數(shù)學-9.4.3 正方形（原卷版）

9.4.3正方形同步培優(yōu)講練綜合1、正方形的定義四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.2、正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1、邊——四邊相等、鄰邊垂直、對邊平行；2、角——四個角都是直角；3、對角線——①相等，②互相垂直平分，③每條對角線平分一組對角；4、是軸對稱圖形，有4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心.3、正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直（即菱形）.

一、正方形性質(zhì)的認識【例1】下列說法正確的是（）A．矩形的對角線互相垂直 B．菱形的對角線相等C．正方形的對角線互相垂直且相等 D．平行四邊形的對角線相等【例2】下列說法正確的是（）A．矩形的對角線互相垂直平分 B．對角線相等的菱形是正方形C．兩鄰邊相等的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【例3】下面哪個特征是矩形、菱形、正方形所共有的（）A．對角線互相垂直 B．對角線相等 C．對角線互相平分 D．對角線相等且平分二、利用正方形的性質(zhì)求角度【例1】如圖，以正方形的邊為邊向正方形外作等邊，與交于點F，則的度數(shù)是（）A．105° B．120° C．135° D．150°【例2】如圖，正方形中，在延長線上取一點，使，連接，則的度數(shù)為A． B． C． D．

【例3】正方形中，點E是上一點，過點E作交射線于點F，連結(jié)．（1）若，求度數(shù)；（2）求證：三、利用正方形的性質(zhì)求線段（最值）【例1】如圖，在四邊形中，，，于．若四邊形的面積是18，則的長是．【例2】如圖，在四邊形中，，，，是上一點，且，，則的長為．【例3】如圖，在四邊形中，，，，，平分，則的長為．

【例4】正方形中，對角線、交于點O，E為上一點，延長到點N，使，連接、．（1）求證：為直角三角形．（2）若，正方形的邊長為6，求的長．【例5】如圖，在正方形中，點、、分別在、、上，且，垂足為．（1）求證：；（2）若是的中點，且，，求的長．【例6】如圖，正方形的兩邊在坐標軸上，，，點P為OB上一動點，的最小值是（）

A．8 B．10 C． D．利用正方形的性質(zhì)求面積【例1】如圖，直線過正方形的頂點，點至直線的距離分別為2和3，則此正方形的面積為．【例2】如圖為等邊與正方形的重疊情形，其中、兩點分別在、上，且．若，，則的面積為______．【例3】如圖是一幅趙爽弦圖，利用此圖可以證明勾股定理．現(xiàn)連接BE，發(fā)現(xiàn)AB＝BE，若DE＝1，則正方形ABCD的面積為________．

五、正方形的判定定理【例1】下列說法正確的有幾個①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②對角線互相垂直的四邊形是菱形；③對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；④對角線相等的平行四邊形是矩形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【例2】下列說法中，正確的有個．①對角線互相垂直的四邊形是菱形；②一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；③有一個角是直角的四邊形是矩形；④對角線相等且垂直的四邊形是正方形；⑤每一條對角線平分每一組對角的四邊形是菱形．A．1 B．2 C．3 D．4【例3】如圖，菱形的三個頂點、、分別在正方形的邊、、上，連接．（1）求證：；（2）當時，求證：菱形為正方形．

六、正方形解答題【例1】在正方形紙片ABCD中，點M、N分別是BC、AD上的點，連接MN．問題探究：如圖1，作DD′⊥MN，交AB于點D′，求證：MN＝DD′；問題解決：如圖2，將正方形紙片ABCD沿過點M、N的直線折疊，點D的對應(yīng)點D′恰好落在AB上，點C的對應(yīng)點為點C′，若BD′＝6，CM＝2，求線段MN的長.【例2】已知：如圖，在正方形中，E，F(xiàn)分別是，上的點，，相交于點P，并且．

(1)如圖1，判斷和的位置關(guān)系？并說明理由；(2)若，，求的長度；(3)如圖2，，，點F在線段上運動時(點F不與C、D重合)，四邊形是否能否成為正方形？請說明理由．【例3】如圖是直角三角尺（）和等腰直角三角尺（）放置在同一平面內(nèi)，斜邊BC重合在一起，，，．交AB于點E；作交AC的延長線于點F．(1)求證：四邊形AEDF是正方形．(2)當時，求正方形AEDF的邊長．【例4】問題解決：如圖1，在矩形中，點分別在邊上，于點．

（1）求證：四邊形是正方形；（2）延長到點，使得，判斷的形狀，并說明理由．類比遷移：如圖2，在菱形中，點分別在邊上，與相交于點，，求的長．1、如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，∠EAF＝45°，△ECF的周長為4，則正方形ABCD的邊長為_____．2、在四邊形中，，，，點在上，且，則的長為．3.如圖，點B，C，F(xiàn)在同一條直線上，AC⊥BF于點C，且AC＝BC，連接AB，取AB的中點D，連接CD，過點A作CE的垂線，垂足為E，已知點E到直線AC和CF的距離相等．求證：四邊形ADCE是正方形．

4.如圖，已知四邊形和均是正方形，點在上，延長到點，使，連接．(1)求證：；(2)求證：四邊形是正方形；(3)若四邊形的面積為10，，求點之間的距離．5.已知，如圖，四邊形ABCD是菱