第五講 幾何元素相對位置2013

第五章幾何元素的相對位置5.1、直線與平面平行5.2、直線與平面相交5.3、平面與平面平行第五章幾何元素的相對位置5.4、直線與平面垂直5.5、平面與平面相交5.6、平面與平面垂直5.7、平面與投影面的夾角定理：

若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。BAP5.1、直線與平面平行n

●●a

c

b

m

abcmn例1：過M點作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解有多少解？5.1、直線與平面平行正平線c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

例2、過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。5.1、直線與平面平行例3、試判斷直線AB是否平行于平面CDE。結(jié)論：直線AB不平行于定平面b

a

abc

e

d

edcXO5.1、直線與平面平行直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。要討論的問題：●求直線與平面的交點。

●判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。ABKP5.2、直線與平面相交1、積聚性法

當平面或直線的投影有積聚性時，交點的兩個投影中有一個可直接確定，另一個投影可用在直線上或平面上取點的方法求出。HPHPKV5.2、直線與平面相交abcmnc

n

b

a

m

1）平面為特殊位置空間及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。①求交點②判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

為可見。還可通過重影點判別可見性。k

●1

(2

)作圖k●●2●1●5.2、直線與平面相交km(n)b●m

n

c

b

a

ac2）直線為特殊位置空間及投影分析：

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①求交點②判別可見性

點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

為不可見。1

(2

)k

●2●1●●作圖：用面上取點法5.2、直線與平面相交

一般位置直線與一般位置平面相交，其投影都沒積聚性，則采用輔助平面法。2、輔助平面法過AB作平面P垂直于H投影面DECP12KBA5.2、直線與平面相交2PH作題步驟：1、過AB作鉛垂平面P。2、求P平面與ΔCDE的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與AB的交點K。XOa

b

bacd

e

edc

1kk

例4、直線AB與平面ΔCDE相交，求交線判可見性。1’2’XOa

b

bacd

e

edc

kk

判別可見性。121’(2’)343(4)5.2、直線與平面相交

若平面內(nèi)的兩相交直線對應(yīng)地平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，則這兩個平面平行。PSEFDACB5.3、平面與平面平行例5：已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

kXO5.3、平面與平面平行VHPAKLDCBE

幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。5.4、直線與平面的垂直問題定理：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

XO5.4、直線與平面的垂直問題定理（逆）：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEHXO5.4、直線與平面的垂直問題a

cac

n

mf

d

b

dbfm

例6：試過定點M作平面（

BDF）的垂線。5.4、直線與平面的垂直問題h

hh

hh

hkk

SVk

kPV例7：試過定點K作特殊位置平面的法線。k

kQH5.4、直線與平面的垂直問題例8：過空間一點作已知直線的垂面bb′cc′faa′ef′e′5.4、直線與平面的垂直問題例9:求點C到直線AB的距離。c

a

b

cabXO5.4、直線與平面的垂直問題空間分析：PABCK

過C點作直線AB的垂線CK一定在過C點并且與AB垂直的平面P內(nèi)，過C點作一平面與直線AB垂直，求出該平面與AB的交點K，最后求出垂線CK的實長即為所求。5.4、直線與平面的垂直問題作圖過程:c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距離5.4、直線與平面的垂直問題f

k

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm

l

n

bacc

a

b

XOfk1、一個平面具有集聚性5.5、平面與平面相交平面可見性的判別VHMmnlBCackfFKNLb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

XO對于二平面之一具有集聚性的情況，可直觀判斷可見性5.5、平面與平面相交

利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。FBCALKED2、兩一般位置平面相交求交線的方法1）線面穿點法5.5、平面與平面相交1、用直線與平面求交點的方法求出兩平面的兩個共有點K、L。bacc

b

a

dd

eff

e

QV21k

kl

l2、連接兩個共有點，畫出交線KL。XO作題步驟1

2

利用重影點判別可見性,注意過交點可見性發(fā)生改變.bacc

b

a

ll

nmm

n

kee

k

3

4

()3421()1

2

XO

判別可見性5.5、平面與平面相交2）三面共點法當表示兩個平面的圖形投影分離時,用此方法求交線.5.5、平面與平面相交例：求平面P、Q的交線p’q’pq5.5、平面與平面相交幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。PAB5.6、平面與平面的垂直問題

反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。ABⅠⅡ兩平面垂直兩平面不垂直ⅡⅠAB5.6、平面與平面的垂直問題g

ha

cac

h

kk

f

d

b

d