熱傳導(dǎo)方程習(xí)題和答案

PAGEPAGE27第二章熱傳導(dǎo)方程§1熱傳導(dǎo)方程及其定解問題的提一均勻細(xì)桿直徑為，假設(shè)它在同一截面上的溫度是相同的，桿的表面和周圍介質(zhì)發(fā)生熱交換，服從于規(guī)律又假設(shè)桿的密度為，比熱為，熱傳導(dǎo)系數(shù)為，試導(dǎo)出此時(shí)溫度滿足的方程。解：引坐標(biāo)系：以桿的對(duì)稱軸為軸，此時(shí)桿為溫度。記桿的截面面積為。由假設(shè)，在任意時(shí)刻到內(nèi)流入截面坐標(biāo)為到一小段細(xì)桿的熱量為桿表面和周圍介質(zhì)發(fā)生熱交換，可看作一個(gè)“被動(dòng)”的熱源。由假設(shè)，在時(shí)刻到在截面為到一小段中產(chǎn)生的熱量為又在時(shí)刻到在截面為到這一小段內(nèi)由于溫度變化所需的熱量為由熱量守恒原理得：消去，再令，得精確的關(guān)系：或其中試直接推導(dǎo)擴(kuò)散過程所滿足的微分方程。解：在擴(kuò)散介質(zhì)中任取一閉曲面，其包圍的區(qū)域?yàn)?，則從時(shí)刻到流入此閉曲面的溶質(zhì)，由，其中為擴(kuò)散系數(shù)，得濃度由變到所需之溶質(zhì)為兩者應(yīng)該相等，由奧、高公式得：其中叫做孔積系數(shù)=孔隙體積。一般情形。由于的任意性即得方程：3.砼(混凝土)內(nèi)部?jī)?chǔ)藏著熱量，稱為水化熱，在它澆筑后逐漸放出，放熱速度和它所儲(chǔ)藏的水化熱成正比。以表示它在單位體積中所儲(chǔ)的熱量，為初始時(shí)刻所儲(chǔ)的熱量，則，其中為常數(shù)。又假設(shè)砼的比熱為，密度為，熱傳導(dǎo)系數(shù)為，求它在澆后溫度滿足的方程。解：可將水化熱視為一熱源。由及得。由假設(shè)，放熱速度為它就是單位時(shí)間所產(chǎn)生的熱量，因此，由原書71頁，(1.7)式得4.設(shè)一均勻的導(dǎo)線處在周圍為常數(shù)溫度的介質(zhì)中，試證:在常電流作用下導(dǎo)線的溫度滿足微分方程其中及分別表示導(dǎo)體的電流強(qiáng)度及電阻系數(shù)，表示橫截面的周長(zhǎng)，表示橫截面面積，而表示導(dǎo)線對(duì)于介質(zhì)的熱交換系數(shù)。解：?jiǎn)栴}可視為有熱源的桿的熱傳導(dǎo)問題。因此由原71頁(1.7)及(1.8)式知方程取形式為其中為單位體積單位時(shí)間所產(chǎn)生的熱量。由常電流所產(chǎn)生的為。因?yàn)閱挝婚L(zhǎng)度的電阻為，因此電流作功為乘上功熱當(dāng)量得單位長(zhǎng)度產(chǎn)生的熱量為其中0.24為功熱當(dāng)量。因此單位體積時(shí)間所產(chǎn)生的熱量為由常溫度的熱交換所產(chǎn)生的(視為“被動(dòng)”的熱源)，從本節(jié)第一題看出為其中為細(xì)桿直徑，故有，代入得因熱源可迭加，故有。將所得代入即得所求：5*.設(shè)物體表面的絕對(duì)溫度為，此時(shí)它向外界輻射出去的熱量依斯忒波耳茲曼(Stefan-Boltzman)定律正比于，即今假設(shè)物體和周圍介質(zhì)之間只有輻射而沒有熱傳導(dǎo)，又假設(shè)物體周圍介質(zhì)的絕對(duì)溫度為已知函數(shù),問此時(shí)該物體熱傳§導(dǎo)問題的邊界條件應(yīng)如何敘述？解：由假設(shè)，邊界只有輻射的熱量交換，輻射出去的熱量為輻射進(jìn)來的熱量為因此由熱量的傳導(dǎo)定律得邊界條件為：§2混合問題的分離變量法用分離變量法求下列定解問題的解：解：設(shè)代入方程及邊值得求非零解得對(duì)應(yīng)Ｔ為因此得由初始值得因此故解為２．用分離變量法求解熱傳導(dǎo)方程的混合問題解：設(shè)代入方程及邊值得求非零解得n=1,2,……對(duì)應(yīng)Ｔ為故解為由始值得因此所以３．如果有一長(zhǎng)度為的均勻的細(xì)棒，其周圍以及兩端處均勻等到為絕熱，初始溫度分布為問以后時(shí)刻的溫度分布如何？且證明當(dāng)?shù)扔诔?shù)時(shí)，恒有。解：即解定解問題設(shè)代入方程及邊值得求非零解：當(dāng)時(shí)，通解為由邊值得因故相當(dāng)于視為未知數(shù)，此為一齊次線性代數(shù)方程組，要非零，必需不同為零，即此齊次線性代數(shù)方程組要有非零解，由代數(shù)知必需有但因?yàn)閱握{(diào)增函數(shù)之故。因此沒有非零解。當(dāng)時(shí)，通解為由邊值得即可任意，故為一非零解。當(dāng)時(shí)，通解為由邊值得因故相當(dāng)于要非零，必需因此必需即這時(shí)對(duì)應(yīng)因取正整數(shù)與負(fù)整數(shù)對(duì)應(yīng)一樣，故可取對(duì)應(yīng)于解T得對(duì)應(yīng)于解T得由迭加性質(zhì)，解為由始值得因此所以當(dāng)時(shí)，所以4．在區(qū)域中求解如下的定解問題其中均為常數(shù)，均為已知函數(shù)。[提示：作變量代換]解：按提示，引，則滿足由分離變量法滿足方程及邊值條件的解為再由始值得故因此5．長(zhǎng)度為的均勻細(xì)桿的初始溫度為，端點(diǎn)保持常溫，而在和側(cè)面上，熱量可以發(fā)散到到周圍的介質(zhì)中去，介質(zhì)的溫度取為，此時(shí)桿上的溫度分布函數(shù)滿足下述定解問題：試求出解：引使?jié)M足齊次方程及齊次邊值，代入方程及邊值，計(jì)算后得要滿足：的通解為由邊值又得解之得因此這時(shí)滿足：設(shè)代入方程及邊值條件得求非零解時(shí)，才有非零解。這時(shí)通解為由邊值得要，即有非零解，必須即令得它有無窮可數(shù)多個(gè)正根，設(shè)其為得對(duì)應(yīng)T為因此其中滿足方程再由始值得所以應(yīng)用滿足的方程，計(jì)算可得又所以得最后得其中滿足另一解法：設(shè)使?jié)M足為此取代入邊值得解之得因而這時(shí)，滿足按非齊次方程分離變量法，有其中為對(duì)應(yīng)齊次方程的特征函數(shù)，由前一解知為即代入方程得由于是完備正交函數(shù)系，因此可將展成的級(jí)數(shù)，即

由正交性得

又

所以

將此級(jí)數(shù)代入等式右端得滿足的方程為

由始值得

有解的方程，其通解為'由

得

即有解

因此

6.半徑為a的半圓形平板，其表面絕熱，在板的圓周邊界上保持常溫，而在直徑邊界上保持常溫，圓板穩(wěn)恒狀態(tài)的溫度分布。解：引入極坐標(biāo)，求穩(wěn)恒狀態(tài)的溫度分布化為解定解問題

（拉普斯方程在極坐標(biāo)系下形式的推導(dǎo)見第三章習(xí)題3），其中引入的邊界條件為有限時(shí)，叫做自然邊界條件。它是從實(shí)際情況而引入的。再引則滿足

設(shè)代入方程得

乘以再移項(xiàng)得

右邊為r函數(shù)，左邊為函數(shù)，要恒等必須為一常數(shù)記為，分開寫出即得

再由齊次邊值得由以前的討論知

對(duì)應(yīng)R滿足方程

這是尤拉方程，設(shè)代入得

即

為兩個(gè)線性無關(guān)的特解，因此通解為

由自然邊界條件有限知在處要有限，因此必需由迭加性質(zhì)知滿足方程及齊次邊值和自然邊界條件，再由

得

因此所以 §3柯西問題1．求下述函數(shù)的富里埃變換：(1)(2)(a>0)(3)(a>0,k為自然數(shù))解：(1)=（柯西定理）=或者=積分得又=故C=所以F[]=2I(P)=(2)=+或===2F[]=因===所以2．證明當(dāng)f(x)在內(nèi)絕對(duì)可積時(shí)，F(xiàn)(f)為連續(xù)函數(shù)。證：因?qū)θ魏螌?shí)數(shù)p有即關(guān)于p絕對(duì)一致收斂，因而可以在積分下取極限，故g(p)關(guān)于p為連續(xù)函數(shù)。3．用富里埃變換求解三維熱傳導(dǎo)方程的柯西問題：解：令對(duì)問題作富里埃變換得解之得因=再由卷積定理得4.證明（3.20）所表示的函數(shù)滿足非齊次方程(3.15)以及初始條件（3.16）。證：要證滿足定解問題原書85頁上已證解的表達(dá)式中第一項(xiàng)滿足因此只需證第二項(xiàng)滿足如第一項(xiàng)，第二項(xiàng)關(guān)于的被積函數(shù)滿足若記第二項(xiàng)為被積函數(shù)為即故有即顯然得證。5．求解熱傳導(dǎo)方程（3.22）的柯西問題，已知(2)(3)用延拓法求解半有界直線上熱傳導(dǎo)方程（3.22）,假設(shè)解：（1）sinx有界，故==1+x無界，但表達(dá)式仍收斂，且滿足方程。因此=易驗(yàn)它也滿初始條件。（3）由解的公式知，只需開拓使之對(duì)任何x值有意義即可。為此，將積分分為兩個(gè)與，再在第一個(gè)中用來替換就得由邊界條件得要此式成立，只需即作奇開拓，由此得解公式為6．證明函數(shù)對(duì)于變量滿足方程對(duì)于變量滿足方程證：驗(yàn)證即可。因同理所以仿此所以7．證明如果分別是下列兩個(gè)問題的解。則是定解問題的解。證：驗(yàn)證即可。因所以又8．導(dǎo)出下列熱傳導(dǎo)方程柯西問題解的表達(dá)式解：由上題，只需分別求出及的解，然后再相乘迭加即得。但所以9．驗(yàn)證二維熱傳導(dǎo)方程柯西問題解的表達(dá)式為證：由第6題知函數(shù)滿足方程，故只需證明可在積分號(hào)下求導(dǎo)二次即可。為此只需證明在積分號(hào)下求導(dǎo)后所得的積分是一致收斂的。對(duì)x求導(dǎo)一次得對(duì)有限的即和，下列積分是絕對(duì)且一致收斂的。因?yàn)閷?duì)充分大的，每個(gè)積分都是絕對(duì)且一致收斂的。絕對(duì)性可從充分大后被積函數(shù)不變號(hào)看出，一致性可從充分性判別法找出優(yōu)函數(shù)來。如第三個(gè)積分的優(yōu)函數(shù)為且收斂。因，故右端為一致收斂積分的乘積，仍為一致收斂積分。因而為絕對(duì)一致收斂的積分。從而有，對(duì)討論是類似的。從而證明表達(dá)式滿足方程。再證滿足始值。任取一點(diǎn)，將寫成