浙江省寧波市五校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

Page1Page1高二數(shù)學(xué)試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將姓名、座號、準(zhǔn)考證號、班級和科類填寫在答題卡和答題紙規(guī)定的位置上.2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.3.第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶.不按以上要求作答的答案無效.4.填空題請直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第I卷（共60分）一、單項選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.直線的一個方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方向向量的定義即可求解.【詳解】一個方向向量是,故選：A2.設(shè)A是空間一定點，為空間內(nèi)任一非零向量，滿足條件的點M構(gòu)成的圖形是（）A.圓 B.直線C.平面 D.線段【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面的法向量的含義，即可判斷出答案.【詳解】由題意，故點M位于過點A且和垂直的平面內(nèi)，故點M構(gòu)成的圖形是經(jīng)過點A，且以為法向量的平面，故選：C3.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡雙曲線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得的值，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得其標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，則雙曲線的漸近線方程為.故選：B.4.圓：與圓：的公共弦所在直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】兩圓方程相減即可得解.【詳解】聯(lián)立，相減可得，故選:C5.以雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求得雙曲線的焦點和頂點坐標(biāo)求解.【詳解】雙曲線的焦點坐標(biāo)為，頂點坐標(biāo)為，由題意得：橢圓的焦點為，頂點坐標(biāo)為，所以橢圓的方程是，故選：C.6.如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，點是的中點，若記，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解.【詳解】由在三棱錐中，點，分別是，的中點，點是的中點，如圖所示，連接，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則，可得：.故選：A.7.已知點在直線上運(yùn)動，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值是（）A.13 B.16 C.17 D.18【答案】B【解析】【分析】求出點所在圓關(guān)于直線對稱的圓，將距離等價轉(zhuǎn)化為點到對稱圓上的對應(yīng)點的距離，根據(jù)三角形中任意兩邊之差小于第三邊的關(guān)系即可解決本題.【詳解】設(shè)直線：，圓，圓，易知點關(guān)于直線的對稱點為，以為圓心，以1為半徑的圓即為圓關(guān)于直線的對稱圓.設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則有，∴，如圖，連接，在中，有，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取得等號，故求解的最大值問題轉(zhuǎn)換為求最大值問題，故當(dāng)直線過圓心和圓心且距離最遠(yuǎn)且點恰好為直線與直線的交點時可取得最大值.由題意知點和點坐標(biāo)分別為：，，兩圓半徑分別為1和2，故最大值為：.故選：B.8.如右圖，在長方體中，=11，=7，=12，一質(zhì)點從頂點A射向點，遇長方體的面反射（反射服從光的反射原理），將次到第次反射點之間的線段記為，，將線段豎直放置在同一水平線上，則大致的圖形是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】【詳解】試題分析：因為，所以延長交于，過作垂直于在矩形中分析反射情況：由于，第二次反射點為在線段上，此時,第三次反射點為在線段上，此時,第四次反射點為在線段上,由圖可知，選C.考點：空間想象能力二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.已知直線：和直線：，下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，B.當(dāng)時，C.直線過定點，直線過定點D.當(dāng)，平行時，兩直線的距離為【答案】AD【解析】【分析】A選項：把的值分別代入兩直線，根據(jù)直線垂直時，斜率相乘為，直接判斷即可；B選項，把的值分別代入兩直線，根據(jù)直線平行時，斜率相等判斷即可；C選項，把直線的方程變形，根據(jù)直線過定點的定義判斷即可；D選項，由直線平行時，斜率相等，可求得得值，排除重合情況，再利用平行直線的距離公式直接求解即可.【詳解】對于A，當(dāng)時，那么直線為，直線為，此時兩直線的斜率分別為和，所以有，所以，故A選項正確；對于B，當(dāng)時，那么直線為，直線為，此時兩直線重合，故B選項錯誤；對于C，由直線：，整理可得：，故直線過定點，直線：，整理可得：，故直線過定點，故C選項錯誤；對于D，當(dāng)，平行時，兩直線的斜率相等，即，解得：或，當(dāng)時，兩直線重合，舍去；當(dāng)時，直線為，為，此時兩直線的距離，故D選項正確.故選：AD.10.下面四個結(jié)論正確的是（）A.若，，三點不共線，面外的任一點，有，則，，，四點共面B.有兩個不同的平面，的法向量分別為，，且，，則C.已知為平面的一個法向量，為直線的一個方向向量，若，則與所成角為D.已知向量，，若，則為鈍角【答案】AC【解析】【分析】由四點共面的向量表示判斷A，由兩平面平行的向量表示判斷A，由直線與平面所成角的定義判斷C，由兩向量所成角為鈍角的條件判斷D．【詳解】對于A：，即，，，，四點共面，故A正確，對于B：，，，即與不平行，與不平行，故B錯誤，對于C：若，則與所成角為，故C正確，對于D：，，若，則，若，反向，則，，，，當(dāng)且時，為鈍角，故D錯誤，故選：AC．11.有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共截去八個三棱錐，則關(guān)于該半正多面體的下列說法中正確的是（）A.該半正多面體外接球與原正方體的外接球半徑相等B.與所成的角是的棱共有18條C.與平面所成的角D.若點為線段上的動點，直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為【答案】CD【解析】【分析】將半正多面體補(bǔ)成正方體，考慮外接球的球心，可判斷A；由兩直線所成角的定義可判斷B；由線面角的定義可判斷C；建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出直線與直線所成角的余弦值的取值范圍，可判斷D．【詳解】設(shè)棱長為的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，將該半正多面體補(bǔ)成正方體，正方體的棱長為2，可得該半正多面體的外接球與原正方體的外接球的球心重合，但半徑分別為和，故A錯誤；與成的棱有，，，和與面相對的面上的，，，；還有，，，和與面相對的面上的，，，，共16條，故B錯誤；由平面，可得為與平面所成角，由于為等腰直角三角形，所以，故C正確；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,1,,,2,,,0,,,1,，,2,,,1,,,1,,,0,，設(shè)，則,1,,1,,0,,,，可解得，則,,共面，即,,,四點共面，又,1,，設(shè),,，所以,，則,,，,,，,令,，則，因為,，所以,，故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為,，故D正確．故選：CD．12.已知雙曲線：與直線交于兩點，點為上一動點，記直線，的斜率分別為，，曲線的左、右焦點分別為，.若，且的焦點到漸近線的距離為1，則下列說法正確的是（）A.B.的離心率為C.若，則的面積為2D.若的面積為，則為鈍角三角形【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)點，利用點差法求得直線的斜率，得到，再由點到直線的距離求得，得出，進(jìn)而判定A、B正確；設(shè)在右支上，記，則，利用，進(jìn)而求得的面積，可判定C不正確；設(shè)，根據(jù)三角形的面積求得點的坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線的定義及余弦定理，判定三角形的形狀，可判定D正確.【詳解】設(shè)點，則且，兩式相減，得，所以，因為，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，因為焦點到漸近線的距離為，所以，可得，又因，所以，所以雙曲線的離心率為，所以A、B正確；對于C中，不妨設(shè)在右支上，記，則，因為，所以，解得或（舍去），所以的面積為，所以C不正確；對于D中，設(shè)，因為，所以，將代入，可得，由雙曲線的對稱性，不妨取的坐標(biāo)為，則，，因為，所以為鈍角，所以為鈍角三角形，所以D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題，共90分）三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.其中第15、16題有一空正確得3分.把正確答案填在答題卡相應(yīng)題的橫線上）13.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則的中點P到坐標(biāo)原點O的距離為______．【答案】【解析】【分析】先由中點坐標(biāo)公式求得點P的坐標(biāo)，再由兩點間的距離公式求PO的長即可解決.【詳解】由，可得則即點P到坐標(biāo)原點O的距離為故答案為：14.經(jīng)過點，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍的直線的方程是______.【答案】和；【解析】【分析】根據(jù)直線過原點和不經(jīng)過原點兩種情況，即可由待定系數(shù)的方法求解.【詳解】若直線經(jīng)過原點，則設(shè)直線方程為，將代入可得，若直線不經(jīng)過原點，設(shè)直線方程為，將代入可得，所以直線方程為，即，故答案為：和；15.已知圓：，若圓：與圓內(nèi)切，則______；若點是圓上一動點，滿足“點到直線的距離等于2”的點，在圓上有且僅有三個，則______.【答案】①.18②.7【解析】【分析】利用兩圓相內(nèi)切可得，可求，圓心到直線的距離為，進(jìn)而可得，可求．【詳解】由圓，得，由圓，得，由已知得，解得；圓心到直線的距離為，又“點到直線的距離等于2”的點，在圓上有且僅有三個，，．故答案為：18；7．16.如圖，已知、分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓交于、兩點，若，，則______，橢圓的離心率為______.【答案】①.##②.【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，進(jìn)而可得，由焦點三角形的邊角關(guān)系，即可求解離心率.【詳解】由可得,所以，故設(shè)，則，,在三角形中，，故，在三角形中，，故，故答案為：；四、解答題：（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知點M(0，3)，N(-4，0)及點P(-2，4)；（1）若直線l經(jīng)過點P且lMN，求直線l的方程；（2）求△MNP的面積.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）先求出直線的斜率，運(yùn)用點斜式求出直線l的方程；（2）求出直線的方程，運(yùn)用點到直線的距離公式計算出三角形的高，即可求出三角形面積.【詳解】解：（1）由題意可得：，直線的方程為，即則直線l的方程為（2）由題意可得直線MN的方程為：，即，點P到直線MN的距離為，，△MNP的面積△MNP的面積為5【點睛】關(guān)鍵點點睛：求直線l的方程關(guān)鍵是求出直線的斜率，這樣可以運(yùn)用點斜式求出直線方程，要計算三角形面積就要先求出三角形的底和高，然后再求面積.18.已知向量，，.（1）求；（2）求在方向上的投影向量；（3）若，求，的值.【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的夾角公式即可代入求解，（2）根據(jù)投影向量的定義即可求解，（3）根據(jù)共線，列方程即可求解.【小問1詳解】∵，，，所以【小問2詳解】【小問3詳解】∵，∴存在實數(shù)，使得，，故，解得，，19.如圖，在五面體中，四邊形是矩形，，，，平面.（1）若點是的中點，求證：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解即可，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量即可結(jié)合點面距離公式求解，或者利用等體積法求解.【小問1詳解】方法一：∵平面，，∴，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系∵，，∴平面的一個法向量，故，∴又∵平面，∴平面方法二：（1）取中點，連接，因為，分別為，的中點，所以，且，因為四邊形是矩形，，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；小問2詳解】解法一：，，設(shè)面的一個法向量為，取，則，故，解法二：因為，平面，平面，所以平面，所以到平面的距離為到平面的距離，所以，設(shè)到平面的距離，取中點為，則四邊形為平行四邊形，故,所以平面，所以，因為，，，所以，所以，所以所以點到平面的距離為20.已知點，為坐標(biāo)原點，圓：.（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）已知點在圓上運(yùn)動，線段的中點為，設(shè)動點的軌跡為曲線；若直線：上存在點，過點作曲線的兩條切線，，切點為，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到圓心到直線的距離為，分直線的斜率不存在和直線的斜率存在時，兩種情討論，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解；（2）設(shè)點，，求得點的軌跡方程為圓，得到，求得到直線距離，列出不等式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，圓：，可得圓心，半徑，因為直線被圓截得的弦長為，則圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時，此時直線的方程為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，即，綜上可得，所求直線的方程為或.【小問2詳解】解：設(shè)點，因為點，線段的中點為，可得，解得，又因為在圓上，可得，即，所以點的軌跡即曲線的方程為圓：，由，可得，在直角中，，所以到直線距離，解得，即實數(shù)的取值范圍為.21.如圖，已知矩形中，，，為的中點，將沿折起，使得平面平面．（1）求證：平面平面；（2）若點是線段上的一動點，且，當(dāng)二面角的余弦值為時，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）取中點，連接，證明出平面，過點在平面內(nèi)作的垂線，交于點，以為原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可得出關(guān)于的等式，結(jié)合的取值范圍可求得實數(shù)的值.【小問1詳解】證明：因為在矩形中，，，為的中點，所以，因為，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，平面平面.【小問2詳解】解：取中點，連接，，為的中點，則，因為平面平面，平面平面，平