高等數(shù)學(xué)第三版下冊(cè)課后答案習(xí)題全

提供各專業(yè)全套畢業(yè)論文

習(xí)題七

1.在空間直角坐標(biāo)系中，定出下列各點(diǎn)的位置：

4(1,2,3);B(-2,3,4);C(2,-3,-4);

。(3,4,0);￡(0,4,3)；尸(3,0,0).

解：點(diǎn)A在第I卦限；點(diǎn)B在第n卦限；點(diǎn)C在笫VIU勢(shì)限；

點(diǎn)D在xQy面匕點(diǎn)￡在N。面上；點(diǎn)F在X軸上.

2.xQy坐標(biāo)面上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？yQz面上的呢？zOx面上的呢？

答：在入g面上的點(diǎn)，z=o；

在歹Oz面上的點(diǎn)，x=0;

在zOx面上的點(diǎn)，尸0.

3.x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？y軸上的點(diǎn)呢？z軸上的點(diǎn)呢？

答：》軸上的點(diǎn),y=z=0;

y軸上的點(diǎn)，x=z=0;

z軸上的點(diǎn)，x=y=0.

4.求下列各對(duì)點(diǎn)之間的距離：

(1)(0,0,0),(2,3,4)；(2)(0,0,0),(2,一3,-4)；

(3)(-2,3,-4),(1,0,3)；(4)(4,-2,3),(-2,1,3).

解：⑴5=A/22+32+42=729

(2)5=722+(-3)2+(-4)2=V29

(3)5=7(1+2)2+(0-3)2+(3+4)2=V67

(4)s=J(-2-4)2+(1+2>+(3-3)2=3亞.

5.求點(diǎn)(4,-3,5)到坐標(biāo)原點(diǎn)和各坐標(biāo)軸間的距離.

解：點(diǎn)(4,-3,5)到x軸，y軸,z軸的垂足分別為(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5).

222

故50=74+(-3)+5=572

s,=7(4-4)2+(-3-0)2+(5-0)2=V34

Sy=JP+(―3+3)2+52=屈

222

s:=74+(-3)+(5-5)=5.

6.在z軸上，求與兩點(diǎn)/(-4,1,7)和3(3,5,-2)等距離的點(diǎn).

解：設(shè)此點(diǎn)為M(0,0,z),則

(-4)2+l2+(7-z)2=32+52+(-2-z)2

14

解得z=—

9

即所求點(diǎn)為M(0,0,—).

9

7.試證：以三點(diǎn)4(4,1,9),8(10,-1,6),C(2,4,3)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角

三角形.

證明：因?yàn)閨/8|=MC|=7.且有

|4C『+M用2=49+49=98=|8C|2.

故△ZBC為等腰直角三角形.

8.驗(yàn)證：(a+b)+c=a+(b+cy

證明：利用三角形法則得證.見圖7-1

圖7-1

9.設(shè)“=a-8+2c,y=—。+3)一c.試用。，仇c表示2〃一3y.

解：

2u—3y—2(a—Z>+2c)-3(—a+3b—c)

-2a-2b+4c+3a-9b+3c

=5a-l1b+7c

10.把△/8C的BC邊分成五等份，設(shè)分點(diǎn)依次為。i，。2,。3,。4,再把各分點(diǎn)與Z連接,

試以方=c,部=。表示向量57,取，取和取.

—?—?—*1

解：D.A=BA—BD,=—c—a

115

—?———?2

D,A=BA_BD)=—c—a

225

——?—?——?3

D]A=BA-BD]=—c—a

335

---------------?---------------4

D4A-BA-BD4——c——a.

11.設(shè)向量的的模是4,它與投影軸的夾角是60°,求這向量在該軸上的投影.

解：設(shè)M的投影為M',則

Prj“OM=|OA/|cos60°=4x1=2.

12.一向量的終點(diǎn)為點(diǎn)8(2,-1,7),它在三坐標(biāo)軸上的投影依次是4,-4和7,求這向量

的起點(diǎn)A的坐標(biāo).

解：設(shè)此向量的起點(diǎn)/的坐標(biāo)Z(x,y,z),則

AB={4,-4,7}={2-x,-l-y,7-z}

解得x=-2,y=3,z=0

故」的坐標(biāo)為Z(-2,3,0).

13.響量的起點(diǎn)是4(4,0,5),終點(diǎn)是巳(7,1,3),試求：

(1)麻在各坐標(biāo)軸上的投影；(2)質(zhì)的模；

(3)質(zhì)的方向余弦；(4)質(zhì)方向的單位向量.

解：⑴ax=Vr]xPxP2=3,

=Prj^=l,

yr

%=Prj;片鳥=-2.

(2)|^|=7(7-4)2+(l-0)2+(3-5)2=V14

V14V14

14.三個(gè)力尸產(chǎn)(1,2,3),尸2=(-2,3,-4),尸3=(3,-4,5)同時(shí)作用于一點(diǎn).求合力R的大小和方向余

弦.

解：R=(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)

|Z?|=V22+l2+42=V21

2cos￡=j=,C0S/=-^.

COSCX=-1—,

V21V21V21

15.[Rlfia=i+j+k,b=2i-?>j+5kc=-2i-j+2k并分別用單位向量來(lái)表達(dá)

向量a,/c.

解：|a|=Vl2+l2+l2=V3

|b|=722+(-3)2+52=V38

|C|=7(-2)2+(-1)2+22-3

a—b=\[3Seh,c=3ec.

16.設(shè)ni=3i+g+8A,〃=2i-g-7乂p=5it/-4Jt,求向量a=4,〃+3”？在x軸上的投影及在y軸上的

分向量.

解：a=4(3i+5/+8*)+3(2i-4/-7*)-(5i+/-4*)=13i+7/+l5k

在x軸上的投影期=13,在y軸上分向量為7/.

17.解：設(shè)。={4,%,,4}則有

求得見=；?

設(shè)Z在X。、面上的投影向量為石則有3={%,4,0}

2

rI兀abV2_ax+e2

則cos—==丁z+.2

4

則求得4=±，

>4y2

又口卜1,則4+a；+d=l

從而求得4={萬(wàn),/，土工-}或{/,一5,士；-}

18.已知兩點(diǎn)M(2,5,-3),Ml(3,-2,5),點(diǎn)M在線段M此上，且峪"=3?弘，

求向徑兩的坐標(biāo).

解：設(shè)向徑。M={x,y,z}

M、M={x-2,^-5,z+3}

MM2={3-X.-2-y,5-Z}

因?yàn)?，M\M=3MMz

11

x=—

x—2=3(3—x)4

1

所以，<y-5=3(-2-y)=>y=—

4

z+3=3(5—z)

z=3

——■111

故O/={二，一二,3}.

44

19.已知點(diǎn)尸到點(diǎn)力(0,0,12)的距離是7,方的方向余弦是2,9,

，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

77

解：設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y,z),|P3|2=X2+/+(Z-12)2=49

得x2+y2+z2--95+24z

_____________6,570

222=>Z,=0,2,=-------

yy]x+y+z71249

x2

又cosa=n再=2,/

22212

y[x+y+Z749

cosg/「—ni285

yjx2+y2+z27乂="=而

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(2,3,6)或P(—,—,—).

494949

20.已知a,b的夾角夕=半,且同=3,同=4,計(jì)算:

⑴a?生(2)(3a-2Z>)?(a+2b).

2兀1

解：(1)a?b=cos(p-\a\-\b\=cos-^-x3x4=——x3x4=-6

(2)(3a-2b)?(a+2b)=3aa+6ab-2ba-4bb

=3|a|2+4a-b-4\b\i

=3x3?+4x(-6)-4x16

=-61.

21.已知a=(4,-2,4),b=(6,-3,2),計(jì)算:

(1)a?b,(2)(2a—3〃),(a+b)；(3)\a-b\

解：(1)a-6=4x6+(-2)x(-3)+4x2=38

(2)(2<z—3b),(a+〃)=2cL,a+2a,b—3atb—3btb

=2\a^-a-b-3\b\1

=2X[42+(—2)2+42]-38-3[62+(-3)2+22]

=2x36-38-3x49=-113

(3)『=(a-b)(a-b)=aa-lab-vbb=\a^-lab+\b|2

=36—2x38+49=9

22.已知四點(diǎn)/(1,-2,3),B(4,-4,-3),C(2,4,3),D(8,6,6),求向量存在

向量而上的投影.

解：/3={3,-2,-6},CD={6,2,3}

ABCD_3x6+(—2)x2+(—6)x34

CD76234+22+327

23.若向量a+3b垂直于向量7°-56,向量垂直于向量7°-2〃，求。和力的夾角.

解：（0+3））?（7。一55）=7|。F+16。?》一15|〃「二0①

(0-45)?(la-2b)=71a『—30a?8+8|b『二0②

—ab=—ab—1=(a3=1

由①及②可得:

|4|2一|肝一2⑷2叫2-4

又a力=!|。|2>0,所以cos6=-^心-=,

2|a||/>|2

故。=arccos—.

23

24.設(shè)4=(-2,7,6)力=(4,-3,-8),證明：以a與方為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直.

證明：以ajb為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線分別為a+b,a—且

a+b=[2,4,-2)

af={-6,10,14}

又(a+b)?(af尸2X(-6)+4X10+(-2)X14=0

故(a+b)_L(a-b).

25.已知a=3i+2j-k,b=i~j+2k,^.：

(l)aXb;⑵2aX7。；

⑶乃X2a;(4)aXa.

2-1.-1332

解：（I）axb=i+]j+I、k=3i-~lj-5k

-122

(2)Zzx7〃=14(axb)=4萬(wàn)-98j-70A

(3)75x2?=143xa)=—14(ax》)=-42i+98j+70A

(4)axa=0.

26.已知向量a和8互相垂直，且|a|=3,16|=4.計(jì)算：

(1)|(?+ft)X(a-*)|；

(2)|(3a+Z?)X(a-2i)|.

(1)\(a+b)x(a-b)=\axa-axb+bxa-bxb\=\-2(?xZ>)|

TT

=21?|-16|-sin—=24

(2)|(3a+5)x(0-25)|=|3axa—6axb+bxa-2bxb|=|7(bxa)\

TT

=7x3x4xsin—=84

2

27.求垂直于向量3，工/天和^^+化的單位向量，并求上述兩向量夾角的正弦.

-1-133-4

I+k--5i-5j+5k

1122-1

axb上、

與axb平行的單位向量6=G,..,,

\axb\5也_5V13

sin。=

|a|x|6rV26-V6-26

28.一平行四邊形以向量。=(2,1,-1)和方=(1,-2,1)為鄰邊，求其對(duì)角線夾角的正弦.

解：兩對(duì)角線向量為

l]=a+b=3i-jfl2=a-b=i+3j-2k

因?yàn)榈鮴/2H21+67+10*1=5/140,

|zj=Vio,|z2|=Vi4

所以

UMIV10V14

即為所求對(duì)角線間夾角的正弦.

29.已知三點(diǎn)4(2,-1,5),2(0,3,-2),C(-2,3,1),點(diǎn)、M,N,2分別是48,BC,。的中點(diǎn),證

明：MNxMP^^(ACxBC).

證明：中點(diǎn)M,N,P的坐標(biāo)分別為

31

7V(-1,3,--),P(0,l,3)

MN^{-2,2,-2}

一3

AC={-4,4,-4]

SC={-2,0,3}

2-2-2

2

MNxMP=3i+30A=3i+5j+2Jt

0

22

一一4-4.-44-44

ACxBC=i+0A=1萬(wàn)+20/+8A

033

故MNxMP=~(ACxBC).

ijk

30.(1)解：axb=axava_

hxhybz

=(%也-生娘7+(。也-a也)J+(axby-aybx)k

則（axB）-C=（a也-fig）Cx+（a也-a也）Cv+也）Cv

aa

%y：

=&b、,b:

c,cya

若共面，則有Zx否后與忑是垂直的.

從而（￡x》f=o反之亦成立.

44%

(2)(axb)-C-bxx.byvbz2

cxcycz

&byb:

(6xC)-a=CkrCyvCz.

%ay&

____GJa

（Cxa）b=axav生

44b二

由行列式性質(zhì)可得：

%%牝JJ

a

瓦byh:y牝

。、c,c：byb:

故(.axb)-C=(.bxO-a=(Cxa)■

31.四面體的頂點(diǎn)在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面體的表面積.

解：設(shè)四頂點(diǎn)依次取為48,C,D

方={0,1,2},15={2-2,1}

則由/,B,D三點(diǎn)所確定三角形的面積為

1—.——13亞

S、=-\ABxAD\=-\5i+4j-2k

同理可求其他三個(gè)三角形的面積依次為工,④,JL

2

故四面體的表面積S=1+3+也+些.

22

32.解：設(shè)四面體的底為ABCQ,從工點(diǎn)到底面A8CQ的高為則

V=\-SBCDh,

而Ssc。=曰況x麗卜lp-7+8^|=|

又A5c。所在的平面方程為:4x+y-8z+15=0

|4+1-8+15|_4

則h-

V16+1+64-3

—1940

故K=----------2

323

33.已知三點(diǎn)4(2,4,1),8(3,7,5),C(4,10,9),證:此三點(diǎn)共線.

證明：方={1,3,4},就={2,6,8}

顯然就=2萬(wàn)

則N8xNC=18x2/8=2(/8x4S)=0

故力,8,C三點(diǎn)共線.

34.一動(dòng)點(diǎn)與M0(l,1,1)連成的向量與向量”=(2,3,-4)垂直，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(xj,z)

M°M={x_1,y—1,z_1}

因MQM_L〃，故MQM-/?=0.

即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0

整理得：2x+3y~4zT=0即為動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡方程.

35.求通過(guò)下列兩已知點(diǎn)的直線方程：

(1)(1,-2,1),(3,1,-1)；(2)(3,-1,0),(1,0,-3).

解：(1)兩點(diǎn)所確立的一個(gè)向量為

s={3T,1+2,-1-1}={2,3,-2}

故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x-1z-1-y-1z+1

---------=--y+2=口/------x------3----=--=

2------3------2-------2------------3------2

(2)直線方向向量可取為

s={l-3,0+1,-3-0}={-2,1,-3)

故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x-3y+1z?x—1yz+3

-------=--------=-----nV-------=—=--------

-21-3?-21-3

2x+3y—z—4=0

36.求直線1J的標(biāo)準(zhǔn)式方程和參數(shù)方程.

3x-5y+2z+l=0

解：所給直線的方向向量為

3—1-1223

s=n,xn?=i4-/+k=i-7j-19k

12-52233-5

另取xo=O代入直線一般方程可解得泗=7/o=17

于是直線過(guò)點(diǎn)(0,7,17),因此直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

xy-7z-17

-7--19

且直線的參數(shù)方程為：

'x=f

,y=7-7/

2=17-19/

37.求過(guò)點(diǎn)(4』,-2)且與平面3廠2>62=11平行的平面方程.

解：所求平面與平面3x-2尹6z=ll平行

故”={3,-2,6},又過(guò)點(diǎn)(4,1,-2)

故所求平面方程為：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0

即3x~2y+6z+2=0.

38.求過(guò)點(diǎn)M(l,7,-3),且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)到點(diǎn)Mo的線段。必垂直的平面方程.

解：所求平面的法向量可取為〃=西={1,7,-3}

故平面方程為：x-l+7(y-7)-3(z+3)=0

即x+7廠3z-59=0

39.設(shè)平面過(guò)點(diǎn)(1,2,-1),而在x軸和z軸上的截距都等于在y軸上的截距的兩倍，求此平面

方程.

解：設(shè)平面在y軸上的截距為6

則平面方程可定為—+Z+—=1

2bb2b

又(1,2,-1)在平面上，則有

得b=2.

故所求平面方程為-+^+-=1

424

40.求過(guò)(1,1,T),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三點(diǎn)的平面方程.

解：由平面的三點(diǎn)式方程知

X-&y-yyz—Z|

工2一內(nèi)必一兇Z2-Zj=0

毛一玉先一yZ3-Z|

X—1jTz+1

代入三已知點(diǎn)，有-2-1-2-12+1=0

1-1-1-12+1

化簡(jiǎn)得X-3廣2Ao即為所求平面方程.

41.指出下列各平面的特殊位置，并畫出其圖形:

(1)^=0;(2)3A-1=0;

(3)2%-3廠6=0;(4)x-y=0;

(5)2X-3>H-4Z=0.

解：(l)y=0表示xOz坐標(biāo)面(如圖7-2)

⑵3xT=0表示垂直于x軸的平面.(如圖7-3)

(3)2x-3廠6=0表示平行于z軸且在x軸及y軸上的截距分別為x=3和y=-2的平面.(如圖7-4)

(4)x方=0表示過(guò)z軸的平面(如圖7-5)

(5)2x-3.4z=0表示過(guò)原點(diǎn)的平面(如圖7-6).

&/。>

y

圖7-4圖7-5圖7-6

42.通過(guò)兩點(diǎn)(1,1,1,)和(2,2,2)作垂直于平面田)-z=0的平面.

解：設(shè)平面方程為4r+8)4Cz+￡>=0

則其法向量為〃={48,C}

已知平面法向量為“尸{1,1,/}

過(guò)已知兩點(diǎn)的向量/={1,1,1}

由題知n,?1=0,n,/=0

A+B-C=Q

明=>C=0,A——B.

N+8+C=0

所求平面方程變?yōu)锳x~Ay+D=Q

又點(diǎn)（1,1,1）在平面上，所以有。=0

故平面方程為x-尸0.

43.決定參數(shù)后的值，使平面x+@-2z=9適合下列條件:

兀

（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5,-4,6）；（2）與平面2x-3尹z=0成一的角.

4

解：（1）因平面過(guò)點(diǎn)（5,-4,6）

故有5-4h2X6=9

得k=-4.

（2）兩平面的法向量分別為

〃1={1,匕-2}n2={2-3,1）

口a何司卜3胃71V2

且COS。=------L11—=COS—=——

2

1^111^21V5+Zr-V1442

解得金孚

44.確定下列方程中的/和打

（1）平面2x+儀+3z-5=0和平面〃?x-6yz+2=0平行;

⑵平面3x-5y+/z-3=0和平面x+3小2z+5=0垂直.

解：（1）ii]={2,l,3},n2={m-6-l}

2/32

n,n.=>—=——=—nm=——,7/=1O18

12W-6-13

（2）m={3,-5,/},肛={1,3,2}

_L〃，=3xl—5x3+/x2=0=>/=6.

45.通過(guò)點(diǎn)（1,-1,1）作垂直于兩平面x-y+z-l=0和2x+y+z+l=0的平面.

解：設(shè)所求平面方程為Ax+By+Cz+D=0

其法向量〃={48,C}

A=~-C

=>A—B+C=03

w_Ln2=>2A+8+C=0B=Q

3

又（1,-1,1）在所求平面上,故Z—B+C+ZM）,得ZM）

故所求平面方程為

2C

--Cx+—y+Cz=0

33,

即2x-y-3z=0

46.求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量上/+2A的單位向量.

解:m={3,-l,7},n2={l,-l,2}.

〃_L

-17733-1

故〃xn2=i+J+k=5i+j-1k

-12211-1

則e“=±，=(5i+j-2A).

A/30

47.求下列直線與平面的交點(diǎn):

x-1y+1z

(1)----=-----=—,2x+3jH-z-l=0;

1-26

x+2_y-1_z-3

⑵,x+2y-2z+6=0.

232

x=1+/

解:（1）直線參數(shù)方程為《y——\-2t

z=6/

代入平面方程得t=l

故交點(diǎn)為（2,-3,6）.

x=—2+2/

（2）直線參數(shù)方程為《y=1+3/

z=3+2z

代入平面方程解得/=0.

故交點(diǎn)為（-2,1,3）.

48.求下列直線的夾角：

5x-3y+3z-9=02.x+2,y—z+23=0

⑴《和

3x—2y+z-1=03x+8y+z—18=0

^-3_z-8

x—2y—3z—1

(2)-----=--=——和＜-1-2

4-123

x=l

解：（1）兩直線的方向向量分別為:

7k

S|={5,-3,3}X{3,-2,1}=5-33={3,4,-1)

31

ij

S2={2,2,-1}X{3,8,1)=22={10,-5,10}

38

由Si?$2=3x10+4x(-5)+(-1)xio=o知$]J_§2

TT

從而兩直線垂直，夾角為一.

2

jV—3z—8

(2)直線七2=上三=0的方向向量為S1={4,-12,3},直線丁=二7的方程可變

4—1231

x=l

為〈，可求得其方向向量曲={0,2,-1”{1。0}={0,7,-2},于是

[x-1=0

cos3=J'卜:=一6尸=0.2064

聞忸|13小

3=78°5'

49.求滿足下列各組條件的直線方程：

(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-3,4),且與平面3x*2z-4=0垂直；

(2)過(guò)點(diǎn)(0,2,4),且與兩平面x+2z=l和廣3z=2平行；

(3)過(guò)點(diǎn)(T,2,1),且與直線±=2匚=3平行.

2-13

解：(1)可取直線的方向向量為

s={3,-1,2}

故過(guò)點(diǎn)(2,-3,4)的直線方程為

x-2_y+3_z-4

-1~~T

(2)所求直線平行兩已知平面，且兩平面的法向量與〃2不平行，故所求直線平行于兩

平面的交線，于是直線方向向量

ijk

s=n]xn2=102={—2,3,1}

01-3

故過(guò)點(diǎn)(0,2,4)的直線方程為

xy-2z-4

3=丁=丁

(3)所求直線與已知直線平行，故其方向向量可取為

s={2,-1,3}

故過(guò)點(diǎn)(-1,2,1)的直線方程為

x+1y-2z—1

~r~-i

50.試定出下列各題中直線與平面間的位置關(guān)系：

(1)出=山?和4x-2y2=3;

-2-73.

(2)—=上-=三和3x-2)H-7z=8;

3-27

x_2y+2z—3H

(3)------=------=-------和x+y+z=3.

31-4

解：平行而不包含.因?yàn)橹本€的方向向量為$={-2,-7.31

平面的法向量〃={4,-2,-2},所以

s?〃=(-2)x4+(-7)x(一2)+3x(-2)=0

于是直線與平面平行.

又因?yàn)橹本€上的點(diǎn)％(-3,-4,0)代入平面方程有4x(—3)—2x(—4)-2x0=-4,3.故

直線不在平面上.

(2)因直線方向向量s等于平面的法向量，故直線垂直于平面.

(3)直線在平面上，因?yàn)?xl+lxl+(—4)Xl=0,而直線上的點(diǎn)(2,-2,3)在平面上.

51.求過(guò)點(diǎn)(1,-2,1),且垂直于直線

x-2y+z-3=0

<

x+y-z+3=0

的平面方程.

ijk

解：直線的方向向量為1-21=i+2j+3k,

11-1

取平面法向量為{1,2,3},

故所求平面方程為1x(x—1)+2(y+2)+3(z—1)=0

即x+2y+3z=0.

52.求過(guò)點(diǎn)(1,-2,3)和兩平面2L3”3,x+3y+2z+l=0的交線的平面方程.

解：設(shè)過(guò)兩平面的交線的平面束方程為2x—3y+z—3+/l(x+3y+2z+1)=0

其中人為待定常數(shù)，又因?yàn)樗笃矫孢^(guò)點(diǎn)(1,-2,3)

故2xl-3x(-2)+3-3+〃l+3x(-2)+2x3+l)=0

解得入=-4.

故所求平面方程為

2x+15jH-7z+7=0

53.求點(diǎn)(-1,2,0)在平面x+2廠z+l=0上的投影.

解：過(guò)點(diǎn)(-1,2,0)作垂直于已知平面的直線，則該直線的方向向量即為已知平面的法向

量，即

s=n={\f2,-1}

x=-l+/

所以垂線的參數(shù)方程為{y=2+2/

z=-t

將其代入平面方程可得(T+f)+2(2+2f)-(-r)+l=0

2

得％

3

522

于是所求點(diǎn)（-1,2,0）到平面的投影就是此平面與垂線的交點(diǎn)（一］,1,§）

x+y—z+l=0一

54.求點(diǎn)（3,-1,2）到直線《的距蜀.

2x-y+z-4=0

解：過(guò)點(diǎn)（3,-1,2）作垂直于已知直線的平面，平面的法向量可取為直線的方向向量

ijk

即〃=s=11—1=—3j—3k

2-11

故過(guò)己知點(diǎn)的平面方程為尹z=l.

x+y—z+1=0

聯(lián)立方程組＜2x-y+z-4=0

j+z=l

13

解得x=l,y=--,z=一.

22

13

即為平面與直線的垂足

于是點(diǎn)到直線的距離為d=J（1_3）2+（_；+1＞+（；-2）2=#.

55.求點(diǎn)（1,2,1）到平面用"2尹2zT0=0距離.

解：過(guò)點(diǎn)（1,2,1）作垂直于已知平面的直線，直線的方向向量為s="={l,2,2}

x=l+/

所以垂線的參數(shù)方程為＜y=2+2/

z=l+2/

將其代入平面方程得，=」.

3

故垂足為g,|,|）,且與點(diǎn)（1,2,1）的距離為"=j（g）2+（m）2+（g）2=1

即為點(diǎn)到平面的距離.

56.建立以點(diǎn)（1,3,-2）為中心，且通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程.

解：球的半徑為H=J『+32+（_2）2=幅.

設(shè)（x,y,z）為球面上任一點(diǎn)，則（廠l）2+（y-3）2+（z+2）2=14

即X2+/+Z2-2X-6J^4Z=0為所求球面方程.

57.一動(dòng)點(diǎn)離點(diǎn)（2,0,-3）的距離與離點(diǎn)（4,-6,6）的距離之比為3,求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡

方程.

AJ,2占5\山+(夕一°)2+(Z+3)2

解：設(shè)該動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z),山題懸知［=3.

J(x-4)-+(y+6)-+(z—6)'

化簡(jiǎn)得：8x2+8y2+8z2-68x+108j^-114z+779=0

即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

58.指出下列方程所表示的是什么曲面，并畫出其圖形：

(3)—+—=1;(4)y2—z=0;

94

(5)x2-y2=0;(6)x2+y2=0.

解：(1)母線平行于z軸的拋物柱面，如圖7-7.

(2)母線平行于z軸的雙曲柱面，如圖7-8.

圖7-7圖7-8

(3)母線平行于y軸的橢圓柱面，如圖7-9.

(4)母線平行于x軸的拋物柱面,如圖7-10.

(5)母線平行于z軸的兩平面，如圖7-11.

(6)z軸,如圖7-12.

圖7-11圖7-12

59.指出下列方程表示怎樣的曲面，并作出圖形：

(1)x2+—+—=1;(2)36x2+9y2-4z=36;

49

2222

2yz2yz

(3)x---------=1;(4)+-------=11;

(5)x2+y2---0.

9

解：(1)半軸分別為1,2,3的橢球面，如圖7-13.

(2)頂點(diǎn)在(0,0,-9)的橢圓拋物面,如圖7-14.

(3)以x軸為中心軸的雙葉雙曲面，如圖7-15.

(4)單葉雙曲面，如圖7-16.

圖7-17

60.作出下列曲面所圍成的立體的圖形：

(1)X24^24-Z2=672與z=0^=；(tz>0);(2)x+y+z=4^c=0^c=1,y=0,y=2及z=0;

22

(3)z=4-V%=0,尸0,z=0及2x+y=4;(4)z=6-(x+y)9x=0iy=0,z=0及x+尸1.

解：(1)(2)(3)(4)分別如圖7-18,

y-4z+2

(1)

-6

z+2

⑵—+一二=i與冷

1694~T~

解：（1）直線的參數(shù)方程為

x=3+3/

<y=4-6t

z=-2+4t

代入曲面方程解得六0,片1.

得交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,4,-2）,（6,-2,2）.

（2）直線的參數(shù)方程為

x=4/

<y=-3/

z=-2+4/

代入曲面方程可解得片1,

得交點(diǎn)坐標(biāo)為（4,-3,2）.

62.設(shè)有一圓，它的中心在z軸上，半徑為3,且位于距離x伽平面5個(gè)單位的平面上，試

建立這個(gè)圓的方程.

解：設(shè)(x,y,z)為圓上任一點(diǎn)，依題意有

x2+y2=9

\z=+5

即為所求圓的方程.

X2v2Z?

63.試考察曲面^--2+—=1在下列各平面上的截痕的形狀，并寫出其方程.

9254

(1)平面%=2;(2)平面y=0;

(3)平面尸5;(4)平面z=2.

.2?Z?

=1

(1)截線方程為j(±叵)2(班了

解:

33

x=2

其形狀為尸2平面上的雙曲線.

(X2?,

(2)截線方程為J94

y=0

為xOz面上的一個(gè)橢圓.

x2Z2

________I________=I

(3)截線方程為《(30)2(2&)2

j=5

為平面尸5上的一個(gè)橢圓.

=0

(4)截線方程為925_

z=2

為平面z=2上的兩條直線.

64.求曲線?+/+z2=a2,x2+y2=z2在xOy面上的投影曲線.

解：以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程為

2

故曲線在x°y面上的投影曲線方程為《廠=萬(wàn)

z=0

65.建立曲線f+y2=z,z=x+l在x。＞，平面上的投影方程.

解：以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程為

x2+y2=x+1BP(X-1)2+/=|.

(x)2+/=

故曲線在xOy平面上的投影方程為4i

z=0

習(xí)題八

1.判斷下列平面點(diǎn)集哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無(wú)界集？并分別指出它們的聚點(diǎn)

集和邊界：

(I){(xj)|xWO};

⑵{(x,y)|lWf+y2<4}；

(3){(x,y)ly<x2};

(4){(x,j)|(x-l)2+y2?l}U{(x,y)|(x+l)2t/wi}.

解：(1)開集、無(wú)界集，聚點(diǎn)集：R2,邊界：{(x,y)歸=0}.

(2)既非開集又非閉集，有界集，

聚點(diǎn)集：{。,列々尸號(hào)2忘4},

22

邊界：{(X,y)|?+y2=i}u{(X,y)\X+y=4}.

(3)開集、區(qū)域、無(wú)界集，

聚點(diǎn)集：{(x,y)[yWf},

邊界：{(x,y)|尸冷.

(4)閉集、有界集，聚點(diǎn)集即是其本身，

邊界：他歷81戶/=1}U{(X,力(葉1)2+“=1}.

2.已知兀r,7)=/+/-中tan一,試求

y

tx

解：/(/x,(y)=(/x)2+((y)2tan一=r/*(xj).

W

3.已知/(〃,匕w)=/+"+",試求/(x+y,x-y,肛).

解：./(x+乂x-y,xy)=(x+W+(xy),r+v+A-v=(x+y)*'+(xy)lx.

4.求下列各函數(shù)的定義域：

(l)z=]n(y2—2x+1);(2)z=/14—/

Jx+yyjx-y

111

⑶“in值=5；(4)〃=五十萬(wàn)+正；

⑹z=ln(y-x)+I”,

⑸z=yjx-y[y;

yji-x-y

z

(7)〃=arccos-------

7777

M：(l)D={(x,^)|/-2x+l>0}.

(2)Z)={(x,y)|x+y>0,x-y>0}.

(3)D={(x,y)|4x-/>0,l-x2-y2>0,x2+y2HO}.

(4)0={(x,y,z)|x>0,y>0,z>0}.

(5)Z)={(x,y)|x>0,y>0,x2>y].

(6)D={(x,y)|^―x>0,x>0,x2+y2<1}.

(7)D={(x,^,z)|x2+y2^0,x2+y2-z2>0}.

5.求下列各極限：

小「ln(x+ev)(2)limJ;

(5「~~：；

-產(chǎn)+V

2-J町+4

(3)hm---------;(4)lim)4.—;

孫J中+1-1

/Arsin孫(6)lim^<±n

(5)hm---

x—>0Y(x2+y2)&'+y

y->0

,、E_Uln(l+e0)1-

解：(1)原式=-1=In2.

Vi2+o2

(2)原式=+8.

4—xy41

(3)原式=lim-------.=—

退"(2+“y+4)4

(4)原式=lim肛(衍+1)=2.

XT,xy+1-1

⑸原式=lim-S^nA--y-1x0=0.

㈡中

⑹原式=lim-------；~~r—lim產(chǎn)二匕---0.

6.判斷下列函數(shù)在原點(diǎn)0(0,0)處是否連續(xù):

sin(x3+y3)

x2+y2^0,

⑴z=?x2+y2

0,x2+y2