2023年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（全國卷）專題08 數(shù)列（原卷版）

2023年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（全國卷）專題08數(shù)列目錄一覽①2023真題展現(xiàn)考向一等差數(shù)列考向二等比數(shù)列考向三數(shù)列求和②真題考查解讀③近年真題對(duì)比考向一等差數(shù)列考向二等比數(shù)列考向三數(shù)列的增減性考向四數(shù)列的證明考向五數(shù)列求和④命題規(guī)律解密⑤名校模擬探源⑥易錯(cuò)易混速記考向一等差數(shù)列一、單選題1．（2023·全國乙卷理數(shù)第10題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．2．（2023·全國甲卷文數(shù)第5題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．15考向二等比數(shù)列一、單選題1．（2023·全國甲卷理數(shù)第5題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40二、填空題2．（2023·全國乙卷理數(shù)第15題）已知為等比數(shù)列，，，則.3．（2023·全國甲卷文數(shù)第13題）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．考向三數(shù)列求和一、解答題1．（2023·全國乙卷文數(shù)第18題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2023·全國甲卷理數(shù)第17題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【命題意圖】1．等差數(shù)列、等比數(shù)列（1）理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.（2）掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.（3）能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.（4）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.【考查要點(diǎn)】數(shù)列部分高考題一般以中等難度試題為主，占高考試卷的分?jǐn)?shù)一般在10~17分，一般以等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)或以通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式為基礎(chǔ)考點(diǎn)，常結(jié)合數(shù)列的遞推公式進(jìn)行命題，側(cè)重于數(shù)列的基本量運(yùn)算、數(shù)列的概念及表示法的理解，主要考查考生對(duì)基本方法與基本技能的掌握；由于數(shù)列是一類特殊函數(shù)，所以在對(duì)知識(shí)的基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性的考查上，常會(huì)與函數(shù)、不等式等知識(shí)交匯，綜合考查函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等思想；通過數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用以及與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的問題考查考生的數(shù)學(xué)抽象以及數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)?！镜梅忠c(diǎn)】高頻考點(diǎn)：（1）數(shù)列自身內(nèi)部問題的綜合考杳如數(shù)列的遞推公式、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式及前，項(xiàng)和公式、數(shù)列求和；（2）構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)、求和如“歸納、累加、累乘，分組、錯(cuò)位相減、倒序相加、裂項(xiàng)、并項(xiàng)求和”等方法的應(yīng)用與創(chuàng)新；（3）綜合性問題如與不等式、函數(shù)等其他知識(shí)的交匯問題，與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化問題及與實(shí)際生活相關(guān)的應(yīng)用問題以及結(jié)構(gòu)不良問題。考向一等差數(shù)列一、填空題1．（2022·全國乙卷文數(shù)第13題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差．二、解答題2．（2022·全國甲卷理數(shù)第17題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．考向二等比數(shù)列一、單選題1．（2022·全國乙卷理數(shù)第8題）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．32．（2021·全國甲卷文數(shù)第9題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10考向三數(shù)列的增減性一、單選題1．（2022·全國乙卷理數(shù)第4題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．2．（2021·全國理卷文數(shù)第7題）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件考向四數(shù)列的證明一、解答題1．（2021·全國甲卷文數(shù)第18題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.2．（2021·全國甲卷理數(shù)第18題）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．3．（2021·全國乙卷理數(shù)第19題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．考向五數(shù)列求和一、解答題1．（2021·全國乙卷文數(shù)第19題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．?dāng)?shù)列問題特別突出對(duì)考生數(shù)學(xué)思維能力的考查，既通過歸納、類比、遞推等方法的應(yīng)用突出對(duì)考生數(shù)學(xué)探究、理性思維的培養(yǎng)，又通過通項(xiàng)公式、遞推公式、前n項(xiàng)和公式等內(nèi)容進(jìn)行大量技能訓(xùn)練，培養(yǎng)考生邏輯恩維、運(yùn)算求解能力。從近幾年的高考題可以看出，數(shù)列部分主要以考查基礎(chǔ)知識(shí)為主，同時(shí)鍛煉考生的運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力等。重點(diǎn)考查考生對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度及靈活應(yīng)用，同時(shí)也要重視對(duì)通性通法的培養(yǎng)，所以在備考中應(yīng)把重點(diǎn)放在以下幾個(gè)方面。（1)對(duì)數(shù)列的概念及表示法的理解和應(yīng)用；（2）等差、等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、遞推公式、前n項(xiàng)和公式中基本量的運(yùn)算或者利用它們之間的關(guān)系式通過多角度觀察所給條件的結(jié)構(gòu)，深人剖析其特征，利用其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)變形與轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的問題；（3）會(huì)利用等差、等比數(shù)列的定義判斷或證明數(shù)列問題；（4）通過轉(zhuǎn)化與化歸思想利用錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消、分組求和等方法求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（5）數(shù)列與不等式、兩數(shù)等的交匯問題；（6）關(guān)注數(shù)學(xué)課本中有關(guān)數(shù)列的閱讀與思考探究與發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)材料，有意識(shí)地培養(yǎng)考生的閱讀能力和符號(hào)使用能力，也包括網(wǎng)絡(luò)資料中與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)文化問題，與實(shí)際生活相關(guān)的數(shù)列的應(yīng)用問題；（7）結(jié)構(gòu)不良試題、舉例問題等創(chuàng)新題型。一、單選題1．（2023·湖南長沙二模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽安慶三模）在等比數(shù)列中，，則（

）A．4 B．8 C．32 D．643．（2023·福建福州三模）英國數(shù)學(xué)家亞歷山大·艾利斯提出用音分來精確度量音程，音分是度量不同樂音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對(duì)數(shù)標(biāo)度單位.一個(gè)八度音程為1200音分，它們的頻率值構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列.已知音M的頻率為m，音分值為k，音N的頻率為n，音分值為l.若，則=（

）A．400 B．500 C．600 D．8004．（2023·江蘇鎮(zhèn)江三模）已知，，，，成等比數(shù)列，且和為其中的兩項(xiàng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．（2023·重慶三模）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．6．（2023·江西師大附中三模）已知數(shù)列的通項(xiàng)，如果把數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)都去掉，余下的項(xiàng)依次排列構(gòu)成新數(shù)列為，再把數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)又去掉，余下的項(xiàng)依次排列構(gòu)成新數(shù)列為，如此繼續(xù)下去，……，那么得到的數(shù)列（含原已知數(shù)列）的第一項(xiàng)按先后順序排列，構(gòu)成的數(shù)列記為，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為（

）A．1013 B．1023 C．2036 D．20507．（2023·陜西寶雞二模）在等差數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則的前23項(xiàng)的和為（

）A． B． C．92 D．1848．（2023·山東菏澤三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若滿足，則（

）A． B． C． D．9．（2023·北京海淀三模）已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（2023·北京大興三模）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，，，，…，則（

）

A． B． C． D．11．（2023·北京大興三模）是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的無窮等比數(shù)列，，關(guān)于數(shù)列，給出下列命題：①數(shù)列中任意一項(xiàng)均不為0；②數(shù)列中必有一項(xiàng)為0；③數(shù)列中一定不可能出現(xiàn)；④數(shù)列中一定不可能出現(xiàn).其中正確的命題個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．312．（2023·福建福州二模）已知等比數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．313．（2023·廣東廣州三模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中，研究了二階等差數(shù)列．若是公差不為零的等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有一個(gè)“三角垛”，共有40層，各層小球個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)二階等差數(shù)列，第一層放1個(gè)小球，第二層放3個(gè)小球，第三層放6個(gè)小球，第四層放10個(gè)小球，，則第40層放小球的個(gè)數(shù)為（

）A．1640 B．1560 C．820 D．78014．（2023·北京通州三模）數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．415．（2023·湖北黃岡二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則取最大值時(shí)的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．1316．（2023·北京豐臺(tái)三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，若是首項(xiàng)為正數(shù)、公比為的等比數(shù)列，則“”是“對(duì)任意的，都有”的（

）A．充分且不必要條件 B．必要且不充分條件C．充分且必要條件 D．既不充分又不必要條件17．（2023·福建福州三模）數(shù)列中，，點(diǎn)在雙曲線上.若恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題18．（2023·河北張家口三模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則下列遞推關(guān)系中能使存在最大值的有（

）A． B．C． D．19．（2023·湖北武漢三模）已知實(shí)數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說法正確的是（

）．A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則恒成立B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則，，，…為等差數(shù)列C．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則D．若數(shù)列為等比數(shù)列，則，，，…為等比數(shù)列20．（2023·山西陽泉三模）設(shè)無窮數(shù)列為正項(xiàng)等差數(shù)列且其前n項(xiàng)和為，若，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．21．（2023·湖南岳陽三模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減C．當(dāng)時(shí)，取得最小值 D．時(shí)，n的最小值為7三、填空題22．（2023·河北三模）若數(shù)列為等比數(shù)列，則．23．（2023·人大附中三模）已知是公比為)的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則．24．（2023·廣西南寧三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則．25．（2023·上海虹口三模）已知等比數(shù)列中，若成等差數(shù)列，則．26．（2023·重慶三模）已知數(shù)列滿足：對(duì)任意的正整數(shù)m，n，都有，且，則．27．（2023·湖南長沙三模）若數(shù)列中，，，且（），記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，則的值為．28．（2023·河南三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的通項(xiàng)．29．（2023·云南三模）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為.30．（2023·上海浦東三模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使成立的的最小值為.四、解答題31．（2023·河南·襄城三模）在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足的k的值．32．（2023·河北張家口三模）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.33．（2023·河北衡水三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)積．34．（2023·福建福州三模）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知.(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{}滿足且，的前n項(xiàng)和為，證明:.35．（2023·廣東東莞三模）已知數(shù)列和，，，.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.36．（2023·河南·襄城三模）在等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的的最小值.37．（2023·山東菏澤三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．(1)分別求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，求出數(shù)列的前項(xiàng)和．38．（2023·江西師大附中三模）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．39．（2023·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．40．（2023·河北三模）已知等差數(shù)列，首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，點(diǎn)在斜率為1的直線上．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．41．（2023·山東日照·三模）已知數(shù)列滿足：.(1)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列中的第10項(xiàng)；(2)是否存在正數(shù)，使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在求出值并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.42．（2023·上海嘉定三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，點(diǎn)均在函數(shù)圖象上.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)問中是否存在不同的三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列？說明理由.43．（2023·江蘇鎮(zhèn)江三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.等差數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列滿足__________（在①②中任選一個(gè)條件）的第項(xiàng)取出，并按原順序組成一個(gè)新的數(shù)列，求的前20項(xiàng)和.①，②，其中.44．（2023·廣東汕頭三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則稱是“緊密數(shù)列”.(1)若，判斷是否是“緊密數(shù)列”，并說明理由；(2)若數(shù)列前項(xiàng)和為，判斷是否是“緊密數(shù)列”，并說明理由；(3)設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列與都是“緊密數(shù)列”，求的取值范圍.45．（2023·廣東廣州三模）已知整數(shù)數(shù)列是