高考模擬創(chuàng)新試題分類匯編(數(shù)學)

高考模擬創(chuàng)新試題分類匯編（數(shù)學）

研究高考，最終需要落實到試題的研究上，而試題研究一般為兩個方向，一是研究近

幾年的高考題，二是研究針對相應高考的模擬試題，前者是前奏與方向指導，而后者是綜合

了前者的具體體現(xiàn)，其中的優(yōu)秀試題更是如此。

基于此點，筆者收錄了2005年60套全國各地的模擬試題，再加上2004年9月到2005

年4月底期刊中的零碎試題共計2400道，對其進行了篩選與歸類。在此過程中，筆者認識

到，優(yōu)秀試題一般有三個先決條件：一是以能力立意，表現(xiàn)為很難單獨地判斷考查的是什么

知識，而是在邊緣知識上命題，是對數(shù)個知識的“串門”綜合；二是蘊涵了一定的數(shù)學思想，

不是簡單的知識累計，這些常常通過學生易犯的典型錯誤或一題多解來體現(xiàn)；三是源于教材

而又高于教材，其中的“高”不是無休止地向“廣”或“深”（俗稱“深挖洞”，這是區(qū)分高

考與競賽題的重要標志）單方面開拓，而是更加突出“新”意（主要是結構形式新或背景緊

跟時代）、“平”意（主要是平常生活中常見、常用及知識上不超綱）。這三個條件中，創(chuàng)新

是試題的核心，這也正應了“知識有綱、能力無綱”的“遵循教學大綱又不拘泥于大綱”的

近年一再提倡的高考政策，所以以創(chuàng)新為基準對試題進行了說明與分類匯編。

一，集合簡易邏輯與不等式（復數(shù)）

考綱要求及分析

1，集合與簡易邏輯：理解集合、子集、補集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意

義.了解屬于、包含、相等關系的意義.掌握有關的術語和符號，并會用它們正確表示一些簡

單的集合.理解邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”的含義.理解四種命題及其相互關系.掌握充分

條件、必要條件及充要條件的意義.

集合是大學當中第一遇到的內容，也是現(xiàn)代數(shù)學的基礎，因此，中學階段集合上的能力

更重要的是作為一種思想的滲透。而集合的思想方法又主要體現(xiàn)為：一是理論上的思想滲透

（這不是高考命題的范疇），二是集合與其他知識如簡易邏輯的類比性滲透（這也難于化到

高考命題的范圍），三是集合本身內含了博大精深的思想，而這又是高中階段能解決又能反

應能力的地方，具體又表現(xiàn)為三點:⑴集合表示方法間的轉化蘊涵了數(shù)學解題的原則性思想:

列舉法

個具體化，、

文字描述法<熟刎屬性描述法闞化>符號表示法;⑵有限集合兀素個數(shù)確定的

J直觀化

圖示法

容斥原理（該部分在教材中處于閱讀內容，它可以用初中及小學的解方程法加以解決，也可

以用高中的容斥原理）；⑶集合的運算更多情況下是自定義的；⑷集合與方程或不等式同解

性聯(lián)系（這一部分通常以其他知識的面貌出現(xiàn)，如：“求…的解集”等等）。

充要條件的題一般有三種類型：一，傳統(tǒng)的判斷形：“判斷A是B的……條件”，它常

常以選擇題的形式出現(xiàn)；二是“證明A的……條件是B”的證明型；三是“找出A的……

條件，并證明”的開放型。后二者在高考中很少見到。

2,不等式：理解不等式的性質及其證明掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術平均數(shù)

不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應用.掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單

的不等式.掌握簡單不等式的解法.理解不等式|aHb|W|a+"W|a|+M。

從考題上而言，能力的反應變化為，在解法上由原來的等價轉化（穿根法）更推進一步，

出現(xiàn)了可以用圖象法并結合其他知識的解題這一原來認為是特殊技巧的解法的試題，以此來

體現(xiàn)創(chuàng)新能力。

3,復數(shù)：這是限于理科的內容，考試要求為：了解復數(shù)的有關概念及復數(shù)的代數(shù)表示

和幾何意義.掌握復數(shù)代數(shù)形式的運算法則，能進行復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法、除

法運算.了解從自然數(shù)系到復數(shù)系的關系及擴充的基本思想.

該部分降低要求，重心自然也放在基本的代數(shù)運算上。

將這幾部分結合在一起，是因為集合中的事例常常是通過不等式解集來體現(xiàn)，試題中也

最容易體現(xiàn)此點；而復數(shù)也可以看作是由于數(shù)集的推廣得到的。

二，例題簡析

例1，不等式e"*5x2-2的解集為.（《數(shù)理天地》2005年第4期P18）

分析：將不等式轉化為等價的有理不等式組，為此需要去掉絕對值符號，而

lnx>O=x>l,此時同理得出lnx<0時情況，注意x>0的隱含條件。

解：原不等式等價于①|或②|、，①的解為l<x<2;②的解為

x>x~-2—x>x—2

O〈x<l.總之，填（0,2）

說明：該題綜合了對數(shù)的運算、不等式的等價轉化及分類討論的數(shù)學思想，知識上不

超綱，充分體現(xiàn)了運算與思維能力.

例2,如圖，某藥店有一架不準確的天平（其兩臂不等）和一個10克的祛碼。一名患

者想要20克中藥，售貨員將硅碼放在左盤中，將藥物放在右盤中，待平衡后交給患者；然

后又將藥物放在左盤中，將技碼放在右盤中，待平衡后再交給患者。設患者實際購買藥物為

m克，則m20克（填><=）（石家莊質檢題）

解：設兩臂長分別為b,a,（b>a）,第一次、第二次稱得的藥物分別為x,y克，貝小

10b=xa,yb=10a,從而m=x+y=l^+W￡》2叵亞=20,等號成立當且僅當他=弛.當且僅當

abNabab

a=bVa^b...m>20克填〉

說明：該題容易看不懂題意，憑感覺“藥店不吃虧”而錯填<;這與考綱中考查理性思

維相對應。

例3,某商場對商品進行兩次提價，現(xiàn)提出四種提價方案，提價幅度較大的一種是（）

A,先提價p%,后提價q%B,先提價q%,后提價p%

C,分兩次提價，幺%D,分兩次提價J，'％（以上pWq）（吉林質檢）

解：設原價為1,則A、B提價后都為（l+p%）（l+q%）,A、B都不當選；方案C提價后為

（1+告幺％尸，方案D提價后為（1+產(chǎn)尹%）2,只要比較J?丁與P±1的大小。這

p2+q2》正&由于p#q,所以JI-2+q2"

J22V22

2

說明：不等式》■反應了平方和與和的大小關系，是教材中的一個習

2

題，用它可以解決許多問題，該題給我們的啟示是，“應將之視作一個基本不等式對待”。

例4,任意兩正整數(shù)m、n之間定義某種運算十，m十!)=僅+"("與響奇偶)，則集合

(與"異奇偶)

M={(a,b)|a十b=36,a、bGN+}中元素的個數(shù)是(金良.《考試》2004(11)P25)

解：a、b同奇偶時,有35個：a、b異奇偶時,有(1,36)、(3,12)、(4,9)、(9,4)、(12,3)、

(36,1)6個,共計41個。填41。

說明：定義運算是數(shù)學學習到一定程度的抽象產(chǎn)物，它給我們的啟示是：集合間的運

算并非僅教材上提及的幾個簡單運算，多數(shù)情況下是自定義的。

［試題匯編］

—>單項選擇題

1,已知M={y|y=x?},N={y|x'+y2=2},貝！]MriN=()

A、{(1,1),(-1,1)}B、{1}C、[0,1]D、[0,應](湖南示范)

2,(理)設復數(shù)z=—+(l+i)2,則(1+z)，展開式的第五項是()

1+/

A,-21B,35C,-21iD,-35i(金榜園模擬3)

(文)不等式1x122*的解集是()

x

A,(-8,o)B,[V2,+oo)C,(-8,o)U[V2,+oo)D,[-V2,0)u[V2,+oo)

(武漢4月調研)

3,函數(shù)y=f(x)是圓心在原點的單位圓的兩段圓弧(如圖),則不等式f(x)<f(-x)+x

第3題圖

的解集為()

2"\[^,2y2,\/5

A,{x,-----<x<0或----<xWl}B,{x|TWx〈一§或5

55

2,\/-532y/~5D,{x卜孚<x〈半且xWO}

C,{x|-l^x<-----或----<x^l)

55

（浙江路橋中學.《中學教研》.2005（4）P47）

4,集合P={集4,9,16,……}，若adP,beP,有aObep,則運算O可能是O

A,加法B,減法C,除法D,乘法（燕園沖刺三）

5,設x、y、a、bdR,且x2+y2=4,a2+b2=l4ijS=ax+by的最值情況是（）

A,最大值為5/2,無最小值B,最大值為2,最小值為-2

C,最大值為5/2,最小值為-5/2D,以上都不對（燕園沖刺二）

6（文）小區(qū)收取冬季供暖費，根據(jù)規(guī)定，住戶可以可以從以下方案中任選其一：方案

一，按使用面積繳納，4元/米二方案二，按建筑面積繳納，3元/米）李明家的使用面積

是60米2,如果他家選擇方案二繳納費用較少，那么他家的建筑血枳最大不超過（）米2

A,70B,80C,90D,100（燕園沖刺三）

（理）某商店某種貨物的進價下降了8%,但銷售價不變，于是這種貨物的銷售利潤率

（銷售價-進價Xi。。%）由原來的r%增加到（r+10）%,則1=（）

進價

A,12B,15C,20D,25（名校聯(lián)考）

7,a<b,d<cJL（c-a）（c-b）<0,（d-a）（d-b）>0,則a、b>c、d的大小關系是（）

A,d<a<c<bB,a<c<b<dC,a<d<b<cD,a〈d〈cvb（黃岡練習）

8,函數(shù)f（x）=lg（ax-bx）（a>l>b>0）,貝I」f（x）>0的解集為（1,+8）的充要條件是（）

A,a=b+1B,a<b+1C,a>b+1D,b=a+1（黃岡模擬）

9,設集合I={1,2,3},A￡L若把集合MUA=I的集合M叫做集合A的配集，貝I」A={1,

2}的配集有（）個A,1B,2c,3D,4（黃愛民，胡彬《中學生學習報》2005

模擬一）

10（文）設a〕WazWasbWb?<b3為兩組實數(shù)，54臼為bibb的任一排列,設

P=ab+a2b2+a3b3,Q=aib?+a2b2+a3b|,R=a0+a2c2+a3c3則必有（）

A,PWQ<RB,R<PWQC,PWRWQD,QWR<P（唐山一模）

（理）設2a是第二象限的角，則復數(shù)（tana+i）（l+icota）對應的點位于復平面內的第（）

象限

A.—B.二C.三D.四（唐山二模）

11，有一個面積為1米2,形狀為直角三角形的框架，有下列四種長度的鋼管供應用，

其中最合理（夠用且最?。┑氖牵ǎ┟譇,4.7B,4.8C,4.9D,5（石家莊二模）

12,（文）設全集。=R,集合M={x|五=42_2,xeR},N={x|Jx+1W2,

xeR}則（C°M）nN等于（）A.{2}B.{x|-l<x<3}C.{*|x<2,或2Vx

<3}D.{x|-14x<2或2<x43}（北京四中模三）

(理)不等式組“一1>“，有解，則實數(shù)a的滿足的取值范圍集合是()

[x-4<2a

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-8,i)U(3,+8)D.(-8,-3)U(1.+°°)

(天星教育)

二，填空題

13,(文)不等式J7>ax+—的解集為(4,b),則a.b=(胡明顯.《考試》2005

2

(4)P20)

(理)已知三角形ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c,滿足1+1/=^(n>2),則三角

形ABC一定是__________三角形(按角分類)(全國聯(lián)考)

14(文)已知集合P={(x,y)\y=m},。={(x,y)\y=ax+\,a>0,a#l},如

果Pl?。有且只有一個元素，那么實數(shù)小的取值范圍是.(北京四中模二)

(理)定義在[-1,1]上的奇函數(shù)f(x)單調增，且f(-l尸-1,若f(x)Wt2-2at+l對一切x及a

W[-1,1]恒成立，則t的取值集合是(北京海淀)

15,設含有集合A={1,2,4,8,16}中三個元素的集合A的所有子集記為B“B?,B3，…,B”(其

中nGN*),又將Bk(k=l,2.....n)的元素之和記為ak1則=_____(江蘇常州模擬)

16,下列4個命題：①命題“若Q則P”與命題“若非P則非Q”互為逆否命題；②

“am2Vbm2”是“a<b”的必要不充分條件;③“矩形的兩條對角線相等”的否命題為假;

④命題“0仁{1,2}}或4e{1,2}"為真命題。其中真命題的序號是是：

(江西吉安二模)

三，解答題

22

17,設命題P：關于x的不等式誓>1->0且2#1)的解集為收|—6<28；命題5

y=lg(axJx+a)的定義域為R。如果P或Q為真，P且Q為假，求a的取值范圍

(根據(jù)吉林質檢與邯鄲一模改編)

18,(文)定義在D上的函數(shù)y=f(x)對于xi,xzGD,有|f(xMf(xz)|<l,則稱y=f(x)是漂亮

函數(shù)，否則稱非漂亮函數(shù)。問f(x)=x3-x+a(xe[-l,l])是否為漂亮函數(shù)，是證明之，否則說

明理由。(安振平.《數(shù)學大世界》.2005(4)P9)

71

(理)設f(x)=ax?+bx+c,若f(l)=在，那么是否存在a,b,c,使得不等式X、上Wf(x)

22

3

W2x?+2x+—對一切實數(shù)x都成立，存在求出f(x)解析式，不存在說明理由(周友良.《高

2

中數(shù)理化》2005年(1))

19,從甲到乙的運煤鐵路專線，車速由原來的100km/h提高到150km/h,相鄰兩列火車

的車距(車頭與前一列車尾的距離)由原來的9倍車長提高到現(xiàn)在的11倍車長，則此次提

速運煤效率(單位時間內的運輸量)提高了多少？(辛民.《數(shù)學通訊》2004(13)P21)

20,⑴已知a、b是正常數(shù)，aWb,x,ye(0,+8),求證：—+—指出等號

xyx+y

291

成立的條件；⑵利用⑴的結果，求函數(shù)f(x尸一+—丁(x￡(0,—))的最小值，并求出相應的

x1-2x2

x的值。(《中學數(shù)學教學參考》2005(3)P25)

21(文)某公司生產(chǎn)的品牌服裝年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件，需另投入1.9

10x-—x3(0<x<10)

萬元，設R(x)(單位：萬元)為銷售收入，根據(jù)市場調查，R(x)=30八，

其中x是年產(chǎn)量(單位：千件)⑴寫出利潤W與年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式

⑵年產(chǎn)量為多少時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中獲利最大？(唐山二模)

(理)某城南2001年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量

的6%,并且每年新增汽車數(shù)量相等.為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬

輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛？(北京四中專題講座)

22,(文)⑴關于x的不等式2xJ<2""在整數(shù)集內僅有解{I},求實數(shù)a的取值范圍；

(2)a?、胖械淖钚≈禃r，函數(shù)/(%)=log3(ox+b)圖象過點A(2,1)記*=3""),neN*,

是否存在正數(shù)%使得(1+')(1+」-)…(l+-!-)N女"用對一切”eN*均成立，若存

在，求出％的最大值，若不存在，請說明理由(北京四中模二與石家莊一模合編)

(理)對于函數(shù)f(x),如果存在xGR,使f(x)=x成立，稱x為f(x)的一個不動點，已知

f(x)=ax°+(b+l)x+bT(aWO)。⑴若對bGR,f(x)恒有兩個相異的不動點,求實數(shù)a的范圍;

⑵在⑴條件下，若y=f(x)圖象上兩點A、B兩點的橫坐標是函數(shù)f(x)的不動點，且A、B關

于直線y=kx+a2-4a+4對稱，求b的最小值(成都診斷)

函數(shù)與數(shù)列

一，考綱要求及分析：

1,函數(shù)：對于函數(shù)的概念，考綱要求是：了解映射的概念，理解函數(shù)的概念，對其考查，

主要在于函數(shù)的三要素：定義域、值域與最值、對應法則(解析式)匕函數(shù)的定義域，其

實多數(shù)是解不等式(組)；解析式則常見的方法有代換法、拼湊法、待定系數(shù)法、解方程組

法，比較適宜理解層次的能力考查；單調性、值域與最值往往與基本不等式應用、求導數(shù)結

合在一起，其中單調性還可以用圖象觀察法加以解決。2005年考綱又再度將奇偶性由三角

部分調回函數(shù)部分為理解層次,這也恢復以前奇偶性以般函數(shù)為背景而不是僅僅限于三角

函數(shù)。對于反函數(shù)，考綱要求，了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關系，會求

一些簡單函數(shù)的反函數(shù)，這里反函數(shù)存在的條件容易當成邊緣知識加以考查。指數(shù)函數(shù)與對

數(shù)函數(shù)考綱要求：理解分數(shù)指數(shù)基、對數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)累、對數(shù)的運算性質，掌握

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質，它們容易以方程或不等式形式來體現(xiàn)一定的創(chuàng)新。

2,數(shù)列：考綱對數(shù)列要求多年一致：理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列的通項公式意義，了

解遞推數(shù)列是給出數(shù)列的?種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前兒項；理解等差、等比

數(shù)列的概念，掌握等差、等比數(shù)列的同項公式和前n項和公式，并能解決簡單的實際問題。

多年命題也重在解決簡單問題上，但對簡單問題還存在認識上的差異：由于受大學的影響，

此處常常是超越考綱。

從知識上說，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；從題上而言，函數(shù)與數(shù)列常常結合在一起，以函

數(shù)與方程的數(shù)學思想形式出現(xiàn)，也是近年?？疾凰サ囊粋€熱點。

二，例題簡析

例1,學校餐廳每天供應1000名學生用餐，每周一有A、B兩種菜譜可供選擇(每人限

選一種)，調查表明：凡周?選A菜譜的人，下周一會有20%的人改選B菜譜，而選B菜譜的

人，下周一有30%的人改選A菜譜。試問，無論原來選A菜譜的人有多少，隨著時間的推移，

選A菜譜的人將趨近于多少人？(陶曉靜.《數(shù)學通訊》2004(21)P12)

解：設A0,B”為第n周選A、B菜譜的人數(shù)，A,=a,則

4343,、1

A"尸一An+Bn=—An+(1000-An)=~An+300

5105102

11a

［方法一］設An「a=-(A?-a)HPA?,i=-A?+—/.a=600,

222

這樣｛A「600｝構成以1為公比的等比數(shù)列，A「600=(a-600)(J)，

22

.\A?=600+(a-600)(-)"'1limA產(chǎn)600,...隨著時間的推移，選A菜譜的人將趨近600人

2M->00

則limA?.i=-lim人計300即2=工a+300,a=600,隨著時

［方法二］設limAn=a

〃一>822

間的推移，選A菜譜的人將趨近600人。

說明：該題以數(shù)列極限應用題的形式出現(xiàn)，這在中學試題中并不常見，但在大學基礎課

中是最常見的一類題型。其解法上用到一個默認的結論：一個數(shù)列含有極限，則極限必須唯

例2,已知集合L=｛(x,y)|y=2x+l｝,點P?(an,bn)GL,Pi為L中元素與直線y=l的交點,

數(shù)列｛aj是公差為1的等差數(shù)列。⑴求數(shù)列瓜｝、｛1的通項公式;⑵若CF7(n》

n\P,Pn\

d為奇數(shù))

2),求數(shù)列｛c.｝的所有項和(即前n項和的極限)；⑶設f(n)=1工/E必、是否存在正

也(〃為偶數(shù))

整數(shù)n,使f(n+ll)=2f(n)成立，若存在，求出n的值，若不存在，說明理由(張學文.《數(shù)學

通訊》2004(21)P31)

解：(l)Pi(O,1),a?=ai+(n-l)l=n-l,b?=2a?+l=2n-l

22

(2)IPiP,,|=J(an-a,)+(bn-bt)=75(n-1),c?=——-——二，｛c“｝的前n項和

(n-l)nn-1n

S?=(l--)+(---)+……+('-，)=l-LfO(nf8).?.?｝的所有項和為I

223n—\nn

(3)n為奇數(shù)時，n+11為偶數(shù),f(n+ll)=2f(n)=28+11)-1=2(11-1)無解;11為偶數(shù)時

f(n+ll)=2f(n)=n+10=2(2rrl),n=4.總之，存在n=4滿足條件。

說明：該題將數(shù)列與函數(shù)結合在一起，⑴、⑵只要掌握基本結論、運算的先后次序，就

可以解出，體現(xiàn)了運算中的有序思想；⑶開放設問，解答過程中也體現(xiàn)了分類整合的數(shù)學思

想。

例3,過點P(l,0)作曲線c:y=x"xe(0,+8),keN*,Z>l)的切線切點為設。

點在x軸上的投影是點P”又過點Pi作曲線c的切線切點為Q2,設?在x軸上的投影是m…，

依此下去，得到一系列點Q>,Q”…，Q“，…，設點Q”的橫坐標為a?(1)求證：

%=(A)"，“6N*；(2)求證：%N1+”:(3)求證：y^—<k2-k(注：

"k-\"k-\gq

丑％=%+%+—+%)(湖南示范，《中學數(shù)學教學參考》2005(4)P43)

解：(1)y'=kxk-',若切點是Q“(a”a.k),則切線方程是y—吊=履片。-%)

當n=l時，切線過點P(1,0)即0—%*=總/(1一《)，得q=—匕；當n〉l時，切線過

點P,I(%T，0);即0-d=履丁?I_《,)得一%=￡,所以數(shù)列｛〃,,｝是首項為上

?！耙?攵-1K-1

⑶設s“=J-+2+…+土1！+2_則"1.5“=-1+2+...+巴11+/-兩式相減,

a?_.a?k%a-,a?a114.,

k-1-1I1n

得(1—)xS〃=—+—+???+-----------<+------1-,??+----,

說明：該題結合了解析幾何、數(shù)列、導數(shù)、不等式等諸多知識，綜合性較強；解答時需

要較強的思維能力與堅持不懈的精神，而將數(shù)列與導數(shù)結合一起是一種創(chuàng)新。

例4,定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)f(x),滿足f(x+2)=f(x),且f(x)在［-3,-2］上單調減,

又a、B是銳角三角形的三個內角，則()

A,f(sina)>f(sinB)B,f(cosa)<f(cosB)

C,f(sina)>f(cosB)D,f(sina)<f(cosB)(金榜園三模)

解：由已知，f(x)的周期為2,且在［-3,-2］上單調減，根據(jù)此點可以作出圖象大致如

下:

f(x)在［0,1］上t,只要比較自變量

的大小：a、B是銳角三角形的三個內角二a+B>n/2,的大a>”/2-B，sina>sin("

/2-B)=cosB,于是f(sina)>f(cosB),選C.

說明：該題雖小，但綜合了三角、函數(shù)的有關知識，解法上也用到了轉化與數(shù)形結合的

思想。

［試題匯編］

、單項選擇題

4

1,函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，當x>0時,f(x)=x+—,且當xW[-3,T]時,nWf(x)<m,則

x

m-n的最小值為()A,1/3B,2/3C,1D,4/3(鄭州質檢)

2,設f(x)=|log3x|,若f(x)>f(」7),則x的取值范圍是(

2

2772727

A,(0,-)U(1,-)B,(―,+8)C,(0,-)U(-,+~)D,一,一)(湖南示范)

7227272

3,(文)已知f(x)=x'l,則lim"2+3x)―/(2):()

18X

A,4B,12C,36D,39(邯鄲一模)

—1m/??-1

(理)m,n是正整數(shù)，則lim-----=()A,0B,1C,—D,絲，(文譜一模)

Xfix"-1nn—1

4,直角梯形ABCD中，P從B點出發(fā)，由B-C-D-A沿邊緣運動，設P點運動的距

離是x,4ABP的面積為f(x),圖象如圖，則AABC的面積為()

A

9-----------c

04914

A,10B,16C,18D,32(高慧明《中學生數(shù)理化》2005(3)P28)

5,平移拋物線x2=-3y,使其頂點總在拋物線x2=y上，這樣得到的拋物線所經(jīng)過的區(qū)域為

()A,xOy平面B,ywgx?C,y>-^x2D,yW-gx?(同一套題一模)

6,某大樓有20層，有19人在第一層上了電梯，他們分別要去第2層到20層，每層

一人，而電梯只允許停?次，可只使一人滿意，其余18人都要上樓或下樓。假設乘客每向

下走一層不滿意度為1,每向上走一層不滿意度為2。所有人不滿意之和為S,為使S最小,

電梯應停在第()層。

A,15B,14C,13D,12（燕園沖刺）

I_2__2

7（文）函數(shù)f（x尸""-x（O〈a〈b）的圖象關于（）對稱

\x+b\-h

A,x軸B,y軸C,原點D,直線y=x

/2__2

（理）函數(shù)Rx尸一1~X——（Ovavbvc）的圖象關于（）對稱

IX+&I+IX—C|

A,x軸B,y軸C,原點D,直線y=x（石家莊二模）

8,設a>l,對于實數(shù)x,y滿足:|xHogaL=。,則y關于x的函數(shù)圖象為（）

（石家莊一模）

9（文）已知函數(shù)f（x）=log2x的反函數(shù)為「（x）,若J（a）「（b尸4,則a+b=（）

1

A,-B,1C,2D,4

2

22

（II）已知函數(shù)f（x）=Iog2x的反函數(shù)為『（x）,若J（a）fI（b）=4,則a+b的最小值為（）

A,-B,1C,2D,4（江西吉安二模）

2

10,設產(chǎn)f（x）是一次函數(shù)，出0尸1,且41）,出4）,瑁3）成等比數(shù)列，則￡/（2口=（）

y

A,n（2n+3）B,n（n+4）C,2n（2n+3）D,2n（2n+4）（石家莊一模）

11,a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比數(shù)列，公比為q,則q+q'q'3）

A,1B,2C,3D,4（〈中國考試.2005高考?？的６?/p>

12（文）數(shù)列｛aj前n項和為Sn=3n-2n2,當n22時，下列不等式成立的是（）

A,nai>Sn>nanB,Sn>na!>nanC,nan>Sn>na[D,Sn>nan>nai（北京東城練習一）

（理）有一條生產(chǎn)流水線，由于改進了設備，預計第一年產(chǎn)量增長率為150%,以后每

年的增長率是前一年的一半；同時，由于設備不斷老化，每年將損失年產(chǎn)量的10%。則年

產(chǎn)量最高的是改進設備后的第（）年。A,1B,3C,4D,5（名校聯(lián)考）

二，填空題

13（文）某銀行在某段時間內，規(guī)定存款按單利計算，且整存整取的年利率如下:

存期1年2年3年5年

年利率（%）2.252.42.732.88

某人在該段時間存入10000元，存期兩年，利息稅為所得利息的5%。則到期的本利和為

兀。（按石家莊質檢改編）

+1

（理）lim（--------+an+b）=3,貝ija+b=______________（湖南示范）

"isn+1

14,設f(x)=|x|x+bx+c,給出下列命題中，所有正確的命題序號是

①b=0,c>0時，f(x尸0僅有一個根：②c=0時，y=f(x)為奇函數(shù)：③產(chǎn)f(x)的圖象關于點(0,1)

對稱；④線x)=0至少有兩個實數(shù)根。(燕園沖刺二)

15(文)在等比數(shù)列忸3中，a7a“=6,a4+ai4=5,則刨=(黃岡模擬)

a\o

(理)已知數(shù)列同｝各項為正數(shù)，前n項和為Sm有Sn=3(an+l)(an+2),若a2,a*a9成等比數(shù)

6

列，貝伊廣(邯鄲一模)

16,已知f(x)=aX(xGR),部分對應值如表所示

X-202

f(x)0.69411.44

，則不等式f'(|x-l|)<0的解集是(湖北八校)

三，解答題

17,如圖，周長為16米的籬笆借助一個墻角圍成一個矩形ABCD,在矩形內的一點P

處是?棵樹，樹距離兩墻分別為a、4米(0<a<12);若將此數(shù)圍進去，又使圍成的面積最大，

如何圍法，并求最大面積。(理國起.《數(shù)學通訊》2004(13))

18(文)已知xWR+,F(x)是R+上的減函數(shù),且耳x尸xF(x)

⑴對任意X1,X2GR+,求證:f(X|)>X|F(Xi+X2),f(X2)>X2F(Xi+X2),并判斷f(X))+f(X2)>f(Xi+X2)

是否為F(x)在正實數(shù)集上遞減的必要條件：⑵將⑴中的結論推廣到任意有限個，寫出一個結

論，不必證明(鄭州質檢)

(理)已知函數(shù)f(x尸e”(cosx+sinx),將滿足f(x尸0的所有正數(shù)x從小到大排成一個數(shù)列

tsk

入｝；⑴證明：數(shù)列入｝等比；⑵記S”為數(shù)列｛Xnf(XJ｝的前n項和，求S=lim且一的值(陳

東明.《試題與研究》2005(14)P17-18)

19,已知f(x)是定義在實數(shù)集上恒不為0的函數(shù)，對任意實數(shù)x,y,f(x)f(y尸f(x+y),當x>0

時，有0<f(x)<f(l),⑴求f(O)的值,并證明f(x)恒正；⑵求證f(x)在實數(shù)集上單調減；⑶設

a|=l/3,an=f(n)(n為正整數(shù))，S”為數(shù)列佃｝的前n項和.(文)求Sn(理)求集合

｛附)郎2b……,f(Sn),……,fUimSJ｝的最小元素m與最大元素M(邯鄲二模)

H—>00

n

20(文)已知數(shù)列an=(-l),n=l,2,3,……⑴數(shù)列｛aQ的前n項和為A2數(shù)列｛A。｝的前n項

和為Sn,求證：2Sn+n=An⑵設bf(1為月,數(shù)列佃｝、｛也溫的前n項和分別為Bn,Cm若Cn

比Bn大42,求n(唐山二模)

(理)已知￡=(2乂-2"9-2垃/=(?1,1),點列心壯)在曲線E:產(chǎn)Z?丹上，而點ah)在

S

y=logax(a>0且aWl)的圖象上(n￡N*)⑴記Sn為㈤｝的前n項和，當a=3時，求limY■的

3V

值；⑵是否存在正整數(shù)M,使得當n>M時，a/l恒成立？證明你的結論。（吉安二模）

21（文）商學院為推進后勤社會化改革，與桃園新區(qū)商定：由該區(qū)向建設銀行貸款500

萬元在桃園新區(qū)為學院建一棟可容納一千人的學生公寓，工程于2002年初動工，年底竣工

并交付使用，公寓管理處采用收費還貸建行償貸款形式（年利率5%,按復利計算），公寓

所收費用除去物業(yè)管理費和水電費18萬元.其余部分全部在年底還建行貸款.（1）若公寓

收費標準定為每生每年800元，問到哪一年可償還建行全部貸款；（2）若公寓管理處要在

2010年底把貸款全部還清，則每生每年的最低收費標準是多少元（精確到元）.（參考數(shù)據(jù):

Igl.7343=0.2391,lgl.05=0.0212,1.058=1.4774）

（理）某地區(qū)發(fā)生流行性病毒傳染，居住在該地的居民必須服用一朝藥物預防，規(guī)定每

人每天早晚8時各服一片?，F(xiàn)知該藥片每片含藥量為220毫克，若人的腎臟每12小時從體

內濾出這種藥物的60除在體內殘留量超過386毫克，就將產(chǎn)生負作用。⑴某人匕午8時第

一次服藥，問到第二天上午8時，這種藥物在體內還殘留多少？⑵長期服用這種藥的人會不

會產(chǎn)生負作用？（《中學數(shù)學教學參考》2005（4）P42）

22（文）如圖，一個粒子在區(qū)域｛（x,y）|x20,y》0｝上運動，在第一秒內它從原點運動到

B1（O,1）點，接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運動，且每秒運動一個單

B5

B4

B3J

B21

1AlA2A3A4A5A6

位長度。I

⑴設粒子從原點到達點A0、Bn、Cn時，所經(jīng)過的時間分別為a0、bn>Cn,試寫出三者的通

項公式;⑵求粒子從原點到點P（16,44）時所需要的時間;⑶粒子從原點開始運動,求經(jīng)過2004

秒后，它所處的位置（《中學數(shù)學教學參考》2005（4）P42）

（理）設A（x1,y）,B（X2,y2）是函數(shù)f（x）=—1+log?」X一圖象上任意兩點，且

21-x

（3+而），點M的橫坐標為g⑴求證M點的縱坐標為定值;⑵若S.=￡/（2）,n

2

GN*,且n22,求S”;⑶已知a"=、（”=DnGN*,T"為數(shù)列｛aj的前n項和，若TW

----------;----------（"22）

入（Sm+l）對一切nGN*都成立，求人的取值范圍（濰坊模擬）

向量與三角

一，考綱要求及分析

1.平面向量：理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。掌握向

量的加法和減法。掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件。了解平面向量的基

本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算。掌握平面向量的數(shù)量積及

其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂

直的條件。掌握平面兩點間的距離公式，以及線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練

運用。掌握平移公式。試題一般設計思路是理解為容易題，掌握為中等題，熟練應用為綜合

題，而向量綜合又集中于距離、定比分點向量的坐標運算處，創(chuàng)新也主要體現(xiàn)在它與三角、

解析幾何的進一步綜合性的加強上。

2,三角部分：理解任意角的概念、弧度的意義.能正確地進行弧度與角度的換算。掌握

任意角的正弦、余弦、正切的定義.了解余切、正割、余割的定義。掌握同角三角函數(shù)的基

本關系式.掌握正弦、余弦的誘導公式。了解周期函數(shù)與最小正周期的意義。掌握兩角和與

兩角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。能正確運用三角公

式，進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明。了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)

的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)產(chǎn)Asin(3x+0)的簡圖，理解

A,3,0的物理意義。掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形。此處試

題的創(chuàng)新主要體現(xiàn)為以下幾點：一是由于多年慣性的作用，仍然在三角函數(shù)的圖象和性質上

下大力氣，這種創(chuàng)新實質還是將三角函數(shù)的圖象和性質視作掌握層次加以對待，小題中出現(xiàn)

尚可，大題中出現(xiàn)不貼切；二是原來以三角求值為重心轉化到以化簡為重心，這一轉換實質

是將求值看作?種特殊的化簡對待，是i種認識思想理念的轉變，理應給予肯定；三是將平

移綜合在一起，既堅持了傳統(tǒng)意義上的左、右、上、下平移敘述，也可以以向量的面貌出現(xiàn),

也是很貼切的處理方式。

例1，將函數(shù)y=J(cos3x-sin3x)的圖象沿向量a=(h,O)平移，可以得到y(tǒng)=-sin3x的

2

圖象，其中h=()A,Jt/4B,-n/4C,Ji/12D,-n/12(《高中數(shù)理化》

2005(2)P3)

解［方法一］將y=-sin3x沿-a=(-h,0)平移得y=-sin3(x+h)=-sin3xcos3h-cos3xsin3h

sin3h-....27r

J23h=-—+2kn,h=—kn-一(k￡Z),k=O時,h=--.選D

72431212

cos3h=---

2

[方法二]y=---(cos3x-sin3x)=-sin(3x-C)=-sin[3(x-2),沿a二(-￡,0)平移可得

241212

y=-sin3x,選D.

說明：該題的兩種解法體現(xiàn)了正向、逆向兩種思維順序的變化，以此來體現(xiàn)思維能力；

平移又是學生最容易犯錯誤的地方，一般的點(x,y)沿向量(h,k)平移后得到(x+h,y+k),而曲

線f(x,y)=0沿向量(h,k)平移后得到曲線f(x-h,y-k)=0,向量(x,y)沿向量(h,k)平移后得到

向量仍然為(x,y),這些規(guī)律可以用“點相同，線相反，向量平移永不變”一句話加以總結，

這里沿向量(h,k)平移也可以敘述為沿x軸、y軸平移h、k個單位，h、k為正表示向右、上

平移，為負表示向左、下平移。

例2,二次函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,f(l-x)=f(1+x)成立，設a=(sinx,2),b=(2sinx,')

2

,c=(cos2x,1),d=(l,2),當xW［0,n］時,解關于x的不等式f(a.b)>f(c.d)(毛仕理.《數(shù)理

天地》.2005(4).P19)

解：山已知f(x)關于x=l對稱，而a.b=2sir?x+l=2-cos2xN1,c.d=cos2x+221,

f(a.b)>f(c.d),當二次項系數(shù)為正時，f(x)在x21上單調增，a.b>c.d,cos2x<0,VxG

rr3乃解集為「o,7卜

[0,｝：RJ3.(當二次項系數(shù)為負時,

44

例3,設兩個向量ei、e2,滿足|e1|=2,e2|=1,ei>6的夾角為60°,若向量2tei+7te2

與向量ei+te?的夾角為鈍角，求實數(shù)［的取值范圍（邯鄲一模）

解：由已知得（2te1+7te2）.（ei+te2）=2te/+（2t2+7）eie2