高考試題-數(shù)學(xué)文（福建卷）

2010年高考試題——數(shù)學(xué)（文史類）（福建卷）

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.若集合A={x|14x?3},B={x\x>2},則AcB等于

A.{%|2<x<3}B.{x|x>1}C.{x|2<x<3}D.{x\x>2]

2.計算l-2sin222.5°的結(jié)果等于

旦

1Roc

A.-D.--------DT

2232

3.若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，其圖網(wǎng)積

等于

A.V3B.2

C.273D.6

,（等等于

4.i是虛數(shù)單位

A.i是B.-iC.1D.-1

X>1

5.若笛ywR,x-2y+3>0,則z=x+2y的最小值等于

y>x

A.2B.3C.5D.9

6.閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的i值等于

A.2B.3C.4D.5

x2+2x-3,xKO.…一人…】

7.函數(shù)/1)=<的零點個數(shù)為

一2+In%,x>0

A.2B.2C.1D.0

8.若向量。=（羽3）。貝1」“X二4”是“|a|=5"的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

9.若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)

分別是

A.91.5和91.5B.91.5和92897

C.91和91.5D.92和929316402

10.將函數(shù)〃x）=sin（3x+⑼的圖像向左平移!■個單位，若所得圖像與原圖像重合，則。的

值不可能等于

A.4B.6C.8D.12

11.若點。和點尸分別為橢圓二+乙=1的中心和左焦點，點P為橢圓上點的任意一點，則

43

麗?麗的最大值為

A.2B.3C.6D.8

12.設(shè)非空集合S={x|m<%</}滿足：當(dāng)xeS時，有feS。給出如下三個命題:

①若〃2=1,則5={1}；②若m=—工，則③若/=■,則----<<0o

2422

其中正確命題的個數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

第n卷（非選擇題共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。

22

13.若雙曲X線y彳=13>0）的漸近線方程為〉=±15工，則。等于。

14.將容量為〃的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分步直方圖。若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻

率之比為2：3：4：6：4：L且前三組數(shù)據(jù)的頻率之和等于27,則〃等于。

15.對于平面上的點集。，如果連接。中任意兩點的線段必定包含C,則稱。為平面上的凸

集。給出平面上4個點集的圖形如下（陰影區(qū)域及其邊界）：

③④

其中為凸集的是（寫出所有凸集相應(yīng)圖形的序號）。

16.觀察下列等式：

①cos2a=2cos2a-\；

②cos4a=8cos4a-8cos2々+1；

③cos6a=32cos6a-48cos4a+18cos2a-1；

④cos8a=128cos8a-256cos6cr+160cos4-32cos2a+1；

⑤cos1Oa=mcos10（2-1280cos'a+1120cos6a+160cos4-32cos2a+1；

可以推測，加一〃+P-o

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題滿分12分）

數(shù)列&｝中，％=；，前〃項和S“滿足S“=（；嚴(yán)（〃eN*）。

（I）求數(shù)列數(shù)列｛%｝的通項公式a“，以及前〃項和S“；

（H）若E，4S1+S2）,3G2+S3）成等差數(shù)列，求實數(shù)，的值。

18.（本小題滿分12分）

設(shè)平面向量%,=（加,1）,4=（2,〃），其中m,nG｛1,2,3,4）?

（I）請列出有序數(shù)組（加，〃）的所有可能結(jié)果；

（II）記“使得%±（am-a?）成立的（m,〃）”為事件A,求事件A發(fā)生的概率。

19.（本小題滿分12分）

已知拋物線C：y2=2px（p>0）過點A（l,—2）。

（I）求拋物線。的方程，并求其準(zhǔn)線方程；

（II）是否存在平行于0A（0為坐標(biāo)原點）的直線/,使得直線/與拋物線C有公共點,

且直線0A與/的距離等于逝？若存在，求出直線/的方程；若不存在，說明理由。

5

20.（本小題滿分12分）

如圖，在長方體ABC?！狝4GA中，E、"分別

是棱44、￡）?上的點（點E與用不重合），且

EH//A3。過EH的平面與棱84、CC,相交，交

點分別為尸、G?

(I)證明：AD〃平面EFGH；

(II)設(shè)AB=2A41=2a。在長方體A8CD-A#G2內(nèi)隨機選取一點，記該點取自

于幾何體448/^-。。。6”內(nèi)的概率為夕，當(dāng)點瓜產(chǎn)分別在棱A￡、8乃上運動且

滿足EF=a時，求p的最小值。

21.(本小題滿分12分)

某港口。要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上。在小艇出發(fā)時，輪船位

于港口的。北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速

度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以u海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)

過f小時與輪船相遇。

(I)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

(II)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最

小值；

(III)是否存在V,使得小艇以v海里/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方

向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請說明理由。

22.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)/(X)=一/+a、+/,的圖象在點p(0,/(0))處的切線方程為y=3x-2。

(I)求實數(shù)4、〃的值；

(II)設(shè)8(幻=〃燈+旦是［2,+00)上的增函數(shù)。

x-1

(i)求實數(shù)機的最大值；

(ii)當(dāng)機取最大值時，是否存在點。，使得過點0的直線能與曲線y=g(x)圍成

兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點。的坐標(biāo)；若不存在,

說明理由。

參考答案

一、選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算.每小題5分，滿分60分.

1.A2.B3.D4.C5.B6.C

7.B8.A9.A10.B11.C12.D

二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算.每小題4分，滿分16分.

13.114.6015.②③16.962

三、解答題：本大題共6小題；共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.本小題主要考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查

函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿分12分.

~a?l=(-)

解：(I)由Sn+1—Sn=(3)n+1得+3(nSN*)；

a\=故""一3(nFN*)

又3

｝口小11

匚十=廣歹］

1-----

從而3(nSN*).

13

S,=-S2=-

(H)由(I)可得3,?9,27

從而由S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差數(shù)列可得:

,解得t=2.

18.本小題主要考查概率、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、應(yīng)用意識，考查

化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想.滿分12分.

解：(I)有序數(shù)組(m,n)的吧所有可能結(jié)果為：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個.

(II)由a,"，(品一")得加2-2m+1。,即“=。"一IT.

由于〃{I,2,3,4},故事件A包含的基本條件為(2,1)和(3,4),共2個.又基本事

p(A)=-=-

件的總數(shù)為16,故所求的概率168.

19.本小題主要考查直線、拋物線等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考

查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。滿分12分。

解：(I)將(1,一2)代入V=2px,得(—2)2=2°」，所以p=2。

故所求的拋物線。的方程為V=4x,其準(zhǔn)線方程為％=-1。

(II)假設(shè)存在符合題意的直線1,其方程為〉，=-2x+f,

y=-2x+t,,

,,得八2），-2f=0。

y=4x

因為直線/與拋物線。有公共點，所以得=4+8fNO,解得，

2

另一方面，由直線0A與/的距離"=好，可得耳=4,解得f=±l。

5V5亞

因為一1e[-3，+00),le[-1,+00),所以符合題意的直線/存在，其方程為

2x+y—1=0。

20.本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概念等

基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形

結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。滿分12分

解法一：

(I)證明：在長方體A8CD—中，AO〃A.。

又,：EH〃A。、，：.AD//EH.

VAD<Z^EFGH，

EHu平面

AD〃平面EEG”o

（II）設(shè)BC=b,則長方體ABCD-AeGA的體積V=AB-ADAA^2a2b,

1b

幾何體EBXF-HCyG的體積％=（5?6尸）=5

'：EB：+BF=a。

FR2.p22B

EB「BXF<―一=—,當(dāng)且僅當(dāng)EBi=BF='a時等號成立。

從而，V1<——O

14

a2b

$=?,當(dāng)且僅當(dāng)Eg=33=正。時等號成立。

故p=1---1-

V2a2b8'12

7

p的最小值等于

8

解法二：

(I)同解法一。

(H)設(shè)BC=b,則長方體ABC?！狝4GA的體積丫=AB?A。=2/力，

幾何體E8￡—”GG的體積

1b

匕=-EBcB,F.

設(shè)NBiEF=8(0°W6W90。),則明=acos6,B/=asin。。

22

故E6/8F=a2sin6cos，=Jsin264L,當(dāng)且僅當(dāng)sin26=1即，=45°忖等號成

立。

從而V,<----。

'4

a2b

V~7~7

/.1-21>1——冬一=_,當(dāng)且僅當(dāng)sin26=l即。=45°時等號成立。

/?=V2a2b8

7

所以，p的最小值等于

8

21.本小題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推斷論證能力、抽象概括能力、

運算求解能力、應(yīng)用意識，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿分12

分.

解法一：(I)設(shè)相遇時小艇的航行距離為S海里，則

S=7900/2+400-2-30?-20cos(900-300)

=V900r-600r+400

=^900(r-1)2+300

故f=；時，5=1073,v=I=30A/3。

mjn。'

3

即，小艇以30省海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小。

(II)設(shè)小艇與輪船在8處相遇

由題意可知，(vf>=202+(30.)2-2?20-30Jcos(90°—30°),

化簡得：/=.一用+900=400(；—1)2+675。

由于0<f4,，即122,

2t

所以當(dāng)1=2時,

v取得最小值10&5,

即小艇航行速度的最小值為10V13海里/小時。

(III)由(II)知/=萼一整+900,設(shè)！="(〃>0),

于是400“2一600〃+900—F=0。(*)

小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價于方程(*)應(yīng)有兩個不等正根，即:

600-6。。(9。。-力>。,解得］5員”3。。

900-v2>0.

所以v的取值范圍是(15近,30)。

解法二:

(I)若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北

方向。

設(shè)小艇與輪船在C處相遇。

在RfOAC中，OC=20COS300=10A/3,

AC=20sin30°=10o

又AC=30f,OC=vf

此時，輪船航行時間，=竺=1

303

3

即，小艇以30萬海里/小時的速度行駛，相遇時小艇的航行距離最小。

(II)同解法一

(III)同解法一

22.本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推力論證能力、抽象概況能力、運算求解

能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)換思想、分類與整合思想。滿分

14分。

解法一：

,ff'(0)—3[a=3

(I)由/。)=/一2》+。及題設(shè)得「即《

1/(0)=-2[b=-2

1/77

(II)(i)itlg(x)=-x3-x2+31-2+----

3x-1

m

得g'(x)=/-2x4-3-

(I)?

vg（x）是［2,+8）上的增函數(shù)，.?.8'（刈20在［2,+8）上恒成立,

即爐—2x+3--------20在[2,+8)上恒成立。

(x-1)72

設(shè)(x—l)2=f。

???xG[2,4-00),?.re[l,+oo),

/71

即不等式，+2-：20在[1,+00)上恒成立

當(dāng)加W0時，不等式Z+2-亍^0在[1,+8)上恒成立。

當(dāng)機>0時，設(shè)y=1+2—'，tG[l,+oo)

t

inm

因為y，=l+￡〉0,所以函數(shù)y=f+2-;在[1,+8)上單調(diào)遞增，

因此%in=3一機。

*/ym[n>0,3->0,即〃？?3。

又小>0,故0<用43。

綜上，m的最大值為3o

(ii)111(i)得g(x)=—x3—f+3x—2+上一，其圖像關(guān)于點。(1,一)成中心對稱。

3x-13

證明如下：

.132rc3

*.*g(zx)=-x—+3x—2H-------

3x-1

11,3

.二g(2-x)=-(2-x)―(2-x)?+3(2-x)-2+--------

32-x-l

1.32,83

331-x

2

因此,g(x)+g(2-x)=§。

2

上式表明，若點A(x,