初高中數(shù)學暑假銜接

初高中數(shù)學銜接

專題一數(shù)與式的運算（3.5課時）

第一講（2小時）

課題絕對值與二次根式課型銜接課

1、掌握絕對值的概念及相關(guān)的幾何意義，會解不等式；

教學目標2、掌握二次根式的化簡方法

3、掌握常見的乘法公式

教學重點絕對值的幾何意義和二次根式的化簡

教學難點絕對值不等式的求解和二次根式化簡

教學內(nèi)容及過程學習活動

一、絕對值

1、積極回答老師的問題，回顧相關(guān)

1、引導學生回顧絕對值的代數(shù)意義，強調(diào)數(shù)學語言的知識點

Q,6T>0,

1。1=<0,a=0,

的嚴謹性，表示為〔一

2、回顧絕對值的幾何意義，引導學生思考：兩數(shù)差

2、與老師一起進行相關(guān)例題的分析

的絕對值的幾何意義：卜一耳表示在數(shù)軸上，數(shù)a和

和求解

數(shù)8之間的距離.

例1解不等式：卜一"+卜一3|>4

二、二次根式3、通過概念的學習，舉例說明什么

是無理式，什么是有理式

1、回顧二次根式的概念，引入思考:什么是無理式？

例如〃等是無理式,而俄

2、通過例題講解，告訴學生什么是分母有理化，引

入有理化因式的概念.等是有理式.

兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不4、學生舉例自己見過的有理式因式

含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化

因式。

一般地尸五與五,aG+b6^a4x-by[y,

+b與"五-b互為有理化因式.

3、二次根式"的意義

5、總結(jié)有理式的方法

fa,a>0,分母有理化的方法是分母和分子都

后"=同=1-a,a<0.

乘以分母的有理化因式，化去分母

中的根號的過程；而分子有理化則

4、例1將下列式子化為最簡二次根式：

是分母和分子都乘以分母的有理化

(1)Jl2b(2)-0).(3<0)因式，化去分子中的根號的過程

6、總結(jié)二次根式的化簡與運算過程

例2計算:百+(3-6).

中，二次根式的乘法可參照多項式

乘法進行，運算中要運用公式

例3試比較下列各組數(shù)的大小：

4a4b=y[ab(a>0,b>0).而對

(1)Vi2-VTT和VH-Vio.

于二次根式的除法，通常先寫成分

2式的形式，然后通過分母有理化進

(2)戈+4和2母一瓜.行運算

例4化簡：(6+及嚴4,(6-^2)2005

例5化簡：(1),9-4近；

jx?H--7-2(0<X<1)

(2)Vx

V3—>/25/34-V2

例6已知6+0“月一0,求牢記相關(guān)的乘法公式

一5肛+3y2的值.(1)立方和公式

3+8)(/—"+/)=/+/.

1

三、運算公式

(2)立方差公式

1、回顧完全平方差和完全平方公式(a-b)(a2+ab+b2)a3-bi.

1

2、求證立方和、差公式和兩數(shù)和、差立方公式及三

(3)三數(shù)和平方公式

數(shù)平方公式

(a+b+cf=/+〃+(?+2(仍+Zr+比).

3、例]計算+_1+])(/+X+1)

(4)兩數(shù)和立方公式

例2已知"+"c=4,a"+/?c+ac=4,求3+6)3=/+3。%+3加+/.

！

/+/+,2的值.

(5)兩數(shù)差立方公式

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

四、課堂總結(jié)與練習

五、家庭作業(yè)

課堂練習1

1.填空：

(1)若兇=5，則x=；若忖=|-4,則*=.

(2)如果向+網(wǎng)=5,且"一1,則b=；若”4=2,則c=.

2.選擇題：

下列敘述正確的是()

(A)若同=例，則a=6(B)若同〉網(wǎng)，則”>b

(C)若"b，則同<問(D)若同=同，則a=±8

3.化簡"x-5|-|2x-13|(x>5).

練習2

1.填空：

1-百

(1)1+6=——；

(2)若J(5—x)(x—3)2=(x-3)75^7,則x的取值范圍是___；

(3)4724-6754+3796-27150=.

-^5+1—yjX~\++1+Jx-1

(4)若2，貝[]Jx+1+yJx—\Jx+l—y/x—\

2.選擇題：

I~X__yfx

等式Vx-2行工成立的條件是()

(A)x#2(B)X>0(C)X>2(D)0<X<2

da2-I+Jl-a，

b=----------------------

3.若。+1，求a+b的值.

4.比較大?。?-S4-也(填或.

練習3

1.填空：

—a1--/?2=(-b+—a)

(1)9423()；

(2)(4m+y=16m2+4m+().

(3)(a+2b-c)2=/+4/+《2+()

2.選擇題：

21,

x+—mx+k

(1)若2是一個完全平方式，則人等于)

11,1

、—tn2-m~—m~2

(A)m~(B)4(C)3(D)16

(2)不論a,匕為何實數(shù)，/+。2_2。_46+8的值)

(A)總是正數(shù)(B)總是負數(shù)

(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負數(shù)

4.分式(1課時)

1,分式的意義

444

形如石的式子，若B中含有字母，且BH°,則稱萬為分式.當M#o時，分式下具有下列性質(zhì)：

A_AxM

B—BxM.

I

A_A^M

B—B^M

上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

2.繁分式

am+n+p

b至

像c+d,n+p這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

5x+4_A]B

例1若不+2)x、+2,求常數(shù)4,8的值.

1_￡_1

例2(1)試證：〃(〃+D〃〃+1(其中n是正整數(shù))；

111

-------11-???H

(2)計算：1x22x3--------9x10；

-++…+-------<—

有

3:對任意大于1的正整數(shù)n,2x33x4-------〃(〃+1)2

c

c——

例3設(shè)。，且e>l,2c2-5ac+2a2=0,求e的值.

練習

1.填空題：

1_1

對任意的正整數(shù)n,"(〃+2)(“〃+2)；

2.選擇題:

2x-y_2x

若x+y-3，貝jjy=

()

546

(A)1(B)4(C)5(D)5

3.正數(shù)?"滿足/一y2=2盯，求尤+y的值.

1111

-----1------1-----+…H-------

4.計算1x22x33x499x100

專題一習題

A組

1.解不等式：

⑴H>3.⑵|-v+3|+|x-2|<7.

|x-l|+|x+l|>6

⑶

2.已知x+y=[,求/+丁+3初的值.

3.填空：

（1）（2+百）|8（2-6）”=.

（2）若4一"）7（1+"）2=2,貝心的取值范圍是________；

___1____I____1______I__1________1I________1__I_________=

（3）1+V2>/2+y/3V3+V4>/4+y/5>/5+V6

B組

1.填空：

1.13a2-ab

a=一（｝——---------------

（］）23，貝［］3/+5"_2/

x2+3孫+/_

（2）若―+犯_2y2=0,貝1x2+y2

2.已知："=5"=3,求右+。的值.

C組

1.選擇題：

(])若yj—a—b—2\fab—\[—b--J—a貝

)

(A)(B)”>b(C)a<h<0(D)b<a<0

a

(2)計算等于)

(A)G(B)&（C）一口(D)-日

2

2(X+-1T)-3(X+-)-1=0

2.解方程廠x

1111

---------1------------1----------+…+------

3.計算：1x32x43x59x11

111

---------------1------------------F???H---------------------------[

4.試證：對任意的正整數(shù)n,有1x2x32x3x4n(n+1)(?+2)<_

專題二因式分解（1.5課時）

【要點回顧】

因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形.在分式運算、解方程及各種恒等變

形中起著重要的作用.是一種重要的基本技能.

因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外,還有公式

法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分組分解法等等.

1.公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式：；

[2]完全平方和公式：；

[3]完全平方差公式：

[4]3+%+'I=____________________

[5]"'+=------------------（立方和公式）

[6]0"------------------（立方差公式）

由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，運用上述公式可以進行因式分解.

2.分組分解法

從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式.而對于四項以上的多項式，如

〃皿+〃仍+/W+泌既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取.因此，可以先將多項式分組處理.這種利用分組來

因式分解的方法叫做分組分解法.分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組.

常見題型：（1）分組后能提取公因式（2）分組后能直接運用公式

3.十字相乘法

（1）/+（p+q）x+pq型的因式分解

這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點是：①二次項系數(shù)是1；②常數(shù)項是兩個數(shù)之積；③一次項系數(shù)是

常數(shù)項的兩個因數(shù)之和.

??x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=x（x+p）+q（x+p）=（x+p）（x+q）

?x2+（〃+q）x+=（x+p）（x+q）

運用這個公式，可以把某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式.

（2）一般二次三項式"2+飯+C型的因式分解

由《出/+（年2+電。）》+年2=（3+4）0%+。2）我們發(fā)現(xiàn)，二;欠項系數(shù)0分解成的2,常數(shù)項。分解成年2,

把苗,出，。勺寫成牝C2,這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到年2+%G,如果它正好等于.+云+。的一

次項系數(shù)匕,那么—+bx+c就可以分解成?X+。）（。2彳+C2）,其中6,G位于上一行，的，位于下一行.這種

借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用

十字相乘法分解.

4.其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添項法

【例題選講】

16

（公式法）分解因式：（1）3點一8面；（2）a-ab

222

（分組分解法）分解因式：（1）的c2v2）-（/_/）〃（2）2x+4xy+2y-Sz

例3（十字相乘法）把下列各式因式分解：

⑴x2+5%-24（2）x2-2x-15

（3）J+xy_6y-（4）（f+x）2_8（r+x）+12

例4（十字相乘法）把下列各式因式分解：⑴12X2-5X-2；（2）5f+6盯-8），

例5（拆項法）分解因式Y(jié)-3/+4

【鞏固練習】

1.把下列各式分解因式：

（]）ab{c2-d'）+cd{a~-b"）（2）x2-4mx+8mn-4w2

（3）x4+64（4）x3-1lx2+3lx-21

，2，一

a+b=—,ab=2...,

2.已知3,求代數(shù)式。%+2。力-的值.

—x~+x—1—x~+3>x+1—x~—x

3.現(xiàn)給出三個多項式2,2,2,請你選擇其中兩個進行加法運算，用巴結(jié)果因式

分解.

4已知a+b+c=O,求證；o'+a2c+b1c-abc+b3=0

專題二習題

1,分解因式：

（]）o'+1；（2）4x4-13x2+9-（3）b2+c2+lab+2ac+2bc-（4）3x-+5xy-2y2+x+9y-4

2.在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

（1）x2-5x+3（2）-2\/2x-3-（3）3廠+4盯_/2.（4），-2x）-_7（r-2x）+]2

222

3.AA8C三邊a,h,c^a+b+c^ab+hc+ca（試判定的形狀.

4.分解因式:x2+x-（a2-a）.

專題三變量、函數(shù)（一次函數(shù)、反比例函數(shù)）（3課時）

【要點回顧】

1.平面直角坐標系（1課時）

[1]組成平面直角坐標系。叫做刀軸或橫軸，

叫做軸或縱軸,x軸與y軸箍挫標軸，他們的公共原點。稱為直角坐標系的原點。

[2]平面直角坐標系內(nèi)的對稱點：

對稱點或?qū)ΨQ直線方程對稱點的坐標

X軸

)'軸

原點

/占\\\3,b)

直線x=a

直線）T

直線k》

2.函數(shù)圖象（2課時）

[1]一次函數(shù)：稱）'是X的一次函數(shù)，記為：y=H+"（k、b是常數(shù)，"0）

特別的，當b=0時，稱）’是X的正比例函數(shù)。

⑵正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，kHO）的圖象是的一條直線，當時，圖象過

原點及第一、第三象限，y隨x的增大而；當時，圖象過原點及第二、第四象限，y隨x的增大

而.

[3]一次函數(shù)的圖象與性質(zhì):函數(shù)=H+"（k、b是常數(shù)，k*0）的圖象是過點（0,b）且與直線丫=1?平行的一條

直線.設(shè)〉=履+"（40）,則當時，y隨x的增大而；當時，y隨x的增大而

k

y=一

[4]反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)x（k彳0）是雙曲線，當時，圖象在第一、第三象限，在每個象限中，

y隨x的增大而；當時，圖象在第二、第四象限.，在每個象限中，y隨x的增大而?雙

曲線是軸對稱圖形，對稱軸是直線）'='與卜=一”;又是中心對稱圖形，對稱中心是原點.

【例題選講】

例1已知A（2/）、8仇，-3）,根據(jù)下列條件，求出A、8點坐標.

（1）A、8關(guān)于x軸對稱；（2）A、8關(guān)于y軸對稱；（3）A、B關(guān)于原點對稱.

例2已知一次函數(shù)y=kx+2的圖象過第一、二、三象限且與x、y軸分別交于A、8兩點，。為原點，若AAOB

的面積為2,求此一次函數(shù)的表達式。

k

例3如圖，反比例函數(shù).%的圖象與一次函數(shù)y=〃?x+b的圖象交于4L3）,B（〃,-1）兩點.

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象回答：當了取何值時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值.

【鞏固練習】

m/八、

.y=一（mw0）

1.函數(shù)）'"乙+“與’X在同一坐標系內(nèi)的圖象可以是（）

2.如圖，平行四邊形ABCD中，A在坐標原點,D在第一象限角平分線上，又知"=6,=20,求8,0,。

點的坐標.

1七八八、

y=—xy=—（k>0）

3.如圖，已知直線.2與雙曲線.x交于48兩點，且點A的橫坐標為

4

（1）求我的值;

y=_（%〉0）

（2）過原點0的另一條直線/交雙曲線.X于P，°兩點（「點在第一象限），若由點P為頂點組成的

四邊形面積為24,求點尸的坐標.

專題四二次函數(shù)（4課時）

1二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)（l課時）

問題1函數(shù)y=ax2與y=x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

為了研究這一問題，我們可以先畫出y=2x2,y=2X2,y=-2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)y=x2的圖

象之間的關(guān)系，推導出函數(shù)y=ax2與y=x2的圖象之間所存在的關(guān)系.

先畫出函數(shù)y=x2,y=2x2的圖象.

先列表：

X-3-2-10123???

x29410149

2x2188202818

從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴大兩倍就可以了.

再描點、連線，就分別得到了函數(shù)y=X2,y=2x2的圖象(如圖2-1所示)，從

圖2-1我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y=2x2的圖象可以由函

數(shù)y=x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫?

同學們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y=萬x2,y=-2x2的圖象,并研究

這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)y=x2的圖象之間的關(guān)系.

通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)y=ax2(a#0)的圖象可以由y=x2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍,

得到.在二次函數(shù)y=ax2(a±0)中，二次項系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大小.

問題2函數(shù)y=a(x+h)2+k與y=ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系.同學們可以作出函數(shù)y=2(x+1)2

+1與y=2x2的圖象(如圖2-2所示),從函數(shù)的同學我們不難發(fā)現(xiàn)，只要

把函數(shù)y=2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到

函數(shù)y=2(x+1)2+1的圖象.這兩個函數(shù)圖象之間具有'形狀相同，位置不同”

的特點.

類似地,還可以通過畫函數(shù)y=-3x2,y=-3(x-1)2+1的圖象,研究它們

圖象之間的相互關(guān)系.

通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)y=a(x+h)2+k(a豐0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；

h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且、'h正左移,h負右移"；k決定了二次

函數(shù)圖象的上下平移，而且、'k正上移，k負下移”.圖2.2-2

由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#0)的圖象的方法：

bbb2b2

-x—x-

由于y=ax2+bx+c=a(x2+a)+c=a(x2+a+4/)+c-4。

,b、2b2-4ac

=a(x+—)2+--——

2a4。

所以，y=ax2+bx+c(a#0)的圖象可以看作是將函數(shù)y=ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次

函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)具有下列性質(zhì)：

(1)當a>0時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向上；頂點坐標為2屋4。，對稱軸為直線x=-2。；

bbb

當x<2a時，y隨著X的增大而減??；當X>2a時，y隨著X的增大而增大；當乂=2。時，函數(shù)取最小值

4ac-b2

y=4a

b4ac-b2b

?——----------1—

（2）當a<0時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向下；頂點坐標為2/4a，對稱軸為直線x=-2a；

bbb

當*<2a時，y隨著x的增大而增大；當x>2a時，y隨著x的增大而減??；當*=2a時，函數(shù)取最大值

4ac-b2

y=4a.

上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖2.2-3和圖2.2-4直觀地表示出來.因此，在今后解決二次函數(shù)問

題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題.

例1求二次函數(shù)y=-3x2-6x+l圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），用旨出當x取

何值時，y隨x的增大而增大（或減?。?？并畫出該函數(shù)的圖象.

解:,:v=-3x2-6x+1=-3（x+1）2+4,

.??函數(shù)圖象的開口向下；

對稱軸是直線x=-1;

頂點坐標為（-1,4）;

當x=-1時，函數(shù)y取最大值y=4;

當x<-1時，y隨著x的增大而增大；當x>-1時，y隨著x的增大而減小；

（畢,。）（-畢,。）

采用描點法畫圖，選頂點A（-1,4））,與x軸交于點B3和c3，與y軸的交點為D（0,

1）,過這五點畫出圖象（如圖2-5所示）.

說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點，減少了選點的盲目性,

使畫圖更簡便、圖象更精確.

例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下

表所示：

x/元130150165

y/件705035

若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此

時每天的銷售利潤是多少？

分析：由于每天的利潤=日銷售量yx(銷售價x-120),日銷售量v又是銷售價x的一次函數(shù)，所以,欲求每天

所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求

出每天利潤的最大值.

例3把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)y=x2的圖像，求b,

c的值.

例4已知函數(shù)y=x2,-2<x<a，其中aN-2,求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時

所對應(yīng)的自變量x的值.

練習

1.選擇題：

(1)下列函數(shù)圖象中，頂點不在坐標軸上的是()

(A)y=2x2(B)y=2x2-4x+2

(C)y=2x2-1(D)y=2x2-4x

(2)函數(shù)y=2(x-l)2+2是將函數(shù)y=2x2()

(A)向左平移1個單位、再向上平移2個單位得到的

(B)向右平移2個單位、再向上平移1個單位得到的

(C)向下平移2個單位、再向右平移1個單位得到的

(D)向上平移2個單位、再向右平移1個單位得到的

2.填空題

(1)二次函數(shù)y=2x2-mx+n圖象的頂點坐標為(1,-2),則m=,n=.

(2)已知二次函數(shù)y=x2+(m-2)x-2m,當m=時，函數(shù)圖象的頂點在y軸上；當m=時，函數(shù)

圖象的頂點在x軸上；當m=時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點.

(3)函數(shù)y=-3(x+2)2+5的圖象的開口向，對稱軸為，頂點坐標為；當*=

時，函數(shù)取最值丫=；當*時，y隨著x的增大而減小.

3.求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大(小)值及y隨x的變化情況，并畫出其圖象.

(1)y=x2-2x-3;(2)y=l+6x-x2.

4.已知函數(shù)丫=-X2-2X+3,當自變量X在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當函數(shù)取

最大(小)值時所對應(yīng)的自變量x的值：

(1)x<-2;(2)x<2;(3)-2<x<l;(4)0<x<3.

2二次函數(shù)的三種表示方式(1課時)

通過上一小節(jié)的學習，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：

1.一般式:y=ax2+bx+c(a*O);

2.頂點式：y=a(x+h)2+k(a/0),其中頂點坐標是(-h,k).

除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示.為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數(shù)y

=ax2+bx+c(a學0)的圖象與x軸交點個數(shù).

當拋物線y=ax2+bx+c(a#0)與x軸相交時,其函數(shù)值為零，于是有

ax2+bx+c=0.①

并且方程①的解就是拋物線y=ax2+bx+c(a±0)與x軸交點的橫坐標(縱坐標為零)，于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋

物線y=ax2+bx+c(aHO)與x軸交點個數(shù)與方程①的解的個數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個數(shù)又與方程①的根的判別

式A=b2-4ac有關(guān)，由此可知，拋物線y=ax2+bx+c(a黃0)與x軸交點個數(shù)與根的判別式A=b2-4ac存在下

列關(guān)系：

(1)當A>0時，拋物線y=ax2+bx+c(a學0)與x軸有兩個交點；反過來，若拋物線y=ax2+bx+c(a*0)與x

軸有兩個交點，則A>0也成立.

(2)當△=0時，拋物線y=ax2+bx+c(aM)與x軸有一個交點(拋物線的頂點)；反過來，若拋物線y=ax2

+bx+c(aM)與x軸有f交點，則A=0也成立.

(3)當△<0時，拋物線y=ax2+bx+c(a#O)與x軸沒有交點；反過來，若拋物線y=ax2+bx+c(a右0)與x軸

沒有交點，則A<0也成立.

于是,若拋物線y=ax2+bx+c(a#O)與x軸有兩個交點A(xl,0),B(x2,0),則xl,x2是方程ax2+bx+c=0

的兩根，所以

bc

xl+x2=a,xlx2=a,

bc

即。=-(xl+x2),a=xlx2.

,hc

XH---XH----

所以,y=ax2+bx+c=a(aa)

=a[x2-(xl+x2)x+xlx2]

=a(x-xl)(x-x2).

由上面的推導過程可以得到下面結(jié)論：

若拋物線y=ax2+bx+c(a#O)與x軸交于A(xl,0),B(x2,0)兩點，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y=a(x-

xl)(x-x2)(a±0).

這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：

3.交點式：y=a(x-xl)(x-x2)(aM),其中xl,x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標.

今后，在求二次函數(shù)的表達式時，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用T殳式、頂點式、交點式這三種表達形

式中的某一形式來解題.

例1已知某二次函數(shù)的最大值為2,圖像的頂點在直線y=x+1上，并且圖象經(jīng)過點(3,-1),求二次函數(shù)

的解析式.

例2已知二次函數(shù)的圖象過點(-3,0),(1,0),且頂點到x軸的距離等于2,求此二次函數(shù)的表達式.

例3已知二次函數(shù)的圖象過點(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函數(shù)的表達式.

練習

1.選擇題：

(1)函數(shù)y=-X2+X-1圖象與x軸的交點個數(shù)是()

(A)0個(B)l個(C)2個(D)無法確定

(2)函數(shù)y=(x+l)2+2的頂點坐標是()

(A)(l,2)(6)(1,-2)(C)(-1,2)(D)(-1,-2)

2.填空：

(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(-1,0)和(2,0),則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y=a

(a黃0).

(2)二次函數(shù)y=-x2+2y/3x+1的函數(shù)圖象與x軸兩交點之間的距離為

3.根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式.

(1)圖象經(jīng)過點(1,-2),(0,-3),(-1,-6);

(2)當x=3時，函數(shù)有最小值5,且經(jīng)過點(1,11)；

(3)函數(shù)圖象與x軸交于兩點(1-啦,0)和(1+啦，0),并與y軸交于(0,-2).

3二次函數(shù)的簡單應(yīng)用(1課時)

一、函數(shù)圖象的平移變換與對稱變換

1.平移變換

問題1在把二次函數(shù)的圖象進行平移時,有什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平

移？

我們不難發(fā)現(xiàn)：在對二次函數(shù)的圖象進行平移時，具有這樣的特點——只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形

狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點式研究其頂點的位置即可.

例1求把二次函數(shù)y=x2-4x+3的圖象經(jīng)過下列平移變換后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式：

(1)向右平移2個單位，向下平移1個單位；

(2)向上平移3個單位，向左平移2個單位.

2.對稱變換

例2求把二次函數(shù)y=2x2-4x+l的圖象關(guān)于下列直線對稱后所得到圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式：

(1)直線乂=-1;

(2)直線y=l.

二、分段函數(shù)

一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù).

例3在國內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g付郵資160分，超過

40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封xg(0<xW100)的信應(yīng)付多少郵資(單位：分)？寫出函數(shù)表達

式，作出函數(shù)圖象

例4如圖9-2所示，在邊長為2的正方形ABCD的邊上有一個動點P,從點A出發(fā)

沿折線ABCD移動一周后，回到A點.設(shè)點A移動的路程為x,APAC的面積為y.

(1)求函數(shù)y的解析式；

(2)畫出函數(shù)y的圖像；

(3)求函數(shù)y的取值范圍.

4二次函數(shù)的最值問題(1課時)

【要點回顧】

i.二次函數(shù)）'=a—+'x+c3/°）的最值.

b4ac-b2

x=-----------

二次函數(shù)在自變量X取任意實數(shù)時的最值情況（當a>0時，函數(shù)在2a處取得最小值4a,無最大值；

b4ac-b2

x------------

當。<0時，函數(shù)在2“處取得最大值4a，無最小值.

2.二次函數(shù)最大值或最小值的求法.

第一步確定a的符號，a>0有最小值，a<0有最大值；

第二步配方求頂點，頂點的縱坐標即為對應(yīng)的最大值或最小值.

3.求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值.

如：），=加+云+，在腔了（“（其中他<〃）的最值.

第一步：先通過配方,求出函數(shù)圖象的對稱軸：x=；

第二步：討論：

[1]若。>°時求最小值或。<°時求最大值，需分三種情況討論：

①對稱?由小于〃?即“<m,即對稱軸在加《工〈〃的左側(cè)；

②對稱軸加'/=”,即對稱軸在加W〃的內(nèi)部；

③對稱軸大于"即為>”,即對稱軸在〃?4%K〃的右側(cè)。

[2]若”>0時求最大值或a<°時求最小值，需分兩種情況討論：

,m+〃

x0<----

①對稱軸2,即對稱軸在m<x<n的中點的左側(cè)；

x0>----

②對稱軸2,即對稱軸在m<x<n的中點的右側(cè)；

說明：求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值，要注意對稱軸與自變量的取值范圍相應(yīng)位置,具體情況，參考例4。

【例題選講】

例1求下列函數(shù)的最大值或最小值.

（1）y=2x__3x_5.（2）/=一廠—3x+4

例2當1W2時，求函數(shù)）'=一/一x+1的最大值和最小值.

例3當x20時，求函數(shù)丫=T（2-x）的取值范圍.

y=—x2-x--

例4當fWxWf+l時，求函數(shù).22的最小值（其中，為常數(shù)）.

例5某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量〃?（件）與每件的銷售價■元）

滿足一次函數(shù)加=162—3X,30KX"54.

（1）寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤）'與每件銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？

鞏固練習1,拋物線丁=/一（〃L4）X+2W-3,當機=時，圖象的頂點在）’軸上；當機=時，圖

象的頂點在工軸上；當〃z=時，圖象過原點.

2.用一長度為/米的鐵絲圍成一個長方形或正方形，則其所圍成的最大面積為.

3.設(shè)。>°,當-14x41時，函數(shù)>=一/一以+'+1的最小值是T，最大值是0,求db的值.

4.已知函數(shù)）'=，+2?！?1在—14x42上的最大值為4,求。的值.

5.求關(guān)于N的二次函數(shù)）'=--2比+1在TOG上的最大值（/為常數(shù)）.

專題五一元二次方程（3課時）

1根的判別式（L5課時）

我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0）,用配方法可以將其變形為

2

/b、2b-4ac

（"五）

4Y①

因為aS,所以，4a2>0.于是

（1）當b2-4ac>0時，方程①的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根

—b+yjb2—4ac

xl,2=2a；

（2）當b2-4ac=0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根

b

xl=x2=-2a；

,b

（x+?。?

（3）當b2-4ac<0時，方程①的右端是一個負數(shù)，而方程①的左邊2a一定大于或等于零，因此，原方

程沒有實數(shù)根.

由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a*0）的根的情況可以由b2-4ac來判定，我們把b2-4ac叫做一元

二次方程ax2+bx+c=0（a豐0）的根的判別式，通常用符號"A"來表示.

綜上所述，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0),有

當△>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

-b+\Jb2-4ac

xl,2=2。；

(2)當A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根

b

xl=x2=-2a-

(3)當A<0時，方程沒有實數(shù)根.

例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根.

(1)x2-3x+3=0;(2)x2-ax-1=0;

(3)x2-ax+(a-1)=0;(4)x2-2x+a=0.

解：(1)?.△=32-4x1x3=-3<0,??方程沒有實數(shù)根.

(2)該方程的根的判別式A=a2-4x1x(-1)=a2+4>0,所