高考物理系統(tǒng)性復(fù)習(xí) (考點(diǎn)分析) 第二節(jié) 磁場對運(yùn)動電荷的作用（附解析）

【考點(diǎn)分析】第二節(jié)磁場對運(yùn)動電荷的作用【考點(diǎn)一】洛倫茲力方向的判斷【典型例題1】圖中a、b、c、d為四根與紙面垂直的長直導(dǎo)線，其橫截面位于正方形的四個頂點(diǎn)上，導(dǎo)線中通有大小相同的電流，方向如圖所示．一帶正電的粒子從正方形中心O點(diǎn)沿垂直于紙面的方向向外運(yùn)動，它所受洛倫茲力的方向是()A．向上 B．向下C．向左 D．向右【解析】據(jù)題意，由安培定則可知，b、d兩通電直導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場相抵消，a、c兩通電直導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場方向均向左，所以四條通電直導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的合磁場方向向左．由左手定則可判斷帶電粒子所受洛倫茲力的方向向下，正確選項(xiàng)為B.【答案】B【考點(diǎn)二】半徑公式和周期公式的應(yīng)用【典型例題2】有兩個勻強(qiáng)磁場區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感應(yīng)強(qiáng)度是Ⅱ中的k倍．兩個速率相同的電子分別在兩磁場區(qū)域做圓周運(yùn)動．與Ⅰ中運(yùn)動的電子相比，Ⅱ中的電子()A．運(yùn)動軌跡的半徑是Ⅰ中的k倍B．加速度的大小是Ⅰ中的k倍C．做圓周運(yùn)動的周期是Ⅰ中的k倍D．做圓周運(yùn)動的角速度與Ⅰ中的相等【解析】兩速率相同的電子在兩勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，且Ⅰ中磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B1是Ⅱ中磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B2的k倍．由qvB＝eq\f(mv2,r)得r＝eq\f(mv,qB)∝eq\f(1,B)，即Ⅱ中電子運(yùn)動軌跡的半徑是Ⅰ中的k倍，選項(xiàng)A正確．由F合＝ma得a＝eq\f(F合,m)＝eq\f(qvB,m)∝B，所以eq\f(a2,a1)＝eq\f(1,k)，選項(xiàng)B錯誤．由T＝eq\f(2πr,v)得T∝r，所以eq\f(T2,T1)＝k，選項(xiàng)C正確．由ω＝eq\f(2π,T)得eq\f(ω2,ω1)＝eq\f(T1,T2)＝eq\f(1,k)，選項(xiàng)D錯誤．【答案】AC【考點(diǎn)三】洛倫茲力做功的特點(diǎn)【典型例題3】如圖所示，ABC為豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中AB為傾斜直軌道，BC為與AB相切的圓形軌道，并且圓形軌道處在勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直紙面向里．質(zhì)量相同的甲、乙、丙三個小球中，甲球帶正電、乙球帶負(fù)電、丙球不帶電．現(xiàn)將三個小球在軌道AB上分別從不同高度處由靜止釋放，都恰好通過圓形軌道的最高點(diǎn)，則()A．經(jīng)過最高點(diǎn)時，三個小球的速度相等B．經(jīng)過最高點(diǎn)時，甲球的速度最小C．甲球的釋放位置比乙球的高D．運(yùn)動過程中三個小球的機(jī)械能均保持不變【解析】設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，圓形軌道半徑為r，三個小球質(zhì)量均為m，它們恰好通過最高點(diǎn)時的速度分別為v甲、v乙和v丙，則mg＋q甲v甲B＝eq\f(mveq\o\al(2,甲),r)，mg－q乙v乙B＝eq\f(mveq\o\al(2,乙),r)，mg＝eq\f(mveq\o\al(2,丙),r)，顯然，v甲>v丙>v乙，選項(xiàng)A、B錯誤；三個小球在運(yùn)動過程中，只有重力做功，即它們的機(jī)械能守恒，選項(xiàng)D正確；甲球在最高點(diǎn)處的動能最大，因?yàn)閯菽芟嗟?，所以甲球的機(jī)械能最大，甲球的釋放位置最高，選項(xiàng)C正確．【答案】CD【考點(diǎn)四】洛倫茲力作用下帶電體的力學(xué)問題分析【典型例題4】如圖所示，在紙面內(nèi)存在水平向右的勻強(qiáng)電場和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，電場強(qiáng)度大小為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一水平固定絕緣桿上套有帶電小球P，P的質(zhì)量為m、電荷量為－q，P與桿間的動摩擦因數(shù)為μ.小球由靜止開始滑動，設(shè)電場、磁場區(qū)域足夠大，桿足夠長，在運(yùn)動過程中小球的最大加速度為a0，最大速度為v0，則下列判斷正確的是()A．小球先加速后減速，加速度先增大后減小B．當(dāng)v＝eq\f(1,2)v0時，小球的加速度最大C．當(dāng)v＝eq\f(1,2)v0時，小球一定處于加速度減小階段D．當(dāng)a＝eq\f(1,2)a0時，eq\f(v,v0)>eq\f(1,2)【解析】開始運(yùn)動階段qvB<mg，加速度a1＝eq\f(qE－μ（mg－qv1B）,m)，小球做加速度越來越大的加速運(yùn)動；當(dāng)qvB＝mg之后，小球受到的支持力垂直桿向下，小球的加速度a2＝eq\f(qE－μ（qv2B－mg）,m)，小球做加速度減小的加速運(yùn)動，加速度減小到0后做勻速運(yùn)動，則可知小球一直加速最后勻速，加速度先增大后減小為0不變，選項(xiàng)A錯誤；作出小球的加速度隨速度的變化規(guī)律圖象如圖所示，兩階段的圖線斜率大小相等，有v1<eq\f(1,2)v0，則v＝eq\f(1,2)v0時一定處于加速度減小階段，選項(xiàng)B錯誤，C正確；a＝eq\f(1,2)a0可能出現(xiàn)在加速度增大階段或加速度減小階段，選項(xiàng)D錯誤．【答案】C【考點(diǎn)五】有約束情況下帶電體的運(yùn)動【典型例題5】如圖所示，粗糙木板MN豎直固定在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場中．t＝0時，一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電物塊沿MN以某一初速度豎直向下滑動，則物塊運(yùn)動的v－t圖象可能是()【解析】設(shè)初速度為v0，則FN＝Bqv0，若滿足mg＝Ff＝μFN，即mg＝μBqv0，物塊向下做勻速運(yùn)動，選項(xiàng)A正確；若mg>μBqv0，則物塊開始有向下的加速度，由a＝eq\f(mg－μBqv,m)可知，隨速度增加，加速度減小，即物塊先做加速度減小的加速運(yùn)動，最后達(dá)到勻速狀態(tài)，選項(xiàng)D正確；若mg<μBqv0，則物塊開始有向上的加速度，做減速運(yùn)動，由a＝eq\f(μBqv－mg,m)可知，隨速度減小，加速度減小，即物塊先做加速度減小的減速運(yùn)動，最后達(dá)到勻速狀態(tài)，則選項(xiàng)C正確．【答案】ACD【考點(diǎn)六】帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動【典型例題6】如圖所示，MN為鋁質(zhì)薄平板，鋁板上方和下方分別有垂直平面的勻強(qiáng)磁場(未畫出)．一帶電粒子從緊貼鋁板上表面的P點(diǎn)垂直于鋁板向上射出，從Q點(diǎn)穿越鋁板后到達(dá)PQ的中點(diǎn)O.已知粒子穿越鋁板時，其動能損失一半，速度方向和電荷量不變，不計(jì)重力．鋁板上方和下方的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小之比為()A．2B．eq\r(2)C．1D．eq\f(\r(2),2)【解析】根據(jù)題圖中的幾何關(guān)系及帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動性質(zhì)可知：帶電粒子在鋁板上方做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑r1是其在鋁板下方做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑r2的2倍．設(shè)粒子在P點(diǎn)的速度為v1，根據(jù)牛頓第二定律可得qv1B1＝eq\f(mv12,r1)，則B1＝eq\f(mv1,qr1)＝eq\f(\r(2mEk),qr1)；同理，B2＝eq\f(mv2,qr2)＝eq\f(\r(2m·\f(1,2)Ek),qr2)，則eq\f(B1,B2)＝eq\f(\r(2),2)，D正確，A、B、C錯誤．【答案】D【考點(diǎn)七】帶電粒子在直線邊界磁場中的運(yùn)動【典型例題7】如圖所示為一有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外，MN、PQ為其兩個邊界，兩邊界間的距離為L.現(xiàn)有兩個帶負(fù)電的粒子同時從A點(diǎn)以相同速度沿與PQ成30°的方向垂直射入磁場，結(jié)果兩粒子又同時離開磁場．已知兩帶負(fù)電的粒子質(zhì)量分別為2m和5m，電荷量大小均為q，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用，則粒子射入磁場時的速度為()A．eq\f(\r(3)BqL,6m) B．eq\f(\r(3)BqL,15m)C．eq\f(BqL,2m) D．eq\f(BqL,5m)【解析】由于兩粒子在磁場中運(yùn)動時間相等，則兩粒子一定是分別從MN邊和PQ邊離開磁場的，如圖所示，由幾何知識可得質(zhì)量為2m的粒子對應(yīng)的圓心角為300°，由t＝eq\f(θ,2π)T得質(zhì)量為5m的粒子對應(yīng)的圓心角為120°，由圖可知△OCD為等邊三角形，可求得R＝eq\f(\r(3),3)L，由Bqv＝eq\f(5mv2,R)得v＝eq\f(\r(3)BqL,15m)，B正確．【答案】B【考點(diǎn)八】帶電粒子在圓形有界磁場中的運(yùn)動【典型例題8】(2022?江蘇鹽城市高三(下)二模)如圖所示，圓形虛線框內(nèi)有一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，、、、是以不同速率對準(zhǔn)圓心入射的正電子或負(fù)電子的運(yùn)動徑跡，a、b、d三個出射點(diǎn)和圓心的連線分別與豎直方向成90°、60°、45°的夾角，則下列判斷正確的是()A．沿徑跡運(yùn)動的粒子在磁場中運(yùn)動時間最短 B．沿徑跡、運(yùn)動的粒子均為正電子C．沿徑跡、運(yùn)動的粒子速率比值為 D．沿徑跡、運(yùn)動的時間之比為9：8【解析】A．由于正電子和負(fù)電子的電量q和質(zhì)量m均相等，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，則有，，解得，可知四種粒子的周期相等，而沿徑跡運(yùn)動的粒子偏轉(zhuǎn)角最大，圓心角也最大，設(shè)偏轉(zhuǎn)角為θ，由，可知沿徑跡運(yùn)動的粒子在磁場中運(yùn)動時間最長，A項(xiàng)錯誤：B．由左手定則可判斷沿徑跡，運(yùn)動的粒子均帶負(fù)電，B項(xiàng)錯誤；C．設(shè)圓形磁場半徑為r，根據(jù)幾何關(guān)系可得沿徑跡，運(yùn)動的粒子軌道半徑分別為，，根據(jù)，可得，C項(xiàng)正確：D．由前述分析可知，運(yùn)動時間之比為偏轉(zhuǎn)角之比所以，D項(xiàng)錯誤。故選C?！敬鸢浮緾【考點(diǎn)九】帶電粒子在角有界磁場中的運(yùn)動【典型例題9】(2022?江蘇鹽城市高三(下)二模)如圖所示，水平面的abc區(qū)域內(nèi)存在有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，邊界的夾角為30°，距頂點(diǎn)b為L的S點(diǎn)有一粒子源，粒子在水平面內(nèi)垂直bc邊向磁場內(nèi)發(fā)射速度大小不同的帶負(fù)電的粒子、粒子質(zhì)量為m、電量大小為q，下列說法正確的是()A．從邊界bc射出的粒子速度方向各不相同B．粒子離開磁場時到b點(diǎn)的最短距離為C．垂直邊界ab射出的粒子的速度大小為D．垂直邊界ab射出的粒子在磁場中運(yùn)動的時間為【解析】A．粒子豎直向上進(jìn)入磁場，軌跡圓心一定在bc邊上，若粒子能從邊界bc射出，粒子的速度方向一定豎直向下，故方向均相同，A錯誤；B．當(dāng)軌跡恰好與ab邊相切時，粒子從bc邊離開磁場時到b點(diǎn)的距離最短，由幾何關(guān)系可得，離b點(diǎn)的最短距離為，聯(lián)立解得，B正確；C．垂直邊界ab射出的粒子，軌道半徑為，由洛倫茲力作為向心力可得，解得粒子的速度大小為，C錯誤；D．粒子在磁場中的運(yùn)動周期為，垂直邊界ab射出的粒子在磁場中運(yùn)動的時間為，D錯誤。故選B?！敬鸢浮緽【考點(diǎn)十】帶電粒子在正方形有界磁場中的運(yùn)動【典型例題10】(2022?河北石家莊市高三(下)二模)如圖所示，邊長為0.64m的正方形內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度的勻強(qiáng)磁場，方向垂直于紙面向外。在正方形中央處有一個點(diǎn)狀的放射源P，它在紙面內(nèi)同時向各個方向均勻連續(xù)發(fā)射大量同種粒子，該種粒子速度大小為，比荷。不考慮粒子重力及粒子間相互作用，下列說法正確的是()A．粒子在磁場中運(yùn)動的最短時間為B．粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間為C．正方形邊界上有粒子射出的區(qū)域總長為1.6mD．穩(wěn)定后單位時間內(nèi)射出磁場的粒子數(shù)與單位時間內(nèi)粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比為1∶2【解析】粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)，解得，帶入數(shù)據(jù)解得。AB．假設(shè)粒子逆時針轉(zhuǎn)動，則粒子射出范圍如圖所示，當(dāng)軌跡對應(yīng)弦最短時，對應(yīng)圓心角最小，此時在磁場中運(yùn)動時間最短，由題意知，即弦恰好垂直于磁場邊界時，弦最短，由幾何關(guān)系知弦長為，由幾何關(guān)系知，此時對應(yīng)圓心角為，所以最短時間為，同理可知，最長弦恰好為直徑，所以最長時間為，故AB正確；CD．由幾何關(guān)系知，，解得，，則，所以邊界上有粒子射出的總長度為，且射出磁場的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比即為邊界上有粒子射出的總長度與正方形周長之比，即為，故C正確，D錯誤。故選ABC?！敬鸢浮緼BC【考點(diǎn)十一】帶電粒子在多邊形有界磁場中的運(yùn)動【典型例題11】(2022?山東省濟(jì)南市高三(上)期末)如圖所示，邊長為L的正六邊形abcdef區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，正六邊形中心O處有一粒子源，可在紙面內(nèi)向各個方向發(fā)射不同速率帶正電的粒子，已知粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為q，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用，下列說法正確的是()A．可能有粒子從ab邊中點(diǎn)處垂直ab邊射出B．從a點(diǎn)垂直af離開正六邊形區(qū)域的粒子在磁場中的運(yùn)動時間為C．垂直cf向上發(fā)射的粒子要想離開正六邊形區(qū)域，速率至少為D．要想離開正六邊形區(qū)域，粒子的速率至少為【解析】A．若粒子從ab邊中點(diǎn)處垂直ab邊射出，則圓心一定在在ab邊上，設(shè)與ab邊交點(diǎn)為g，則圓心在Og的中垂線上，而中垂線與ab邊平行，不可能相交，故A錯誤；B．同理做aO垂線出射速度垂線交于f點(diǎn)，即f為圓心，則對于圓心角為，所以粒子在磁場中的運(yùn)動時間為，且，解得，故B錯誤；C．垂直cf向上發(fā)射的粒子剛好與能離開磁場時，軌跡與邊af相切，則由幾何關(guān)系得，由得，聯(lián)立解得，故C正確；D．因?yàn)镺點(diǎn)距六邊形的最近距離為，即此時對應(yīng)剛好離開磁場的最小直徑，所以最小半徑為，又，所以最小速度為，故D錯誤。故選C?！敬鸢浮緾【考點(diǎn)十二】帶電粒子運(yùn)動的臨界問題【典型例題12】如圖，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B＝0.60T．磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行．在距ab為l＝16cm處，有一個點(diǎn)狀的α粒子放射源S，它向各個方向發(fā)射α粒子，α粒子的速率都是v＝3.0×106m/s.已知α粒子的電荷量與質(zhì)量之比eq\f(q,m)＝5.0×107C/kg.現(xiàn)只考慮在紙面內(nèi)運(yùn)動的α粒子，求ab板上被α粒子打中區(qū)域的長度．【解析】α粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動．用R表示軌跡半徑，有qvB＝meq\f(v2,R)，由此得R＝eq\f(mv,qB)，代入數(shù)值得R＝10cm，可見2R>l>R.因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某一圓軌跡在下圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P1就是α粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)．為確定P1點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作圓弧交cd于Q點(diǎn)，過Q作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為P1.即：NP1＝eq\r(R2－（l－R）2).再考慮N的右側(cè)．任何α粒子在運(yùn)動中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓弧，交ab于N右側(cè)的P2點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)．由圖中幾何關(guān)系得NP2＝eq\r(（2R）2－l2)，所求長度為P1P2＝NP1＋NP2，代入數(shù)值得P1P2＝20cm.【答案】20cm【考點(diǎn)十三】帶電粒子運(yùn)動的極值問題【典型例題13】如圖，ABCD是邊長為a的正方形．質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域．在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場．電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場．不計(jì)重力，求：(1)此勻強(qiáng)磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向；(2)此勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積．【解析】(1)設(shè)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B.令圓弧eq\o(AEC,\s\up8(︵))是自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子在磁場中的運(yùn)行軌跡．電子所受到的磁場的作用力大小f＝ev0B①方向應(yīng)指向圓弧的圓心，因而磁場的方向應(yīng)垂直于紙面向外．圓弧eq\o(AEC,\s\up8(︵))的圓心在CB邊或其延長線上．依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，故B點(diǎn)即為圓心，圓半徑為a.根據(jù)牛頓第二定律有f＝meq\f(veq\o\al(2,0),a) ②聯(lián)立①②式得B＝eq\f(mv0,ea). ③(2)由(1)中確定的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小可知，自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子在A點(diǎn)沿DA方向射出，且自BC邊上其他點(diǎn)垂直入射的電子的運(yùn)動軌跡只能在BAEC區(qū)域中，因而，圓弧eq\o(AEC,\s\up8(︵))是所求的最小磁場區(qū)域的一個邊界．為了確定該磁場區(qū)域的另一邊界，需考查從A點(diǎn)射出的電子的速度方向與BA的延長線的交角θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(不妨設(shè)0≤θ<\f(π,2)))的情形．該電子的運(yùn)動軌跡QPA如圖所示．圖中，圓弧eq\o(AP,\s\up8(︵))的圓心為O，PQ垂直于BC邊，由③式知，圓弧eq\o(AP,\s\up8(︵))的半徑仍為a，在以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DA為y軸的坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)為x＝asinθ ④y＝－[a－(a－acosθ)]＝－acosθ ⑤這意味著，在范圍0≤θ≤eq\f(π,2)內(nèi)，P點(diǎn)形成以D為圓心、a為半徑的四分之一圓周eq\o(AFC,\s\up8(︵))，它是電子做直線運(yùn)動和圓周運(yùn)動的分界線，構(gòu)成所求磁場區(qū)域的另一邊界．因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場區(qū)域是分別以B和D為圓心、a為半徑的兩個四分之一圓周eq\o(AEC,\s\up8(︵))和eq\o(AFC,\s\up8(︵))所圍成的，其面積為S＝2×eq