線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析課件

第十四章線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析主要內(nèi)容拉普拉斯變換及其與電路分析有關(guān)的性質(zhì)；②反變換的方法；KCL、KVL和VCR的運(yùn)算形式；拉氏變換在線性電路中的應(yīng)用；⑤網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義與含義；⑥極點(diǎn)與零點(diǎn)對時(shí)域響應(yīng)的影響；⑦極點(diǎn)與零點(diǎn)與頻率響應(yīng)的關(guān)系。2024/2/191線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析重點(diǎn)①基爾霍夫定律的運(yùn)算形式、運(yùn)算阻抗和運(yùn)算導(dǎo)納、運(yùn)算電路（模型）；②拉普拉斯反變換部分分式展開；③應(yīng)用拉普拉斯變換分析線性電路的方法和步驟；④網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的的定義和極點(diǎn)、零點(diǎn)的概念。與其它章節(jié)的聯(lián)系1本章講述基于拉氏變換的動(dòng)態(tài)電路的分析方法，稱為運(yùn)算法；主要解決一般動(dòng)態(tài)電路、特別是高階動(dòng)態(tài)電路的分析問題；2是變換域分析方法（相量法）思想的延續(xù)，把時(shí)域問題變換為復(fù)頻域問題。2024/2/192線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析§14-1拉普拉斯變換的定義1.引言拉普拉斯變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時(shí)間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來，把時(shí)域問題通過數(shù)學(xué)變換化為復(fù)頻域問題。兩個(gè)特點(diǎn)：一是把時(shí)間域的高階微分方程變換為復(fù)頻域的代數(shù)方程；二是將電流和電壓的初始值自動(dòng)引入代數(shù)方程中，在變換處理過程中，初始條件成為變換的一部分。由于解復(fù)變函數(shù)的代數(shù)方程比解時(shí)域微分方程較有規(guī)律且有效，所以拉普拉斯變換在線性電路分析中得到廣泛應(yīng)用。2024/2/193線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析1.定義

一個(gè)定義在[0,+∞]區(qū)間的函數(shù)f(t)，它的拉普拉斯變換式F(s)定義為：F(s)=?[f(t)]=∫0-∞f(t)e-stdt式中s=s+jw為復(fù)數(shù)，被稱為復(fù)頻率；F(s)稱為f(t)的象函數(shù)，f(t)稱為F(s)的原函數(shù)。

由F(s)到f(t)的變換稱為拉普拉斯反變換，它定義為：f(t)=?-1[F(s)]=2pj1∫c-j∞c+j∞F(s)estdt式中c為正的有限常數(shù)。2024/2/194線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析象函數(shù)F(s)存在的條件：Re[s]=s>c，一般都存在。(1)定義中拉氏變換的積分從t=0-

開始，即：

注意在電氣領(lǐng)域中所用到的都是有實(shí)際意義的(電壓或電流)信號(hào)，它們的函數(shù)表達(dá)式f(t)都存在拉氏變換。F(s)=?[f(t)]=∫0-∞f(t)e-stdt=∫0-0+

f(t)e-stdt+∫0+∞f(t)e-stdt它計(jì)及t=0-至0+

，f(t)包含的沖激和電路動(dòng)態(tài)變量的初始值，從而為電路的計(jì)算帶來方便。(2)象函數(shù)F(s)一般用大寫字母表示，如I(s)、U(s)，原函數(shù)f(t)用小寫字母表示，如i(t)，u(t)。2024/2/195線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析2.典型函數(shù)的拉氏變換P345例14-1(1)單位階躍函數(shù)

f(t)=

e(t)F(s)

=∫0-∞e(t)e-stdt?[e(t)]=s1=∫0-∞e-stdt=-s1e-st0-∞(2)單位沖激函數(shù)d(t)F(s)=∫0-∞d(t)e-stdt=∫0-0+

d(t)e-stdt=e-s(0)?[d(t)]=1(3)指數(shù)函數(shù)

f(t)=eat(a為實(shí)數(shù))F(s)=∫0-∞

eate-stdt=∫0-∞e-(s-a)tdt=-(s-a)1e-(s-a)t0-∞?[eat]=s-a12024/2/196線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析§14-2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1.線性性質(zhì)設(shè)：?[f1(t)]=F1(s)，?[f2(t)]=F2(s)A1、A2是兩個(gè)任意實(shí)常數(shù)。則：?[A1

f1(t)+A2

f2(t)]=A1F1(s)+A2F2(s)證：

左

=∫0-∞[A1

f1(t)+A2

f2(t)]e-stdt

=

A1∫0-∞f1(t)e-stdt

+

A2∫0-∞f2(t)e-stdt

=

右A1F1(s)A2F2(s)2024/2/197線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析P346例14-2若f1(t)=sin(wt)，f2(t)=K(1-e-at)的定義域?yàn)閇0，∞]，求其象函數(shù)。?[f1(t)]=?[sin(wt)]2j1(ejwt-e-jwt)歐拉公式

?線性性質(zhì)2j1?[ejwt]-?[e-jwt]引用?[eat]=s-a1=2j1s-jw1-s+jw1=s2+w2w?[f2(t)]=

?[K(1-e-at)]引用階躍函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的結(jié)論=sK-s+aK=s(s+a)Ka?[K(1-e-at)]=

線性性質(zhì)?[K]-?[Ke-at]解：s(s+a)Ka?[sin(wt)]=s2+w2w2024/2/198線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析2.微分性質(zhì)若?[f(t)]=F(s)，則?[f

'

(t)]=

sF(s)-f(0-)證：?[f

'

(t)]=∫0-∞df(t)dte-stdt=∫0-∞e-stdf(t)=e-stf(t)0-∞-∫0-∞f(t)de-st=-f(0-)+

s∫0-∞f(t)e-stdtF(s)推論：?[f

(n)(t)]=snF(s)-sn-1f(0-)-sn-2f

'(0-)-

-f(n-1)(0-)

特別，當(dāng)f(0-)

=f'(0-)

=

=f(n-1)(0-)=

0時(shí)則有?[f

'

(t)]=

sF(s)，

，?[f(n)(t)]=

snF(s)該性質(zhì)可將f(t)的微分方程化為F(s)的代數(shù)方程，是分析線性電路(系統(tǒng))的得力工具。2024/2/199線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析P347例14-3用微分性質(zhì)求cos(wt)和d(t)的象函數(shù)。解：dtdsin(wt)=w

cos(wt)利用微分性質(zhì)和已知結(jié)果：=d(t)dtde(t)?[e(t)]=1/s，?[sin(wt)]=s2+w2w?[cos(wt)]=?w1dtdsin(wt)=w1ss2+w2w-

sin(0-)?[cos(wt)]=s2+w2s

?[d(t)]=?dtde(t)=s(s1-

0)=12024/2/1910線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析3.積分性質(zhì)若?[f(t)]=F(s)則?

∫0-tf(t)dt=s1F(s)證：設(shè)g(t)

=∫0-tf(t)dt則有g(shù)'(t)=f(t)，且g(0)=0由微分性質(zhì)?[g'(t)

]=

s?[g(t)]-g(0)=

s?[g(t)]?[g(t)

]=s1?[g'(t)

]推論：設(shè)?[f(t)]=F(s)則重復(fù)應(yīng)用積分性質(zhì)可得n重積分的象函數(shù)?∫0-tdt∫0-tdt···∫t0-f(t)dt=sn1F(s)2024/2/1911線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析解：f(t)=

t=∫0-te(x)dx?[t]=s1P348例14-4，求f(t)=

t的象函數(shù)。利用積分性質(zhì)=s21?

[tn]=sn+1n!?[e(x)]4.延遲性質(zhì)若?[f(t)]=F(s)，又t<0時(shí)f(t)=0則對任一實(shí)數(shù)t0有：?[f(t-t0)]=e-st0F(s)5.卷積性質(zhì)若f1(t)、f2(t)在t<0時(shí)為0，則f1(t)和f2(t)的卷積定義為[f1(t)*f2(t)=?[f1(t)*f2(t)]=F1(s)F2(s)∫0tf1(t-x)f2(x)dx取拉氏變換有2024/2/1912線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析P349例14-5求矩形脈沖的象函數(shù)。

解：f(t)=A[e(t)-e(t-t)]*5.位移性質(zhì)：

?[eat

f(t)]=F(s-a)*6.初值定理：

f(0)=[s

F(s)]s

∞*7.終值定理：f(∞)=[s

F(s)]s

0

常用的拉氏變換表見教材P350之表14-1。otf(t)At?[e(t)]=s1?[e(t-t)]=s1e-st?[f(t)]=sA-sAe-st=sA(1-e-st)2024/2/1913線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析§14-3拉氏反變換的部分分式展開用拉氏變換求解線性電路的時(shí)域響應(yīng)時(shí)，需要把求得的響應(yīng)的拉氏變換式反變換為時(shí)間函數(shù)。由象函數(shù)求原函數(shù)的方法有

利用公式f(t)=2pj1∫c-j∞c+j∞F(s)estdt

若象函數(shù)是，或稍加變換后是表14-1中所具有公式涉及到以s為變量的復(fù)變函數(shù)的積分，比較復(fù)雜。工程上一般不采用這種方法。

把F(s)分解為簡單項(xiàng)的組合，稱部分分式展開法。的形式，可直接查表得原函數(shù)。F(s)=F1(s)+F2(s)+

f(t)=f1(t)+f2(t)+

2024/2/1914線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析例：求F(s)=s2+31的原函數(shù)。解：F(s)=查表：31s2+(3)23?[sin(wt)]=s2+w2w所以：f(t)=31sin3t2024/2/1915線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析1.部分分式展開法F(s)=D(s)N(s)=a0sm+

a1sm-1+

···+bmb0sn+

b1sn-1+

···+bn在線性電路中，電壓和電流的象函數(shù)一般形式為式中m、n為正整數(shù)，且在電路分析中有n≥m。部分分式展開法就是把上式分解為若干個(gè)如表14-1所示的簡單函數(shù)之和，然后逐個(gè)求得反變換。當(dāng)n>m時(shí)，F(xiàn)(s)為真分式；當(dāng)n=m時(shí)，用多項(xiàng)式除法將其化為：F(s)=A

+D(s)N0(s)部分分式為真分式時(shí)，需對分母多項(xiàng)式作因式分解，求出D(s)=0的根。分三種情況討論。2024/2/1916線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析情況1D(s)=0只有單根K1、K2、···、Kn為待定系數(shù)。確定方法如下：F(s)=s-p1K1+s-p2K2+

···+s-pnKnp1、p2、…、pn為D(s)=0的n個(gè)不同單根，它們可以實(shí)數(shù)，也可以是(共軛)復(fù)數(shù)。方法1：按Ki

=lims

pi(s-pi)F(s)來確定，i=1,2,3,···,n方法2：用求極限方法確定Ki的值。按Ki

=lims

pi(s-pi)N(s)D(s)

=lims

pi(s-pi)N'(s)+N(s)D'(s)=D'(pi)N(pi)i=1,2,3,···,n2024/2/1917線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析P352例14-6求F(s)=的原函數(shù)。s3+7s2+10s2s+1解：s3+7s2+10s=0的根分別為：p1=0,p2=-2,p3=-5用Ki

=lim(s-pi)F(s)確定系數(shù)。s

piK1=limsF(s)s

0s

0s3+7s2+10s2s+1=0.1=limsK2=lim(s+2)F(s)s

-2s

-2=lim(s+2)2s+1s(s+2)(s+5)=0.5K3=lim(s+5)F(s)s

-5s

-5=lim(s+5)2s+1s(s+2)(s+5)=-0.6f(t)=

0.1+0.5e-2t-0.6e-5tF(s)=s0.1+s+20.5+s+5-0.62024/2/1918線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析在情況1中，若D(s)=0有共軛復(fù)根原則上也是上述方法，只是運(yùn)算改為復(fù)數(shù)運(yùn)算：p1=a+jw，p2=a-jwK1=D'(a+jw)N(a+jw)K2=D'(a-jw)N(a-jw)由于F(s)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式之比，故K1、K2必是共軛復(fù)數(shù)(證明從略)，即若K1=|K1|

ejq1，則必有K2=|K1|

e-jq1f(t)=K1e(a+jw)t+K2e(a-jw)t

=|K1|ejq1e(a+jw)t+|K1|e-jq1e(a-jw)t=|K1|eat[ej(q1+wt)

+

e-j(q1+wt)]根據(jù)歐拉公式得：f(t)=

2|K1|eatcos(wt+q1)2024/2/1919線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析解：求s2+2s

+5=0的根P353例14-7求F(s)=s2+2s+5s+3的原函數(shù)f(t)。p1=-1+j2，p2=-1-j2a=-1，w=2K1=D'(-1+j2)N(-1+j2)=

0.5

-j0.5=

0.52e-j4p|K1|

=

0.52q1=-4p代入：f(t)=

2|K1|eatcos(wt+q1)得4f(t)=2e-tcos(2t-p)2024/2/1920線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析情況2：如果D(s)=0有q重根(設(shè)p1有q重根)。則D(s)中含有(s-p1)q

的因式，F(xiàn)(s)的展開式為系數(shù)Ki+1的求法同上，K11~K1q的確定：F(s)=(s-p1)qK11+(s-p1)q-1K12+

···+s-p1K1q

+

∑i=1n-qs-pi+1Ki+1K11=lims

p1(s-p1)q

F(s)K12=lims

p1dsd[(s-p1)qF(s)]K1q=(q-1)!

1lims

p1dsq-1dq-1[(s-p1)qF(s)]f(t)=(q-1)!K11tq-1+(q-2)!K12tq-2+···+K1qep1t

+

∑i=1n-qKi+1e

pi+1t2024/2/1921線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析P354例14-8求F(s)=求K21、K22的方法相同：解：的原函數(shù)。s2(s+1)31(s+1)3F(s)=s21s2F(s)=(s+1)31K1q=(q-1)!

1lims

p1dsq-1dq-1[(s-p1)qF(s)]K11==

1lims

-1s21K12==

2lims

-1dsds21K13==

3lims

-1ds2d2s21K21==

1lims

0(s+1)31K22==-3lims

0dsd(s+1)31f(t)=2！1t2e-t+2te-t+3e-t+t-32!12024/2/1922線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析§14-4運(yùn)算電路用拉氏變換求解線性電路的方法稱為運(yùn)算法。運(yùn)算法的思想是：首先找出電壓、電流的像函數(shù)表示式，而后找出R、L、C單個(gè)元件的電壓電流關(guān)系的像函數(shù)表示式，以及基爾霍夫定律的像函數(shù)表示式，得到用像函數(shù)和運(yùn)算阻抗表示的運(yùn)算電路圖，列出復(fù)頻域的代數(shù)方程，最后求解出電路變量的象函數(shù)形式，通過拉氏反變換，得到所求電路變量的時(shí)域形式。顯然運(yùn)算法與相量法的基本思想類似，因此，用相量法分析計(jì)算正弦穩(wěn)態(tài)電路的那些方法和定理在形式上均可用于運(yùn)算法。2024/2/1923線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析1.KL的運(yùn)算形式對KL的時(shí)域形式取拉氏變換并應(yīng)用其線性性質(zhì)可得KL在復(fù)頻域中的運(yùn)算形式：2.VCR的運(yùn)算形式R+-u(t)i(t)?[∑i(t)]=∑?[i(t)]=

∑I(s)=0?[∑u(t)]=∑?

[u(t)]=

∑U(s)=0(1)電阻R時(shí)域形式：u(t)=

Ri(t)運(yùn)算形式：U(s)=

RI(s)R+-U(s)I(s)運(yùn)算電路2024/2/1924線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析(2)電感L時(shí)域形式u(t)=

L取拉氏變換并應(yīng)用線性和微分性質(zhì)sL+-U(s)I(s)+-Li(0-)+-U(s)I(s)sL1i(0-)sdtdi(t)得運(yùn)算形式：U(s)=

sLI(s)-Li(0-)sL稱為L的運(yùn)算阻抗i(0-)為L的初始電流或者寫為：I(s)=sL1U(s)+由上式得電感L的運(yùn)算電路如圖。L+-u(t)i(t)1/sL稱為運(yùn)算導(dǎo)納si(0-)2024/2/1925線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析(3)電容C取拉氏變換并應(yīng)用線性和積分性質(zhì)時(shí)域形式：U(s)=sC1I(s)+su(0-)1/sC稱為C的運(yùn)算阻抗。+-U(s)I(s)+-sC1u(0-)su(t)=C1∫0-ti(t)dt+u(0-)得運(yùn)算形式：C+-u(t)i(t)或者寫為：I(s)=sCU(s)-Cu(0-)sC為C的運(yùn)算導(dǎo)納。u(0-)為C的初始電壓。運(yùn)算電路如圖。+-U(s)I(s)sCCu(0-)2024/2/1926線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析(4)耦合電感U1(s)=

sL1I1(s)

-L1i1(0-)+

sMI2(s)

-Mi2(0-)U2(s)=

sL2I2(s)

-L2i2(0-)+

sMI1(s)

-Mi1(0-)u1=

L1dtdi1

+

Mdtdi2-+sM+-sL1sL2I1(s)I2(s)U1(s)U2(s)-+L1i1(0-)Mi2(0-)+--L2i2(0-)++-Mi1(0-)-+M+-L1L2i1(t)i2(t)u1(t)u2(t)u2=

L2dtdi2

+

Mdtdi1電壓電流關(guān)系為兩邊取拉氏變換，得耦合電感VCR的運(yùn)算形式。由運(yùn)算形式得耦合電感的運(yùn)算電路圖2024/2/1927線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析(5)運(yùn)算電路模型L+-u(t)i(t)CRS+-sL+-U(s)I(s)RS+-+-Li(0-)+-u(0-)ssC1設(shè)電容電壓的初值為u(0-)電感電流的初值為i(0-)時(shí)域方程為u=Ri+L

didt+1C∫0-tidt取拉氏變換得U(s)=RI(s)+sLI(s)-Li(0-)+sC1I(s)-su(0-)(R+sL+sC1由上式得運(yùn)算電路。)I(s)=Z(s)I(s)=U(s)+Li(0-)+su(0-)2024/2/1928線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析Z(s)=

(R+sL+sL+-U(s)I(s)RS+-+-Li(0-)+-u(0-)ssC1sC1)稱運(yùn)算阻抗運(yùn)算電路實(shí)際是：①電壓、電流用象函數(shù)形式；②元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)③電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。納表示；友情提示

運(yùn)算法可直接求得全響應(yīng)；

用0-初始條件，躍變情況自動(dòng)包含在響應(yīng)中。2024/2/1929線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析§14-5應(yīng)用拉氏變換法分析線性電路相量法由電阻電路推廣而來，運(yùn)算法也是。所以運(yùn)算法的分析思路與相量法非常相似：推廣時(shí)引入拉氏變換和運(yùn)算阻抗的概念：

i→I(s)u→U(s)R→Z(s)G→Y(s)

用運(yùn)算法分析動(dòng)態(tài)電路的步驟：

①求初始值；

②將激勵(lì)變換成象函數(shù)；

③畫運(yùn)算電路(注意附加電源的大小和方向)；

④用電阻電路的方法和定理求響應(yīng)的象函數(shù)；

⑤求原函數(shù)得時(shí)域形式的表達(dá)式。2024/2/1930線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析P359例14-9電路處于穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)S閉合，求i1(t)。解：求初值：iL(0-)=0，UC(0-)=

US

=1V求激勵(lì)的象函數(shù)：?[US]=

?[1]=1/s畫運(yùn)算電路：用回路電流法求響應(yīng)的象函數(shù)：+-Usi1(t)R1SCR2(t=0)L1W1V1F1W1HIa(s)Ib(s)Ia(s)

-Ib(s)=0Ia(s)

+I1(s)=Ia(s)

=s(s2+2s+2)1求原函數(shù)：

?[I1(s)]=(1+e-tcost-e-tsint)A1+s+s1s1-s1+-+-I1(s)11ss1s1s1211+s1Ib(s)=s12024/2/1931線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析P361例14-11穩(wěn)態(tài)時(shí)閉合S。求t≥0時(shí)的uL(t)。由結(jié)點(diǎn)電壓法UL(s)=

Un1(s)5W+-us1iL(t)R1S(t=0)LR2+-us2+-uL2e–2tV5V5W1H解：iL(0-)==1AUn1(s)

=5s2s+5Un1(s)=5(s+2)2

=(s+2)(2s+5)2s?[UL(s)]=(-4e–2t

+5e–2.5t

)Vus2R2+-5Ws+-+-UL(s)+-1V5W①s+225s51+51+s15(s+2)2+5s5-s1?[2e–2t

]=s+22?[5

]=5s2024/2/1932線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析P362例14-12求S閉合時(shí)的i1(t)和i2(t)。解：根據(jù)運(yùn)算電路列回路電流方程(R1+sL1)I1(s)-sMI2(s)=(1/s)-sMI1(s)+(R2+sL2)I2(s)=0代入數(shù)據(jù)(1+0.1s)I1(s)-0.05sI2(s)=(1/s)-0.05sI1(s)+(1+0.1s)I2(s)=0取反變換-+sMsL1sL2I1(s)I2(s)R1R2s1-+ML1L2i1(t)i2(t)u1(t)R1SR21W1W1V0.1H0.05H0.1HI1(s)=s(7.5×103s2+0.2s+1)0.1s+1I2(s)=s(7.5×103s2+0.2s+1)0.05i1(t)=(1-0.5e-6.67t-0.5e-20t)Ai2(t)=0.5(0.5e-6.67t-e-20t)A解方程2024/2/1933線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析P363例14-13電路處于穩(wěn)態(tài)時(shí)打開S。求i(t)和電感元件電壓。解：?[10

]=(10/s)，

iL1(0-)=5A，L1iL1(0-)=1.5VuL1(t)=[-6.56e-12.5t-0.375d(t)]VuL2(t)=[-2.19e-12.5t+0.375d(t)]VL1-+L2i(t)Us=10VR1SR22W3W0.3H0.1H-+0.3s0.1sI(s)102W3Ws-+1.5V+-UL1(s)+-UL2(s)I(s)=2+3+(0.3+0.1)ss10+1.5=s(0.4s+5)(1.5s+10)=s2+s+12.51.75i(t)=(2+1.75e-12.5t)AUL1(s)=0.3sI(s)-1.5=-s+12.56.56-0.375UL2(s)=0.1sI(s)=-s+12.52.19-0.3752024/2/1934線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析iL1(0-)=5A

i(t)=(2+1.75e-12.5t)A

uL1(t)=[-6.56e-12.5t-0.375d(t)]V

uL2(t)=[-2.19e-12.5t+0.375d(t)]VS打開瞬間iL1(0+)=3.75A所以，當(dāng)分析iL(t)或uC(t)有躍變情況的問題時(shí)，運(yùn)算法不易出錯(cuò)。L1-+L2i(t)Us=10VR1SR22W3W0.3H0.1H-+0.3s0.1sI(s)102W3Ws-+1.5V+-UL1(s)+-UL2(s)電流發(fā)生了躍變。uL1(t)、uL2(t)中將出現(xiàn)沖激電壓。

但uL1(t)+uL2(t)無沖激，回路滿足KVL?？梢娎献儞Q已自動(dòng)把沖激函數(shù)計(jì)入在內(nèi)。2024/2/1935線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析加e(t)后再求導(dǎo)，也會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)果。因?yàn)閑(t)的起始性把函數(shù)定義成t<0時(shí)為0。所以當(dāng)電壓或電流不為0時(shí)，一般不能在表達(dá)式中隨意加e(t)。本例在求出i(t)后，不要輕易采用對i(t)求導(dǎo)的方法計(jì)算uL1(t)和uL2(t)，這會(huì)丟失沖激函數(shù)項(xiàng)。

提示iL1(0-)=5A

i(t)=(2+1.75e-12.5t)A

uL1(t)=[-6.56e-12.5t-0.375d(t)]V

uL2(t)=[-2.19e-12.5t+0.375d(t)]VL1-+L2i(t)Us=10VR1SR22W3W0.3H0.1H-+0.3s0.1sI(s)102W3Ws-+1.5V+-UL1(s)+-UL2(s)2024/2/1936線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析經(jīng)典法有一定的局限性。若要求用三要素法求解，則按磁鏈不變原則有：L1iL1(0-)+L2iL2(0-)=(L1+L2)i(0+)i(0+)=L1-+L2i(t)Us=10VR1SR22W3W0.3H0.1HL1+L2L1iL1(0-)+L2iL2(0-)=0.3+0.10.3×5+0=3.75Ai(∞)=2+310=2At

=2+30.3+0.1=

12.51s代入三要素公式得：i(t)=2+(3.75-2)e-12.5tAi(t)ot245(t≥0+)2024/2/1937線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析為表示t≥0-的情況i(t)=[5-5e(t)+(2+1.75e-12.5t)e(t)]

A，(t≥0-)此時(shí)：uL1(t)=L1dtdi(t)=[-6.56e-12.5t-0.375d(t)]Vi(t)=2+(3.75-2)e-12.5tAi(t)ot245i(0-)=iL1(0-)=5AL1-+L2i(t)Us=10VR1SR22W3W0.3H0.1H2024/2/1938線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析§14-6網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義1.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義若電路在單一獨(dú)立源激勵(lì)下，其零狀態(tài)響應(yīng)r(t)的象函數(shù)為R(s)，激勵(lì)e(t)的象函數(shù)為E(s)，則該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)定義為R(s)與E(s)之比。2.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的類型即H(s)delE(s)R(s)H(s)可以是驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗、導(dǎo)納；根據(jù)激勵(lì)E(s)與響應(yīng)R(s)所在的端口：無源網(wǎng)絡(luò)I1(s)+-+-ZLI2(s)U2(s)U1(s)電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)、電流轉(zhuǎn)移函數(shù)；轉(zhuǎn)移阻抗、轉(zhuǎn)移導(dǎo)納。2024/2/1939線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析注意

若激勵(lì)E(s)=1，即e(t)=d(t)，則響應(yīng)R(s)=

H(s)E(s)=H(s)。

h(t)=?-1[H(s)]=?-1[R(s)]=

r(t)

說明網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)為電路的單位沖激響應(yīng)?；蛘哒f，如果已知電路某一處的單位沖激響應(yīng)h(t)，就可通過拉氏變換得到該響應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)僅與網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和電路參數(shù)有關(guān)，與激勵(lì)的函數(shù)形式無關(guān)。因此，如果已知某一響應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)，它在某一激勵(lì)E(s)下的響應(yīng)R(s)就可表示為R(s)=

H(s)E(s)2024/2/1940線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析P366例14-15已知激勵(lì)is=d(t)

求沖激響應(yīng)h(t)=uc(t)解：激勵(lì)與響應(yīng)屬同一端口is+-ucGCH(s)=E(s)R(s)=Is(s)Uc(s)=Z(s)為驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗。Z(s)=G+sC1

=C1s+RC11h(t)=

uc(t)=

?-1[H(s)]=C1e(t)eRCt-2024/2/1941線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析P366例14-16已知低通濾波器的參數(shù)當(dāng)激勵(lì)是電壓u1(t)

時(shí)，求電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)和驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納函數(shù)。1.5H0.5H1WI1(s)I2(s)+-+-u2(t)C2u1(t)L1L3i2(t)i1(t)R34F解：用回路電流法)I1(s)I2(s)=U1(s)(sL1+sC21sC21-I1(s)=

0-sC21+sC21+R)I2(s)(sL3+解方程得：I1(s)

=D(s)L3C2s2+RC2s+1U1(s)I2(s)=D(s)1U1(s)2024/2/1942線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析式中：D(s)

=L1L3C2

s3+RL1C2

s2+(L1+L2)s+R代入數(shù)據(jù)：D(s)=

s3+2s2+2s+1I1(s)

=D(s)L3C2s2+RC2s+1U1(s)I2(s)=D(s)1U1(s)1.5H0.5H1W+-+-u2(t)C2u1(t)L1L3i2(t)i1(t)R34F電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)為：U2(s)=RI2(s)=I2(s)H1(s)=U2(s)U1(s)=D(s)1=

s3+2s2+2s+11驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納函數(shù)為：H1(s)=I1(s)U1(s)=3(s3+2s2+2s+1)2s2+4s+32024/2/1943線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析§14-7網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)

由于H(s)定義為響應(yīng)與激勵(lì)之比，所以H(s)只與(網(wǎng)絡(luò))電路參數(shù)有關(guān)。在H(s)中不會(huì)包含激勵(lì)的象函數(shù)。對于由R、L(M)、C和受控源組成的電路來說，H(s)是s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，其分子、分母多項(xiàng)式的根或是實(shí)數(shù)或是(共軛)復(fù)數(shù)。1.H(s)的一般形式H(s)=D(s)N(s)=ansn+an-1sn-1+

+

a0bmsm+bm-1sm-1+

+

b02024/2/1944線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析寫成H(s)=D(s)N(s)=

H0(s-p1)(s-p2)

(s-pj)

(s-pn)(s-z1)(s-z2)

(s-zi)

(s-zm)=

H0Pj=1n(s-pj)Pi=1m(s-zi)H0為常數(shù)z1、z2、

zm是N(s)=0的根，當(dāng)s=zi

時(shí)，H(s)=0，稱之為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點(diǎn)；p1、p2、

pm是D(s)=0的根，當(dāng)s=pi

時(shí)，H(s)→∞，稱之為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)。2024/2/1945線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析2.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖在s平面上，H(s)的零點(diǎn)用“○”表示，極點(diǎn)用“×”表示。這樣就可以得到網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。的零、極點(diǎn)圖。osjw[s平面]24-2-4-1-212×s3+4s2+

6s+32s2-12s+16解：對分子作因式分解2(s2-6s+8)=2(s-2)(s-4)對分母作因式分解(s+1)(s2+3s+3)例：求H(s)==(s+1)s+23+j23s+23-j23××2024/2/1946線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析§14-8極點(diǎn)、零點(diǎn)與沖激響應(yīng)根據(jù)H(s)的定義可知，電路的零狀態(tài)響應(yīng)為：D(s)N(s)Q(s)P(s)R(s)=

H(s)E(s)=H(s)、E(s)的分子和分母都是s的多項(xiàng)式，D(s)Q(s)=0的根將包含D(s)=0和Q(s)=0的根。Q(s)=0的根與激勵(lì)有關(guān)，屬強(qiáng)制分量。D(s)=0的根只與網(wǎng)絡(luò)(電路)參數(shù)有關(guān)，是自由分量。根據(jù)沖激響應(yīng)過程可知，h(t)中只有自由分量，而h(t)=?-1[H(s)]。所以，分析H(s)的零、極點(diǎn)與沖激響應(yīng)的關(guān)系，就能預(yù)見時(shí)域響應(yīng)的特點(diǎn)。2024/2/1947線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析設(shè)H(s)為真分式，且分母D(s)=0只有單根，則沖激響應(yīng)h(t)

=?-1[H(s)]=?-1sjwo[s平面]×pito×pito××pipi*toto×pi×××pipi*toPi僅由網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)及元件值確定?！苅=1ns-piKi

=

∑i=1nKi

epit2024/2/1948線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析歸納如下：sjwo[s平面]×pito×pito××pipi*toto×pi×××pipi*to若所有極點(diǎn)全部在左半s平面，則電路(或系統(tǒng))是穩(wěn)定的。只要有一個(gè)極點(diǎn)pi在右半s平面，電路(或系統(tǒng))不穩(wěn)定。若極點(diǎn)在虛軸上，為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。若極點(diǎn)在實(shí)軸上，則響應(yīng)按指數(shù)衰減或增長。(單調(diào)變化)若極點(diǎn)不在實(shí)軸上，一般為共軛復(fù)數(shù)，則響應(yīng)為正弦振蕩：衰減振蕩，或增幅振蕩，或等幅振蕩。2024/2/1949線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析P371例14-18

根據(jù)H(s)的極點(diǎn)分布情況分析uC(t)的變化規(guī)律。解：US(s)為激勵(lì)，

UC(s)為響應(yīng)，H(s)=UC(s)/US(s)為電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)：C+-uC+-RLuS(t=0)SI(s)UC(s)=I(s)=R+sL+sC1US(s)sC1=s2LC

+sRC+1US(s)H(s)=

LC1(s-p1)(s-p2)1sC1式中p1、p2分別為：p1=-2LR+2LR2-LC1p2=2LR--2LR2-LC12024/2/1950線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析(1)當(dāng)0<jwso×p1×p2-djwd×p2×p1p1=-2LR+2LR2-LC1p2=2LR--2LR2-LC12LRd=LCw0=1d2+w0wd=2R<2LCp1=-d+jwd，p2=-d-jwd極點(diǎn)位于左半s平面。uC(t)的自由分量為衰減的正弦振蕩。極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，衰減越快。極點(diǎn)離實(shí)軸遠(yuǎn)，振蕩頻率高。(2)R=0,p1=jwd，p2=-jwd極點(diǎn)位于虛軸，自由分量為等幅振蕩。2024/2/1951線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析p1、p2是兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根。(3)R>2極點(diǎn)位于負(fù)實(shí)軸上×p1×p2jwsop1=-2LR+2LR2-LC1p2=2LR--2LR2-LC12LRd=LCw0=1d2+w0wd=2LCuC(t)的自由分量為兩個(gè)衰減速度不同的指數(shù)項(xiàng)。極點(diǎn)離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，衰減越快。uC(t)中的強(qiáng)制分量取決于激勵(lì)。以上根據(jù)H(s)的極點(diǎn)分布情況，定性地分析uC(t)的變化規(guī)律。2024/2/1952線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析§14-9極點(diǎn)、零點(diǎn)與頻率響應(yīng)令網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)中復(fù)頻率s=jw，分析H(jw)隨w

變化的情況，就可預(yù)見相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)在正弦穩(wěn)態(tài)情況下隨w

變化的特性，H(jw)是一個(gè)復(fù)數(shù)。H(jw)=

|H(jw)|j(jw)|H(jw)|為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)在頻率w處的模值，

|H(jw)|隨w

變化的關(guān)系為幅度頻率響應(yīng)，簡稱幅頻特性；j(jw)為相位頻率響應(yīng)，簡稱相頻特性。由于H(jw)=H0Pj=1n(jw-pj)Pi=1m(jw-zi)2024/2/1953線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析所以幅頻特性具體分析方法(1)公式計(jì)算若已知網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)，則可以通過公式計(jì)算頻率響應(yīng)。(2)作圖法定性描繪頻率響應(yīng)曲線。①Bode圖；②幾何求法。舉例如下：|H(jw)|=H0Pj=1n|(jw-pj)|Pi=1m|(jw-zi)|相頻特性j(jw)=Si=1marg(jw-zi)-Sj=1narg(jw-pi)=ji

-Si=1mSi=1mqi2024/2/1954線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析例14-19定性分析RC串聯(lián)電路的頻率特性，u2為輸出。解：(1)寫頻率特性表達(dá)式H(jw)=.U1(jw).U2(jw)=jw

+RC1RC1+-u1+-u2RC為電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)。幅頻特性：|H(jw)|

=jw+

H0RC1相頻特性：j(jw)=0-q(jw)=-arctg(wRC)(2)為繪制頻率特性曲線，需要求若干個(gè)點(diǎn)：w=0：|H(j0)|=1j(j0)=0；w=wC

=RC1|H(jwC)|=21j(jwC)=-45o；w→∞：|H(j∞)|=0j(j∞)=-90o。2024/2/1955線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析用幾何求法再算幾個(gè)點(diǎn)：|H(jw)|

=H0osjwjw1M1q1jw2M2q2jw3M3q3jw+

RC1RC1×j(jw)=-q(w)

=

-arctg(wRC)=M(w)H0作圖求M(w)和q(w)w=w1：|H(jw1)|=

H0/M1j(jw1)=-q1w=w2：|H(jw2)|=H0/M2j(jw2)=-q2w=w3：|H(jw3)|=H0/M3j(jw3)=-q3幅頻特性|H(jw)|ow10.5w1w2wCw321H0/M1H0/M1H0/M22024/2/1956線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析wC稱為截止頻率?；蜣D(zhuǎn)折頻率。該電路具有低通特性，通頻帶為wC-0=wC

。wC=RC1采用幾何求法，要按比例畫圖，然后量長度M(w)和測角度q(w)

。此法雖不精確，但不用計(jì)算。當(dāng)需要較準(zhǔn)的曲線時(shí)，應(yīng)多求一些點(diǎn)。幅頻特性|H(jw)|ow10.5w1w2wCw321wCw1w2j(jw)ow-90ow3-45o相頻特性q1q3q22024/2/1957線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析例14-20RLC串聯(lián)電路的電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)H(s)=解：引用P371例14-18的結(jié)果C+-u2+-RLu1U2(s)U1(s)H(s)=LC1(s-p1)(s-p2)1=(s-p1)(s-p2)H0,試根據(jù)其零、極點(diǎn)定性繪出H(jw)。為分析頻率特性，令s=jw得H(jw)=(jw-p1)(jw-p2)H0式中無零點(diǎn)，極點(diǎn)為：只討論極點(diǎn)是一對共軛復(fù)數(shù)的情況。p1，2=-2LR±2LR2-LC12024/2/1958線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為：p1=-d+jwd，p2=-d-jwd幅頻特性表達(dá)式：相頻特性表達(dá)式：j(jw)=-(q1+q2)|H(jw)|

=|

jw-p1||

jw-p2|H0=M1(w)M2(w)H0M1M2q2q1-jwdjwd-djwso××p1p2w=w1：|H(jw1)|

=M1

M2

H0j(jw1)=-(-q1+q2)w=w2，…。用幾何求法的作圖過d、wd、w0與電路參數(shù)的關(guān)系同前。jw1程，與例14-19相同，不再重復(fù)。2024/2/1959線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對頻率特性影響最大，或者說起主要作用的極點(diǎn)。

一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)靠近虛軸，且周圍無零點(diǎn)，其它極點(diǎn)與虛軸的距離大于這對極點(diǎn)5倍以上。那么靠近虛軸的這對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)對頻率特性影響大。jws××-d1M3M1w1p1p2w=0××z1p3p4-d2M4M2N1|H(jw1)|=M1M2

M3M4N1|j(jw1)|=

j1-(q1+q2+q3+q4)從圖中看出，當(dāng)w變化時(shí)，對M1、M2和q1、q2的影響較大，而影響最大的是M1和q1。2024/2/1960線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

極點(diǎn)的品質(zhì)因數(shù)Qp當(dāng)極點(diǎn)為一對共軛復(fù)數(shù)時(shí)Qpdefd=2dw0d2+w2d21jwso-jwdjwd××p1p2-d是RLC串聯(lián)諧振回路的品質(zhì)因數(shù)。本例：d=

2LRw0=

LC1即極點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離與極點(diǎn)實(shí)部之比的一半。代入上式得Qp=

R1