高考數(shù)學(xué)真題題和模擬題分類匯編5第2章第3節(jié)函數(shù)

第2節(jié)函數(shù)、方程及其應(yīng)用

第1部分六年高考薈萃

2010年高考題

一、選擇題

1.(2010上海文)17.若5是方程式lgx+x=2的解，則與屬于區(qū)間()

(A)(0,1).(B)(1,1.25),(C)(1.25,1.75)(D)(1.75,2)

答案D

［解析］構(gòu)造函數(shù)『(x)=1gx+x_2,由/(1.75)=/弓)=1g(_；<0

/(2)=但2>0知&)屬于區(qū)間(L75,2)

2.(2010湖南文)3.某商品銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可

能是

AA

A.y=-10x+200B.y=10x+200

AA

C.y=—10x—200D.y=10x—200

答案A

3.(2010陜西文)10.某學(xué)校要招開(kāi)學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各

班人數(shù)除以10的余數(shù)冰干6時(shí)再增選一名代表.那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x

之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)(5］表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為

,、X,,、rX+3、,、x+4,、rX+5、

(A)y—[r—](B)y—[-----](C)[r-----n](D)y=[----]

10101010

答案B

解析：法一：特殊取值法，若x=56,y=5,排除C、D,若x=57,y=6,排除A,所以選B

Y-L34-3x

法二：設(shè)x=10m+=(0<=<9),0<a<6時(shí).----=mH-------=m=一,

_ioJLioJLioJ

x+3a+3r

當(dāng)6<a<9時(shí),mT-----=m+1=—+1,所以選B

"To-1010

3.(2010浙江文)(9)已知x是函數(shù)f(x)=2*+——的一個(gè)零點(diǎn).若X|W(1,x0),

1-x

x2e(x0,+oo),則

(A)f(x,)<0,f(x2)<0(B)f(x,)<0,f(x2)>0

(C)f(Xj)>0,f(x2)<0(D)f(X])>0,f(x2)>0

解析：選B,考察了數(shù)形結(jié)合的思想，以及函數(shù)零點(diǎn)的概念和零點(diǎn)的判斷，屬中檔題

4.（2010山東文）（11）函數(shù)y=2'-/的圖像大致是

答案A

5.（2010山東文）（8）已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）與年產(chǎn)量x（單位：萬(wàn)件）

的函數(shù)關(guān)系式為了=-g/+8卜—234,則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為

（A）13萬(wàn)件（B）ll萬(wàn)件

（C）9萬(wàn)件（D）7萬(wàn)件

答案C

6.（2010山東文）（5）設(shè)/3）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，f（x）^2x+2x+b（b

為常數(shù)），則/（—I）=

(A)-3(B)-1(C)1(D)3

答案A

7.(2010四川理)(4)函數(shù)f(x)=f+機(jī)x+1的圖像關(guān)于直線尤=1對(duì)稱的充要條件是

(A)m=-2(B)m=2(C)m=-1(￡>)m=1

yyi

解析：函數(shù)/G）=f+〃nr+l的對(duì)稱軸為x=一萬(wàn)

于是一——1=>m——2

2

答案A

8.（2010四川理）（2）下列四個(gè)圖像所表示的函數(shù)，在點(diǎn)x=0處連續(xù)的是

（8）（。）

解析：由圖象及函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)知，。正確.

答案D

z?,、fg(jv)+x+4,x<g(x),

9.(2010天津文)(10)設(shè)函數(shù)g(x)=V—2(xeR),/(%)=tg(x)-x,￡g(x).'則

/(x)的值域是

999

(A)——,0U(l,+oo)(B)[0,+oo)(C)[——,+oo)(D)一'7,0u(2,+oo)

4J44

【答案】D

【解析1本題主要考查函數(shù)分類函數(shù)值域的基本求法，屬于難

題。

x~—2+(x+4),x<x~—2

依題意知

f_2_x,xN_2

x2+2,x<-lsKx>2

/(x)

x?—2—x,—14x42

10.(2010天津文)(4)函數(shù)f(x)

=/+x-2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是

(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)

【答案】C

【解析】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的概念與零點(diǎn)定理的應(yīng)用，屬于容易題。

因?yàn)閒(0)=-1<0f(l)=eT>0,所以零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)上，選C

【溫馨提示】函數(shù)零點(diǎn)附近函數(shù)值的符號(hào)相反，這類選擇題通常采用代入排除的方法求解。

log2x,x>0,

11.(2010天津理)(8)若函數(shù)f(x)=?logl(-x),x<0，若f(a)>f(-a),則實(shí)數(shù)a的取值范

2

圍是

(A)(-1,0)U(0,1)(B)(-8,-1)u(1,+8)

(C)(-1,0)U(l,+8)(D)(-8,-1)U(0,1)

【答案】c

【解析】本題主要考查函數(shù)的對(duì)數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算及分類討論思想，屬于中等題。

由分段函數(shù)的表達(dá)式知，需要對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行分類討論。

a>0a<0

/(?)>/(-?)=>'iog2a〉log〕a或"log】(-a)>log2(-a)

22

a>0a<0

=><1或典=>a>l-1<a<0

a>——<a

.2la

【溫馨提示】分類函數(shù)不等式一般通過(guò)分類討論的方式求解，解對(duì)數(shù)不等式既要注意真數(shù)大

于0，同事要注意底數(shù)在(0,1)上時(shí)，不等號(hào)的方向不要寫錯(cuò)。

12.(2010天津理)(2)函數(shù)f(x)=2*+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是

(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)

【答案】B

【解析】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念與零點(diǎn)定理的應(yīng)用，屬于容易題。

由/(—l)=g-3<0,/(0)=1>0及零點(diǎn)定理知f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(-1,0)上。

【溫馨提示】函數(shù)零點(diǎn)附近函數(shù)值的符號(hào)相反，這類選擇題通常采用代入排除的方法求解。

13.(2010福建文)7.函數(shù)/(x)=-'"的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

-2+Inx,x>0

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【解析】當(dāng)xKO時(shí)，令f+2x—3=0解得x=—3；

當(dāng)x>0時(shí)，令—2+lnx=0解得x=100,所以已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，選C。

【命題意圖】本題考查分段函數(shù)零點(diǎn)的求法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想。

lcog.x,，、x>0，則”/（1?）

14.(2010湖北文)3.已知函數(shù)/(x)=，

2v,x<09

11

A.4B.-C.-4D--

44

【答案】B

【解析】根據(jù)分段函數(shù)可得心=1%=一2,貝切(4))=/(-2)=2-2=(,

所以B正確.

二、填空題

1.(2010上海文)14.將直線4:x+y-1=0、4：+y-〃=。、4：x+〃=0(〃￡N”,

?>2)圍成的三角形面積記為S”,則limS〃=o

【答案”

nn

【解析】B(——,——)所以BOLAC,

〃+1n+1

s,」x四x(q痣一立)=±L

"2n+122(n+1)

所以limS“='

"->82

2.(2010湖南文)10.已知一種材料的最佳加入量在100g到200g之間,若用0.618法安排

試驗(yàn)，則第一次試點(diǎn)的加入量可以是g

【答案】171.8或148.2

【解析】根據(jù)0.618法，第一次試點(diǎn)加入量為

110+(210-110)x0.618=171.8

或210-(210-110)x0.618=148.2

【命題意圖】本題考察優(yōu)選法的0.618法，屬容易題。

3x+2,x<l,

3.(2010陜西文)13.已知函數(shù)/'(x)=1，若=4a貝峽數(shù)a=____.

x+ax,x>\,

答案2

【解析】f(0)=2,r(/■(0))=f(2)=4+2a=4a,所以a=2

4.(2010重慶理)(15)已知函數(shù)/(%)滿足：，

4/(x)/(y)=/(x+y)+/(x—y)(x,yeR),J?]/(2010)=.

解析：取x=ly=0得/(0)=；

法一：通過(guò)計(jì)算/(2),/(3),/(4)..……，尋得周期為6

法二:取x=ny=l,有f(n)=f(n+l)+f(n-l),同理f(n+l)=f(n+2)+f(n)

聯(lián)立得f(n+2)=—f(n-l)所以T=6故/(2010)=f(0)=；

5.(2010天津文)(16)設(shè)函數(shù)f(x)=x-L,對(duì)任意xe[l,+oo),f(mx)+mf(x)<0恒成立,

X

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

【答案】m<-l

【解析】本題主要考查了恒成立問(wèn)題的基本解法及分類討論思想，屬于難題。

已知f(x)為增函數(shù)且mWO

若m>0,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知f(mx)和mf(x)均為增函數(shù)，此時(shí)不符合題意。

jm]11

M<0,時(shí)有mx-----Fmx---<02mx—(加----)?—V01H——<2x~因?yàn)閥—2x-

mxxmxm

在X￡[l,+8)上的最小值為2,所以1+二><2即加2〉i,解得m.i

m

【溫馨提示】本題是較為典型的恒成立問(wèn)題，解決恒成立問(wèn)題通?？梢岳梅蛛x變量轉(zhuǎn)化為

最值的方法求解。

6.（2010浙江文）（16）某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷售

額為500萬(wàn)元，七月份銷售額比六月份遞增斕，八月份銷售額比七月份遞增斕，九、十月

份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月至十月份銷售總額至少至少達(dá)7000萬(wàn)元，

則，x的最小值______—

答案20

7.（2010天津理數(shù)）（16）設(shè)函數(shù),對(duì)任意xe|,+oo^|,

/土]-癡2〃》”/（彳一1）+4/（加）恒成立，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是.

【解析】本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的基本解法，屬于難題。

Y23

依據(jù)題意得r—1—4/。2—1）<（1—1）2一1+4（/一]）在；1￡[_,+00）上恒定成立，即

m22

I323

―7—4〃/<-----F1在xe[—,+00）上恒成立。

m~x2x2

33251s

當(dāng)x--時(shí)函數(shù)y=-------!■1取得最小值—，所以一-—4/n2<—,即

2-x2x3m23

（3m?+1）（4〃/一3）20,解得用W-乂^或加2

22

【溫馨提示】本題是較為典型的恒成立問(wèn)題，解決恒成立問(wèn)題通?？梢岳梅蛛x變量轉(zhuǎn)化為

最值的方法求解

8.（2010廣東文數(shù)）

12.某市居民2005、2009年家庭年平均收入（單位：萬(wàn)元）與年平均

支出（單位：萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示:

年份20052006200720082009

收入X11.512.113一13.315

支出丫6.88.89.81012

根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是13,家庭年平

均收入與年平均支出有1，=x-3線性相關(guān)關(guān)系.

9.（2010江蘇卷）11、已知函數(shù)/（x）=『+l'X*,則滿足不等式/（1—/）>/（2幻的*

的范圍是。

【解析】考查分段函數(shù)的單調(diào)性。p-x2>2Xnxe（T0_]）

[1-x2>0

三、解答題

1.（2010福建文）21.（本小題滿分12分）

某港口。要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于

港口°北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東

方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以。海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò),小時(shí)與

輪船相遇。（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

（II）為保證小艇在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；

（HI）是否存在。，使得小艇以。海里/小時(shí)的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與

輪船相遇？若存在，試確定。的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

21.1」卜川i'，：，，:基礎(chǔ)知識(shí).考查推理論證能力、抽象概括能力、

運(yùn)算求解能力.應(yīng)用意識(shí).號(hào)-隨數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思出，滿i

分12分.

解泣：

I)設(shè)相遇時(shí)小艇的航小的力§海3則

S=V^OOr+400-2-30r20cso(90o-30s)

=-900產(chǎn)-600100

=^900(r-^)*I2+300.

故,=1浦.s工匚=aoA

T3mx=IOVB.V=工

3

I!,小艇以30JJ溝？T、I的速，初二仃，川遇小「卜恥的骯仃?1崗最小.

n)設(shè)小艇與輪里“EB處機(jī)歲.

I蹌點(diǎn)nJ%(vrr=20:-(30r):-2.20-30r.cos(900-30s).

2

化荀得:v=400_600_900=400（l_3）2+675

ftr4

JI0<r<l.L!|-->2.

2t

所以'與1=2叼.

t

vUSJR小心10癡.

即小艇航仃速度的最小值為10而再即小時(shí).

fin）di（II）知v'=■^^■+900.設(shè)1=〃（〃>0）,

ri4002r-600//+900-V-=0.＜*）

小艇總能何兩種不同的股行方向與輪船相遇,等價(jià)J療程＜*）應(yīng)有兩個(gè)不等正根.即：即：

600:-1600（900-v2）＞0.廣

解得1566＜30.

900-\，＞0.

所以,v的取值范用足（15"30）.

解法一.：

⑴若相遇時(shí)小艇的航行距離呆小,又輪腑沿正東方向勻速行駛,則小艇航行方向?yàn)檎秊橐?/p>

北方向.

設(shè)小艇與輪船在C處相遇.

4C_____________

RrAOAC1'^。。=20cos300=10-/

JC=30r.OC=Tr.、

_O

Jill'1.愴船航行時(shí)間，=W=l,v==30-73.

3031

3

乩.小艇以304海」小」的七堂..仃，川遇時(shí)小艇的骯行小禽JR小.

2.（2010湖北文）19.（本小題滿分12分）

已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為a（單位：m2）,其中有部分舊住房需要拆

除。當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定每年以當(dāng)年年初住房面積的10%建設(shè)新住房，同事也拆除面積為b（單

位：m2）的舊住房。

（I）分別寫出第一年末和第二年末的實(shí)際住房面積的表達(dá)式：

（II）如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%,則每年拆

除的舊住房面積b是多少？（計(jì)算時(shí)取1.儼=1.6）

19.本小JS主要考杳閱讀資14、提取信息、建立數(shù)學(xué)模型的魅力.同時(shí)考查運(yùn)用所學(xué)知諛?lè)?/p>

析和解決實(shí)際間!I的能力.(滿分12分)

解＜)第I年來(lái)的住房而枳。噂=

第2年末的(￡歷面枳(“?號(hào)-6)--^-b—Q'-i(l*"1.21a-2.lfr(m").

(H)第3年末的住歷面枳5《汐-如+共碌-6=a.(胡-41*+部J.

第4年家住比而枳為a?《苗)，-6(1+技，?

第5年木住厲面枳為〃*P-UI+*?哈)'?(步+哈力

=I.Pcr-bs).6o-6b

1-11

依IS總可知.I6a-6b"3a.解得b=￡_.所以樹(shù)華拆除的舊房面租為=(n?).

2020

2009年高考題

1.(2009福建卷文)若函數(shù)〃無(wú))的零點(diǎn)與8(月=4'+2*-2的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)

0.25,則“X)可以是

A./(x)=4x-lB./(jr)=(x-1)2

C.f(x)=e'-\D.f[x}=In

答案A

解析〃x)=4x—l的零點(diǎn)為x=：J(x)=(尤—1＞的零點(diǎn)為x=l,/(》)="—1的零

點(diǎn)為x=O,f(%)=/〃1%-3)的零點(diǎn)為x=m.現(xiàn)在我們來(lái)估算g(x)=4'+2x-2的零

點(diǎn)，因?yàn)間(O)=-l,g(g)=l,所以g(x)的零點(diǎn)Xw(0,g),又函數(shù)/(X)的零點(diǎn)與

g(x)=4'+2x—2的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.25,只有/(x)=4x—l的零點(diǎn)適合，

故選A。

2.(2009山東卷文)若函數(shù)f(x)=a'-x-a(a＞0且aR1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

答案{a\a>\]

解析設(shè)函數(shù)y-a”(a>0,且aH1}和函數(shù)y=x+a,則函數(shù)f(x)=a'-x-a(a>0且a*1)

有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)y=優(yōu)(。>0,且aw1｝與函數(shù)y=x+a有兩個(gè)交點(diǎn),由圖象可知當(dāng)

0<a<1時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn),不符合，當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y=a*(a>1)的圖象過(guò)點(diǎn)

(0,1),而直線y=x+a所過(guò)的點(diǎn)(0,a)一定在點(diǎn)(0,1)的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn).所以實(shí)

數(shù)a的取值范圍是｛ala〉1｝.

【命題立意】:本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系，隱含著對(duì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考

查，根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫出函數(shù)的圖象進(jìn)行解答

3.(2009山東卷理)(本小題滿分12分)

兩縣城A和B相距20km,現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧力8上選擇-點(diǎn)C建

造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總

影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為xkm,建在C處的垃圾處

理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地

點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距

離的平方成反比，比例系數(shù)為k，當(dāng)垃圾處理廠建在4R的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響

度為0.065.

(1)將y表示成x的函數(shù)：

(11)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧48上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理

廠對(duì)城A和城B的總影響度最??？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在，說(shuō)明理由。

4k

解法一：(1)如圖，由題意知AC_LBC,8C2=400一％2,》==?+-------?(0<x<20)c

其中當(dāng)x=10及時(shí)，y=0.065,所以k=9//x

所以y表示成x的函數(shù)為y=：+―7(0<^<20)\

x-400-%2\

22

(2)y=V—/=9x(-2x)=18/-8(400-x)令，=^

-x2400-x2',x3(400-x2)2X3(400-X2)2'-

18x4=8(400-x2)2,所以x2=160,即x=4版，當(dāng)0<x<4廂忖，

18/<8(400-x2)2,即)，'<0所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)476<x<20時(shí)，

18d>8(400—x2)2,即y,>。所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)所以當(dāng)x=4ji6時(shí)，即當(dāng)C點(diǎn)到

城A的距離為4而時(shí)，函數(shù)y=3+―J(0<x<20)有最小值.

廠400-%-

解法二：(1)同上.

(2)設(shè)加=%2,〃=400--,

49

則用+〃=400,)；=—+一,所以

mn

4949、〃i+n1,AnI”]一、I“「小皿

y=—+—=z(一+—)"八=77r^l〔3+(——+—)]2^^(l3+l2)=/當(dāng)且僅當(dāng)

mnmn400400mn40016

4〃9m口Hn=240

——=——即V時(shí)取

mnm=160

49

下面證明函數(shù)y=—+———在。160)上為減函數(shù)，在(160,400)上為增函數(shù).

m400-m

、4949

設(shè)0vmi<m2V1604lJ%—=—+777；-----(—+----)

my400-m1m2400-m2

4499_4(根2-叫)9(叫一62)

二(-------)+(

mxm2400-mx400-m2m1m2(400-)(400-)

=(根？一力詢)[---------------------------]

m}m^(400一〃％)(400-m2)

/.4(400-m,)(400-mJ—9mM

(袖一m.)--------!---------=-----—

叫加2(40。-叫)(400-m2)

因?yàn)?vm]<m2V160,所以4(400-mA)(400-m2)>4X240X240

4(400-m,)(400-m)-9mm

9mlm2V9X160X160所以2{2>0,

叫〃z?(400-叫)(400-m2)

▼「/4(400-m.)(400-?皿49,

所以(機(jī)2一加1x)=--------------——>on即n％>/函數(shù)y=一+-------在

m[m2(400-mx)(400-wi2)m400-/n

(0,160)上為減函數(shù).

49

同理，函數(shù)y=—+-------在(160,400)上為增函數(shù)，設(shè)160vmwm2<400,則

m400-m

4949、

M—K=---1——------(z---1—―----)

~叫400-mxm2400一檢

4(400-mx)(400-m2)-9m}m2

21

mxm2(400-)(400-m2)

因?yàn)?600<mivm2<400,所以4(400-)(400-/?i2)<4X240X240,9mlm2>9X160X160

所以4(400-叫)(400-叫)-9mlm2<0

加川2(400-W))(400一加2)

4(400-/711)(400-fn)~9mm49

所以(叫-叫)2}2<o即,<為函數(shù)y=一+-------在

嗎叫(400-㈣)(400—m2)m400-m

(160,400)上為增函數(shù).

所以當(dāng)m=160即x=時(shí)取“="，函數(shù)y有最小值，

所以弧AR上存在一點(diǎn)，當(dāng)x=4V10時(shí)使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響

度最小.

【命題立意】:本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,運(yùn)用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的

能力和運(yùn)用換元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問(wèn)題.

5.(2009湖南卷理)(本小題滿分13分)

某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需要建兩端橋墩之間

的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為尤米的相鄰兩墩之間的

橋面工程費(fèi)用為(2+五八萬(wàn)元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其

他因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元。

(I)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(II)當(dāng)機(jī)=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最小？

IT1

解(1)設(shè)需要新建〃個(gè)橋墩，(〃+l)x=〃?，即n=——1

X

所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+Vx)x=256(--1)+—(2+Vx)x

XX

256x/—3

=------bmyjx+2m-256.

x

C<久i33

(II)由(I)知，/'(x)=—~^+匕”戶=烏(戶—512).

x22x

3

令/(%)=0,得戶=512,所以x=64

當(dāng)0cx<64時(shí)f\x)<0,7(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù);

當(dāng)64<x<640時(shí)，f'(x)>0./(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù),

64U

所以/(x)在x=64處取得最小值，此時(shí)，?=--1=--1=9.

x64

故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小。

0.1+151n-^—,(x<6)

6.(2009年上海卷理)有時(shí)可用函數(shù)/(x)=|a~X

x4.4,,

----7-，(X>6)

Ix-4

描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度，其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)(xeN"),/(x)

表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān)。

(1)證明當(dāng)x?7時(shí):掌握程度的增加量/(x+1)—/*)總是下降；

(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為

(115,121],(121,127],(121,133]o當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí)，掌握程度是85%,請(qǐng)確定相

應(yīng)的學(xué)科。

04

證明(1)當(dāng)xN7時(shí)，/(x+1)-/(%)=-----:------

(x-3)(x-4)

而當(dāng)x27時(shí)，函數(shù)y=(x-3)(x—4)單調(diào)遞增，且(x-3)(x-4)>0....3分

故/(x+1)—/(x)單調(diào)遞減

.?.當(dāng)x27時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量/(x+1)-/(%)總是下降...........6分

(2)由題意可知0.1+151n，一=0.85............9分

a-6

整理得，一=e°05

a-6

0.05

解得。=——?6=20.50x6=123.0,123.0G(121,127]....13分

e-1

由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科...........14分

7.(2009上海卷文)(本題滿分16分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿

0.1+151na,x<6,

分10分.有時(shí)可用函數(shù)/(x)=,a~X

描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度.其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)(尤eN"),/(x)表示

對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)〃與學(xué)科知識(shí)有關(guān).

(1)證明：當(dāng)x27時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量/G+/J-4幻總是下降；

(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的。的取值區(qū)間分別為(115,121],(121,127],

(127,133].當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí)，掌握程度是85%,請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科.

04

證明(1)當(dāng)xN7時(shí)，/(x+1)—/(x)=------：------

(x-3)(x-4)

而當(dāng)xN7時(shí)，函數(shù)y=(x—3)(x—4)單調(diào)遞增，且(x—3)(x—4)>0

故函數(shù)/(x+1)—/(x)單調(diào)遞減

當(dāng)x27時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量/(x+1)-/(x)總是下降

(2)有題意可知0.1+15In'一=0.85

a-6

整理得，一=e°05

a-6

。。5

解得〃=—?6=20.50x6=123.0,123.0G(121,127].....13分

e—1

由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科...........14分

2005—2008年高考題

?、選擇題

1.(2008年全國(guó)一2)汽車經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一

過(guò)程中汽車的行駛路程，看作時(shí)間，的函數(shù)，其圖像可能是()

答案A

2.(2008年福建卷12)已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)

的圖象可能是（）

答案D

3.（07廣東）客車從甲地以60km/h的速度勻速行駛1小時(shí)到達(dá)乙地，在乙地停留了半小時(shí),

答案C

4.某地一年內(nèi)的氣溫。（f）（單位：℃）1守時(shí)刻f（月份）之間的關(guān)系如E

平均氣溫為10℃.令C（t）表示的時(shí)間段［0,t］的平均氣溫，

C（t）與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，則正確的應(yīng)該是（

答案A

解析由圖可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)t=6時(shí)，C（t）=0,排除C；t=12時(shí)，C（t）=10,排除D；t在大于

6的某一段氣溫超于10,所以排除B,故選A。

二、填空題

5.（2006年上海春季2）方程log3（2x-1）=1的解x=.

答案2

6.（2007年上海4）方程9'一6?3*-7=0的解是

答案Iogs7

7.(2006年北京卷14)某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹(shù)方案如

卜：第左棵樹(shù)種植在點(diǎn)號(hào)(乙，為)處，其中玉=1,弘=1,當(dāng)左22時(shí),

T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案，第6棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為；第2008棵樹(shù)種

植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為.

答案(1,2)(3,402)

三、解答題

8.(2008年江蘇卷17)某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD

的頂點(diǎn)A,B及CD的中點(diǎn)P處,已知AB=20km,CB=10km,

為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上

(含邊界)，且A,B與等距離的一點(diǎn)0處建造一個(gè)

污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道A0,B0,0P,設(shè)排污管道的總長(zhǎng)

為ykm.

(I)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)/BA0=9(rad),將y表示成。的函數(shù)關(guān)系式；

②設(shè)0P=x(km),將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式.

(II)請(qǐng)你選用(I)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總

長(zhǎng)度最短.

解本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用.

(I)①設(shè)AB中點(diǎn)為Q,由條件知PQ垂直平分AB,若NBA0=6(rad),貝

04=坐*=』一,故。6=工一,又0P=10—lOtan。，

cos0cos0cos0

所以y=O4+O8+OP=-^-+-^-+10—10tan。，

cos0cos0

網(wǎng)“土―牝20—10sin0(n7t?

所求函數(shù)關(guān)系式為y=-----------+100＜。＜一

cos。I4)

②若0P=x(km),則OQ=10—x,所以O(shè)A=OB=J(lO-xJ+lO^=Jx?—20x+200

,______________77

所求函數(shù)關(guān)系式為y=x+2yjx2-20x+200(0<x<10)

（II）選擇函數(shù)模型①，y，-I0cos6?cos<9-(20-10sin6?)10(2sin6>-l)

令y，=o得Sin9=；,因?yàn)?<e<（,所以e=當(dāng)總時(shí)，y<o,y是6的減

函數(shù)；當(dāng)工，工]時(shí)，y>0,y是。的增函數(shù).所以當(dāng)。=工時(shí)，y,?=（1O+1OV3）（km）?

這時(shí)點(diǎn)0位于線段AB的中垂線上，且距離AB邊二口二km處。

3

9.（2008年湖北卷20）.（本小題滿分12分）水庫(kù)的蓄水量隨時(shí)間而變化.現(xiàn)用f表示時(shí)間，

以月為單位，年初為起點(diǎn).根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫(kù)的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于f的近

似函數(shù)關(guān)系式為

_<（―廣+14,一40）e‘+50,0<z<10,

[4（t-10）（3r-41）+50,.10<f412.

（I）該水庫(kù)的蓄求量小于50的時(shí)期稱為枯水期.以表示第i月份

（，=1,2,…,12），問(wèn)一年內(nèi)哪兒個(gè)月份是枯水期？

（II）求一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量（取e=2.7計(jì)算）.

解(1)①當(dāng)0<rW10時(shí)，K(f)=(/+i4f-40)e/+50<50,

化簡(jiǎn)得r-14r+40>0,

解得r<4,或r>10,又OVfWIO,故0Vt<4.

②當(dāng)10<f412時(shí),V⑺=4(M0)(3f-41)+50<50,

化簡(jiǎn)得(t-10)(3/-41)<0,

41

解得10VfV—，又10VW12,故10<r<12.

3

綜上得0?4,或10<rW12,

故知枯水期為1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6個(gè)月.

⑵由⑴知:V。)的最大值只能在(4,10)內(nèi)達(dá)到.

1,31-t

由Vz(z)=e4(一—t2+T+4)=一一e4?+2)〉一8),令V'")=0,解得/=8(t=-2舍去).

42

當(dāng)，變化時(shí)，M'Q）與V（f）的變化情況如下表:

t(4,8)8(8,10)

Vz(r)+0-

V(t)極大值

由上表，知V（f）在t=8時(shí)取得最大值V（8）=8e2+50=108.32（億立方米）.

故知一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量是108.32億立方米

第二部分四年聯(lián)考匯編

2010年聯(lián)考題

題組二（5月份更新）

一、填空題

y-

1.（安徽兩地三校國(guó)慶聯(lián)考）函數(shù)X的圖象大致是（）

答案D

2.（池州市七校元旦調(diào)研）對(duì)于正實(shí)數(shù)記""為滿足下述條件的函數(shù)/（X）構(gòu)成的集合:

\/王,々wR且＞玉，有一0^/一/）＜/（》2）_/（陽(yáng)）＜a（%2一百）.下列結(jié)論中正確的是

（）

A.若/（x）wMai,g（x）eM“2,則/（尤）口⑸€/卜娉

B.若/（小心，且g（x）=。，則若‘人

C.若/（x）e〃a1,g（X）€M“2,貝|j/（X）+g（X）GMa］+a2

D.若/（X）WM%g（X）G”“2,且名〉。2,貝|j/（X）—g（X）€Ma-a2

答案C

.a<f^-f^<a

［解析］對(duì)于_&（"2_再）</（々）_/（可）<。（々_凡），即有X2-XI,

令々一玉，有—a<A<a,不妨設(shè)/（x）e"ai,g（x）^Ma2；即有

—of,<kj<ctf,—ct2<kg<a2因此有一4一。2<&+勺<%+%,因此有

/（X）+g（X）GMa"a2.

3.（安徽兩地三校國(guó)慶聯(lián)考）函數(shù)/（幻=才88欠+1?€（-5,5）的最大值為初，最小值為

m,則M+機(jī)等于（）

A.0B.1C.2D.4

答案C

4.（岳野兩校聯(lián)考）若"X）是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有

/（x+4）4/（x）+4和/（x+2）2f（x）+2,且/⑴=2,貝（2009）的值是（）

A.2008B.2009C.2010D.2011

答案C

5.（安徽兩地三校國(guó)慶聯(lián)考）設(shè)定義在R