福建省三元縣2024屆八年級數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

福建省三元縣2024屆八年級數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列分式中，是最簡分式的是()A． B． C． D．2．如圖，在菱形中，對角線、相交于點(diǎn)，，，過作的平行線交的延長線于點(diǎn)，則的面積為（）A．22 B．24 C．48 D．443．如圖是某件商晶四天內(nèi)的進(jìn)價與售價的折線統(tǒng)計圖．那么售出每件這種商品利潤最大的是（）A．第一天 B．第二天 C．第三天 D．第四天4．如圖，在中，對角線與相交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接.若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．5．不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（）A． B． C． D．6．下列圖形是軸對稱的是（）A． B． C． D．7．下列圖形是我國國產(chǎn)品牌汽車的標(biāo)識，在這些汽車標(biāo)識中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．8．如圖，已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行線間的距離都是1，正方形ABCD的四個頂點(diǎn)分別在四條直線上，則正方形ABCD的面積為（）A． B．5 C．3 D．9．在平行四邊形ABCD中，已知，，則它的周長為()A．8 B．10 C．14 D．1610．如果一個正多邊形的內(nèi)角和是這個正多邊形外角和的2倍，那么這個正多邊形是()A．等邊三角形 B．正四邊形 C．正六邊形 D．正八邊形二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，交的延長線于，則四邊形的面積為______．12．如圖，△ABC中，AB＝BC＝12cm，D、E、F分別是BC、AC、AB邊上的中點(diǎn)，則四邊形BDEF的周長是__________cm．13．甲，乙，丙三位同學(xué)近次快速閱讀模擬比賽成績平均分均為分，且甲，乙，丙的方差是，則發(fā)揮最穩(wěn)定的同學(xué)是__________．14．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E、F、G分別是BD、AC、DC的中點(diǎn)．已知兩底差是6，兩腰和是12，則△EFG的周長是．15．若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是______．16．如果一組數(shù)據(jù)：8，7，5，x，9，4的平均數(shù)為6，那么x的值是_____．17．外角和與內(nèi)角和相等的平面多邊形是_______________．18．一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，若點(diǎn)A(3，m)在圖象上，則m的值是__________.三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在四邊形OABC中，OA∥BC，∠OAB=90°，O為原點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，8），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（26，0），點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)E同時從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿折線OAB運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E達(dá)到點(diǎn)B時，點(diǎn)D也停止運(yùn)動，從運(yùn)動開始，設(shè)D（E）點(diǎn)運(yùn)動的時間為t秒．（1）當(dāng)t為何值時，四邊形ABDE是矩形；（2）當(dāng)t為何值時，DE=CO？（3）連接AD，記△ADE的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．20．（6分）如圖，，分別表示小明步行與小剛騎車在同一路上行駛的路程S與時間t的關(guān)系．（1）小剛出發(fā)時與小明相距________米．走了一段路后，自行車發(fā)生故障進(jìn)行修理，所用的時間是________分鐘．（2）求出小明行走的路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系式．（寫出計算過程）（3）請通過計算說明：若小剛的自行車不發(fā)生故障，保持出發(fā)時的速度前進(jìn)，何時與小明相遇？21．（6分）觀察下列各式，，，，由此可推斷（1）＝＝．（2）請猜想（1）的特點(diǎn)的一般規(guī)律，用含m的等式表示出來為＝（m表示正整數(shù)）．（3）請參考（2）中的規(guī)律計算：22．（8分）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=4，BC=10.求：梯形兩腰AB、CD的長.23．（8分）四邊形是正方形，是直線上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時（如圖1），易證DF-BE=EF.（1）當(dāng)點(diǎn)在延長線上時，在圖2中補(bǔ)全圖形，寫出、、的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）當(dāng)點(diǎn)在延長線上時，在圖3中補(bǔ)全圖形，寫出、、的數(shù)量關(guān)系，不用證明.24．（8分）如圖，已知等邊△ABC，點(diǎn)D在直線BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線DN交射線AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥AB交直線DN于點(diǎn)F.（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，∠NDB為銳角時，如圖①.①判斷∠1與∠2的大小關(guān)系，并說明理由；②過點(diǎn)F作FM∥BC交射線AB于點(diǎn)M，求證：CF+BE=CD；（2）①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上，∠NDB為銳角時，如圖②，請直接寫出線段CF，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系；②當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上，∠NDB為鈍角或直角時，如圖③，請直接寫出線段CF，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系.25．（10分）先化簡，再求值：[其中，]26．（10分）如圖，△ABC中，AB=BC=5cm，AC=6cm，點(diǎn)P從頂點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→A以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動到A點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為x秒，BP長度為ycm．某學(xué)習(xí)小組對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是他們的探究過程，請補(bǔ)充完整：（1）通過取點(diǎn)，畫圖，測量，得到了x（秒）與y（cm）的幾組對應(yīng)值：x01234567891011y0.01.02.03.04.04.54.144.55.0要求：補(bǔ)全表格中相關(guān)數(shù)值（保留一位小數(shù)）；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，描出以補(bǔ)全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象；（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)x約為______時，BP=CP．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【解題分析】

根據(jù)最簡分式的定義對四個分式分別進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】A、=，不是最簡分式；B、=，不是最簡分式；C、，是最簡分式；D、=，不是最簡分式；故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式．2、B【解題分析】

先判斷出四邊形ACED是平行四邊形，從而得出DE的長度，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出BD的長度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，計算出面積即可.【題目詳解】解：∵AD∥BE，AC∥DE，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴AC=DE=6，在RT△BCO中，BO=，即可得BD=8，又∵BE=BC+CE=BC+AD=10，∴△BDE是直角三角形，∴S△BDE=．故答案為：B.【題目點(diǎn)撥】此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理及三角形的面積，屬于基礎(chǔ)題，求出BD的長度，判斷△BDE是直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵．3、B【解題分析】

根據(jù)利潤=售價-進(jìn)價和圖象中給出的信息即可得到結(jié)論．【題目詳解】解：由圖象中的信息可知，利潤=售價-進(jìn)價，利潤最大的天數(shù)是第二天．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查折線統(tǒng)計圖，有理數(shù)大小的比較，正確的把握圖象中的信息，理解利潤=售價-進(jìn)價是解題的關(guān)鍵．4、B【解題分析】

利用三角形內(nèi)角和定理得出∠BCA的度數(shù)，再利用三角形中位線定理以及平行線的性質(zhì)即可得出答案【題目詳解】°，∠BAC=80°∠BCA=180°-50°=50°對角線AC與BD相交與點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，EO是△DBC的中位線EO∥BC∠1=∠ACB=50°故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.5、A【解題分析】試題分析：解不等式x+2＞2得：x＞﹣2；解不等式得：x≤2，所以次不等式的解集為：﹣2＜x≤2．故選A．考點(diǎn)：2．在數(shù)軸上表示不等式的解集；2．解一元一次不等式組．6、D【解題分析】

根據(jù)圖形的特點(diǎn)結(jié)合軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念解答．【題目詳解】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本項錯誤；B、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本項錯誤；C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本項錯誤；D、是軸對稱圖形，故本項正確；故選擇：D.【題目點(diǎn)撥】此題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，熟記的定義是解題的關(guān)鍵.7、B【解題分析】由中心對稱圖形的定義：“把一個圖形繞一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能夠與自身完全重合，這樣的圖形叫做中心對稱圖形”分析可知，上述圖形中，A、C、D都不是中心對稱圖形，只有B是中心對稱圖形.故選B.8、B【解題分析】

過D點(diǎn)作直線EF與平行線垂直，與l2交于點(diǎn)E，與l4交于點(diǎn)F．易證△ADE≌△DFC，得CF=2，DF=2．根據(jù)勾股定理可求CD2得正方形的面積．【題目詳解】作EF⊥l2，交l2于E點(diǎn)，交l4于F點(diǎn)．∵l2∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l2，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵ABCD為正方形，∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE．在△ADE和△DCF中∴△ADE≌△DCF（AAS），∴CF=DE=2．∵DF=2，∴CD2=22+22=3，即正方形ABCD的面積為3．故選B．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了正方形的性質(zhì)和面積計算，根據(jù)平行線之間的距離構(gòu)造全等的直角三角形是關(guān)鍵．9、D【解題分析】

根據(jù)“平行四邊形的對邊相等”結(jié)合已知條件進(jìn)行分析解答即可．【題目詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=5，AD=BC=3，∴平行四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=5+3+5+3=16故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查“平行四邊形的對邊相等”是解答本題的關(guān)鍵．10、C【解題分析】

設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n．根據(jù)題意列出方程即可解決問題．【題目詳解】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，由題意(n﹣2)?180°＝2×360°，解得n＝6，所以這個多邊形是正六邊形，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查多邊形的內(nèi)角和、外角和等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建方程解決問題．二、填空題(每小題3分,共24分)11、12【解題分析】

由于AF∥BC，從而易證△AEF≌△DEC（AAS），所以AF=CD，從而可證四邊形AFBD是平行四邊形，所以，又因為BD=DC，所以，所以，從而求出答案；【題目詳解】解：∵AF∥BC，∴∠AFC=∠FCD，在△AEF與△DEC中，，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF=DC，∵BD=DC，∴AF=BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∴，又∵BD=DC，∴，∴，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，∴S△ABC=AB×AC=×4×6=12，∴四邊形AFBD的面積為：12；故答案為：12.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12、24【解題分析】

根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)求出BF、BD，根據(jù)中位線的性質(zhì)求出DE、FE，從而求出四邊形BDEF的周長.【題目詳解】∵D、E、F分別是BC、AC、AB邊上的中點(diǎn)，∴，，，∵AB=BC=12cm∴BF=DE=BD=BF=6cm∴四邊形BDEF的周長為24cm.【題目點(diǎn)撥】本題考查線段的中點(diǎn)、三角形中位線定理.解決本題的關(guān)鍵是利用三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DE和FE.13、丙【解題分析】

方差反應(yīng)了一組數(shù)據(jù)的波動情況，方差越大，波動越大，越不穩(wěn)定；方差越小，波動越小，越穩(wěn)定，據(jù)此進(jìn)一步判斷即可.【題目詳解】∵，，，∴丙同學(xué)的方差最小，∴發(fā)揮最穩(wěn)定的同學(xué)是丙，故答案為：丙.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了方差的意義，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.14、1．【解題分析】試題分析：延長EF交BC于點(diǎn)H，可知EF，F(xiàn)H，F(xiàn)G、EG分別為△BDC、△ABC、△BDC和△ACD的中位線，由三角形中位線定理結(jié)合條件可求得EF+FG+EG，可求得答案．解：連接AE，并延長交CD于K，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，∵點(diǎn)E、F、G分別是BD、AC、DC的中點(diǎn)．∴BE=DE，在△AEB和△KED中，，∴△AEB≌△KED（AAS），∴DK=AB，AE=EK，EF為△ACK的中位線，∴EF=CK=（DC﹣DK）=（DC﹣AB），∵EG為△BCD的中位線，∴EG=BC，又FG為△ACD的中位線，∴FG=AD，∴EG+GF=（AD+BC），∵兩腰和是12，即AD+BC=12，兩底差是6，即DC﹣AB=6，∴EG+GF=6，F(xiàn)E=3，∴△EFG的周長是6+3=1．故答案為：1．點(diǎn)評：此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．15、x≠【解題分析】

根據(jù)分式的分母不為0可得關(guān)于x的不等式，解不等式即得答案．【題目詳解】解：∵代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴2x－1≠0，解得：x≠．故答案為：x≠．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了分式有意義的條件，正確把握分式的定義是解題關(guān)鍵．16、1【解題分析】

利用平均數(shù)的定義，列出方程＝6即可求解．【題目詳解】解：根據(jù)題意知＝6，解得：x＝1，故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了平均數(shù)的概念．平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．17、四邊形【解題分析】

設(shè)此多邊形是n邊形，根據(jù)多邊形內(nèi)角與外角和定理建立方程求解．【題目詳解】設(shè)此多邊形是n邊形，由題意得：解得故答案為：四邊形．【題目點(diǎn)撥】本題考查多邊形內(nèi)角和與外角和，熟記n邊形的內(nèi)角和公式，外角和都是360°是解題的關(guān)鍵．18、2.5【解題分析】

先用待定系數(shù)法求出直線解析式，再將點(diǎn)A代入求解可得．【題目詳解】解：將（-2，0）、（0，1）代入y=kx+b，得：，解得：∴y=x+1，將點(diǎn)A（3，m）代入，得：即故答案為：2.5【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）t=；（2）t=6s或7s；（3）當(dāng)點(diǎn)E在OA上時，,當(dāng)點(diǎn)E在OAAB上時，.【解題分析】

（1）根據(jù)矩形的判定定理列出關(guān)系式，計算即可；（2）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理解答；（3）分點(diǎn)E在OA上和點(diǎn)E在AB上兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【題目詳解】（1）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，8），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（26，0），∴OA=26，BC=24，AB=8，∵D（E）點(diǎn)運(yùn)動的時間為t秒，∴BD=t，OE=3t，當(dāng)BD=AE時，四邊形ABDE是矩形，即t=26-3t，解得，t=；（2）當(dāng)CD=OE時，四邊形OEDC為平行四邊形，DE=OC，此時CD=26-2-t=24-t，即24-t=3t，解得，t=6當(dāng)四邊形OCDE為等腰梯形時，DE=OC，即CD=26-2-t=24-t，OE=3t，∵OE=CD+4，∴3t=24-t+4，解得，t=7，則t為6s或7s時，DE=CO；（3）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在OA上時，AE=26-3t，則S=×AE×AB=×（26-3t）×8=-12t+104（），當(dāng)點(diǎn)E在AB上時，AE=3t-26，BD=t，則S=×AE×DB=×（3t-26）×t=t2-13t()．【題目點(diǎn)撥】本題考查的是矩形的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)解析式的確定，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．20、（1）3000，12；（2）；（3）若小剛的自行車不發(fā)生故障，保持出發(fā)時的速度前進(jìn)，20分鐘與小剛相遇．【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)圖象可以直接得出答案；（2）根據(jù)直線lA經(jīng)過點(diǎn)（0，3000），（30，6000）可以求得它的解析式；（3）根據(jù)函數(shù)圖象可以求得lB的解析式與直線lA聯(lián)立方程組即可求得相遇的時間．【題目詳解】解：（1）根據(jù)函數(shù)圖象可知，小剛出發(fā)時與小明相距3000米．走了一段路后，自行車發(fā)生故障進(jìn)行修理，所用的時間是12分鐘．故答案為：3000；12；（2）根據(jù)函數(shù)圖象可知直線經(jīng)過點(diǎn)，．設(shè)直線的解析式為：，則解得，，即小明行走的路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系式是：；（3）設(shè)直線的解析式為：，∵點(diǎn)（10，2500）在直線上，得，．解得，．故若小剛的自行車不發(fā)生故障，保持出發(fā)時的速度前進(jìn)，20分鐘與小剛相遇．【題目點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想對圖象進(jìn)行分析，找出所求問題需要的條件．21、（1），；（2），；（3）0.【解題分析】

（1）根據(jù)題目中的例子可以解答本題；（2）根據(jù)（1）中的例子可以寫出含m的等式；（3）根據(jù)前面的發(fā)現(xiàn)，可以計算出所求式子的值．【題目詳解】解：（1）=，故答案為：，；（2）由（1）可得，故答案為：，；（3）＝＝＝0.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，求出所求式子的值．22、AB=3，CD=3．【解題分析】

平移一腰，得到平行四邊形和30°的直角三角形，根據(jù)它們的性質(zhì)進(jìn)行計算．【題目詳解】解：作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，則四邊形ABED是平行四邊形．

∴AB=DE，AD=BE，∠DEC=∠B=60°，

∵∠C=30°，

∴∠EDC=180°-60°-30°=90°，

∵CE=BC-BE=BC-AD=6，

∴DE=3，CD=3，

即AB=3，CD=3．故答案為：AB=3，CD=3．【題目點(diǎn)撥】本題考查與梯形有關(guān)的問題，平移一腰是梯形中常見的輔助線，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析．23、（1）圖詳見解析，BE＝DF+EF，證明詳見解析；（2）圖詳見解析，EF＝DF+BE.【解題分析】

（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系是：BE＝DF+EF，易證△ABE≌△DAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF＝BE，DF＝AE，由此可得BE＝AF＝AE+EF＝DF+EF；（2）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系是：EF＝DF+BE；易證△ABE≌△DAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF＝BE，DF＝AE，由此可得EF＝AE+AF＝DF+BE．【題目詳解】（1）如圖2，DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系是：BE＝DF+EF，理由是：∵ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAD=90°．∵BE⊥AG，DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴BE＝AF＝AE+EF＝DF+EF；（2）如圖3，DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系是：EF＝DF+BE；理由是：∵ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAD=90°．∵BE⊥AG，DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴EF＝AE+AF＝DF+BE．【題目點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)即全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出圖形，證明△ABE≌△DAF是解決問題的關(guān)鍵.24、（1）①∠1=∠2，理由見解析，②證明見解析；（2）①BE=CD+CF，②CF=CD+BE．【解題分析】

（1）①由等邊三角形的性質(zhì)和∠ADN=60°，易得∠1+∠ADC=120°，∠2+∠ADC=120°，所以∠1=∠2；②由條件易得四邊形BCFM為平行四邊形，得到BM=CF，BC=MF，再證明△MEF≌△CDA，得到ME=CD，利用等量代換即可得證；（2）①過F作FH∥BC，易得四邊形BCFH為平行四邊形，可得HF=BC，BH=CF，然后證明△EFH≌△DAC，得到CD=EH，利用等量代換即可得BE=CD+CF；②過E作EG∥BC，易得四邊形BCGE為平行四邊形，可得EG=BC，BE=CG，然后證明△EFG≌△ADC，得到CD=FG，利用等量代換即可得CF=CD+BE．【題目詳解】（1）①∠1=∠2，理由如下：∵△ABC為等邊三角形∴∠ACB=60°∴∠2+∠ADC=120°又∵∠AND=60°∴∠1+∠ADC=120°∴∠1=∠2②∵M(jìn)F∥BC，CF∥BM∴四邊形BCFM為平行四邊形∴BM=CF，BC=MF=AC，∵BC∥MF∴∠1=∠EFM=∠2，∠EMF=∠ABC=60°在△MEF和△CDA中，∵∠EFM=∠2，MF=AC，∠EMF=∠ACD=60°∴△MEF≌△CDA（ASA）∴ME=CD∴ME=BM+BE=CF+BE=CD即CF+BE=CD（2）①BE=CD+CF，證明如下：如圖，過F作FH∥BC，∵CF∥BH，F(xiàn)H∥BC，∴四邊形BCFH為平行四邊形∴HF=BC=AC，BH=CF∵△ABC為等邊三角形∴∠ABC=∠ACB=60°∴∠CAD+∠ADC=60°，∠DBE=120°，∠ACD=120°又∵∠AND=60°，即∠BDN+∠ADC=60°∴∠CAD=∠BDN∵BD∥HF∴∠HFE=∠BDN=∠CAD，∠EHF=∠ACD=120°在△EFH和△DAC中，∵∠EHF=∠ACD，HF=AC，∠HFE=∠CAD∴△EFH≌△DAC（ASA）∴EH=CD∴BE=BH+EH