δ21數(shù)值相等，量綱相同。3、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr=cRcR=212121RcR×+×=221120cRR×+×221110：反力影響系數(shù)，等于cj=1所引起的與ci相應(yīng)的反力。在任一線性變形體系中，由位移c1所引起的與位移c2相應(yīng)的反力影響系數(shù)