2023黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)真題試卷和答案

中考PAGE1試卷黑龍江省龍東地區(qū)2023年初中畢業(yè)學(xué)業(yè)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．考試時間120分鐘2．全卷共三道大題，總分120分一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.2.下列新能源汽車標(biāo)志圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形是（）A. B. C. D.3.一個幾何體由若干大小相同的小正方體組成，它的俯視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少為（）A.4 B.5 C.6 D.74.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A. B.5 C.和5 D.1和35.如圖，在長為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（）A. B. C.或 D.6.已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且7.某社區(qū)為了打造“書香社區(qū)”，豐富小區(qū)居民的業(yè)余文化生活，計劃出資500元全部用于采購A，B，C三種圖書，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書至少買5本，最多買6本（三種圖書都要買），此次采購的方案有（）A.5種 B.6種 C.7種 D.8種8.如圖，是等腰三角形，過原點(diǎn)，底邊軸，雙曲線過兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交雙曲線于點(diǎn)，若，則的值是（）A B. C. D.9.如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)落在軸的點(diǎn)位置，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.10.如圖，在正方形中，點(diǎn)分別是上的動點(diǎn)，且，垂足為，將沿翻折，得到交于點(diǎn)，對角線交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論正確的是：①；②；③若，則四邊形是菱形；④當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到的中點(diǎn)，；⑤．（）A.①②③④⑤ B.①②③⑤ C.①②③ D.①②⑤二、填空題（每小題3分，共30分）11.據(jù)交通運(yùn)輸部信息顯示：2023年“五一”假期第一天，全國營運(yùn)性客運(yùn)量約5699萬人次，將5699萬用科學(xué)記數(shù)法表示為__________．12.函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是____________．13.如圖，在矩形中對角線，交于點(diǎn)，請?zhí)砑右粋€條件______________，使矩形是正方形（填一個即可）14.一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，這些小球除標(biāo)號外完全相同，隨機(jī)摸出兩個小球，恰好是一紅一白的概率是__________．15.關(guān)于的不等式組有3個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．16.如圖，是的直徑，切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)，連接，若，則__________．17.已知圓錐的母線長，側(cè)面積，則這個圓錐的高是__________．18.在中，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)，點(diǎn)，連接，，在旋轉(zhuǎn)的過程中，面積的最大值是__________．19.矩形中，，將矩形沿過點(diǎn)直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，若是直角三角形，則點(diǎn)到直線的距離是__________．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A在直線上，頂點(diǎn)B在x軸上，垂直軸，且，頂點(diǎn)在直線上，；過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點(diǎn)作垂直x軸，交于點(diǎn)，連接，得到第一個；過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點(diǎn)作垂直x軸，交于點(diǎn)，連接，得到第二個；如此下去，……，則的面積是__________．三、解答題（滿分60分）21.先化簡，再求值：，其中．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，．（1）將向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到，請畫出．（2）請畫出關(guān)于軸對稱的．（3）將著原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，求線段在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積（結(jié)果保留）．23.如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式．（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．24.某中學(xué)開展主題為“垃圾分類，綠色生活”的宣傳活動、為了解學(xué)生對垃圾分類知識的掌握情況，該校團(tuán)委在校園內(nèi)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)在，將他們的得分按A：優(yōu)秀，B：良好，C：合格，D：不合格四個等級進(jìn)行統(tǒng)計，并繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．（1）這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是__________人；（2）將條形圖補(bǔ)充完整；（3）扇形統(tǒng)計圖中C組對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是__________；（4）如果該校共有2200人，請估計該校不合格人數(shù)．25.已知甲，乙兩地相距，一輛出租車從甲地出發(fā)往返于甲乙兩地，一輛貨車沿同一條公路從乙地前往甲地，兩車同時出發(fā)，貨車途經(jīng)服務(wù)區(qū)時，停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時與出租車相距，貨車?yán)^續(xù)出發(fā)后與出租車相遇．出租車到達(dá)乙地后立即按原路返回，結(jié)果比貨車早15分鐘到達(dá)甲地．如圖是兩車距各自出發(fā)地距離與貨車行駛時間之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）圖中的值是__________；（2）求貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發(fā)地的距離與行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）直接寫出在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)多長時間與出租車相距．26.如圖①，和是等邊三角形，連接，點(diǎn)F，G，H分別是和的中點(diǎn)，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．27.2023年5月30日上午9點(diǎn)31分，神舟十六號載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空，某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)到當(dāng)?shù)仉娨暸_演播大廳觀看現(xiàn)場直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購進(jìn)A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進(jìn)A款和用400元購進(jìn)B款的文化衫的數(shù)量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？（3）在實(shí)際購買時，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求m值．28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊在x軸上，，的長是一元二次方程的根，過點(diǎn)C作x軸的垂線，交對角線于點(diǎn)D，直線分別交x軸和y軸于點(diǎn)F和點(diǎn)E，動點(diǎn)M從點(diǎn)O以每秒1個單位長度的速度沿向終點(diǎn)D運(yùn)動，動點(diǎn)N從點(diǎn)F以每秒2個單位長度的速度沿向終點(diǎn)E運(yùn)動．兩點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）求直線的解析式．（2）連接，求的面積S與運(yùn)動時間t的函數(shù)關(guān)系式．（3）點(diǎn)N在運(yùn)動的過程中，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q．使得以A，C，N，Q為項點(diǎn)的四邊形是矩形．若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

黑龍江省龍東地區(qū)2023年初中畢業(yè)學(xué)業(yè)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．考試時間120分鐘2．全卷共三道大題，總分120分一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分別根據(jù)積的乘方，完全平方公式，平方差公式和冪的乘方法則進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.，原式計算錯誤；B.，原式計算錯誤；C.，計算正確；D.，原式計算錯誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，完全平方公式，平方差公式和冪的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則，牢記乘法公式是解題的關(guān)鍵．2.下列新能源汽車標(biāo)志圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心．【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟知二者的定義是解題的關(guān)鍵．3.一個幾何體由若干大小相同的小正方體組成，它的俯視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】在“俯視打地基”的前提下，結(jié)合左視圖知俯視圖上一行三個小正方體的上方（第2層）至少還有1個正方體，據(jù)此可得答案.【詳解】解：由俯視圖與左視圖知，該幾何體所需小正方體個數(shù)最少分布情況如下圖所示：所以組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少為5，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是掌握口訣“俯視打地基，主視瘋狂蓋，左視拆違章”．4.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A. B.5 C.和5 D.1和3【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)平均數(shù)的定義列出關(guān)于的方程，求出的值，從而還原這組數(shù)據(jù)，再利用眾數(shù)的概念求解即可．【詳解】解：∵數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1，∴，解得，則，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是和5，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了眾數(shù)和平均數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握眾數(shù)和平均數(shù)的概念．5.如圖，在長為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)小路寬為，則種植花草部分的面積等于長為，寬為的矩形的面積，根據(jù)花草的種植面積為，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小路寬為，則種植花草部分的面積等于長為，寬為的矩形的面積，依題意得：解得：，（不合題意，舍去），∴小路寬為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6.已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】解分式方程求出，然后根據(jù)解是非負(fù)數(shù)以及解不是增根得出關(guān)于m的不等式組，求解即可．【詳解】解：分式方程去分母得：，解得：，∵分式方程的解是非負(fù)數(shù)，∴，且，∴且，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，正確得出關(guān)于m不等式組是解題的關(guān)鍵．7.某社區(qū)為了打造“書香社區(qū)”，豐富小區(qū)居民的業(yè)余文化生活，計劃出資500元全部用于采購A，B，C三種圖書，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書至少買5本，最多買6本（三種圖書都要買），此次采購的方案有（）A.5種 B.6種 C.7種 D.8種【答案】B【解析】【分析】設(shè)采購A種圖書x本，B種圖書y本，C種圖書z本，根據(jù)采購三種圖書需500元列出方程，再依據(jù)x的數(shù)量分兩種情況討論求解即可．【詳解】解：設(shè)采購A種圖書x本，B種圖書y本，C種圖書z本，其中且均為整數(shù)，根據(jù)題意得，，整理得，，①當(dāng)時，，∴∵且均為整數(shù)，∴當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴；②當(dāng)時，，∴∵且均為整數(shù)，∴當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴；綜上，此次共有6種采購方案，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、進(jìn)行分類討論是解答本題的關(guān)鍵．8.如圖，是等腰三角形，過原點(diǎn)，底邊軸，雙曲線過兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交雙曲線于點(diǎn)，若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)反比例函數(shù)的中心對稱性可得，然后過點(diǎn)A作于E，求出，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，再根據(jù)列式求出，進(jìn)而可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，將點(diǎn)D坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出的值．【詳解】解：由題意，設(shè)，∵過原點(diǎn)，∴，過點(diǎn)A作于E，∵是等腰三角形，∴，∴，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，∵底邊軸，軸，∴，∴，∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為，∴，∴，解得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，設(shè)出點(diǎn)B坐標(biāo)，正確表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．9.如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)落在軸的點(diǎn)位置，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先證明，求出，連結(jié)，設(shè)與交于點(diǎn)F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出即可解決問題．【詳解】解：∵矩形的邊，，∴，，，由題意知，∴，又∵，∴，∴，由折疊知，，∴，∴，即，連接，設(shè)與交于點(diǎn)F，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，由折疊知，，∴，∵在中，，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識，通過證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出的長是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在正方形中，點(diǎn)分別是上的動點(diǎn)，且，垂足為，將沿翻折，得到交于點(diǎn)，對角線交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論正確的是：①；②；③若，則四邊形是菱形；④當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到的中點(diǎn)，；⑤．（）A.①②③④⑤ B.①②③⑤ C.①②③ D.①②⑤【答案】B【解析】【分析】利用正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)，逐一判斷，即可解答．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，故①正確，將沿翻折，得到，，∵，，故②正確，當(dāng)時，，，，即在同一直線上，，，通過翻折的性質(zhì)可得，，∴，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故③正確，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到的中點(diǎn)，如圖，設(shè)正方形的邊長為，則，在中，，，，，，，，，，，，，，在中，，故④錯誤，，，，，，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，，，，故⑤正確；綜上分析可知，正確的是①②③⑤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切的概念，熟練按照要求做出圖形，利用尋找相似三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共30分）11.據(jù)交通運(yùn)輸部信息顯示：2023年“五一”假期第一天，全國營運(yùn)性客運(yùn)量約5699萬人次，將5699萬用科學(xué)記數(shù)法表示為__________．【答案】【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同當(dāng)原數(shù)絕對值時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，n是負(fù)數(shù)．【詳解】5699萬，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．12.函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是____________．【答案】【解析】【詳解】解：由題意得，，

解得．13.如圖，在矩形中對角線，交于點(diǎn)，請?zhí)砑右粋€條件______________，使矩形是正方形（填一個即可）【答案】或【解析】【分析】根據(jù)正方形的判定定理可知：鄰邊相等的矩形是正方形，對角線互相垂直的矩形是正方形.【詳解】∵鄰邊相等的矩形是正方形，∴可添加條件或者∵對角線互相垂直的矩形是正方形∴還可以添加條件【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定，找出正方形與矩形的性質(zhì)差異，即為可添加的條件.14.一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，這些小球除標(biāo)號外完全相同，隨機(jī)摸出兩個小球，恰好是一紅一白的概率是__________．【答案】##0.6【解析】【分析】首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結(jié)果與隨機(jī)摸出一紅一白的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】解：列表得：紅1紅2紅3白1白2紅1（紅1，紅2）（紅1，紅3）（紅1，白1）（紅1，白2）紅2（紅2，紅1）（紅2，紅3）（紅2，白1）（紅2，白2）紅3（紅3，紅1）（紅3，紅2）（紅3，白1）（紅3，白2）白1（白1，紅1）（白1，紅2）（白1，紅3）（白1，白2）白2（白2，紅1）（白2，紅2）（白2，紅3）（白2，白1）由列表可知：共有20種等可能的結(jié)果，其中隨機(jī)摸出兩個小球，恰好是一紅一白的情況有12種，∴恰好是一紅一白的概率是，

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．15.關(guān)于的不等式組有3個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】##【解析】【分析】解不等式組，根據(jù)不等式組有3個整數(shù)解得出關(guān)于m的不等式組，進(jìn)而可求得的取值范圍．【詳解】解：解不等式組得：，∵關(guān)于的不等式組有3個整數(shù)解，∴這3個整數(shù)解為，，，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解，正確得出關(guān)于m的不等式組是解題的關(guān)鍵．16.如圖，是的直徑，切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)，連接，若，則__________．【答案】34【解析】【分析】首先根據(jù)等邊對等角得到，然后利用外角的性質(zhì)得到，利用切線的性質(zhì)得到，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵切于點(diǎn)A，∴，∴．故答案為：34．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．17.已知圓錐的母線長，側(cè)面積，則這個圓錐的高是__________．【答案】12【解析】【分析】利用圓錐的側(cè)面積公式可得到底面半徑，再利用勾股定理即可得到高．【詳解】解：根據(jù)圓錐側(cè)面積公式變形可得，根據(jù)圓錐母線公式，可得，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式和母線公式，熟知上述公式是解題的關(guān)鍵．18.在中，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)，點(diǎn)，連接，，在旋轉(zhuǎn)的過程中，面積的最大值是__________．【答案】##【解析】【分析】過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)G，求出，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知點(diǎn)F在以A為圓心的長為半徑的圓上運(yùn)動，則可得如圖中G、A、F三點(diǎn)共線時點(diǎn)F到直線的距離最大，求出距離的最大值，然后計算即可．【詳解】解：如圖，在中，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，∴，，，∴，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)G，∴，又∵在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)F在以A為圓心的長為半徑的圓上運(yùn)動，，∴點(diǎn)F到直線的距離的最大值為，（如圖，G、A、F三點(diǎn)共線時）∴面積的最大值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了含直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)等知識，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點(diǎn)F到直線距離的最大值是解答本題的關(guān)鍵．19.矩形中，，將矩形沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，若是直角三角形，則點(diǎn)到直線的距離是__________．【答案】6或或【解析】【分析】由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)E在以點(diǎn)A為圓心，長為半徑的圓上運(yùn)動，延長交的另一側(cè)于點(diǎn)E，則此時是直角三角形，易得點(diǎn)到直線的距離；當(dāng)過點(diǎn)D的直線與圓相切于點(diǎn)E時，是直角三角形，分兩種情況討論即可求解．【詳解】解：由題意矩形沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，可知點(diǎn)E在以點(diǎn)A為圓心，長為半徑的圓上運(yùn)動，如圖，延長交的另一側(cè)于點(diǎn)E，則此時是直角三角形，點(diǎn)到直線距離為的長度，即，當(dāng)過點(diǎn)D的直線與圓相切與點(diǎn)E時，是直角三角形，分兩種情況，①如圖，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直線的距離，②如圖，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直線的距離，綜上，6或或，故答案為：6或或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的折疊問題切線的應(yīng)用，以及勾股定理，找到點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A在直線上，頂點(diǎn)B在x軸上，垂直軸，且，頂點(diǎn)在直線上，；過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點(diǎn)作垂直x軸，交于點(diǎn)，連接，得到第一個；過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點(diǎn)作垂直x軸，交于點(diǎn)，連接，得到第二個；如此下去，……，則的面積是__________．【答案】【解析】【分析】解直角三角形得出，，求出，證明，，得出，，總結(jié)得出，從而得出．【詳解】解：∵，∴，∵軸，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，∵，∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，∴，∴，∵，∴設(shè)，則，∴，∴，∴，，∵，∴，∴平分，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，，∵軸，軸，∴，，∵軸，軸，軸，∴，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴，同理，∴，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形面積的計算，平行線的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)規(guī)律探究，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出一般規(guī)律．三、解答題（滿分60分）21.先化簡，再求值：，其中．【答案】，原式【解析】【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡，然后求出，最后代值計算即可．【詳解】解：，∵，∴原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡求值，求特殊角三角函數(shù)值，正確計算是解題的關(guān)鍵．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，．（1）將向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到，請畫出．（2）請畫出關(guān)于軸對稱的．（3）將著原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，求線段在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積（結(jié)果保留）．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)的位置進(jìn)而畫出圖形；（2）利用軸對稱的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)的位置進(jìn)而畫出圖形；（3）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)即可得出答案．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】如圖所示，即為所求；【小問3詳解】將著原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，設(shè)所在圓交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，，，，，，，，，，，，故線段在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查平移、軸對稱變換作圖和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．23.如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式．（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【解析】【分析】（1）采用待定系數(shù)法，將點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)直接代入拋物線，即可求得拋物線的解析式．（2）過線段的中點(diǎn)，且與平行的直線上的點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)連線組成的三角形的面積都等于，則此直線與拋物線的交點(diǎn)即為所求；求出此直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，即可求得答案．【小問1詳解】解：因為拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線解析式為：．【小問2詳解】解：如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為，可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作與平行的直線，假設(shè)與拋物線交于點(diǎn)，（在的左邊），（在圖中未能顯示）．設(shè)直線的函數(shù)解析式為．因為直線經(jīng)過點(diǎn)和，所以，解得，所以，直線的函數(shù)解析式為：．又，可設(shè)直線的函數(shù)解析式為，因為直線經(jīng)過點(diǎn)，所以．解得．所以，直線的函數(shù)解析式為．根據(jù)題意可知，．又，所以，直線上任意一點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)連線組成的的面積都滿足．所以，直線與拋物線的交點(diǎn)，即為所求，可得，化簡，得，解得，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一元二次方程、一元一次方程等，靈活結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．24.某中學(xué)開展主題為“垃圾分類，綠色生活”的宣傳活動、為了解學(xué)生對垃圾分類知識的掌握情況，該校團(tuán)委在校園內(nèi)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)在，將他們的得分按A：優(yōu)秀，B：良好，C：合格，D：不合格四個等級進(jìn)行統(tǒng)計，并繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．（1）這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是__________人；（2）將條形圖補(bǔ)充完整；（3）扇形統(tǒng)計圖中C組對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是__________；（4）如果該校共有2200人，請估計該校不合格的人數(shù)．【答案】（1）40（2）見解析（3）（4）220人【解析】【分析】（1）用A：優(yōu)秀的人數(shù)除以其人數(shù)占比即可求出參與調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；（2）先求出C：合格的人數(shù)，再補(bǔ)全統(tǒng)計圖即可；（3）用360度乘以C組對應(yīng)人數(shù)占比即可得到答案；（4）用2200乘以樣本中D組對應(yīng)的人數(shù)占比即可得到答案．【小問1詳解】解：人，∴這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是人，故答案為：40；【小問2詳解】解：由（1）得C：合格人數(shù)為人，補(bǔ)全統(tǒng)計圖如下所示：【小問3詳解】解：，∴扇形統(tǒng)計圖中C組對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)是，故答案為：；【小問4詳解】解：人，∴估計該校不合格的人數(shù)為220人．【點(diǎn)睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息相關(guān)聯(lián)，用樣本估計總體，正確讀懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵．25.已知甲，乙兩地相距，一輛出租車從甲地出發(fā)往返于甲乙兩地，一輛貨車沿同一條公路從乙地前往甲地，兩車同時出發(fā)，貨車途經(jīng)服務(wù)區(qū)時，停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時與出租車相距，貨車?yán)^續(xù)出發(fā)后與出租車相遇．出租車到達(dá)乙地后立即按原路返回，結(jié)果比貨車早15分鐘到達(dá)甲地．如圖是兩車距各自出發(fā)地的距離與貨車行駛時間之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）圖中的值是__________；（2）求貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發(fā)地的距離與行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）直接寫出在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)多長時間與出租車相距．【答案】（1）120（2）（3）或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得的解析式，將代入解析式，解方程即可解答；（2）根據(jù)題意可得的值，即為貨車裝貨時距離乙地的長度，結(jié)合貨車停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時與出租車相距，可求出裝貨時間，即點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)貨車?yán)^續(xù)出發(fā)后與出租車相遇，求出裝完貨后貨車的速度，即直線的解析式中的值，最后將點(diǎn)B坐標(biāo)代入直線的解析式，利用待定系數(shù)法即可解答；（3）根據(jù)（2）中直線的解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得到出租車返回時的速度，然后進(jìn)行分類討論：①出租車和貨車第二次相遇前，相距時；②出租車和貨車第二次相遇后，距離時，分別進(jìn)行解答即可．【小問1詳解】解：結(jié)合圖象，可得，設(shè)直線的解析式為，將代入解析式，可得，解得，直線的解析式為，把代入，得，故答案為：120；【小問2詳解】解：根據(jù)貨車停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時與出租車相距，可得此時出租車距離乙地為，出租車距離甲地為，把代入，可得，解得，貨車裝完貨時，，可得，根據(jù)貨車?yán)^續(xù)出發(fā)后與出租車相遇，可得（出租車的速度貨車的速度），根據(jù)直線的解析式為，可得出租車的速度為，相遇時，貨車的速度為，故可設(shè)直線的解析式為，將代入，可得，解得，直線的解析式為，故貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發(fā)地的距離與行駛時間之間的函數(shù)關(guān)系式為；【小問3詳解】解：把代入，可得，解得，，，根據(jù)出租車到達(dá)乙地后立即按原路返回，結(jié)果比貨車早15分鐘到達(dá)甲地，可得,，出租車返回時的速度為，設(shè)在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)t小時，與出租車相距，此時貨車距離乙地為，出租車距離乙地為，①出租車和貨車第二次相遇前，相距時；可得，解得，②出租車和貨車第二次相遇后，相距時；可得，解得，故在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)或與出租車相距．【點(diǎn)睛】本題考查了從函數(shù)圖象獲取信息，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，能準(zhǔn)確地理解題意，根據(jù)題中信息求得所需數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵．26.如圖①，和是等邊三角形，連接，點(diǎn)F，G，H分別是和的中點(diǎn)，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．【答案】圖②中，圖③中，證明見解析【解析】【分析】圖②：如圖②所示，連接，先由三角形中位線定理得到，，再證明得到，則，進(jìn)一步證明，即可證明是等腰直角三角形，則；圖③：仿照圖②證明是等邊三角形，則．【詳解】解：圖②中，圖③中，圖②證明如下：如圖②所示，連接，∵點(diǎn)F，G分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，同理可得，∵和都是等腰直角三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴；圖③證明如下：如圖③所示，連接，∵點(diǎn)F，G分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，同理可得，∵和都是等腰三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．27.2023年5月30日上午9點(diǎn)31分，神舟十六號載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空，某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)到當(dāng)?shù)仉娨暸_演播大廳觀看現(xiàn)場直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購進(jìn)A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進(jìn)A款和用400元購進(jìn)B款的文化衫的數(shù)量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？（3）在實(shí)際購買時，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求m值．【答案】（1）A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元，（2）一共有六種購買方案（3）【解析】【分析】（1）設(shè)A款文化衫每件x元，則B款文化衫每件元，然后根據(jù)用500元購進(jìn)A款和用400元購進(jìn)B款的文化衫的數(shù)量相同列出方程求解即可；（2）設(shè)購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，然后根據(jù)，學(xué)校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫列出不等式組求解即可；（3）設(shè)購買資金為W元，購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，求出，根據(jù)（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，可得W的取值與a的值無關(guān)，由此即可求出．【小問1詳解】解：設(shè)A款文化衫每件x元，則B款文化衫每件元，由題意得，，解得，檢驗，當(dāng)時，，∴是原方程的解，∴，∴A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元，