2024學(xué)生版大二輪數(shù)學(xué)新高考提高版（京津瓊魯遼粵冀鄂湘渝閩蘇浙黑吉晉皖云豫新甘貴贛桂）專題一　第3講　導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)性16

第3講導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)性[考情分析]1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和計(jì)算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是高考的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式考查，難度較小.2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考的常見題型，以選擇題、填空題的形式考查，或?yàn)閷?dǎo)數(shù)解答題第一問，難度中等偏上，屬綜合性問題．考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義與計(jì)算核心提煉1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率．(2)曲線在某點(diǎn)的切線與曲線過某點(diǎn)的切線不同．(3)切點(diǎn)既在切線上，又在曲線上．2．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x.例1(1)(2023·全國甲卷)曲線y＝eq\f(ex,x＋1)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))處的切線方程為()A．y＝eq\f(e,4)x B．y＝eq\f(e,2)xC．y＝eq\f(e,4)x＋eq\f(e,4) D．y＝eq\f(e,2)x＋eq\f(3e,4)(2)(2022·新高考全國Ⅰ)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是__________________．易錯提醒求曲線的切線方程要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn)．跟蹤演練1(1)(2023·湖北省七市(州)聯(lián)考)已知m>0，n>0，直線y＝eq\f(1,e)x＋m＋1與曲線y＝lnx－n＋2相切，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值是()A．16B．12C．8D．4(2)(2022·新高考全國Ⅱ)曲線y＝ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為________________，__________.考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性核心提煉利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)的定義域．(2)求f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)．(3)求出f′(x)的零點(diǎn)，劃分單調(diào)區(qū)間．(4)判斷f′(x)在各個單調(diào)區(qū)間內(nèi)的符號．例2(2023·武漢華中師大一附中模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex－eq\f(a,2)x2＋ax，a∈R.(1)當(dāng)a＝0時，求f(x)在x＝0處的切線方程；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________規(guī)律方法(1)討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的，千萬不要忽視了定義域的限制；(2)在能夠通過因式分解求出不等式對應(yīng)方程的根時，根據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論；(3)在不能通過因式分解求出根的情況時，根據(jù)不等式對應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討論．跟蹤演練2(2023·北京模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx－lnt,x－t).(1)當(dāng)t＝2時，求f(x)在x＝1處的切線方程；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點(diǎn)三單調(diào)性的簡單應(yīng)用核心提煉1．函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(或遞減)，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立．2．函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間，可轉(zhuǎn)化為f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解．例3(1)(2023·新高考全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為()A．e2 B．eC．e－1 D．e－2(2)(2023·洛陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝e|x|－x2，若a＝f(ln4)，b＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln

\f(1,e2)))，c＝f(21.1)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>a>b D．c>b>a規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的策略利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式，常常要構(gòu)造新函數(shù)，把比較大小或解不等式的問題，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題