新教材新高考2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點精講精練 第06講 拓展一：平面向量的拓展應(yīng)用 高頻精講（原卷版）

第06講拓展一：平面向量的拓展應(yīng)用(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：典型例題剖析 1高頻考點一：平面向量夾角為銳角（或鈍角）問題 1角度1：兩個向量所成角為銳角 1角度2：兩個向量所成角為鈍角 4高頻考點二：平面向量模的最值（或范圍）問題 7方法一：定義法 7方法二：幾何法 10方法三：三角不等式法 17方法四：坐標法 19方法五：轉(zhuǎn)化法 24高頻考點三：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題 29方法一：定義法 29方法二：向量數(shù)量積幾何意義法 35方法三：坐標法（自主建系法） 41方法四：積化恒等式法 47第一部分：典型例題剖析高頻考點一：平面向量夾角為銳角（或鈍角）問題角度1：兩個向量所成角為銳角典型例題例題1．（多選）（2023春·河南·高一河南省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量若與的夾角為銳角，則實數(shù)的值可能是（

）A． B．3 C．6 D．9例題2．（2023春·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，，.(1)若，求；(2)若與的夾角為銳角，求的取值范圍.例題3．（2023春·山西運城·高一康杰中學(xué)校考階段練習(xí)）已知：?是同一平面內(nèi)的兩個向量，其中=（1，2），(1)若與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍；(2)求在上投影向量.練透核心考點1．（2023春·湖北十堰·高一?？茧A段練習(xí)）若向量與的夾角為銳角，則的取值范圍為__．2．（2023春·廣東廣州·高一廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，（）．(1)若，求t的值；(2)若，與的夾角為銳角，求實數(shù)m的取值范圍．3．（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習(xí)）（1）已知，，求向量在上的投影向量的坐標．（2）已知，若的夾角為銳角，求的取值范圍.角度2：兩個向量所成角為鈍角典型例題例題1．（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·寧夏·高一六盤山高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則向量與向量的夾角為鈍角時的取值范圍是__________．例題3．（2023·河南南陽·高三南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是______．練透核心考點1．（2023春·江蘇·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，若的夾角為鈍角，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2023春·天津和平·高一?？茧A段練習(xí)）已知，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)λ的取值范圍為___________.3．（2023春·江蘇徐州·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若向量與向量的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍為_________．高頻考點二：平面向量模的最值（或范圍）問題方法一：定義法典型例題例題1．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知在三角形中，，點，分別為邊，上的動點，，其中，點，分別為，的中點，則的最小值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·吉林·高一東北師大附中?？茧A段練習(xí)）在中，，，點滿足，，則的最小值為______.例題3．（2023春·江蘇常州·高一校考階段練習(xí)）已知向量，滿足：，，，則______；若為非零實數(shù)，則的最小值為______．例題4．（2023春·河南開封·高一河南省杞縣高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量，其中，的夾角是，則____________；若為任意實數(shù)，則的最小值為____________．練透核心考點1．（2023·陜西榆林·校考模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，的夾角為，且，，，其中，則的最小值為______．3．（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量滿足.與的夾角為60°，則的取值范圍是____.方法二：幾何法典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量均為單位向量，且．向量與向量的夾角為，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．2例題3．（多選）（2023春·安徽銅陵·高一銅陵一中校考階段練習(xí)）若均為單位向量，且，，則的值可能為（

）A．－1 B．1 C． D．2例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為坐標原點，向量，，，滿足，，若，則的取值范圍是_____________練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，為平面向量，，且使得與所成夾角為，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2．（多選）（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考期末）向量滿足，，，則的值可以是（

）A．3 B．6 C．4 D．3．（多選）（2023·遼寧·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）向量滿足，，，則的值可以是（

）A．3 B． C．2 D．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？迹┮阎蛄?，滿足，且，若向量滿足，則的最大值為________.方法三：三角不等式法向量模的三角不等式來求解：.典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為等邊三角形，，所在平面內(nèi)的點滿足，的最小值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)為單位向量，若向量滿足，則的最大值是____________．練透核心考點1．（2023·安徽安慶·高一安慶一中?？迹┮阎蛄浚?，，滿足，，，，若，則的最小值為______.2．（2023·遼寧大連·高一大連二十四中?？迹┮阎蛄?，滿足，，則的最小值是______，最大值是______．3．（2023·浙江寧波·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，滿足，，，，若，則的最小值為__________，最大值為____________．方法四：坐標法典型例題例題1．（2023·四川成都·高一四川省成都市鹽道街中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知邊長為1的正方形位于第一象限，且頂點，分別在，的正半軸上（含原點）滑動，則的最大值是（

）．A．1 B．2 C．3 D．例題2．（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，，滿足，，，則的最大值是______________.例題3．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，為坐標原點，的坐標為，點為動點，且滿足，記，若的最小值為，則的最大值為________．例題4．（2023·貴州銅仁·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，，其中，.(1)當(dāng)時，求的取值范圍；(2)當(dāng)時，求的取值范圍.練透核心考點1．（2023·安徽合肥·高三安徽省肥東縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，，滿足，，則的取值范圍是___________2．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？迹┮阎矫嬷苯亲鴺讼抵?，向量，.(1)若，求x；(2)當(dāng)時，求的最小值3．（2023·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)?？迹┮阎?，向量，，是坐標平面上的三點，使得，.(1)若，的坐標為，求；(2)若，，求的最大值.4．（2023·安徽宣城·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，．（1）求的坐標以及與之間的夾角；（2）當(dāng)時，求的取值范圍．方法五：轉(zhuǎn)化法典型例題例題1．（2023·山東泰安·高三新泰市第一中學(xué)校考）已知向量滿足，，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例題2．（2023·陜西西安·高一陜西師大附中?？迹┮阎蛄?，，，滿足，與的夾角為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．例題3．（2023·湖南永州·高一永州市第一中學(xué)?？迹┮阎矫嫦蛄繚M足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．例題4．（2023·廣東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若向量，，，且，則的最小值為_________．練透核心考點1．（2023·浙江杭州·高一校聯(lián)考）已知平面向量，，且，，向量滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·安徽銅陵·高三銅陵一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，是平面向量，與是單位向量，且，向量滿足，則的最大值與最小值之和是（

）A． B． C．4 D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知平面向量，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江舟山·高三舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，與的夾角為，且，則的最小值為（

）A． B．1C． D．

高頻考點三：平面向量數(shù)量積最值（或范圍）問題方法一：定義法典型例題例題1．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為2，圓半徑為1，點在圓上運動，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·江蘇南京·高一金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，為中點，為圓心為、半徑為1的圓的動直徑，則的取值范圍是__________.例題3．（2023春·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，且，若，則的最大值為_____________．練透核心考點1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，已知，，則的最小值為（

）A．-1 B． C． D．2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）四邊形ABCD中，，，，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．－33．（2023春·安徽淮北·高一淮北一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，扇形的弧的中點為，動點分別在上（包括端點），且，，，則的取值范圍______．4．（2023春·江蘇宿遷·高一校考階段練習(xí)）在中，，點是邊上的一點（包括端點），點是的中點，則的取值范圍是__________.5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在如圖所示的平面圖形中，，，求：(1)設(shè)，求的值；(2)若且，求的最小值.方法二：向量數(shù)量積幾何意義法典型例題例題1．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽市第三十一中學(xué)校聯(lián)考）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，點是正八邊形邊上的一點，則的最大值是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）如圖，為外接圓上一個動點，若，，，則的最大值______.例題3．（2023·湖南衡陽·高一統(tǒng)考）剪紙藝術(shù)是一種中國傳統(tǒng)的民間工藝，它源遠流長，經(jīng)久不衰，已成為世界藝術(shù)寶庫中的一種珍藏．某學(xué)校為了豐富學(xué)生的課外活動，組織了剪紙比賽，小明同學(xué)在觀看了2022年北京冬奧會的節(jié)目《雪花》之后，被舞臺上一片片漂亮的“雪花”所吸引，決定用作品“雪花”參加剪紙比賽．小明的參賽作品“雪花”如圖1所示，它的平面圖可簡化為圖2的平面圖形，該平面圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其中，為該平面圖形上的一個動點（含邊界），六邊形為正六邊形，，，為等邊三角形，則的最大值為________．練透核心考點1．（2023·海南·高一統(tǒng)考）在直角坐標系xOy中，已知點，，，動點P滿足，則的取值范圍是__________．2．（2023·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)?？迹┮阎矫嫔蟽啥cA、B滿足，動點P、Q分別滿足，則的取值范圍是___．3．（2023·廣東深圳·高一福田外國語高中校考）如圖，邊長為2的正三角形ABC的邊AC落在直線l上，AC中點與定點O重合，頂點B與定點P重合.將正三角形ABC沿直線l順時針滾動，即先以頂點C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點B落在l上，再以頂點B為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù).當(dāng)滾動到時，頂點B運動軌跡的長度為___________；在滾動過程中，的取值范圍為___________.方法三：坐標法（自主建系法）典型例題例題1．（2023·天津·校聯(lián)考一模）如圖所示，梯形中，，點為的中點，，，若向量在向量上的投影向量的模為4，設(shè)、分別為線段、上的動點，且，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）剪紙是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，剪紙時常會沿著紙的某條對稱軸對折．將一張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開得到最后的圖形，若正方形的邊長為，點在四段圓弧上運動，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例題3．（2023春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，，若點為邊上的動點，則的最小值為______．例題4．（2023春·江蘇常州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，正八邊形中，若，則的值為________；若正八邊形的邊長為2，是正八邊形八條邊上的動點，則的最小值為______.練透核心考點1．（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）已知正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的動點，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·河南開封·統(tǒng)考二模）已知等邊的邊長為，P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖南長沙·高一長沙一中校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，且.(1)求實數(shù)的值；(2)若是線段上的動點，求的取值范圍.方法四：