第二章(第一,二,三節(jié))

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁隨機變量及其分布第一節(jié)隨機變量為了更深入地研究隨機事件及其概率，我們引進概率論中一個重要的基本概念—隨機變量。即將隨機實驗的結(jié)果數(shù)量化（或數(shù)值化，數(shù)字化）.為此,先考察幾個隨機實驗的例子.:投擲一枚勻稱的硬幣,看見它哪一面向上？實驗的樣本空間是;若用,則是定義在上的函數(shù),用函數(shù)取值就能描述隨機實驗的結(jié)果,因為正面或反面的浮上是隨機的,所以或也是隨機取到的,因而稱此為隨機變量;:甲乙兩人下一盤棋,看見比賽結(jié)果.實驗的樣本空間是,定義函數(shù),則是定義在上的函數(shù),用函數(shù)的取值就能描述隨機實驗的結(jié)果.：記錄某電話交換臺在一天內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，實驗的樣本空間是，定義當(dāng)；：從一批燈泡中任取一只，測試其壽命，實驗的樣本空間是，定義當(dāng)。我們從上面幾個例子看到,用數(shù)量來描述實驗的所有結(jié)果,對我們研究隨機實驗是方便的.因此,有須要把隨機實驗結(jié)果都轉(zhuǎn)化成數(shù)量來表示.這就有須要引入一個重要概念--隨機變量.定義1設(shè)隨機實驗的樣本空間為,為概率空間.倘若對于每一個樣本點，都有決定的實數(shù)值與之對應(yīng)，并且對于隨意實數(shù)，是隨機事件，（即要求是可測函數(shù)），有決定的概率，則稱這樣的實值變量為隨機變量，簡記為。隨機變量，簡記為，有的書上稱為隨機變數(shù)。通常用大寫英文字母或希臘字母等表示隨機變量。例如，上述分離定義于樣本空間上的函數(shù)都是隨機變量。由此可見，隨機變量就是定義在樣本空間上的一個可測函數(shù)。因為在實驗中浮上是隨機的，所以實數(shù)的取值相對于實驗來說也是隨機的，這就是稱它為隨機變量的緣故。注重定義在樣本空間上的任一個函數(shù)，未必是隨機變量。引入隨機變量以后，隨機事件就可以用隨機變量的取值來表示了。如在實驗中，令“呼叫次數(shù)不超過20”；“呼叫次數(shù)大于8”；“呼叫次數(shù)在之間”，則隨機事件可分離表示如下：；；。這樣一來，我們所協(xié)助的隨機事件的概率問題就轉(zhuǎn)化為隨機變量取值的概率問題。因此，隨機變量及其取值的概率是我們今后學(xué)習(xí)研究的主要對象。（可測性、可測集、可測函數(shù)的概念，在數(shù)學(xué)上有精決定義；不可測的集合是存在的，數(shù)學(xué)家已構(gòu)造出不可測的集合；不可測事件存在性的社會學(xué)證實：“深（神）不可測”，“高深莫測”，“奧秘莫測”，“猜不出你想的都是什么”，“股市風(fēng)險不可預(yù)測”等等描述的都是不可測的場合場景。我們通常碰到的大都是可測的。社會智慧的“隨機應(yīng)變”，“見啥人說啥話”，“入鄉(xiāng)隨俗”，“到什么山唱什么歌”，用概率論的術(shù)語就是“隨機變量”。深刻領(lǐng)略“隨機應(yīng)變”的內(nèi)涵和外延，就能理解“隨機變量”。第二節(jié)隨機變量的分布函數(shù)研究隨機變量，不但要知道它取哪些值，更重的是要控制它在各個范圍內(nèi)取值的概率邏輯。為此，引進分布函數(shù)的概念。對普通的隨機變量，如何描述它取值的概率邏輯就成為我們下面研究的內(nèi)容。設(shè)為隨機變量，則為隨機事件，倘若對一切實數(shù)，都知道了，那么對取值于一切有限，無限的開，閉，半開，半閉區(qū)間內(nèi)的概率也能用概率的性質(zhì)計算出來。定義2設(shè)為隨機變量，對于隨意實數(shù)，令,，(2.1）稱為隨機變量的概率分布函數(shù),簡稱分布函數(shù),記為.就是說,隨機變量的分布函數(shù)在隨意實數(shù)處的值等于在區(qū)間內(nèi)取值的概率.例如“2015年某省高考的全體考生”，表示考生的總分?jǐn)?shù)，制定錄取線，報志愿時我們需要知道分?jǐn)?shù)分布情況。倘若是考前報志愿，預(yù)測的分?jǐn)?shù)分布情況就更重要了。如何決定隨機變量的分布函數(shù)是概率論的主要問題，為此先研究分布函數(shù)的性質(zhì)。分布函數(shù)是定義于實數(shù)軸上的實函數(shù).分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì)：,(1)取值范圍:；（2）單調(diào)不減,對于,有;(因為,)，（3）,;事實上，顯然存在，記，則有，，；顯然，存在，記，則有，，。（4）右延續(xù),對一切實數(shù).(記號:右極限)事實上，顯然存在，記，則有，，于是。反之，若定義在上的實函數(shù)，若滿意以上條件,則一定是某隨機變量的分布函數(shù)。分布函數(shù)還具有下列一些性質(zhì):（5）對隨意實數(shù),,(2.2)事實上,;(6),(2.3),.其中左極限.分布函數(shù)舉例例1投擲一顆勻稱的骰子,記錄其浮上的點數(shù).令,則是一個隨機變量.求的分布函數(shù).解只可能取0、1兩個值,且按照題意,,,,當(dāng)時,,;當(dāng)時,,;當(dāng)時,,,于是得到隨機變量的分布函數(shù)為.例2已知隨機變量的分布函數(shù)為,決定常數(shù);求和.解(1)由分布函數(shù)的性質(zhì),得,,所以,;(2),.例3某人打靶,圓靶半徑為1m.設(shè)射擊一定中靶,且擊中靶上任一與圓靶同心的圓盤的概率與該圓靶的面積成正比.以表示彈著點至靶心的距離,試求機變量的分布函數(shù).解按照題意,可能取[0,1]上的任何實數(shù).,當(dāng)時,,;當(dāng)時,,為了決定常數(shù),在中,令,得;又由題設(shè)知是必然事件,故;當(dāng)時,是必然事件,故,總上所述,即得的分布函數(shù)為.顯然,是一個延續(xù)函數(shù).當(dāng)分布函數(shù)在點處延續(xù)時,,即,從而有,由上面例題的實際情況,是有可能發(fā)生的().這一事實告訴我們,,未必有.隨機變量按其取值不同,可分為離散型隨機變量和延續(xù)型隨機變量及其它類隨機變量.我們只研究離散型隨機變量與延續(xù)型隨機變量.離散型隨機變量及其概率分布離散隨機變量的定義如下：定義3若隨機變量只可能取有限個或可數(shù)個實數(shù)值:,則稱為離散型隨機變量。()取各個可能值的概率,稱為離散型隨機變量概率分布(或分布律,或分布列).離散型隨機變量例子例如,從一批產(chǎn)品中抽取件,抽到的次品數(shù)只能取有限個可能值;對目標(biāo)舉行射擊,直到擊中目標(biāo)為止,記為所需射擊次數(shù),只能取可列個可能值,若每次擊中目標(biāo)的概率為,則,是離散型隨機變量的分布律.離散型隨機變量的分布律的表示主意:(1)公式法,(2)列表法或矩陣法.,…………或用矩陣表示.離散型隨機變量的分布律具有下列基本性質(zhì)：(1),;(2),事實上,因為是隨機變量的所有可能取值,是定義在上,所以,且是互不相容的,利用概率的可加性即有.上式中，當(dāng)取得有限個可能值時，表示有限項的和；當(dāng)取得可列無窮多個可能值時，表示收斂級數(shù)的和.反之，可以證實,隨意一個具有（1）和(2)兩條性質(zhì)的一串?dāng)?shù)一定是某一個隨機變量的分布律。分布律和分布函數(shù)可互相決定的主意如下:定理設(shè)為離散型隨機變量，具有分布律則(1)的分布函數(shù);(事實上,)對隨意區(qū)間,有;從分布函數(shù),可以決定分布律,.由此可見,離散型隨機變量的分布律不但具有分布函數(shù)的相同作用,而且它比分布函數(shù)更直接且簡便地描述了隨機變量的取值邏輯.所以,今后我們用分布律來描述離散型隨機變量的取值邏輯.例1袋中有1個白球和4個黑球，每次從其中隨意取出一個球，看見其色彩后放回，再從中隨意取一球，直至取得白球為止，求取球次數(shù)的概率分布。解隨機變量可能取的值為:1,2,…,設(shè)第次取球時得白球,,,按照題意,事件表示“前次取出的球都是黑球，第次才取出白球”；倘若每次取出的球總是黑球，那么無限次的取球，所以的可能值是一切正整數(shù)，即＝1,2,3,…,n,…,各次取球?qū)嶒灮ハ嘧粤?所以的分布律,(=1,2,3,…)例2將3個有區(qū)別的球隨機地逐個放入編號為1，2，3，4的四只盒中（每盒容納球的個數(shù)不限）。設(shè)為有球的盒子的最大號碼，試求：（1）隨機變量的分布律與分布函數(shù)；（2）。解（1）按照題意知，隨機變量可能取的值為：1，2，3，4；且；；；，即隨機變量的分布律為1234的分布函數(shù)為（2）.例3將紅、白、黑三只球隨機地逐個放入編號為1，2，3的三個盒內(nèi)（每盒容納球的個數(shù)不限），以表示有球盒子的最小號碼，求隨機變量的分布律與分布函數(shù).解按照題意知，隨機變量可能取的值為：1，2，3;,,,即隨機變量的分布律為123的分布函數(shù)為