八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊專題13.1 軸對稱+專題13.2 畫軸對稱圖形（教師版）

專題13.1軸對稱+專題13.2畫軸對稱圖形目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1.理解軸對稱圖形與兩個(gè)圖形成軸對稱的概念，弄清他們之間的區(qū)別與聯(lián)系；2.掌握軸對稱的性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)解決簡單的數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題；3.理解線段的垂直平分線的概念，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定；4.會(huì)用尺規(guī)作出線段的垂直平分線，能運(yùn)用線段的垂直平分線解決實(shí)際問題。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01軸對稱及其性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)】軸對稱圖形的定義：一個(gè)圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，該直線就是它的對稱軸.注意：軸對稱圖形是指一個(gè)圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個(gè)軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.軸對稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱（或說這兩個(gè)圖形成軸對稱），這條直線叫做對稱軸．折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，也叫對稱點(diǎn)

注意：軸對稱指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，兩個(gè)圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合．成軸對稱的兩個(gè)圖形一定全等.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別主要是：軸對稱是指兩個(gè)圖形，而軸對稱圖形是一個(gè)圖形；軸對稱圖形和軸對稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對稱圖形；反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（原對稱軸）對稱.軸對稱、軸對稱圖形的性質(zhì)

軸對稱的性質(zhì)：若兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．【知識(shí)拓展1】辨別軸對稱圖形例1．（2022·江蘇鹽城·中考真題）下列四幅照片中，主體建筑的構(gòu)圖不對稱的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、主體建筑的構(gòu)圖對稱，故本選項(xiàng)不符合題意；B、主體建筑的構(gòu)圖不對稱，故本選項(xiàng)符合題意；C、主體建筑的構(gòu)圖對稱，故本選項(xiàng)不符合題意；D、主體建筑的構(gòu)圖對稱，故本選項(xiàng)不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，熟練掌握若一個(gè)圖形沿著一條直線折疊后兩部分能完全重合，這樣的圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022·海南·八年級(jí)期末）2022年冬奧會(huì)在北京舉行，以下歷屆冬奧會(huì)會(huì)徽是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：選項(xiàng)A、C、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項(xiàng)B能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是正確確定對稱軸位置．【知識(shí)拓展2】生活中的軸對稱（鏡面、剪紙等）例2．（2022·河北八年級(jí)期末）如圖是臺(tái)球桌面示意圖，陰影部分表示四個(gè)入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（）A．1號(hào)袋 B．2號(hào)袋 C．3號(hào)袋 D．4號(hào)袋【答案】B【分析】利用軸對稱畫圖可得答案．【詳解】解：如圖所示，，球最后落入的球袋是2號(hào)袋，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象，關(guān)鍵是正確畫出圖形．【即學(xué)即練】1．（2022·江西上饒·八年級(jí)期末）剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)．將一張正方形紙片按圖1，圖2中的方式沿虛線依次對折后，再沿圖3中的虛線裁剪，最后將圖4中的紙片打開鋪平，所得圖案應(yīng)該是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】依據(jù)翻折變換，將圖4中的紙片按順序打開鋪平，即可得到一個(gè)圖案．【詳解】解：將圖4中的紙片打開鋪平，所得圖案應(yīng)該是：故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了剪紙問題，解決這類問題要熟知軸對稱圖形的特點(diǎn)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確地找到對稱軸．一般方法是動(dòng)手操作，拿張紙按照題目的要求剪出圖案，展開即可得到正確的圖案．2．（2022·浙江溫州·一模）某電梯中一面鏡子正對樓層顯示屏，顯示屏中顯示的是電梯所在樓層號(hào)和電梯運(yùn)行方向．當(dāng)電梯中鏡子如圖顯示時(shí)，電梯所在樓層號(hào)為______．【答案】15【分析】根據(jù)鏡面成像的原理：左右相反，即可得到答案．【詳解】解：由鏡面成像的原理可知電梯所在的樓層為15，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了鏡面成像，熟知鏡面成像的原理是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展3】利用軸對稱的性質(zhì)求角度（長度）例3．（1）（2022·河南·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，和關(guān)于直線AB對稱，和關(guān)于直線AC對稱，CD與AE交于點(diǎn)F，若，，則的度數(shù)為________．【答案】105°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠BAC，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求得∠DAE和∠EAC，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求得∠CFE．【詳解】解：∵，，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=135°，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知∠BAE=∠DAC=∠BAC=135°，∠DCA=∠ACB=15°，∴∠DAE=∠BAE+∠DAC+∠BAC-360=45°，∴∠EAC=∠DAC-∠DAE=90°，∴．故答案為：105°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．掌握軸對稱圖形對應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．（2）（2022?，綿陽市八年級(jí)期末）如圖所示，點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對稱點(diǎn)分別為C、D，連接CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周長為8cm，則CD為cm．【分析】由軸對稱的性質(zhì)可知PM＝CM，PN＝DN，再由△PMN的周長為8cm，即可求得CD的長度．【解答】解：∵點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對稱點(diǎn)分別為C、D，∴PM＝CM，PN＝DN，∴PN+PN+MN＝CM+DN+MN，∴△PMN的周長＝CD，∵△PMN的周長為8cm，∴CD＝8cm，故答案為：8．【即學(xué)即練】1.（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線成軸對稱，AO的延長線交BC于點(diǎn)D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，則∠ADC＝°．【分析】根據(jù)∠ADC＝∠A+∠ABD，求出∠A，∠ABD即可．【解答】解：∵△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線成軸對稱，∴△AOB≌△COB，∴∠A＝∠C＝20°，∠ABO＝∠CBO，∵∠BOD＝∠A+∠ABO，∴∠ABO＝∠BOD﹣∠ABO＝46°﹣20°＝26°，∴∠ABD＝2∠ABO＝52°，∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝20°+52°＝72°，故答案為：72．2.（2022?深圳模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對稱．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，則△DBE的周長為（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到：AD＝DE，AC＝CE，結(jié)合已知條件和三角形周長公式解答．【解答】解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對稱，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，∴△DBE的周長＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故選：B．知識(shí)點(diǎn)02垂直平分線的性質(zhì)與判定【知識(shí)點(diǎn)】定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．性質(zhì)1：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；

性質(zhì)2：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．注意：線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時(shí)也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心.【知識(shí)拓展1】利用垂直平分線求角度（長度）例1.（1）（2022?成都市高新區(qū)八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F，連接AE、AF，若△AEF的周長為2，則BC的長是（）A．2 B．3 C．4 D．無法確定【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，根據(jù)三角形的周長公式即可求出BC．【解答】解：∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，∴EA＝EB，∵AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F．∴FA＝FC，∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+FC＝△AEF的周長＝2．故選：A．（2）（2022?綿陽市八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點(diǎn)，若∠BOC＝100°，則這兩條垂直平分線相交所成銳角α的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．80°【分析】連接OA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出OA＝OB＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，求出∠BAC，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出答案即可．【解答】解：連接OA，∵點(diǎn)O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點(diǎn)，∴OA＝OB，OB＝OC，∴OA＝OB＝OC，∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠OCB，∠CAO＝∠ACO，∵∠BOC＝100°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣100°＝80°，∴∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝100°，∴2（∠BAO+∠CAO）＝100°，即∠BAC＝50°，∵點(diǎn)O是邊AB和AC的垂直平分線OD、OE的交點(diǎn)，∴∠ODA＝∠OEA＝90°，∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠α＝180°﹣130°＝50°，故選：C．【即學(xué)即練1】1.（2022·江蘇淮安·八年級(jí)期中）如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)M，N；②作直線交于點(diǎn)D，連接．若，，則的周長為（

）A．8 B．9 C．10 D．14【答案】D【分析】根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得CD=DB，然后可得AD+CD=10，進(jìn)而可得△ACD的周長．【詳解】解：根據(jù)作圖可得MN是BC的垂直平分線，∵M(jìn)N是BC的垂直平分線，∴CD=DB，∵AB=10，∴CD+AD=10，∴△ACD的周長=CD+AD+AC=4+10=14，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和作法，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．2．（2022·天津八年級(jí)期末）如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的大小=____（度）．【答案】50【分析】作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)，連接，交OB于點(diǎn)P，交OA于點(diǎn)Q，連接MP，QN，可知此時(shí)最小，此時(shí)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和平角的定義即可得出結(jié)論．【詳解】作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)，連接，交OB于點(diǎn)P，交OA于點(diǎn)Q，連接MP，QN，如圖所示．根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知此時(shí)最小，即，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱-最短問題、三角形內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．【知識(shí)拓展2】線段的垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用例2．（2022·山西晉中·八年級(jí)期中）2022年左權(quán)縣將傾力打造澤城村“中國北方國際寫生基地”，實(shí)現(xiàn)“山水-寫生-消費(fèi)-產(chǎn)業(yè)“的全鏈條發(fā)展，為方便百姓利用直播帶貨，助推家鄉(xiāng)產(chǎn)業(yè)發(fā)展，中國移動(dòng)通信公司已經(jīng)資助建設(shè)5G直播倉。目前，政府為更好地服務(wù)農(nóng)民，將在村莊A、B、C之間的空地上新建一座倉庫P．已知A、B、C恰好在三條公路的交點(diǎn)處，要求倉庫Р到村莊A、B、C的距離相等，則倉庫P應(yīng)選在（

）A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高所在直線的交點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵倉庫Р到村莊A、B、C的距離相等，∴倉庫P應(yīng)選在三邊的垂直平分線的交點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2022·山東濟(jì)南市·八年級(jí)期末）如圖，若記北京為地，莫斯科為地，雅典為地．若想建立一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)倉，使其到、、三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三邊中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)【答案】A【分析】依題意，對實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)模型化處理，需要尋找一個(gè)點(diǎn)，到三點(diǎn)的距離相等；結(jié)合三角形垂直平分線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】由題，對建立貨物中轉(zhuǎn)倉到A、B、C三地距離相等；進(jìn)行數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換為：在△ABC中找一點(diǎn)到三點(diǎn)距離相等；依據(jù)三角形垂直平分線的性質(zhì)，可知，三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三角形三個(gè)點(diǎn)的距離相等；∴中轉(zhuǎn)倉位于三邊垂直平分線的交點(diǎn)；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形垂直平分線、角平分線、高線、中線的性質(zhì)，重點(diǎn)在掌握實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型化．【知識(shí)拓展3】線段的垂直平分線的判定例3．（2022.江蘇八年級(jí)期中）如圖，中，邊的垂直平分線交于點(diǎn)P．（1）求證：．（2）點(diǎn)P是否也在邊的垂直平分線上？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可求得，PA=PB，PB=PC，則PA=PB=PC．（2）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆定理，可得點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上．【詳解】解：（1）證明：∵邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．（2）∵PA=PC，∴點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】此題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理：（1）線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；（2）和一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．【即學(xué)即練3】1．（2022·河南開封·一模）如圖，平面內(nèi)不共線三點(diǎn)A，B，C，操作如下：步驟1：連接BC，以點(diǎn)B為圓心，以CB的長為半徑畫弧；步驟2：連接AC，以點(diǎn)A為圓心，以AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D；步驟3：連接CD，且過A，B作直線則A，B一定在線段CD的垂直平分線上，依據(jù)是____________．【答案】線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理【分析】連接BD，AD，根據(jù)垂直平分線的判定即可解答；【詳解】解：如圖，連接BD，AD，∵AC=AD，BC=BD，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可得：A，B一定在線段CD的垂直平分線上；故答案為：線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理；【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．2．（2022?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于點(diǎn)M交BE于點(diǎn)G，AD平分∠MAC，交BC于點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)F．求證：線段BF垂直平分線段AD．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C＝∠BAM，根據(jù)角平分線的定義求出∠DAM＝∠CAD，求出∠BAD＝∠ADB，得出△ABD是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可．【解答】證明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即線段BF垂直平分線段AD．【知識(shí)拓展4】線段的垂直平分線的作圖例4．（2022·廣東九年級(jí)期末）如圖，在中，．（1）作邊的垂直平分線，與，分別相交于點(diǎn)，（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）的條件下，連接，若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用基本作作圖，作線段AB的垂直平分線即可；（2）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得AE＝BE，則∠EAB＝∠B＝60°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算∠AEC的度數(shù)．【詳解】（1）分別以，為圓心，大于長為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)；作經(jīng)過以上兩點(diǎn)的直線，分別交線段于，交于，直線即為所求．（2）解：是線段的垂直平分線，，．．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖，基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．【即學(xué)即練4】4．（2022·西城區(qū)·八年級(jí)期中）小宇遇到了這樣一個(gè)問題：已知：如圖，，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上，且滿足．求作：線段OB上的一點(diǎn)C，使的周長等于線段的長．以下是小宇分析和求解的過程，請補(bǔ)充完整：首先畫草圖進(jìn)行分析，如圖1所示，若符合題意得點(diǎn)C已經(jīng)找到，即得周長等于OB的長，那么由，可以得到．對于這個(gè)式子，可以考慮用截長得辦法，在BC上取一點(diǎn)D，使得，那么就可以得到．若連接AD，由．（填推理依據(jù)）．可知點(diǎn)C在線段AD得垂直平分線上，于是問題得解法就找到了．請根據(jù)小宇得分析，在圖2中完成作圖（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）．【答案】BC，DC，線段的垂直平分線的判定【分析】在線段BO上截取BD=OA，連接AD，作線段AD的垂直平分線交OD于點(diǎn)C，連接AC，△AOC即為所求．【詳解】解：如圖，△AOC即為所求．故答案為：BC，DC，線段的垂直平分線的判定．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．知識(shí)點(diǎn)03畫軸對稱圖形【知識(shí)點(diǎn)】若兩個(gè)圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．因此只要找到一對對應(yīng)點(diǎn)，再作出連接它們的線段的垂直平分線就可以得到這兩個(gè)圖形的對稱軸．軸對稱圖形的對稱軸作法相同．關(guān)于x（y）軸對稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)的關(guān)系：

已知P點(diǎn)坐標(biāo)，則它關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，如下圖所示：即關(guān)于軸的對稱的兩點(diǎn)，坐標(biāo)的關(guān)系是：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．

已知P點(diǎn)坐標(biāo)為，則它關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，如上圖所示．

即關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系是：縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．【知識(shí)拓展1】關(guān)于x（y）軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)例1．（2022·新疆·八年級(jí)期末）已知點(diǎn)A(a，2)與點(diǎn)B(3，b)關(guān)于x軸對稱，則a+2b＝（

）A．-4 B．-1 C．-2 D．4【答案】B【分析】先根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出a、b，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)A(a，2)與點(diǎn)B(3，b)關(guān)于x軸對稱，所以a=3，b=?2，∴a+2b=3+2×(?2)=-1．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．【即學(xué)即練1】1．（2022·貴州·金沙縣八年級(jí)期末）若點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是，則m＋n的值是（

）A．4 B．－4 C．－2 D．2【答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)列式求出m，n，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是，∴m－1＋2＝0，n＋2＝－1，∴m＝－1，n＝－3，∴m＋n＝－1－3＝－4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．【知識(shí)拓展2】軸對稱變換作圖例2．（2022·湖北荊門·八年級(jí)期中）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示：(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△AB1C1；并寫出B1的坐標(biāo)；(2)將△ABC向右平移8個(gè)單位，畫出平移后的△A1B2C2，并寫出B2的坐標(biāo)；(3)在（1）、（2）的基礎(chǔ)上，寫出△AB1C1與△A1B2C2有怎樣的位置關(guān)系？(4)在y軸上有一點(diǎn)P，使得PB+PC最小，請畫出點(diǎn)P；（用虛線保留畫圖的痕跡）(5)在y軸上有一點(diǎn)Q，使得QB－QC最大，請畫出點(diǎn)Q．（用虛線保留畫圖的痕跡）【答案】(1)作圖見解析，B1（3，2）(2)作圖見解析，B2（5，2）；(3)由圖可知△AB1C1與△A1B2C2關(guān)于直線x＝4對稱；(4)作圖見解析(5)作圖見解析【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，順次連接，則△AB1C1即為所求，根據(jù)坐標(biāo)系寫出點(diǎn)B1（的坐標(biāo)即可；（2）將點(diǎn)向右平移8個(gè)單位，得到，順次連接，則△A1B2C2即為所求，根據(jù)坐標(biāo)系寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)即可；（3）觀察圖形即可求解．（4）連接BC1，交y軸于點(diǎn)P，連接BC，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知?jiǎng)t點(diǎn)P即為所求（5）延長BC交y軸于點(diǎn)Q，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得Q點(diǎn)即為所求（1）作圖見解析，B1（3，2）（2）作圖見解析，B2（5，2）；（3）由圖可知△AB1C1與△A1B2C2關(guān)于直線x＝4對稱；（4）作圖見解析連接BC1，交y軸于點(diǎn)P，連接BC，∵PC1=PC，PC+PB=PC1+PB≥BC1當(dāng)B，P，C1三點(diǎn)共線時(shí)，PB+PC最?。?）作圖見解析延長BC交y軸于點(diǎn)Q，∵QB-QC≤BC當(dāng)B，C，Q三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值【點(diǎn)睛】本題考查了平移作圖，軸對稱作圖，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，軸對稱的性質(zhì)求最值，兩點(diǎn)之間線段最短求最值，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2022·云南·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．(1)在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△．(2)請直接寫出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)：．(3)求△ABC的面積．(4)在x軸上畫出點(diǎn)P，使QA＋QC最小．【答案】(1)見解析(2)（1，2）(3)4(4)見解析【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可寫出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)（3）根據(jù)網(wǎng)格利用割補(bǔ)法即可求出△ABC的面積；（4）連接C交x軸于點(diǎn)Q，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可使得QA＋QC最小．（1）解：如圖所示，△即為所求；；（2）解：點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2）；故答案為：（1，2）；（3）解：△ABC的面積=3×3-×1×3-×1×3-×2×2=4；（4）解：如圖．點(diǎn)Q即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，軸對稱-最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．【知識(shí)拓展3】設(shè)計(jì)軸對稱圖案例3．（2022?武漢模擬）如圖，在5×5的小正方形網(wǎng)格中有4個(gè)涂陰影的小正方形，它們組成一個(gè)軸對稱圖形．現(xiàn)在移動(dòng)其中一個(gè)小正方形到空白的小正方形處，使得新的4個(gè)陰影的小正方形組成一個(gè)軸對稱圖形，不同的移法有（）A．8種 B．12種 C．16種 D．20種【分析】根據(jù)對稱性判斷出（2，三）的運(yùn)動(dòng)方法，可得結(jié)論．【解答】解：移動(dòng)（2，三）到（1，三），（3，三），（5，三），（5，二），（5，四）共5種不同的方法，故一共有4×5＝20（種）不同的方法，故選：D．【即學(xué)即練3】3．（2022?宛城區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)A、B、C都在方格紙的格點(diǎn)上．（1）若把線段BC平移后，對應(yīng)線段恰好為AM，請畫出線段AM；（2）請你再找一個(gè)格點(diǎn)D，使點(diǎn)A、B、C、D組成一個(gè)軸對稱圖形，并畫出對稱軸．（請分別在下圖及備用圖中盡可能多地設(shè)計(jì)出不同的圖形，格點(diǎn)D分別用D1、D2、D3、…表示）．【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)作出圖形即可．（2）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：（1）如圖，線段AM即為所求．（2）如圖，點(diǎn)D以及對稱軸，如圖所示．能力拓展能力拓展考法01利用軸對稱的性質(zhì)解決折疊（翻折）問題【典例1】（2022·四川成都·七年級(jí)期中）把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊成圖①，再沿HF折疊成圖②，若∠DEF＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C''FE，則∠C''FE＝_______．【答案】【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到，，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，所以，接著再利用折疊的性質(zhì)得到，然后計(jì)算即可．【詳解】四邊形為長方形，，，，方形紙條沿折疊成圖①，，，長方形沿折疊成圖②，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．變式1．（2022·廣西防城港·八年級(jí)期中）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為、，若CD//BE，，則的度數(shù)是________．【答案】##30度【分析】利用平行線的性質(zhì)以及翻折不變性即可得到∠1=∠3=∠4=15°，進(jìn)而得出∠2=30°．【詳解】解：如圖，分別延長EB、DB到F，G，由于紙帶對邊平行，∴∠1=∠4=15°，∵紙帶翻折，∴∠3=∠4=15°，∴∠DBF=∠3+∠4=30°，∵CDBE，∴∠2=∠DBF=30°．故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．變式2．（2022·浙江·浦江縣第五中學(xué)一模）如圖，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進(jìn)行兩次折疊，得到△ECF．若BC＝1，則△ECF的周長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】第一次翻折可得，EM=1，∠ADM=∠EDM=45°，第二次折疊，可得，，由∠DCN=45°，可得，則，再求的周長即可．【詳解】如圖，第一次折疊，如圖②，，，，由折疊的性質(zhì)，，，第二次折疊，如圖③，，，，，，，，，的周長，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì)，對應(yīng)兩次翻折求出∠EDM=45°是解題的關(guān)鍵．考法02線段的垂直平分線的綜合運(yùn)用【典例2】（2022·石家莊九年級(jí)二模）如圖，在中，D為BC中點(diǎn)，交的平分線AE于E，于F，交AC的延長線于G．（1）求證：；（2）若，，求AF的長．【答案】（1）見解析；（2）4【分析】（1）連接BE、EC，證明即可；（2）證明，則，繼而求得的長【詳解】（1）證明：如圖，連接BE、EC，∵，D為BC中點(diǎn)，∴，∵，，且AE平分，∴，在和中，，（HL）∴．（2）解：在和中，，∴（HL），∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形全等的證明，全等三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·云南·初二期末）在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，的周長為6．（1）與的數(shù)量關(guān)系為．（2）求的長．（3）分別連接，，，若的周長為16，求的長．【答案】（1）；（2）6；（3）5．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得；（2）先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形的周長公式、等量代換即可得；（3）先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形的周長公式可得，由此即可得出答案．【解析】（1）因?yàn)榈拇怪逼椒志€交于點(diǎn)，所以，故答案為：；（2）因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，是的垂直平分線，所以，，因?yàn)榈闹荛L為6，所以，所以；（3）因?yàn)槭沁叺拇怪逼椒志€，是邊的垂直平分線，所以，，因?yàn)榈闹荛L為16，所以，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握理解垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式2．（2022?平頂山期中）如圖，在△ABC中，AE⊥BC于點(diǎn)E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分線DN交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)N，DF⊥AC于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M．求證：（1）AE＝DE；（2）EM＝EC．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠B＝22.5°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明；（2）證明△MDE≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．【解答】證明：（1）∵DN是AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°，∴∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝45°，∴AE＝DE；（2）∵DF⊥AC，AE⊥BC，∴∠MDE＝∠CAE，在△MDE和△CAE中，，∴△MDE≌△CAE（ASA），∴EM＝EC．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·江蘇南通·中考真題）下面由北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目圖標(biāo)組成的四個(gè)圖形中，可看作軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C．不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D．是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是正確確定對稱軸位置．2．（2022·山東威?！ぶ锌颊骖}）圖1是光的反射規(guī)律示意圖．其中，PO是入射光線，OQ是反射光線，法線KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．圖2中，光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點(diǎn)是(

)A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)光反射定律可知，反射光線、入射光線分居法線兩側(cè)，反射角等于入射角并且關(guān)于法線對稱，由此推斷出結(jié)果．【詳解】連接EF，延長入射光線交EF于一點(diǎn)N，過點(diǎn)N作EF的垂線NM，如圖所示：由圖可得MN是法線，為入射角因?yàn)槿肷浣堑扔诜瓷浣?，且關(guān)于MN對稱由此可得反射角為所以光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點(diǎn)是B故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱中光線反射的問題，根據(jù)反射角等于入射角，在圖中找出反射角是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東棗莊·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，連接AE，若AE＝5，EC＝2，則BC的長是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB＝EA＝5，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，AE＝5，∴EB＝EA＝5，∴BC＝EB＋EC＝5＋2＝7，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．4.（2022?雁塔區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OB、OA的對稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，則∠MPN的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．120° D．140°【分析】首先證明∠P1+∠P2＝40°，可得∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，推出∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，可得結(jié)論．【解答】解：∵P點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)是P1，P點(diǎn)關(guān)于OA的對稱點(diǎn)是P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，∠P2＝∠P2PN，∠P1＝∠P1PM，∵∠AOB＝40°，∴∠P2PP1＝140°，∴∠P1+∠P2＝40°，∴∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，∴∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，∴∠MPN＝180°﹣（∠PMN+∠PNM）＝180°﹣80°＝100°，故選：B．5.（2022?惠來縣期末）《中共中央國務(wù)院關(guān)于促進(jìn)農(nóng)民增加收入若干政策的意見》中提出“進(jìn)一步精簡鄉(xiāng)鎮(zhèn)機(jī)構(gòu)和財(cái)政供養(yǎng)人員，積極穩(wěn)妥地調(diào)整鄉(xiāng)鎮(zhèn)建制，有條件的可實(shí)行并村”．《中共中央國務(wù)院關(guān)于積極發(fā)展現(xiàn)代農(nóng)業(yè)扎實(shí)推進(jìn)社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)的若干意見》中明確提出“治理農(nóng)村人居環(huán)境，搞好村莊治理規(guī)劃和試點(diǎn)，節(jié)約農(nóng)村建設(shè)用地”．以上兩個(gè)政策出臺(tái)后，山東陸陸續(xù)續(xù)開展了村莊合并某地興建的幸福小區(qū)的三個(gè)出口A、B、C的位置如圖所示，物業(yè)公司計(jì)劃在不妨礙小區(qū)規(guī)劃的建設(shè)下，想在小區(qū)內(nèi)修建一個(gè)電動(dòng)車充電樁，以方便業(yè)主，要求到三個(gè)出口的距離都相等，則充電樁應(yīng)該在（）A．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處B．三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)處 C．三角形三條高線的交點(diǎn)處D．三角形三條中線的交點(diǎn)處【分析】根據(jù)性的垂直平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵電動(dòng)車充電樁到三個(gè)出口的距離都相等，∴充電樁應(yīng)該在三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處，故選：A．6.（2022?扎蘭屯市期末）如果點(diǎn)A（m+2，m﹣1）在x軸上，那么點(diǎn)B（m+3，m﹣2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)點(diǎn)A（m+2，m﹣1）在x軸上，可求出m的值，進(jìn)而確定點(diǎn)B的坐標(biāo)和所在的象限，再根據(jù)關(guān)于x軸對稱的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵點(diǎn)A（m+2，m﹣1）在x軸上，∴m﹣1＝0，即m＝1，∴m+3＝4，m﹣2＝﹣1，∴點(diǎn)B（4，﹣1），∴點(diǎn)B（4，﹣1）在第四象限，∴點(diǎn)B（4，﹣1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在第一象限，故選：A．7．（2022·河南漯河市·）如圖，與關(guān)于直線對稱，下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．B．直線垂直平分線段C．D．【答案】D【分析】先根據(jù)對稱的性質(zhì)求得∠C，然后利用三角內(nèi)角和定理即可求得；再利兩個(gè)圖形成的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵與關(guān)于直線對稱∴∠C=∠C＇=30°∴,故A正確；∵與關(guān)于直線對稱∴直線垂直平分線段，，即B、C正確；的延長線交于一點(diǎn)且該點(diǎn)在對稱軸上，故D錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)圖形成軸對稱的性質(zhì)，掌握對應(yīng)邊的延長線交于一點(diǎn)且該點(diǎn)在對稱軸上是解答本題的關(guān)鍵．8.（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）小明從鏡子中看到電子鐘顯示的時(shí)間是20：51，那么實(shí)際時(shí)間為．【分析】用鏡面對稱的性質(zhì)求解．鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的時(shí)刻與20：51成軸對稱，所以此時(shí)實(shí)際時(shí)刻為12：05．故答案為：12：05．9．（2022·湖北·通山縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=100°，∠B=30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)是________．【答案】20°##20度【分析】由題意根據(jù)∠CAB=180°-∠C-∠B和垂直平分線性質(zhì)，求出∠CAB，∠DAB進(jìn)而依據(jù)∠CAD=∠CAB-∠DAB求出即可．【詳解】解：∵∠C=100°，∠B=30°，∴∠CAB=180°-∠C-∠B=180°-100°-30°=50°，由作圖可知，MN垂直平分線段AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=50°-30°=20°.故答案為：20°．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，三角形內(nèi)角和定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．10.（2022?道縣期末）在4×4的方格中有五個(gè)同樣大小的正方形（陰影）如圖擺放，移動(dòng)標(biāo)號(hào)為①的正方形到空白方格中，使其與其余四個(gè)正方形組成的新圖形是一個(gè)軸對稱圖形，這樣的移法有3種．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)進(jìn)行作圖即可．【解答】解：如圖所示，新圖形是一個(gè)軸對稱圖形．故答案為：3．11.（2022?沭陽縣校級(jí)開學(xué)）如圖．△ABC中，∠B＝∠C，點(diǎn)P、Q、R分別在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．求證：點(diǎn)Q在PR的垂直平分線上．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理證明△BQP≌△CRQ，得到QP＝QR，根據(jù)線段的垂直平分線的判定證明結(jié)論．【解答】證明：連接PQ，在△BQP和△CRQ中，，∴△BQP≌△CRQ，∴QP＝QR，∴點(diǎn)Q在PR的垂直平分線上．12．（2022·云南·三模）在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．、、三點(diǎn)在格點(diǎn)上．（1）作出關(guān)于軸對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作出關(guān)于對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）圖見解析，；（2）圖見解析，【分析】（1）作點(diǎn)A、B、C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)、、，得到，再寫出的坐標(biāo)；（2）作點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)、、，得到，再寫出的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）如圖所示，；（2）如圖所示，．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱圖形和點(diǎn)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是掌握在平面直角坐標(biāo)系中畫軸對稱圖形的方法．13.（2022?碑林區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，∠C＞∠B、請用尺規(guī)作圖法，在AB上找一點(diǎn)P，使∠PCB＝∠B．（保留作圖痕跡，不寫作法．）【分析】作線段BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作．【解答】解：如圖，點(diǎn)P即為所求作．題組B能力提升練1．（2022·四川宜賓·八年級(jí)期末）如圖，三條筆直的公路兩兩相交，交點(diǎn)分別在點(diǎn)A、B、C處，有兩戶村民分別在點(diǎn)D和點(diǎn)E處，現(xiàn)準(zhǔn)備建造一個(gè)蓄水池，要求水池到兩條公路AB、BC的距離相等，且到兩戶村民D、E的距離相等，則水池修建的位置應(yīng)該是（

）A．在∠B的平分線與DE的交點(diǎn)處B．在線段AB、AC的垂直平分線的交點(diǎn)處C．在∠B的平分線與DE的垂直平分線的交點(diǎn)處D．在∠A的平分線與DE的垂直平分線的交點(diǎn)處【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到水池修建在∠ABC的平分線上，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到水池修建在DE的垂直平分線上，從而可對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：作∠ABC的平分線和DE的垂直平分線，它們相交于P點(diǎn)，如圖，則水池修建的位置應(yīng)該為P點(diǎn)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．2.（2022?石城縣模擬）如圖是由三個(gè)全等的菱形拼接而成的圖形，若平移其中一個(gè)菱形，與其他兩個(gè)菱形重新拼接（無覆蓋，有公共頂點(diǎn)），并使拼接成的圖形為軸對稱圖形，則平移的方式共有（）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義判斷即可．【解答】解：如圖，把菱形A平移到①或②或⑤或⑥的位置可得軸對稱圖形．把菱形B平移到③或④或⑤或⑦的位置可得軸對稱圖形．共有8種方法．故選：D．3．（2022·江西·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，點(diǎn)F是DE上任意一點(diǎn)，△BCF的周長的最小值是（）A．2 B．12 C．5 D．7【答案】B【分析】由于，關(guān)于直線為對稱，所以和重合時(shí)，最小，最小值等于，即可求得的周長的最小值．【詳解】解：是線段的垂直平分線，，關(guān)于直線為對稱，和重合時(shí)，最小，即的周長的最小值，是線段的垂直平分線，，的最小值，的最小周長，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．4．（2022·山東泰安·七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是∠BAC的平分線與線段AC的垂直平分線的交點(diǎn)，OD⊥AB于點(diǎn)D，OF⊥AC于點(diǎn)F，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．OA=OC B．OD=OF C．OA=OB D．AD=FC【答案】C【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得，利用三角形全等的判定定理和性質(zhì)可得出，即可得出選項(xiàng)．【詳解】解∵在中，點(diǎn)O是的平分線與線段AC的垂直平分線的交點(diǎn)，OD⊥AB，OF⊥AC，∴，，故A、B選項(xiàng)成立；，，，在△AOD與△AOF中，，∴，同理可得：，∴，，，∴，∴，故D選項(xiàng)成立，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定定理和性質(zhì)，熟練掌握這些基本性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．5.（2022?錦江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，將△BDA沿BD對折得到△BDE，若BE恰好經(jīng)過點(diǎn)C，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．DA＝DE B．∠CDE＝2∠ABD C．∠BDE﹣∠ABD＝90° D．S△ABD：S△CDE＝BC：CE【分析】由折疊的性質(zhì)直接判斷A；由折疊的性質(zhì)得到△ABC≌△EBF及△FBD≌△CBD，進(jìn)而得出BC＝BF，∠DCB＝∠DFB＝90°，DF＝DC，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可判斷B；根據(jù)角的和差判斷C；再根據(jù)三角形的面積公式判斷D．【解答】解：如圖，延長ED交AB于點(diǎn)F，∵△BDA沿BD對折得到△BDE，∴△BDA≌△BDE，∴∠ABD＝∠DBE，DA＝DE，故A正確，不符合題意；由△BDA≌△BDE可知，∠A＝∠E，AB＝BE，在△ABC和△EBF中，，∴△ABC≌△EBF（ASA），∴BC＝BF，在△FBD和△CBD中，，∴△FBD≌△CBD（SAS），∴∠DCB＝∠DFB＝90°，DF＝DC，∴∠ABC＝∠CDE，∴∠CDE＝2∠ABD，故B正確，不符合題意；∵∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝∠BDC+2∠ABD，∴∠BDE﹣∠ABD＝∠BDC+2∠ABD﹣∠ABD＝∠BDC+∠ABD＝∠BDC+∠DBC＝90°，故C正確，不符合題意；S△ABD?AB?DF，S△CDE?CE?CD，∴，故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．6．（2022·河北唐山·八年級(jí)期末）如圖，撐傘時(shí)，把傘“兩側(cè)的傘骨”和支架分別看作AB、AC和DB、DC，始終有AB=AC，DB=DC，請大家考慮一下傘桿AD所在的直線是B、C兩點(diǎn)的連線BC的____線．【答案】垂直平分【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理得出A、D都在線段BC的垂直平分線上，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線得出直線AD是線段BC的垂直平分線．【詳解】解：如圖，連接、，∵，∴點(diǎn)A在線段的垂直平分線上，點(diǎn)D在線段的垂直平分線上，∴根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線得出直線是線段的垂直平分線，故答案為：垂直平分．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)．7．（2022·四川·成都七中階段練習(xí)）如圖，在長方形中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，將長方形沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)B落在平面內(nèi)的點(diǎn)處，其中折痕交邊所在直線于點(diǎn)F．若時(shí)，則____________．【答案】70°或110°【分析】分情況討論，分別根據(jù)折疊的性質(zhì)求出的大小，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：如圖1所示，由翻折性質(zhì)可得：，∵，∴，∴，又∵長方形中，∴，如圖2所示，由翻折性質(zhì)可得：，，∵，∴，∴，∴，∴，又∵長方形中，∴，綜上，為70°或110°，故答案為：70°或110°．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角的和差計(jì)算，正確畫出圖形分類求解是解題的關(guān)鍵．8．（2022·河南·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC如圖放置，動(dòng)點(diǎn)P從（0，3）出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P第5次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P第2014次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為____________．【答案】（1，4）；（5,0）【詳解】試題分析：如圖，根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P第5次碰到矩形的邊時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）；（2）每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，經(jīng)過6次反彈后動(dòng)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)（0，3），∵2014÷6=335…4，∴當(dāng)點(diǎn)P第2014次碰到矩形的邊時(shí)為第336個(gè)循環(huán)組的第4次反彈，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）．考點(diǎn)：1．探索規(guī)律題（圖形的變化類）；2．跨學(xué)科問題；3．點(diǎn)的坐標(biāo)．9．（2022·江蘇鹽城·三模）根據(jù)光學(xué)中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等．如圖，是兩面互相平行的平面鏡，一束光線m通過鏡面反射后的光線為n，再通過鏡面β反射后的光線為k．光線m與鏡面的夾角的度數(shù)為，光線n與光線k的夾角的度數(shù)為．則x與y之間的數(shù)量關(guān)系是______．【答案】【分析】根據(jù)平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)即可求得．【詳解】解：∵入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，∴反射后的光線n與鏡面夾角度數(shù)為，∵是兩面互相平行的平面鏡，∴反射后的光線n與鏡面夾角度數(shù)也為，又由入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，∴反射后的光線k與鏡面的夾角度數(shù)也為，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)，掌握反射光線與平面鏡所夾的角相等以及兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．10.（2022?雙流區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，動(dòng)點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)P關(guān)于直線AC，BC對稱的點(diǎn)分別為P1，P2．則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段P1P2的長的最小值是．【分析】連接CP，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可得到線段P1P2的長等于2CP，依據(jù)CP的最小值即可得出線段P1P2的長的最小值．【解答】解：如圖，連接CP，∵點(diǎn)P關(guān)于直線AC，BC對稱的點(diǎn)分別為P1，P2，∴P1C＝PC＝P2C，∴線段P1P2的長等于2CP，如圖所示，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP的長最小，此時(shí)線段P1P2的長最小，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴CP4.8，∴線段P1P2的長的最小值是9.6，故答案為：9.6．11.（2022?博白縣期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度數(shù)；（2）求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解決問題；（2）只要證明AE＝AC，利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明；【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，∴∠EAD∠BAC＝25°，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．（2）證明∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°＝∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，AD平分線段EC，即直線AD是線段CE的垂直平分線．12．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1所示，S同學(xué)把一張6×6的正方形網(wǎng)格紙向上再向右對折兩次后按圖畫實(shí)線，剪去多余部分只留下陰影部分，然后展開攤平在一個(gè)平面內(nèi)得到了一幅剪紙圖案．T同學(xué)說：“我不用剪紙，我直接在你的圖1②基礎(chǔ)上，通過‘逆向還原’的方式依次畫出相應(yīng)的與原圖形成軸對稱的圖形也能得出最后的圖案．”畫圖過程如圖2所示．對于圖3中的另一種剪紙方式，請仿照圖2中“逆向還原”的方式，在圖4①中的正方形網(wǎng)格中畫出還原后的圖案，并判斷它與圖2中最后得到的圖案是否相同．答：□相同；□不相同．（在相應(yīng)的方框內(nèi)打勾）【答案】不相同．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)即可得結(jié)論．【詳解】如圖，在圖4①中的正方形網(wǎng)格中畫出了還原后的圖案，它與圖2中最后得到的圖案不相同．故答：不相同．【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案、剪紙問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱性質(zhì)．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·貴州遵義·八年級(jí)期末）在中，已知，，，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，折痕為（如圖所示）．則下列結(jié)論：①②的周長等于7③④，其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④【答案】B【分析】由折疊的性質(zhì)得到，繼而得到，根據(jù)題意，據(jù)此判斷①錯(cuò)誤；由折疊的性質(zhì)得到DC=DE，BE=BC=6，求得的周長為：AD+AE+DE=AC+AE=7，可判斷②；設(shè)點(diǎn)D到AB的距離為h，根據(jù)三角形面積公式得到，可判斷③；設(shè)點(diǎn)B到AC的距離為m，根據(jù)三角形面積公式得到，可判斷④．【詳解】解：沿過點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，不垂直AB，故①錯(cuò)誤；由折疊的性質(zhì)可知DC=DE，BE=BC=6的周長為：AD+AE+DE=AC+AE=7，故②正確；設(shè)點(diǎn)D到AB的距離為h，，故③正確；設(shè)點(diǎn)B到AC的距離為m，，故④錯(cuò)誤，故選：Ｂ．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，三角形周長的求法、三角形的面積公式等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．（2022·湖南婁底·一模）一平面鏡以與水平面成45°角固定在水平面上，如圖所示，一個(gè)小球以的速度沿桌面向點(diǎn)O勻速滾去，則小球在平面鏡中的像是（

）A．以的速度，做豎直向上運(yùn)動(dòng) B．以的速度，做豎直向下運(yùn)動(dòng)C．以的速度運(yùn)動(dòng)，水平向左運(yùn)動(dòng) D．以的速度，水平向左運(yùn)動(dòng)【答案】B【分析】利用鏡面對稱的性質(zhì)求解，鏡面對稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物關(guān)于鏡面OC對稱，形狀大小，平移的速度相同，方向直線O點(diǎn)．【詳解】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的小球與現(xiàn)實(shí)中的小球關(guān)于鏡面對稱，∵∠AOC=45，∴∠BOC=45°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，則小球在平面鏡中的像是以1m/s的速度，做豎直向下運(yùn)動(dòng)，故B正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考察鏡面對稱，解題關(guān)鍵是熟練掌握鏡面對稱的性質(zhì)．3.（2022?邢臺(tái)三模）一張正方形紙片按圖1、圖2箭頭方向依次對折后，再沿圖3虛線裁剪得到圖4，把圖4展開鋪平的圖案應(yīng)是（）A．B． C．D．【分析】嚴(yán)格按照圖中的順序親自動(dòng)手操作一下即可．【解答】解：嚴(yán)格按照圖中的順序向右對折，向上對折，從下面中間剪去一個(gè)半圓，展開得到的圖形是．故選：D4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)期末）如圖，，C為OB上的定點(diǎn)，M，N分別為射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作點(diǎn)C關(guān)于OA的對稱點(diǎn)E，作EN⊥OC交OA于點(diǎn)M，此時(shí)CM+MN=EM+MN=EN最短，進(jìn)而根據(jù)∠AOB=35°，和直角三角形兩個(gè)銳角互余即可求解．【詳解】解：如圖：作點(diǎn)C關(guān)于OA的對稱點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EN⊥OC于點(diǎn)N，交OA于點(diǎn)M，∴ME=MC，∴CM+MN=EM+MN=EN，根據(jù)垂線段最短，EN最短，∵∠AOB=35°，∠ENO=CFM=90°，∴∠OMN=55°，∠OCF=55°，∴∠EMF=∠OMN=55°，∴∠E=∠MCE=35°，∴∠OCM=∠OCF-∠MCE=20°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，熟知直角三角形的兩個(gè)銳角互余是解題關(guān)鍵．5.（2022?荊州）若點(diǎn)P（a+1，2﹣2a）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在第四象限，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【分析】由P點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在第四象限，得出不等式組，求出不等式組的解集，即可得出選項(xiàng)．【解答】解：∵點(diǎn)P（a+1，2﹣2a）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在第四象限，∴點(diǎn)P在第一象限，∴，解得：﹣1＜a＜1，在數(shù)軸上表示為：，故選：C．6.（2022?濱州月考）如圖，在坐標(biāo)平面內(nèi)，依次作點(diǎn)P（﹣3，1）關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)P1，P1關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P2，P2關(guān)于y軸對稱點(diǎn)P3，P3關(guān)于直線y＝x對稱點(diǎn)P4，P4關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P5，P5關(guān)于y軸對稱點(diǎn)P6，…，按照上述變換規(guī)律繼續(xù)作下去，則點(diǎn)P2019的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（1，﹣3）【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)分別求出P1，P2，P2，P3；P4，P5，P6的坐標(biāo)，找出規(guī)律即可得出結(jié)論．【解答】解：∵P（﹣3，1），∴點(diǎn)P關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)P1（1，﹣3），P1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P2（1，3），P2關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P3（﹣1，3），P3關(guān)于直線y＝x的對稱點(diǎn)P4（3，﹣1），P4關(guān)于x