數(shù)學(xué)案例論文

PAGEPAGE5《函數(shù)單調(diào)性》的教學(xué)案例教學(xué)環(huán)境：多媒體教室，教師機(jī)可以運(yùn)用多媒體計(jì)算機(jī)并借助于預(yù)先制作的多媒體教學(xué)軟件來開展的教學(xué)活動(dòng)等等。教材分析：函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個(gè)性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言刻畫的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)．對(duì)于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個(gè)方面：（1）要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語言去刻畫圖像的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對(duì)高一的學(xué)生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的。教學(xué)目的：1．使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖像和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法．2．通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力；通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力．3．通過知識(shí)的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程．教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明．教學(xué)難點(diǎn)：歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性．教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式講授，探究性學(xué)習(xí)．教具：計(jì)算機(jī)、投影儀．教學(xué)過程：創(chuàng)設(shè)情境引入新課師：上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的三種表示法，分別為：（師語音拉長(zhǎng)，師生一塊兒回答）生：列表法、公式法、圖像法。師：它們的區(qū)別是什么？生：列表法就是用表格來表示函數(shù)的方法；公式法是用函數(shù)解析式來表示函數(shù)的方法；圖像法是使用平面直角坐標(biāo)系里的圖形來表示函數(shù)的方法。師：這三者之間又有密切的聯(lián)系，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化。我們要研究一個(gè)函數(shù)，可以由解析式來研究，還可以由圖像來研究，這就是我們前面接觸過的數(shù)形結(jié)合思想。在生活中，很多現(xiàn)象都繪制成一個(gè)圖像，我們可以根據(jù)圖像來研究它們的規(guī)律，如：籃球入籃的路線，籃球運(yùn)動(dòng)員可以據(jù)此更好的將籃球投入框中等等，可見研究圖像是非常必要的。合作交流探索新知這節(jié)課我們就來研究一下函數(shù)圖像的性質(zhì)。我們先來研究一下的圖像有什么特點(diǎn)？為了研究這個(gè)問題，請(qǐng)同學(xué)們?cè)诓莞灞旧习凑眨毫斜怼椟c(diǎn)→連線，三個(gè)步驟畫出其函數(shù)圖像。師：觀察學(xué)生所畫圖形，借助幾個(gè)好點(diǎn)的學(xué)生作圖在展臺(tái)下展示給學(xué)生。其圖像為拋物線開口大小和方向由常數(shù)a決定，水平位置由常數(shù)b決定，豎直位置由常數(shù)c決定。師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谧约核鲌D像上左右各取5點(diǎn)，觀察其在拋物線上的變化？，的值又是怎樣變化的？生甲：當(dāng)取點(diǎn)由原點(diǎn)開始，越往左，點(diǎn)越高；越往右，點(diǎn)也越高，所以從整體看點(diǎn)是越來越高。師：同學(xué)們覺得他說的對(duì)不對(duì)呢？（部分同學(xué)說對(duì)，部分同學(xué)不說話，感到有些疑惑，也有同學(xué)說不對(duì)）請(qǐng)回答不對(duì)的乙同學(xué)回答。生乙：它是從中間觀察的，應(yīng)先向左看，再向右看。師：對(duì)，我們研究任何事物都要遵循一定的規(guī)律，觀察圖像要方向一致，我們可以采取從左向右看。生丙：當(dāng)取點(diǎn)由左向右時(shí)，圖像上的點(diǎn)整體先下降，后上升，圖像的左邊那部分整體是下降的，隨著的增大，函數(shù)值在減??；圖像的右邊那部分整體是上升的，隨著的增大，函數(shù)值在增大。師：我們研究的函數(shù)，其定義域?yàn)椋瑢W(xué)們所說的兩個(gè)部分可以認(rèn)為是定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間，區(qū)間和。在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)從左到右是一段下降的曲線，隨著的增大，函數(shù)值在減小，則稱函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格遞減的。在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)從左到右是一段上升的曲線，隨著的增大，函數(shù)值在增大，則稱函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格遞增的。提出問題：如何將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言呢？（學(xué)生討論）提示：打個(gè)比方，如果你組織班里的同學(xué)從左到右按由低到高排成一隊(duì)，你如何來證明你是按照這樣的順序排的呢？學(xué)生甲：我們可以從此隊(duì)中取兩位同學(xué)來測(cè)量高度，只要取的那兩位同學(xué)，左邊同學(xué)身高<右邊同學(xué)身高，就可以說明我是按照從左到右由低到高排的隊(duì)。學(xué)生乙：那兩位同學(xué)符合但其他同學(xué)呢？所以那兩位同學(xué)不具有代表性。學(xué)生甲：那你可以隨便取。師：“隨便取”用我們數(shù)學(xué)的語言來說就是——“任意取”。（提示甲）你試著用數(shù)學(xué)的語言來重新敘述你的觀點(diǎn)學(xué)生甲：我們可以從此隊(duì)中任意取兩位同學(xué)來測(cè)量高度，只要任意取的那兩位，左邊同學(xué)身高<右邊同學(xué)身高，就可以說明我是按照從左到右由低到高排的隊(duì)。師：“在區(qū)間，隨著的增大，函數(shù)值在減小”如何用數(shù)學(xué)語言描述呢？學(xué)生丙：受剛才那個(gè)例子的啟發(fā)，要說明在區(qū)間內(nèi)所有點(diǎn)的增大，都減小，我們可以在這個(gè)區(qū)間內(nèi)任意取，當(dāng)時(shí)，都有，那么這個(gè)問題就解決了?？偨Y(jié)深化得出概念我們得到以下概念教師打出一張PowerPoint幻燈片1．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，區(qū)間,如果對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，都有，(1)則稱函數(shù)在區(qū)間I上是嚴(yán)格遞增的。(或者說函數(shù)在區(qū)間I上是增函數(shù))稱區(qū)間I是單調(diào)上升區(qū)間。2．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，區(qū)間,如果對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，都有，(2)則稱函數(shù)在區(qū)間I上是嚴(yán)格遞減的。(或者說函數(shù)在區(qū)間I上是減函數(shù))稱區(qū)間I是單調(diào)下降區(qū)間。說明：如果在(1)中把“<”換成“”則稱函數(shù)在區(qū)間I上是遞增的。如果在(2)中把“>”換成“”則稱函數(shù)在區(qū)間I上是遞減的。3．如果函數(shù)在定義域上是遞增的（或遞減的）則稱是單調(diào)函數(shù)。如果函數(shù)在定義域上是嚴(yán)格遞增的（或嚴(yán)格遞減的）則稱是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。4．函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是遞增或遞減的性質(zhì)統(tǒng)稱為函數(shù)的單調(diào)性。練習(xí)：判斷下列結(jié)論是否正確①。②若函數(shù)。③若函數(shù)在區(qū)間和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)。④因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上都是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù)。通過判斷題，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：=1\*GB3①單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性．=2\*GB3②對(duì)于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))。=3\*GB3③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)。思考：如何說明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?掌握證法例證明函數(shù)在上是增函數(shù)。1．分析解決問題，針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討論、交流。證明：任取,設(shè)元求差變形斷號(hào)∴∴即∴函數(shù)在上是增函數(shù)．定論2．歸納解題步驟引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論．練習(xí)：證明函數(shù)在上是增函數(shù)．問題：要證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對(duì)任意的，且有可以嗎?引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性．讓學(xué)生嘗試用這種等價(jià)形式證明函數(shù)在上是增函數(shù)．〖設(shè)計(jì)意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價(jià)形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．（帶著思考結(jié)束函數(shù)單