第五講 幾何元素相對(duì)位置2013

第五章幾何元素的相對(duì)位置5.1、直線與平面平行5.2、直線與平面相交5.3、平面與平面平行第五章幾何元素的相對(duì)位置5.4、直線與平面垂直5.5、平面與平面相交5.6、平面與平面垂直5.7、平面與投影面的夾角定理：

若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。BAP5.1、直線與平面平行n

●●a

c

b

m

abcmn例1：過(guò)M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。有無(wú)數(shù)解有多少解？5.1、直線與平面平行正平線c

●●b

a

m

abcmn唯一解n

例2、過(guò)M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面ABC。5.1、直線與平面平行例3、試判斷直線AB是否平行于平面CDE。結(jié)論：直線AB不平行于定平面b

a

abc

e

d

edcXO5.1、直線與平面平行直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。要討論的問(wèn)題：●求直線與平面的交點(diǎn)。

●判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見(jiàn)性。ABKP5.2、直線與平面相交1、積聚性法

當(dāng)平面或直線的投影有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的兩個(gè)投影中有一個(gè)可直接確定，另一個(gè)投影可用在直線上或平面上取點(diǎn)的方法求出。HPHPKV5.2、直線與平面相交abcmnc

n

b

a

m

1）平面為特殊位置空間及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。①求交點(diǎn)②判別可見(jiàn)性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

為可見(jiàn)。還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。k

●1

(2

)作圖k●●2●1●5.2、直線與平面相交km(n)b●m

n

c

b

a

ac2）直線為特殊位置空間及投影分析：

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。①求交點(diǎn)②判別可見(jiàn)性

點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前；點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

為不可見(jiàn)。1

(2

)k

●2●1●●作圖：用面上取點(diǎn)法5.2、直線與平面相交

一般位置直線與一般位置平面相交，其投影都沒(méi)積聚性，則采用輔助平面法。2、輔助平面法過(guò)AB作平面P垂直于H投影面DECP12KBA5.2、直線與平面相交2PH作題步驟：1、過(guò)AB作鉛垂平面P。2、求P平面與ΔCDE的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與AB的交點(diǎn)K。XOa

b

bacd

e

edc

1kk

例4、直線AB與平面ΔCDE相交，求交線判可見(jiàn)性。1’2’XOa

b

bacd

e

edc

kk

判別可見(jiàn)性。121’(2’)343(4)5.2、直線與平面相交

若平面內(nèi)的兩相交直線對(duì)應(yīng)地平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，則這兩個(gè)平面平行。PSEFDACB5.3、平面與平面平行例5：已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過(guò)點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

kXO5.3、平面與平面平行VHPAKLDCBE

幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。5.4、直線與平面的垂直問(wèn)題定理：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

XO5.4、直線與平面的垂直問(wèn)題定理（逆）：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEHXO5.4、直線與平面的垂直問(wèn)題a

cac

n

mf

d

b

dbfm

例6：試過(guò)定點(diǎn)M作平面（

BDF）的垂線。5.4、直線與平面的垂直問(wèn)題h

hh

hh

hkk

SVk

kPV例7：試過(guò)定點(diǎn)K作特殊位置平面的法線。k

kQH5.4、直線與平面的垂直問(wèn)題例8：過(guò)空間一點(diǎn)作已知直線的垂面bb′cc′faa′ef′e′5.4、直線與平面的垂直問(wèn)題例9:求點(diǎn)C到直線AB的距離。c

a

b

cabXO5.4、直線與平面的垂直問(wèn)題空間分析：PABCK

過(guò)C點(diǎn)作直線AB的垂線CK一定在過(guò)C點(diǎn)并且與AB垂直的平面P內(nèi)，過(guò)C點(diǎn)作一平面與直線AB垂直，求出該平面與AB的交點(diǎn)K，最后求出垂線CK的實(shí)長(zhǎng)即為所求。5.4、直線與平面的垂直問(wèn)題作圖過(guò)程:c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距離5.4、直線與平面的垂直問(wèn)題f

k

求兩平面交線的問(wèn)題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問(wèn)題,由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm

l

n

bacc

a

b

XOfk1、一個(gè)平面具有集聚性5.5、平面與平面相交平面可見(jiàn)性的判別VHMmnlBCackfFKNLb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

XO對(duì)于二平面之一具有集聚性的情況，可直觀判斷可見(jiàn)性5.5、平面與平面相交

利用求一般位置線面交點(diǎn)的方法找出交線上的兩個(gè)點(diǎn)，將其連線即為兩平面的交線。FBCALKED2、兩一般位置平面相交求交線的方法1）線面穿點(diǎn)法5.5、平面與平面相交1、用直線與平面求交點(diǎn)的方法求出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)K、L。bacc

b

a

dd

eff

e

QV21k

kl

l2、連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫(huà)出交線KL。XO作題步驟1

2

利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性,注意過(guò)交點(diǎn)可見(jiàn)性發(fā)生改變.bacc

b

a

ll

nmm

n

kee

k

3

4

()3421()1

2

XO

判別可見(jiàn)性5.5、平面與平面相交2）三面共點(diǎn)法當(dāng)表示兩個(gè)平面的圖形投影分離時(shí),用此方法求交線.5.5、平面與平面相交例：求平面P、Q的交線p’q’pq5.5、平面與平面相交幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。PAB5.6、平面與平面的垂直問(wèn)題

反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。ABⅠⅡ兩平面垂直兩平面不垂直ⅡⅠAB5.6、平面與平面的垂直問(wèn)題g

ha

cac

h

kk

f

d

b

d