量子力學在現(xiàn)實中的十大應用及量子力學習題匯集

數(shù)千年來，人類一直依靠天生的直覺來認識自然界運行的原理。雖然這種方式讓我們在很多方面誤入歧途，譬如，曾一度堅信地球是平的。但從總體上來說，我們所得到的真理和知識，遠遠大過謬誤。正是在這種雖緩慢、成效卻十分積極的積累過程中，人們逐漸摸索總結出了運動定律、熱力學原理等知識，自身所處的世界才變得不再那么神秘。于是，直覺的價值，更加得到肯定。但這一切，截止到量子力學的出現(xiàn)。這是被愛因斯坦和玻爾用“上帝跟宇宙玩擲骰子”來形容的學科，也是研究“極度微觀領域物質”的物理學分支，它帶來了許許多多令人震驚不已的結論——科學家們發(fā)現(xiàn)，電子的行為同時帶有波和粒子的雙重特征（波粒二象性），但僅僅是加入了人類的觀察活動，就足以立刻改變它們的特性；此外還有相隔千里的粒子可以瞬間聯(lián)系（量子糾纏）：不確定的光子可以同時去向兩個方向（海森堡測不準原理）；更別提那只理論假設的貓既死了又活著（薛定諤的貓）……諸如以上，這些研究結果往往是顛覆性的，因為它們基本與人們習慣的邏輯思維相違背。以至于愛因斯坦不得不感嘆道：“量子力學越是取得成功，它自身就越顯得荒誕?！钡浆F(xiàn)在，與一個世紀之前人類剛剛涉足量子領域的時候相比，愛因斯坦的觀點似乎得到了更為廣泛的共鳴。量子力學越是在數(shù)理上不斷得到完美評分，就越顯得我們的本能直覺竟如此粗陋不堪。人們不得不承認，雖然它依然看起來奇異而陌生，但量子力學在過去的一百年里，已經為人類帶來了太多革命性的發(fā)明創(chuàng)造。正像詹姆斯·卡卡廖斯在《量子力學的奇妙故事》一書的引言中所述：“量子力學在哪？你不正沉浸于其中嗎。”陌生的量子，不陌生的晶體管美國《探索》雜志在線版給出的真實世界中量子力學的一大應用，就是人們早已不陌生的晶體管。1945年的秋天，美國軍方成功制造出世界上第一臺真空管計算機ENIAC。據(jù)當時的記載，這臺龐然大物總重量超過30噸，占地面積接近一個小型住宅，總花費高達100萬美元。如此巨額的投入，注定了真空管這種能源和空間消耗大戶，在計算機的發(fā)展史中只能是一個過客。因為彼時，貝爾實驗室的科學家們已在加緊研制足以替代真空管的新發(fā)明——晶體管。晶體管的優(yōu)勢在于它能夠同時扮演電子信號放大器和轉換器的角色。這幾乎是所有現(xiàn)代電子設備最基本的功能需求。但晶體管的出現(xiàn)，首先必須要感謝的就是量子力學。正是在量子力學基礎研究領域獲得的突破，斯坦福大學的研究者尤金·瓦格納及其學生弗里德里希·塞茨得以在1930年發(fā)現(xiàn)半導體的性質——同時作為導體和絕緣體而存在。在晶體管上加電壓能實現(xiàn)門的功能，控制管中電流的導通或者截止，利用這個原理便能實現(xiàn)信息編碼，以至于編寫一種1和0的語言來操作它們。此后的10年中，貝爾實驗室的科學家制作和改良了世界首枚晶體管。1954年，美國軍方成功制造出世界首臺晶體管計算機TRIDAC。與之前動輒樓房般臃腫的不靠譜的真空管計算機前輩們相比，TRIDAC只有3立方英尺大，功率不過100瓦。今天，英特爾和AMD的尖端芯片上，已經能夠擺放數(shù)十億個微處理器。而這一切都必須歸功于量子力學。量子干涉“搞定”能量回收無論怎樣心懷尊敬，對于我們來說，都不太容易能把量子力學代表的理論和它帶來的成果聯(lián)系在一起，因為他們聽起來就是完全不相干的兩件事。而“能量回收”就是個例子。每次駕車出行，人們都會不可避免地做一件負面的事情——浪費能量。因為在發(fā)動機點燃燃料以產生推動車身前進的驅動力同時，相當一部分能量以熱量的形式散失，或者直白地說，浪費在空氣當中。對于這種情況，美國亞利桑那大學的研究人員試圖借助量子力學中的量子干涉原理來解決這一問題。量子干涉描述了同一個量子系統(tǒng)若干個不同態(tài)疊加成一個純態(tài)的情況，這聽起來讓人完全不知所謂，但研究人員利用它研制了一種分子溫差電材料，能夠有效地將熱量轉化為電能。更重要的是，這種材料的厚度僅僅只有百萬分之一英尺，在其發(fā)揮功效時，不需要再額外安裝其他外部運動部件，也不會產生任何污染。研究團隊表示，如果用這種材料將汽車的排氣系統(tǒng)包裹起來的話，車輛因此將獲得足以點亮200只100瓦燈泡的電能——盡管理論讓人茫然，但這數(shù)字該團隊因此對新型材料的前途充滿信心，確定在其他存在熱量損失的領域，該材料同樣能夠發(fā)揮作用，將熱能轉變?yōu)殡娔?，比如光伏太陽能板。而我們只需知道，這都是量子干涉“搞定”的。不確定的量子，極其確定的時鐘作為普通人，一般是不會介意自己的手表快了半分鐘，還是慢了十幾秒。但是，如果是像美國海軍氣象天文臺那樣為一個國家的時間負責，那么這半分半秒的誤差都是不被允許的。好在這些重要的組織單位都能夠依靠原子鐘來保持時間的精準無誤。這些原子鐘比之前所有存在過的鐘表都要精確。其中最強悍的是一臺銫原子鐘，能夠在2000萬年之后，依然保持誤差不超過1秒?？吹竭@種精確的能讓人紊亂的鐘表后，你也許會疑惑難道真的有什么人或者什么場合會用到它們？答案是肯定的，確實有人需要。比如航天工程師在計算宇宙飛船的飛行軌跡時，必須清楚地了解目的地的位置。不管是恒星還是小行星，它們都時刻處在運動當中。同時距離也是必須考慮的因素。一旦將來我們飛出了所在星系的范圍，留給誤差的邊際范圍將會越來越小。那么，量子力學又與這些有什么關系呢？對于這些極度精準的原子鐘來說，導致誤差產生的最大敵人，是量子噪聲。它們能夠消減原子鐘測量原子振動的能力。現(xiàn)在，來自德國大學的兩位研究人員已經開發(fā)出，通過調整銫原子的能量層級來抑制量子噪聲程度的方法。它們目前正在試圖將這一方法應用到所有原子鐘上去。畢竟科技越發(fā)達，對準時的要求就越高。量子密碼之戰(zhàn)無不勝斯巴達人一向以戰(zhàn)斗中的勇敢與兇猛聞名于世，但是人們并不能因此而輕視他們在謀略方面的才干。為了防止敵人事先得知自己的軍事行動，斯巴達人使用一種被稱作密碼棒的東西來為機密信息加密和解密。他們先將一張羊皮紙裹在一根柱狀物上，然后在上面書寫信息，最后再將羊皮紙取下。借助這種方式，斯巴達的軍官能夠發(fā)出一條敵人看起來語無倫次的命令。而己方人員只需再次將羊皮紙裹在同等尺寸的柱狀物上，就能夠閱讀真正的命令。斯巴達人樸素的技巧，僅僅是密碼學漫長歷史的開端。如今，依靠微觀物質一些奇異特性的量子密碼學，已經公開宣稱自己無解。它是一種利用量子糾纏效應、基于單光子偏振態(tài)的全新信息傳輸方式。其安全之處在于，每當有人闖入傳輸網絡，光子束就會出現(xiàn)紊亂，每個結點的探測器就會指出錯誤等級的增加，從而發(fā)出受襲警報；發(fā)送與接收雙方也會隨機選取鍵值的子集進行比較，全部匹配才認為沒有人竊聽。換句話說，黑客無法闖入一個量子系統(tǒng)同時不留下干擾痕跡，因為僅僅嘗試解碼這一舉動，就會導致量子密碼系統(tǒng)改變自己的狀態(tài)。相應的，即便有黑客成功攔截獲得了一組密碼信息的解碼鑰匙，那他在完成這一舉動的同一時刻，也導致了密鑰的變化。因而當合法的信息接收者檢查鑰匙時，就會輕易發(fā)現(xiàn)端倪，進而更換新的密鑰。量子密碼的出現(xiàn)一直被視為“絕對安全”的回歸，不過，天下沒有不透風的墻。擁有1000多年前那部維京時代海盜史的挪威人，已經打破了量子密碼無解的神話。借助誤導讀取密碼信息的設備，他們在不嘗試解碼的條件下，就獲得了信息。但他們承認，這只是利用了現(xiàn)存技術隨機數(shù)發(fā)生器：上帝的“量子骰子”所謂的隨機數(shù)發(fā)生器，并不是老派肥皂劇中那些奇幻神秘的玩意。它們借助量子力學，能夠召喚出真正的隨機數(shù)。不過，科學家們?yōu)槭裁匆晦o勞苦地深入量子世界來尋找隨機數(shù)，而不是簡單輕松地拋下硬幣、擲個骰子？答案在于：真正的隨機性只存在于量子層級。實際上只要科學家們收集到關于擲骰子的足夠信息，那么他們便能夠提前對結果做出預測。這對于輪盤賭博、彩票甚至計算機得出的開獎結果等等，統(tǒng)統(tǒng)有效。然而，在量子世界，所有的一切都是絕對無法預測的。馬克斯·普朗克大學光學物理研究所的研究人員正是借助這一不可預知性，制作出了“量子骰子”。他們先是通過在真空中制造波動來產生出量子噪聲，然后測量噪聲所產生的隨機層級，借此獲得可以用于信息加密、天氣預演等工作的真正隨機數(shù)字。值得一提的是，這種骰子被安裝在固態(tài)芯片上，能夠勝任多種不同的使用需求。我們與激光險些失之交臂與量子力學的經歷相似，激光在早期曾經也被認為是“理論上的巨人，實際應用上的侏儒”。但今天，無論是家用CD播放器，還是“導彈防御系統(tǒng)”，激光已經在當代人類的社會生活中，占據(jù)了核心地位。不過，如果不是量子力學，我們與激光的故事，很可能是以“擦身而過”而收場。激光器的原理，是先沖擊圍繞原子旋轉的電子，令其在重回低能量級別時迸發(fā)出光子。這些光子隨后又會引發(fā)周圍的原子發(fā)生同樣的變化，即發(fā)射出光子。最終，在激光器的引導下，這些光子形成穩(wěn)定的集中束流，即我們所看到的激光。當然，人們能夠知曉這些，離不開理論物理學家馬克斯·普朗克及其發(fā)現(xiàn)的量子力學原理。普朗克指出，原子的能量級別不是連續(xù)的，而是分散、不連貫的。當原子發(fā)射出能量時，是以在離散值上被稱作量子的最小基本單位進行的。激光器工作的原理，實際上就是激發(fā)一個特定量子散發(fā)能量。專門挑戰(zhàn)極端的超精密溫度計如果用普通的醫(yī)用溫度計，去測量比絕對零度低百分之一的溫度，這支溫度計的下場可想而知。那么如何去對付這樣的極端溫度呢？耶魯大學的研究人員發(fā)明了一支可以對付這些情況的神奇溫度計。它不僅能在極端環(huán)境中保持堅挺，更能夠提供無比精確的數(shù)值。為制作這種溫度計，研究團隊必須重新梳理溫度計的設計思路。比如獲得精確數(shù)值的方式。幸運的是，在追尋精確的過程中，科學家們借助量子隧道得到了自己想要的答案。就像鉆入山體內部而不是在其表面爬上爬下，粒子在穿越勢壘的過程中，產生出了量子噪聲。使用研究團隊的量子溫度計去測量這些噪聲，便能夠精確地得出實驗物體的溫度。雖然這種溫度計對于普通人的日常生活并沒有太大的意義，但是在科學實驗室，尤其是那些需要極低溫度環(huán)境的材料實驗室它就可以大展身手了。現(xiàn)在，研究者們還在努力通過各種手段提高該溫度計的精確性，并期望隨著它應用范圍的拓展，更極端的科研環(huán)境都可以從中受益。人人都愛量子計算機在1965年發(fā)表的一篇論文中，英特爾公司的聯(lián)合創(chuàng)始人戈登·摩爾對計算機技術的未來發(fā)展，做了一些粗陋但卻意義深遠的預測。其中最重要的一條便是日后著名的摩爾定律：每平方英尺集成電路上晶體管的數(shù)量，每18個月便會翻兩倍。這一定律對計算機技術的發(fā)展產生了深遠影響，但是現(xiàn)在，摩爾定律似乎走到了盡頭，因為到2020年，硅芯片將會達到自身的物理極限，而隨著晶體管體積的不斷縮小，它們將開始遵循量子世界的各種規(guī)律。和量子世界的規(guī)律“抱有敵意”相比，順應量子時代或許才是人們最好的選擇。今天，那些從事量子計算機研究的科學家做的正是這件事情。相比傳統(tǒng)計算機，量子計算機具有無可比擬的巨大優(yōu)勢：并行處理。借助并行處理的能力，量子計算機能夠同時處理多重任務，而不是像傳統(tǒng)計算機那樣還要分出輕重緩急。量子計算機的這一特性，注定它在未來將以指數(shù)級的速度超越傳統(tǒng)計算機。不過，在量子計算成為現(xiàn)實之前，科學家們還需要克服一些艱難挑戰(zhàn)。比如，量子計算機使用的是比傳統(tǒng)比特存儲能力高出許多的量子比特，但是不幸的是，量子比特非常難以創(chuàng)造出來，因為這需要多種粒子共同組成網絡。直到現(xiàn)在，科學家只能夠一次性將12種粒子纏連起來。而量子計算機若要實現(xiàn)商業(yè)化應用，至少需要將這個數(shù)字增加數(shù)十倍甚至上百倍。想知道什么是真正的瞬時通信嗎量子力學在過去的歲月里為人們帶來的成就彌足珍貴，但科學家們有理由相信，其在未來會奉獻的更多?，F(xiàn)在，當你在手機、短信、郵件以及MSN、飛信等等諸如此類的通信工具之間徜徉時，可能以為自己已經被所謂的“瞬時通信”覆蓋。實際上，你發(fā)出的聲音、文字、圖像都需要一點時間才能達到目的地，或長或短而已?，F(xiàn)在的人們日常所能用到的通信方式，所需時間都極其短，但在很遠的未來，人和人之間的交流不會只限于大洲與大洲之間，而可能需要橫跨星系，這就使通信時間大大的增加——譬如說，在今年8月6日，“好奇”號火星車登陸火星，傳回的信號到達地球就有十幾分鐘的延遲。但這還只是在太陽系中地球和火星的距離，如果將距離延伸的更遠，那么科學家們認為，只有量子力學才有能力真正實現(xiàn)“即時”的通信，無論距離多遠。使瞬時通信成為現(xiàn)實的關鍵，在于被稱為量子糾纏的量子力學現(xiàn)象——愛因斯坦稱其為“幽靈般的遠距作用”，指處于糾纏態(tài)的兩個粒子即使距離遙遠，也保持著特別的關聯(lián)性，對一個粒子的操作會影響到另一個粒子。簡單來說就是，當其中一個粒子被測量或者觀測到，另一個粒子也隨之在瞬間發(fā)生相應的狀態(tài)改變。這種仿佛“心電感應”般的一致行動，已超出了經典物理學規(guī)則的解釋范疇，因此才被愛因斯坦視作鬼魅。但利用量子糾纏，我們可以操縱其中一個粒子引起對應粒子的即時、相應變化，從而完成收發(fā)“宇宙郵件”的動作。不過，這一應用還面臨著最大的問題：一些物理學家堅持認為糾纏的粒子實際上并不能傳送信息。如果是這樣的情況，那我們的名單中的下一個項目，則永遠不會成為現(xiàn)實。遠距傳輸從科幻到現(xiàn)實科幻片，尤其是太空題材的，最愛遠距傳輸：偌大的一個人，在一個地方神秘消失，不需要任何載體的攜帶，又在另一個地方瞬間出現(xiàn)。遠距離傳輸就是量子態(tài)隱形傳輸，是在無比奇特的量子世界里，量子呈現(xiàn)的“糾纏”運動狀態(tài)。該狀態(tài)的光子如同有“心電感應”，能使需要傳輸?shù)牧孔討B(tài)“超時空穿越”，在一個地方神秘消失，不需要任何載體的攜帶，又在另一個地方瞬間出現(xiàn)。在“超時空穿越”中它傳輸?shù)牟辉偈墙浀湫畔?，而是量子態(tài)攜帶的量子信息，這些量子信息是未來量子通信網絡的組成要素。此前，IBM團隊的6名工程師證明，遠距傳輸完全可以實現(xiàn)，至少從理論上來講是這樣。但必須注意的是，“原對象”在此過程中將消失——因為遠距傳輸可不是“傳真機”，你原來那份“文件”是會被它銷毀的。其貌似“復制”原物體的過程，實際也是對原物體的一種改變。2009年，美國馬里蘭州立大學聯(lián)合量子研究所的科學家進行的“量子信息處理”的實驗中，成功地實現(xiàn)了從一個原子到1米外的一個容器里的另一個原子的量子隱形傳輸。盡管在實驗中是一個原子轉變成另一個原子，由第二個原子扮演起第一個原子的角色，與“原物傳送”的概念不同，但原子對原子的傳輸，卻對于研制超密超快的量子計算機和量子通信具有重大意義。沒錯，遠距傳輸并不僅在傳輸物體這一目標上才有價值，在達到這一目的之前，通往“圣域”的各項研究也被證明在其他多重領域大有作為。而所有的量子力學研究，甚至人類所有的科學活動，亦同此理。第一章習題１．證明下列算符等式２．設粒子波函數(shù)為，求在范圍內找到粒子的幾率．３．在球坐標中，粒子波函數(shù)為，試求：１）在球殼(r,r+dr)中找到粒子的幾率；２）在方向的立體角中找到粒子的幾率．４．已知力學量F的本征方程為求在狀態(tài)波函數(shù)下測力學量F的可能值，相應的幾率及平均值（假設波函數(shù)已歸一或不歸一的情況）．第二章習題１．一粒子在二維勢場中運動，求粒子的能級和波函數(shù)．能級是否簡并？２．由哈密頓算符所描述的體系，稱各向異性諧振子．求其本征態(tài)和本征值．３．利用遞推關系證明并由此證明在態(tài)下第四章習題證明為和的共同本征態(tài)，并求相應的本征值。說明當體系處在此狀態(tài)時，沒有確定值。對于一轉動慣量為的平面轉子，其能量算符為，求體系的能量本征態(tài)。如，求。３．量子化對稱陀螺的哈密頓量可寫成試求該對稱陀螺的能量本征值。４．一質量為的粒子被限制在半徑為和的二個不可穿透同心球面之間運動，不存在其它勢。求粒子的基態(tài)能量和歸一化本征函數(shù)。第五章習題為一角動量算符。試計算、、在的共同本征函數(shù)構成的表象中，的子空間的矩陣表示。已知體系的哈密頓量與另一力學量在能量表象中的表示為， 時體系的態(tài)矢量為求在及任何時刻體系能量的可能值及幾率，和體系的平均能量。時刻的態(tài)矢。求該體系力學量的可能值及幾率和的平均值。時體系在表象中的態(tài)矢。第六章習題設氫原子狀態(tài)是(1)求和的平均值；(2)求總磁矩的分量的平均值（用玻爾磁子表示）．在表象下求解的本征值方程．在的本征矢測量有哪些可能值？這些可能值出現(xiàn)的幾率及平均值．并求此狀態(tài)在表象中的表示．３．和為電子的軌道角動量和自旋角動量，證明，如果定義總角動量，證明４．設、是與對易的任意矢量算符，證明第七章習題某物理體系由兩個自旋的非全同粒子組成．已知粒子1處于的本征態(tài)，粒子2處于的本征態(tài)，求體系總自旋的可能測量值及相應的概率（?。粋€處于中心勢的粒子具有軌道角動量和自旋．求和形如的自旋－軌道相互作用項相關的能級和簡并度，這里是個常數(shù)．兩個自旋的粒子組成的系統(tǒng)由等效Hamilton量描述，其中、是兩個粒子的自旋，、是它們的分量，和為常數(shù)．求該Hamilton量的所有能級．兩個無相互作用的粒子，質量相同為，處于一維無限深勢阱中，勢阱寬為，在阱中勢為零，阱外勢無窮大．(1)求系統(tǒng)四個最低能級的值是多少？(2)求這些能級的簡并度，如果這兩個粒子(ⅰ)是全同粒子，自旋為；(ⅱ)不是全同粒子，自旋都為；(ⅲ)全同粒子，自旋為1．固定在軸上的兩個電子間存在一個磁偶極－偶極相互作用能，為Pauli矩陣，為常數(shù)（令）．(1)用總自旋算子表示．(2)求的本征值和簡并度．6．某個特殊的一維勢阱具有下列束縛態(tài)單粒子能量本征函數(shù)：，，，，其中．兩個沒有相互作用的粒子置于該勢阱中．對下列(1)，(2)，(3)各種情形寫下：兩粒子體系可能達到的兩個最低能級；上述兩個能級各自的簡并度；與上述能級相應的所有可能的兩粒子波函數(shù)（用表示空間部分，表示自旋部分，是總自旋）．(1)兩個自旋為的可區(qū)分粒子．(2)兩個自旋為的全同粒子．(3)兩個自旋為0的全同粒子．第八章習題設一粒子作簡諧振動，其哈密頓量，受微擾作用（）。試用微擾論求能級移動，并與精確結果比較。一個二維各向同性諧振子，質量為，頻率為。在加入微擾（為常數(shù)）后，求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的一級能量修正。設哈密頓量在能量表象中的矩陣表示為其中、為實數(shù)。求用微擾公式求能量至二級修正值。直接求能量，并與（1）所得結果比較。

總復習題試簡述一力學量為守衡量的條件及守衡量有哪些性質.2.某一角動量算符滿足如果定義：J+=Jx+iJy,J-=Jx-iJy試證明：(1);(2)3.已知一厄密算符在正交歸一基矢張成的三維空間中取如下矩陣形式求其本征值和本征矢.4.實際氦原子的基態(tài)當然是非簡并的。但是，考慮一假想的氦原子，其中兩個帶負電的，自旋為1的全同粒子代替了原來的兩個電子。對這種假想的氦