初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)平行四邊形的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題附解析

初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)平行四邊形的專項(xiàng)培優(yōu)練習(xí)題（附解析

一、選擇題

1.如圖，在RtAABC中，NA=30。，BC=2,點(diǎn)D,E分別是直角邊BC,AC的中點(diǎn)，則DE

的長為（）

CEA

A.2B.3C.4D.2y/3

2.如圖，正方形ABC。中，點(diǎn)￡、尸分別在邊BC、CD上，且==有下

列結(jié)論：①②CE=CF；③ZA￡B=75°；④BE+DF=EF；

⑤^AABE+SAADF=S&CEF；其中正確的有（）個.

A.2B.3C.4D.5

3.七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具.如圖，在正方形紙板A8CD中，8D為對角

線，E、F分別為8C、8的中點(diǎn)，APJ_EF分另IJ交BD、EF于。、P兩點(diǎn)，M、N分別為

B0、。。的中點(diǎn)，連接MP、NF,沿圖中實(shí)線剪開即可得到一副七巧板.若48=1,則四邊

形8MPE的面積是（）

111

BCA二

A.-78-9-

10

4.如圖，在正方形ABCO中，M是對角線3。上的一點(diǎn)，點(diǎn)￡在AD的延長線上，連

接AM、EM、CM,延長EM交AB于點(diǎn)/，若AM=￡M，NE=30°,則下列結(jié)

論：①M(fèi)F=ME；?BF=DE■.③MCLEF；?41BF+MD=BC-其中正確的

結(jié)論序號是（）

B

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0),點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)以1個單位長度/秒

的速度沿y軸正半軸方向運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)以1個單位長度/秒的速度沿X軸

負(fù)半軸方向運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P、。運(yùn)動的時(shí)間為?0＜，＜8)秒.以PQ為斜邊，向第一象限內(nèi)作

等腰RtzXPBQ,連接03.下列四個說法：

①OP+OQ=8；②B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,4)；③四邊形PBQO的面積為16；④.其中

正確的說法個數(shù)有()

6.如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4,3C=8，點(diǎn)E，/分別在AO，BC

上，將紙片ABCO沿直線EE折疊，點(diǎn)。落在A0上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，有

以下四個結(jié)論：

①四邊形CEHE是菱形；②EC平分NDCH；③線段的取值范圍為3＜W4；④

當(dāng)點(diǎn)”與點(diǎn)A重合時(shí)，EF=2亞.

以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的有()個.

7.如圖，在ABC中，AB=5,AC=12,BC=13,P為邊BC上一動點(diǎn)，PE_LAB于E,PF±AC

于F,M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為()

8.如圖，己知一個矩形紙片。ACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(10,0),

點(diǎn)8(0,6),點(diǎn)P為BC邊上的動點(diǎn)，將AOSP沿。P折疊得到AOPD,連接8、AD.則

下列結(jié)論中：①當(dāng)N8OP=45。時(shí)，四邊形。BPD為正方形；②當(dāng)NBOP=30。時(shí)，△OAD的

面積為15；③當(dāng)P在運(yùn)動過程中，CD的最小值為2取-6；④當(dāng)0DLAD時(shí)，BP=

2.其中結(jié)論正確的有（)

C.3個D.4個

被兩條線段MN,EF分成四個部分，分別種上紅、黃、

紫、白四種花卉，種植面積依次是Si、S2、S3、S4,若MN〃AB〃DC,EF〃DA〃CB,則有

A.Si-S4B.Si+S4=S2+S3C.Si+S3=Sz+S4D.Si?S4=S2?S3

10.如圖，矩形ABCD的面積為20cm2,對角線相交于點(diǎn)0.以AB、A0為鄰邊畫平行四邊

形AOJB,對角線相交于點(diǎn)。；以AB、A0為鄰邊畫平行四邊形AO1C2B,對角線相交于點(diǎn)

02：......以此類推，則平行四邊形ACUCsB的面積為（）

5,D.Acm2

A.—cm2B.2cm2C.—cm2

841632

二、填空題

11.如圖，正方形A8CD的邊長為4,點(diǎn)E為CO邊上的一個動點(diǎn)，以CE為邊向外作正

方形ECFG,連結(jié)BG，點(diǎn)H為BG中點(diǎn),連結(jié)E"，則的最小值為

12.如圖，RtAABC中，ZC=90°,AC=2,BC=5,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)且CD=1,點(diǎn)P是線段

DB上一動點(diǎn)，連接AP,以AP為斜邊在AP的下方作等腰Rt/JXOP.當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動

至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)0的運(yùn)動路徑長為.

D

13.如圖，AABC是邊長為1的等邊三角形，取BC邊中點(diǎn)E，作E0//A3,

EF//AC,得到四邊形它的周長記作G；取展中點(diǎn)與，作耳DJ/FB,

E\FJ/EF,得到四邊形EQ/記，它的周長記作。2?照此規(guī)律作下去，則

14.如圖，在△ABC中，A8=3,4C=4,BC=5,P為邊BC上一動點(diǎn)，PE_LAB于E,

15.如圖，四邊形ABCD是菱形，NDAB=48°,對角線AC,8。相交于點(diǎn)。，0H_LA8于

H,連接?！?，貝1]/。"。=度.

16.如圖，在矩形ABCD中，ZACB=30°,BC=2有，點(diǎn)E是邊BC上一動點(diǎn)（點(diǎn)E不與B,

C重合），連接AE,AE的中垂線FG分別交AE于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)G,連接DG,GE.設(shè)

AG=a，則點(diǎn)G到BC邊的距離為（用含a的代數(shù)式表示），ADG的面積的最小值為

17.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=gx+l與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，以AB為

邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD,則D點(diǎn)坐標(biāo)是；在y軸上有一個動點(diǎn)M,當(dāng)

△MDC的周長值最小時(shí)，則這個最小值是.

18.如圖，矩形紙片ABCD,AB=5,BC=3,點(diǎn)P在BC邊上，將4CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落

在點(diǎn)E處，PE,DE分別交AB于點(diǎn)0,F,且OP=OF,貝UAF的值為.

19.定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即：如圖1,在R3ABC中，ZACB

=90°,若點(diǎn)。是斜邊A8的中點(diǎn)，pll]CD=-AB,運(yùn)用：如圖2,AABC中，ZBAC=90°,

2

AB=2,AC=3,點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，將△A8D沿AD翻折得到AAED連接BE,CE,DE,則

CE的長為.

20.李剛和常明兩人在數(shù)學(xué)活動課上進(jìn)行折紙創(chuàng)編活動.李剛拿起一張準(zhǔn)備好的長方形紙片

對常明說:“我現(xiàn)在折疊紙片（圖①），使點(diǎn)D落在AB邊的點(diǎn)F處，得折痕AE,再折疊，

使點(diǎn)C落在AE邊的點(diǎn)G處，此時(shí)折痕恰好經(jīng)過點(diǎn)B,如果AD=",那么AB長是多少？”常

明說；"簡單，我會.AB應(yīng)該是

常明回答完，又對李剛說：“你看我的創(chuàng)編（圖②），與你一樣折疊，可是第二次折疊時(shí)，

折痕不經(jīng)過點(diǎn)B,而是經(jīng)過了AB邊上的M點(diǎn)，如果AD=。，測得EC=3BM,那么AB長是

多少？”李剛思考了一會，有點(diǎn)為難，聰明的你，你能幫忙解答嗎？AB=.

三、解答題

21.如圖，在汝AABC中，N84C=90°，。是BC的中點(diǎn)，E是AO的中點(diǎn)，過點(diǎn)A

作AFUBC交BE的延長線于點(diǎn)F

(1)求證：四邊形AQC尸是菱形

(2)若AC=4,AB=5,求菱形AQCE的面積

22.如圖，在菱形ABCD中，AB=2cm,ZADC=120°.動點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、D同時(shí)出

發(fā)，都以0.5cm/s的速度向點(diǎn)A、C運(yùn)動，連接AF、CE,分別取AF、CE的中點(diǎn)G、H.設(shè)

運(yùn)動的時(shí)間為ts(0<t<4).

(1)求證：AFIICE；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，AADF的面積為更c(diǎn)m2；

2

(3)連接GE、FH.當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形EHFG為菱形.

23.如圖，在平行四邊形A3CD中，的平分線交BC于點(diǎn)E，交。。的延長線于

F,以EC、C尸為鄰邊作平行四邊形ECFG.

(1)求證：四邊形ECFG是菱形;

（2）連結(jié)60、CG,若NABC=120。，則ABOG是等邊三角形嗎？為什么？

（3）若NABC=90°，AB=10,AD=24，M是所的中點(diǎn)，求。M的長.

24.如圖，在正方形ABC。中，E是邊AB上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、3重合），連接

DE,點(diǎn)A關(guān)于直線￡>￡的對稱點(diǎn)為F,連接EE并延長交8c于點(diǎn)G,連接。G,過點(diǎn)

E作EH_!_￡>￡交DG的延長線于點(diǎn)”，連接W7.

（1）求證：GF=GC；

（2）用等式表示線段5〃與4E的數(shù)量關(guān)系，并證明.

25.已知在平行四邊形A8QD中，AB手BC,將A5C沿直線4C翻折，點(diǎn)5落在點(diǎn)

盡處，與CE相交于點(diǎn)0,聯(lián)結(jié)。E.

（1）如圖1,求證：AC//DE；

（2）如圖2,如果/B=90°,AB=6BC=4^，求Q4c的面積；

（3）如果N8=30°,AB=26,當(dāng)AED是直角三角形時(shí)，求8c的長.

26.感知：如圖①，在正方形ABCO中，E是A6一點(diǎn)，尸是AO延長線上一點(diǎn)，且

DF=BE,求證：CE=CF；

拓展：在圖①中，若G在A。，且NGCE=45°,則成立嗎？為什么？

運(yùn)用：如圖②在四邊形ABCD中，AD//BC（BOAD）,NA=NB=90。，

AB=BC=16.E是A8上一點(diǎn)，且"CE=45。，BE=4,求OE的長.

圖①圖?

27.如圖，等腰直角三角形OAB的三個定點(diǎn)分別為0(0,0)、A(0,3)、3(-3,0),過A作

V軸的垂線/「點(diǎn)C在x軸上以每秒走的速度從原點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動，點(diǎn)D在4上以每秒

2

也+3的速度同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)向右運(yùn)動，當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)C、D同時(shí)停止

22

運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為上當(dāng)C、D停止運(yùn)動時(shí)，將A0AB沿y軸向右翻折得到

與CD相交于點(diǎn)E,P為x軸上另一動點(diǎn).

⑴求直線AB的解析式，并求出t的值.

⑵當(dāng)PE+PD取得最小值時(shí)，求PD1+PE?+2尸￡).PE的直

⑶設(shè)P的運(yùn)動速度為1，若P從B點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為X,請用含X的代數(shù)式表

示APAE的面積.

28.已知：如圖，在ABC中，直線PQ垂直平分AC,與邊A3交于點(diǎn)E,連接CE,

過點(diǎn)C作CE//B4交PQ于點(diǎn)F,連接AE.

⑴求證：四邊形AEC產(chǎn)是菱形；

(2)若AC=8,AE=5,則求菱形AECF的面積.

B

29.如圖①，在等腰RfABC中，ZBAC=90，點(diǎn)E在AC上(且不與點(diǎn)A、C重合

),在A6c的外部作等腰RrCED,使NCE0=9O，連接A。，分別以AB,AD為鄰

邊作平行四邊形ABFD,連接AF.

(1)請直接寫出線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系；

(2)①將CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖②，連接AE,請判斷

線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②若AB=26，CE=2,在圖②的基礎(chǔ)上將CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過

程中，當(dāng)平行四邊形ABF。為菱形時(shí)，直接寫出線段AE的長度.

F圖③

30.在四邊形A8CD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。的直線EF,G”分別交邊

AB、CD,AD,BC于點(diǎn)E、F、G、H.

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①，若四邊形A8CD是正方形，且EF_LGH,易知SABOE=5“OG,又因

為SAAOB——S皿邊柩A8C。，所以SnaiKAEOG—_____SjE*?A8CD；

4

（2）類比探究：如圖②，若四邊形A8CD是矩形，且S四邊彩4EOG=—Sifi.lfl.ABCD＞若A8=a,

4

AD=b,BE=m,求AG的長（用含a、b、m的代數(shù)式表示）；

（3）拓展遷移：如圖③，若四邊形A8CD是平行四邊形，且S㈣邊柩AEOG=-S，ABCD＞若AB=

4

3,AD=5,BE=1,貝l」AG=.

圖①圖②圖③

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除

一、選擇題

1.A

解析：A

【解析】

【分析】

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB,根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可.

【詳解】

解：在Rt^ABC中，NA=30°,

；.AB=2BC=4,

VD,E分別是直角邊BC,AC的中點(diǎn)，

/.DE=-AB=2,故選：D.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊，且

等于第三邊的一半.

2.C

解析：C

【分析】

由已知得AB=AD,AE=AF,利用“可證AAD/7，利用全等的性質(zhì)判

斷①②③正確，在AD上取一點(diǎn)G,連接FG,使AG=GE,由正方形，等邊三角形的

性質(zhì)可知NZMF=15°,從而得NOG尸=30°，設(shè)止=1,則AG=G尸=2,

DG=5分別表示AD，CF,E/的長，判斷④⑤的正確性.

【詳解】

解：AB=AD，AE^AF^EF，

AABE三MDF(HL),MEF為等邊三角形，

:.BE=DF,又BC=CD,

:.CE=CF,

：.NBAE=-(/BAD-NEAF)=-(90°-60°)=15°,

22

ZAEB=90°-ZBAE=75°,

①②③正確，

在AO上取一點(diǎn)G，連接FG,使AG=GE,

則Nmp=NGE4=15°,

:.ZDGF^2ZDAF^30°,

設(shè)DF=1>則AG—GF——2,DG=V3，

:.AD=CD=2+也,CF=CE=CD-DF=1+百,

:.EF=y/2CF=y/2+y[6，而BE+DF=2,

④錯誤，

⑤SMBE+S^DF=2x]ADxDF=2+6，

S“CEF=；CEXCF=2+6

⑤正確.

，正確的結(jié)論有：①②③⑤.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用.關(guān)鍵是利用全等

三角形的性質(zhì)，把條件集中到直角三角形中，運(yùn)用勾股定理求解.

3.B

解析：B

【分析】

根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到EF〃BD,EF=gBD,推出點(diǎn)P在AC上，得到PE=gEF,

22

得到四邊形BMPE平行四邊形，過M作MFLBC于F,根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得

到結(jié)論.

【詳解】

VE,F分別為BC,CD的中點(diǎn)，

???EF〃BD,EF=—BD,

2

???四邊形ABCD是正方形,且AB=BC=1,

??BD=，

VAP±EF,

AAP±BD,

BO=OD,

，點(diǎn)P在AC上，

1

???PE=—EF,

2

APE=BM,

???四邊形BMPE是平行四邊形，

.1

??B0=-BD,

2

VM為B0的中點(diǎn)，

，.BM=-1BD=aJ,

44

VE為BC的中點(diǎn)，

.11

??BE=-BC=—,

22

四邊形BMPE的面積=BE?MF=，,

8

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了七巧板，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì),

正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

4.A

解析：A

【分析】

①證明^AFM是等邊三角形，可判斷；②③證明4CBFgACDE(ASA),可作判斷；④設(shè)

MN=x,分別表示BF、MD、BC的長，可作判斷.

【詳解】

解：①：AM=EM,ZAEM=30",AZMAE=ZAEM=30°,

ZAMF=ZMAE+ZAEM=60°,

?..四邊形ABCD是正方形，，NFAD=90°,

NFAM=90°-30°=60°,

?*.AAFM是等邊三角形，

，F(xiàn)M=AM=EM,故①正確；

②連接CE、CF,:四邊形ABCD是正方形，/.ZADB=ZCDM,AD=CD,

在aADM和ACDM中，

AD=CD

<NADM=NCDM,

DM=DM

.".△ADM^ACDM(SAS),，AM=CM,

；.FM=EM=CM,AZMFC=ZMCF,ZMEC=ZECM,

ZECF+ZCFE+ZFEC=180°,；.ZECF=90°,

ZBCD=90°,，ZDCE=ZBCF,

在ZkCBF和4CDE中，

.NCBF=NCDE=90。

<BC=CD,

NBCF=NDCE

.,.△CBF^ACDE(ASA),.*.BF=DE；故②正確；

(3)VACBF^ACDE,；.CF=CE,VFM=EM,ACMlEF,故③正確;

④過M作MN_LAD于N,設(shè)MN=X，則AM=AF=2x,

Nn

A

AN=?，DN=MN=X,；.AD=AB=A+x=（百+l）x，

DE=BF=AB-AF=（G+l）x-2x=（石—l）x,

正BF+MD=6電-l)x+瓜=R,

：BC=AD=(Q+l)xH#x,故④錯誤；

所以本題正確的有①②③；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，熟記正

方形的性質(zhì)確定出aAFM是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

5.B

解析：B

【分析】

根據(jù)題意，有OP=AQ,即可得到OP+OQ=Q4=8,①正確；當(dāng)f=4時(shí)，0P=0Q=4,

此時(shí)四邊形PBQO是正方形，貝ljPB=QB=0P=0Q=4,即點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,4),②正確；

四邊形PBQO的面積為：4x4=16,在P、Q運(yùn)動過程面積沒有發(fā)生變化，故③正確：由

正方形PBQO的性質(zhì)，則此時(shí)對角線PQ=OB,故④錯誤；即可得到答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)以1個單位長度/秒的速度運(yùn)動，

.\OP=AQ,

V0Q+AQ=0A=8,

/.0Q+0P=8,①正確；

由題意，點(diǎn)P與點(diǎn)Q運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)B的位置沒有變化，四邊形PBQ。的面積沒有變化，

當(dāng)f=4時(shí)，如圖:

則AQ=0P=4,

...0Q=8-4=4,

.??點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4,4）,②正確；

此時(shí)四邊形PBQO是正方形，則PB=QB=0P=0Q=4,

二四邊形PBQO的面積為：4x4=16,③正確；

???四邊形PBQO是正方形，

；.PQ=OB,

即當(dāng)r=4時(shí)，PQ=OB,故④錯誤；

...正確的有：①②③，共三個；

故選擇：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵

是根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動情況，進(jìn)行討論分析來解題.

6.C

解析：c

【分析】

①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF=FH,然后根據(jù)鄰邊相等

的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；

②根據(jù)菱形的對角線平分一組對角線可得NBCH=/ECH,然后求出只有NDCE=30°時(shí)EC平

分/DCH,判斷出②錯誤；

③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF=x,表示出AF=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的

最小值，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF=CD,求出最大值BF=4,然后寫出BF的取值范圍，判斷

出③正確；

④過點(diǎn)F作FMJ_AD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判斷出④正確.

【詳解】

解：

①：FH與CG,EH與CF都是矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分，

；.FH〃CG,EH//CF,

四邊形CFHE是平行四邊形，

由翻折的性質(zhì)得，CF=FH,

.??四邊形CFHE是菱形，（故①正確）；

②二/BCH=/ECH,

只有NDCE=30°時(shí)EC平分NDCH,（故②錯誤）；

③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，此時(shí)BF最小，設(shè)BF=x,則AF=FC=8-x,

在Rt^ABF中，AB2+BF2=AF2,

即42+X2=（8-x）2,

解得x=3,

點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，此時(shí)BF最大，CF=CD=4,

；.BF=4,

，線段BF的取值范圍為3WBFW4,（故③正確）；

過點(diǎn)F作FM1AD于M,

則ME=（8-3）-3=2,

由勾股定理得，

EF=>JMF2+ME2=V42+22=245，（故④正確）；

綜上所述，結(jié)論正確的有①③④共3個，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于靈活運(yùn)用菱

形的判定與性質(zhì)與勾股定理等其它知識有機(jī)結(jié)合.

7.B

解析：B

【分析】

先求證四邊形AFPE是矩形，再根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短，利

用面積法可求得AP最短時(shí)的長，然后即可求出AM最短時(shí)的長.

【詳解】

解：連接AP,在ABC中，4B=5,AC=12,8c=13,

：.AB2+AC2=BC2,

：.ZB4C=90",

VPEA.AB,PF1,AC,

四邊形AFPE是矩形，

.'.EF=AP.

是EF的中點(diǎn)，

：.AM^—AP,

2

根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短,

即AP_L8c時(shí)，AP最短，同樣AM也最短，

/.S/\ABC=—BC?AP—AB-AC）

22

.\-xl3AP=-x5xl2,

22

最短時(shí)，AP=一，

130

/.當(dāng)AM最短時(shí)，AM——AP——'.

213

【點(diǎn)睛】

此題主要考查學(xué)生對勾股定理逆定理的應(yīng)用、矩形的判定和性質(zhì)、垂線段最短和直角三角

形斜邊上的中線的理解和掌握，此題涉及到動點(diǎn)問題，有一定難度.

8.D

解析：D

【分析】

①由矩形的性質(zhì)得到ZOBC=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OB=OD,

1PDO?OBP90?,/BOP=/DOP,推出四邊形是矩形，根據(jù)正方形的判定

定理即可得到四邊形08叨為正方形；故①正確；

②過。作于H,得到。4=10,08=6,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到

DH=3,根據(jù)三角形的面積公式得到△04。的面積為goAgP”=；倉310=15,

故②正確；

③連接0C,于是得到8+CD.0C,即當(dāng)0D+CD=0C時(shí)，co取最小值，根據(jù)勾

股定理得到8的最小值為2扃-6;故③正確；

④根據(jù)已知條件推出尸，D，A三點(diǎn)共線，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到？OP8?P0A,等量

代換得到？O/X2POA,求得”=3=10,根據(jù)勾股定理得到

BP=BC-CP=10-8=2,故④正確.

【詳解】

解：①四邊形OACB是矩形，

:.ZOBC=90°,

將\OBP沿0P折疊得到AOPO,

：.OB=OD,1PDO?OBP90?,/BOP=/DOP,

Q?BOP45?,

\?DOP?BOP45?,

Z5OD=90°,

\?BOD?OBP?ODP90?,

.?.四邊形是矩形，

OB=OD,

二四邊形O3PD為正方形；故①正確；

②過。作于H,

點(diǎn)A(10,0),點(diǎn)6(0,6),

.,.04=10,OB=6,

\00=03=6,?BOP1DOP30?,

\IDOA30?,

\DH=-0D^3,

2

.,.△OLD的面積為出的仆別10=15,故②正確;

③連接oc,

則O￡>+CD..OC,

即當(dāng)?！?gt;+8=0。時(shí)，C。取最小值，

QAC=OB=6,04=10,

\0C=y]OA2+AC2=J10?+6?=2取，

\CD=OC-OD=2南-6.

即CO的最小值為2宿-6;故③正確；

(4)ODA.AD,

ZAD0=90°,

Q?ODP?OBP90?,

\?ADP180?,

:.P,D，A三點(diǎn)共線，

QQ4//CB,

\?OPB?POA,

Q?OPB?OPD,

\1OPA?POA,

\AP=OA=10,

AC=6,

\CP=V102-62=8，

\BP=BC-CP=10-8=2,故④正確；

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形的

面積的計(jì)算，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

9.D

解析：D

【分析】

由于在四邊形中，MN〃AB〃DC,EF〃DA〃CB,因此MN、EF把一個平行四邊形分割成四

個小平行四邊形.可設(shè)MN到DC的距離為hi，MN到AB的距離為h2,根據(jù)AB=CD,

DE=AF,EC=FB及平行四邊形的面積公式即可得出答案.

【詳解】

解：；MN〃AB〃DC,EF〃DA〃CB,

...四邊形ABCD,四邊形ADEF,四邊形BCEF,紅、紫、黃、白四邊形都為平行四邊形，

，AB=CD,DE=AF,EC=BF.

設(shè)MN到DC的距離為hi,MN到AB的距離為h2,

則S尸DE?hi,S2=AF*h2,S3=EC?hi,S4=FB?h2,

因?yàn)镈E,hi,FB,h2的關(guān)系不確定，所以Si與S4的關(guān)系無法確定，故A錯誤；

Si+S4=DE?hi+FB?h2=AF?hi+FB?h2,S2+S3=AF-h2+EC?hi=AF?h2+FB?h?,故B錯誤；

Si+S3=CD?hl,S2+S4=AB?h2,又AB=CD,而hi不一定與hz相等,故C錯誤;

,,>

Si?S4=DE?hl?FB?h2=AF?hi?FB?h2,S2?S3=AF?h2EC.hi=AF?h2FBhi,所以Si?S4=S2?S3,

故D正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，注意掌握平行四邊形的面積等于平行四邊形的邊長與

該邊上的高的積.即S=a-h.其中a可以是平行四邊形的任何一邊，h必須是a邊與其對邊

的距離，即對應(yīng)的高.

10.A

解析：A

【分析】

設(shè)矩形ABCD的面積為S=20cm2,由O為矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)，可得平行四邊形

AOCiB底邊AB上的高等于BC的』，依此類推可得下一個圖形的面積是上一個圖形的面積

2

的然后求解即可.

2

【詳解】

設(shè)矩形ABCD的面積為S=20cm2,

VO為矩形ABCD的對角線的交點(diǎn)，

二平行四邊形AOCxB底邊AB上的高等于BC的,，

2

平行四邊形AOCiB的面積=，S,

2

???平行四邊形AOCjB的對角線交于點(diǎn)Oi，

???平行四邊形AO1C2B的邊AB上的高等于平行四邊形A0C1B底邊AB上的高的,，

2

IIs

...平行四邊形AO1C2B的面積=-x-S=r，

2222

V205

依此類推，平行四邊形AOMB的面積=不=^=一（cm2）,

25258

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的對角線互相平分，平行四邊形的對角線互相平分的性質(zhì)，得到下一個圖

形的面積是上一個圖形的面積的L是解題的關(guān)鍵.

2

二、填空題

11.V2

【分析】

過B點(diǎn)作HE的平行線交AC于。點(diǎn)，延長EG交AB于I點(diǎn)，得到BO=2HE,其中O點(diǎn)在線

段AC上運(yùn)動，再由點(diǎn)到直線的距離垂線段最短求出BO的長即可求解.

【詳解】

解：過B點(diǎn)作HE的平行線交AC于。點(diǎn)，延長EG交AB于I點(diǎn)，如下圖所示：

TH是BG的中點(diǎn)，且BO與HE平行，

AHE為jABOG的中位線，且B0=2HE,

故要使得HE最短，只需要B0最短即可,

當(dāng)E點(diǎn)位于C點(diǎn)時(shí)，則。點(diǎn)與C點(diǎn)重合,

當(dāng)E點(diǎn)位于D點(diǎn)時(shí)，則0點(diǎn)與A點(diǎn)重合,

故E點(diǎn)在CD上運(yùn)動時(shí)，0點(diǎn)在AC上運(yùn)動，

由點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可知，當(dāng)BOLAC時(shí)，此時(shí)B0最短,

:四邊形ABCD是正方形，

△BOC為等腰直角三角形，且BC=4,、

BC4

...BO=-------二-------20,

HE=-B0=y/2,

2

故答案為：、歷.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離垂線段最短等知識

點(diǎn)，本題的關(guān)鍵是要學(xué)會將要求的HE線段長轉(zhuǎn)移到線段B0上.

12.272

【解析】

分析：過。點(diǎn)作OELCA于E,OF_LBC于F,連接C。，如圖，易得四邊形OECF為矩形，

由AAOP為等腰直角三角形得到OA=OP,NAOP=90。，則可證明40AE絲△OPF,所以

AE=PF,OE=OF,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理得到8平分NACP,從而可判斷當(dāng)P

從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動路徑為一條線段，接著證明

CE=y(AC+CP),然后分別計(jì)算P點(diǎn)在D點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)0C的長，從而計(jì)算它們的差即可得

到P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動路徑長.

詳解：過。點(diǎn)作OE_LCA于E,OF_LBC于F,連接CO,如圖，

???△AOP為等腰直角三角形，

.*.OA=OP,ZAOP=90°r

易得四邊形OECF為矩形，

/.ZEOF=90°zCE=CF,

AZAOE=ZPOF,

AAOAE^AOPF,

AAE=PF,OE=OF,

ACO平分NACP,

???當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)0的運(yùn)動路徑為一條線段,

VAE=PF,

即AC-CE=CF-CP；

而CE=CF,

；.CE=J(AC+CP),

，0C=&CE=2^-(AC+CP),

當(dāng)AC=2,CP=CD=1時(shí)，0C=—x(2+1),

22

當(dāng)AC=2,CP=CB=5時(shí)，OC=^x(2+5)=2^1,

22

...當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動路徑長=迪-3旦=20.

22

故答案為20.

點(diǎn)睛：本題考查了軌跡：靈活運(yùn)用幾何性質(zhì)確定圖形運(yùn)動過程中不變的幾何量，從而判定

軌跡的幾何特征，然后進(jìn)行幾何計(jì)算.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì).

13—^―

▲J20,8

【分析】

根據(jù)幾何圖形特征，先求出G、。2、G，根據(jù)求出的結(jié)果，找出規(guī)律，從而得出GO2O-

【詳解】

?點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，ED〃AB,EF〃AC

.,.DE、EF是aABC的中位線

:等邊4ABC的邊長為1

I

；.AD=DE=EF=AF=—

2

則C產(chǎn)gx4=2

同理可求得：C2=l,C3=1

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：規(guī)律為依次縮小為原來的L

2

02020=聲F

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查找規(guī)律和中位線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是求解出幾組數(shù)據(jù)，根據(jù)求解的數(shù)據(jù)尋找規(guī)

律.

14.4

【分析】

根據(jù)三個角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形AEPF是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等，

得EF=AP,則EF的最小值即為AP的最小值，根據(jù)垂線段最短，知：AP的最小值即等于

直角三角形A8C斜邊上的高.

【詳解】

解:連接AP,

,在aABC中，AB=3,AC=4,BC=5,

AB2+AC2=BC2,

即NBAC=90°.

又；PE±AB于E,PF1.AC于F,

四邊形AEPF是矩形，

EF=AP,

■■■AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，

設(shè)斜邊上的高為h,

貝IIS^ec=-BCh=-ABAC

22

1U,1…

J.—x5-/t=—x3x4

22

；.h=2.4,

?1.EF的最小值為2.4,

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，要能夠把

要求的線段的最小值轉(zhuǎn)化為便于求的最小值得線段是解此題的關(guān)鍵.

15.24

【分析】

由菱形的性質(zhì)可得OD=OB,ZCOD=900,由直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半，可

得OH=,BD=OB,可得NOHB=NOBH,由余角的性質(zhì)可得NDHO=NDC。，即可求解.

2

【詳解】

【解答】解：：四邊形A8CD是菱形，

/.OD=OB,ZCOD=90°,NDAB=NDCB=48°,

DH1AB,

I

OH=—BD=OB,

2

：.NOHB=NOBH,

又,：AB〃CD,

；.NOBH=/ODC,

在RtACOD中，ZODC+ZDCO=90°,

在RtZ\DH8中，ZDHO+ZOHB=90°,

：.ZDHO=ZDCO=-ZDCB=24°,

2

故答案為：24.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，是幾何綜合題，判斷

出OH是BD的一半，和NDHO=NDC。是解決本題的關(guān)鍵.

住4-a2G

23

【分析】

先根據(jù)直角三角形含30度角的性質(zhì)和勾股定理得AB=2,AC=4,從而得CG的長，作輔助

線，構(gòu)建矩形ABHM和高線GM,如圖2,通過畫圖發(fā)現(xiàn)：當(dāng)GE_LBC時(shí)，AG最小，即4

最小，可計(jì)算。的值，從而得結(jié)論.

【詳解】

.四邊形ABCD是矩形，

.,.ZB=90°,

?；NACB=30°,BC=273.

；.AB=2,AC=4,

VAG=?,

**?CG=4一a,

如圖1,過G作MH_LBC于H,交AD于M,

圖1

RtZKGH中，ZACB=30°,

.14-a

???GH=—CG=-------,

22

則點(diǎn)G到BC邊的距離為二

2

VHM1BC,AD〃BC,

，HM_LAD,

.".ZAMG=90°,

VZB=ZBHM=90°,

???四邊形ABHM是矩形，

???HM=AB=2,

-4—。a

GM-2-GH=2-----------=-f

22

SAADG=—AD?MG=-x25/3x—=，

2222

當(dāng)。最小時(shí)，4ADG的面積最小，

如圖2,當(dāng)GEJ_BC時(shí)，AG最小，即a最小，

圖2

?；FG是AE的垂直平分線,

AAG=EG,

4-a

/.-----=a,

2

4

??。=-9

3

??.△ADG的面積的最小值為且X&=2Y5,

233

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)以

及勾股定理，確定4ADG的面積最小時(shí)點(diǎn)G的位置是解答此題的關(guān)鍵.

17.(-3,2)V5+V17

【分析】

如圖(見解析)，先根據(jù)一次函數(shù)的解析式可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而可得OA、OB、AB

的長，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得N1MD=90。，DA^AB,然后根據(jù)三角形全等的判定定

理與性質(zhì)可得==由此即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)：同樣的方法可求出點(diǎn)C的

坐標(biāo)，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短

得出△MDC的周長值最小時(shí)，點(diǎn)M的位置，最后利用兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形的周

長公式即可得.

【詳解】

如圖，過點(diǎn)D作。軸于點(diǎn)E,作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C',交y軸于點(diǎn)F,連接

CD,交y軸于點(diǎn)M',連接c'M，則CR，y軸

對于y=—x+1

當(dāng)y=0時(shí)，gx+l=O,解得x=—2,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(-2,0)

當(dāng)尤=0時(shí)，y=l,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為仇0,1)

:.OA=2,OB=\,AB=y/oA2+OB2=>/5

四邊形ABCD是正方形

.-.ZBAD=90°,CD=DA=AB=y^

ZDAE+ZOAB=ZABO+ZOAB=90°

ZDAE=ZABO

ZAED=NBOA=90°

在yWE和BAO中，<=

DA=AB

ADE=BAO(AAS)

AE=OB=1,DE=OA=2

.?.QE=Q4+AE=2+1=3

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為。(—3,2)

同理可證：CBF=BAO

,-.CF=OB=\,BF=OA=2

.-.OF=OB+BF=l+2=3

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為。(一1,3)

由軸對稱的性質(zhì)得：點(diǎn)C的坐標(biāo)為C'(l,3),且CM=C'M

：.^MDC的周長為CD+DM+CM=^+DM+C'M

由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)M'重合時(shí)，DM+CM取得最小值DC

0(—3,2),C'(1,3)

DC=J(-3-1)2+(2-3)2=V17

則^MDC的周長的最小值為石+￡>C'=6+J萬

故答案為：(—3,2),75+Vn.

【點(diǎn)睛】

本題是一道較難的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、軸對稱

的性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確找出△MDC的周長最小時(shí)，點(diǎn)M的位置是解題關(guān)鍵.

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=DE、CP=EP,由"AAS"可證AOEF四△OBP,可得出OE=OB、

EF=BP,設(shè)EF=x,則BP=x、DF=5-x、BF=PC=3-x,進(jìn)而可得出AF=2+x,在RSDAF中，利用

勾股定理可求出x的值，即可得AF的長.

【詳解】

解：?將4CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，

.?.DC=DE=5,CP=EP.

在△OEF和△OBP中，

/EOF=NBOP

<=NE=90,

OP=OF

.?.△OEF烏△OBP(AAS),

.\OE=OB,EF=BP.

設(shè)EF=x,則BP=x,DF=DE-EF=5-x,

又：BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,

，AF=AB-BF=2+x.

在RtZXDAF中，AF2+AD2=DF2,

(2+x)2+32=(5-x)2,

6

x=—

7

620

；.AF=2+—=—

77

故答案為：~~

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題

時(shí)常常設(shè)要求的線段長為X,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含X的代數(shù)式表示其他線段

的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.

19,也

13

【分析】

根據(jù)可得AH=6近.,根據(jù)LAD.80=得。B=

221322

ML再根據(jù)8￡=2。8="姮，運(yùn)用勾股定理可得EC.

1313

【詳解】

設(shè)8E交AD于。，作AH_LBC于H.

在RSABC中，ZBAC=90a,AB=2,AC=3,

由勾股定理得：BC=V13.

?.,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

.'.AD=DC=DB=,

2

11

,/—?BC?AH=—*AB?AC,

22

,AH一6》

13

；AE=A8,DE=DB,

.?.點(diǎn)A在8E的垂直平分線上，點(diǎn)。在BE的垂直平分線上，

：.AD垂直平分線段8E,

11

,?-AD?BO=-BD?AH,

22

?CR—6713

13

—_12屈

??BE-20B--------,

13

：DE=DB=CD,

ZDBE=ZDEB,ZDEC=ZDCE,

AZDEB+ZDEC=-X180°=90°,即：ZBEC=90°,

2

...在R5BCE中，EC=7BC2-BE2=\(VH)2■

5V13

故答案為:

本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及翻折的性質(zhì)，掌握“直角三角形斜邊長的

中線等于斜邊的一半”以及面積法求三角形的高，是解題的關(guān)鍵.

20.叵a逑工

2

【分析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出，四邊形AFED為正方形，CE=GE=BF,

/AEB+/GBE=/ABE+/EBC,即/AFR=/ARF,,得出AB=AE,繼而可得

解；

（2）結(jié)合（1）可知，AE=AM=41a-因?yàn)镋C=