數(shù)學(xué)-第一章 三角形的證明B卷壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練（帶答案）

第一章三角形的證明B卷壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，過點(diǎn)作直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折得到，線段交軸于點(diǎn)．若為直角三角形，請(qǐng)寫出點(diǎn)的坐標(biāo)______．【答案】或【詳解】解：為直角三角形，分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于，如圖所示：由對(duì)折可得，，，，為等腰直角三角形，，，

，即，，；②當(dāng)時(shí)，如圖所示：由對(duì)折得，，，，，由，可得：，設(shè)，則，，，解得，，，綜上，或．2．如圖，在長(zhǎng)方形的對(duì)角線上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)是______．

【答案】或【詳解】解：根據(jù)題意，若，如圖所示：此時(shí)與重合，不存在，以此為臨界狀態(tài)，分兩種情況討論：①如圖所示：為等腰三角形，，，在長(zhǎng)方形中，，，則，，，，是等邊三角形，即；②如圖所示：為等腰三角形，，，是的一個(gè)外角，，即，在長(zhǎng)方形中，，，則，，，

，在中，利用三角形內(nèi)角和定理可知：；綜上所述，的度數(shù)是或，故答案為：或．3．如圖，等腰ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），將CAD與CBD分別沿直線CA、CB翻折得到CAP與CBQ，給出下列結(jié)論：①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不變；③PCQ面積的最小值為；④當(dāng)點(diǎn)D在AB的中點(diǎn)時(shí)，PDQ是等邊三角形，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①②④．【詳解】①∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴CP=CD=CQ，∴①正確；②∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，∴∠PCQ=360°﹣(∠ACP+BCQ+∠ACB)=360°﹣(120°+120°)=120°，∴∠PCQ的大小不變；∴②正確；③如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥PC交PC延長(zhǎng)線于E，∵∠PCQ=120°，

∴∠QCE=60°，在Rt△QCE中，tan∠QCE=，∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ，∵CP=CD=CQ，∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=，∴CD最短時(shí)，S△PCQ最小，即：CD⊥AB時(shí)，CD最短，過點(diǎn)C作CF⊥AB，此時(shí)CF就是最短的CD，∵AC=BC=4，∠ACB=120°，∴∠ABC=30°，∴CF=BC=2，即：CD最短為2，∴S△PCQ最小===，∴③錯(cuò)誤；④∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，∵∠DAC=30°，∴∠APD=60°，∴△APD是等邊三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等邊三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵當(dāng)點(diǎn)D在AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，∴PD=DQ，∴△DPQ是等邊三角形，∴④正確，故答案為①②④．

4．如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接.，與交于點(diǎn)，且，若，，則的長(zhǎng)為_______________.【答案】【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)∵，，，∴垂直平分，是等邊三角形∴，，∵∴，∴∴∴∵∴是等邊三角形∴∴，，∴∴

5．如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在上，連接．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為___________；在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值為___________．【答案】

##

##【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，∴，，，∴，當(dāng)時(shí)，則，∵，∴，∴；在線段下方作，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，連接，∴，∴，當(dāng)D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)，

∴，∴，，∴，∴的最小值為：，∴的最小值為．故答案為：；．6．如圖，過邊長(zhǎng)為2的等邊的邊上一點(diǎn)，作于點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，連接交邊于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為______.【答案】1【詳解】過點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，如圖，∴，，是等邊三角形，∴，∵，∴；∵，∴，∵，∴，在和中，

∴，∴；∴，，∵，，∴，∵，故答案為：7．如圖，為等腰的高，，，E、F分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為______．【答案】【詳解】如圖，過點(diǎn)C作，且，并在的同側(cè)，連接，交于點(diǎn)G，∵為等腰的高，，∴，

∴，當(dāng)F與點(diǎn)G重合時(shí)，取得最小值，∴，∴，∴，∴，∴．8．如圖，等邊中，，為上一動(dòng)點(diǎn)，，，則最小值為________．【答案】【詳解】解：如圖，連接，取的中點(diǎn)O，連接，，過點(diǎn)O作于H，∵是等邊三角形，∴，，∵，，

∴，∵，∴，∴C、D、P、E四點(diǎn)共圓，∴，∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的值最小，根據(jù)垂線段最短可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最小，，∵，，

∴，，∴，∴，∴的值最小為，故答案為．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，且a，p滿足．(1)求直線的解析式；(2)如圖1，直線與x軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)M在x軸上方且在直線上，若的面積等于6，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，已知點(diǎn)，若點(diǎn)B為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使

是以為底邊，點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)直線AP的解析式為(2)(3)Q的坐標(biāo)為或或，理由見解析【詳解】（1）解：∵，解得，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線AP的解析式為；（2）過作交x軸于D，連接，∵，的面積等于6，∴的面積等于6，∴，即，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，則，

∴，∴直線的解析式為，令，得，∴；（3）Q的坐標(biāo)為或或．理由如下：設(shè)，①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸負(fù)半軸時(shí)，過B作軸于E，如圖，∴，∵是以為底邊的等腰直角三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴；②當(dāng)Q在y軸正半軸上時(shí)，過C作軸于F，過B作軸于G，如圖，

∴，，∵是以為底邊的等腰直角三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴即，∴，∴，∴；③當(dāng)Q在y軸正半軸上時(shí)，過點(diǎn)C作軸于F，過B作軸于T，如圖，∴，，

同②可證，∴，，∴，即，∴，∴，∴；綜上，Q的坐標(biāo)為或或．10．（1）如圖1，在△ABC中∠A＝60o，BD、CE均為△ABC的角平分線且相交于點(diǎn)O.①填空：∠BOC＝度；②求證：BC＝BE+CD．(寫出求證過程)（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC=m，BC=n，CE平分∠ACB．①若△ABC的面積為S，在線段CE上找一點(diǎn)M，在線段AC上找一點(diǎn)N，使得AM+MN的值最小，則AM+MN的最小值是．(直接寫出答案)；②若∠A=20°，則△BCE的周長(zhǎng)等于．(直接寫出答案)．【答案】（1）①120；②證明見解析；（2）①(或)；②m【詳解】試題分析：（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，則2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，再根據(jù)角平分線的定義得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，則2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BOC=90°+∠A，由∠A＝60o即可得∠BOC的值；②采用截長(zhǎng)法在在BC上截取BF＝BE，連接OF，由邊角邊證得△EBO≌△FBO，再由角邊角證得△DCO≌△FCO，即可得證；

（2）①當(dāng)AM⊥BC時(shí)，AM+MN的值最??；②在CA上截取CD=CB,以E為圓心EC為半徑畫弧，與AC交于點(diǎn)F，通過構(gòu)造全等三角形，利用等腰三角形的判定和性質(zhì)即可求解.試題解析：（1）①在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB，∵BD、CE均為△ABC的角平分線，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB，∴∠BOC=90°+∠A，∵∠A＝60o，∴∠BOC=90°+×60o=120°；故答案為120°；②證明：由（1）①∠BOC＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝180°－120°＝60°，在BC上截取BF＝BE，連接OF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO，又∵BO＝BO(公共邊相等)∴△EBO≌△FBO(SAS)∴∠BOF＝∠BOE＝60°，∴∠COF＝∠BOC－∠BOF＝120°－60°＝60°＝∠COD，∵CE平分∠ACB，∴∠DCO＝∠FCO，又∵CO＝CO(公共邊相等)

∴△DCO≌△FCO(ASA)∴CD＝CF，∴BC＝BF+CF＝BE+CD；（2）①如圖：當(dāng)AM⊥BC時(shí)，與BC交于點(diǎn)D，過M作MN⊥AC交AC與點(diǎn)D，∵CE平分∠ACB，∴DM=DN，∴AD=AM+MD=AM+MN,此時(shí)，AM+MN的值最小，由S△ABC=BC·AD，BC=n，△ABC的面積為S，得AD=，或∵AB=AC,AD⊥BC,AB=AC=m，BC=n，∴BD=CD=,在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=；故答案為(或)；②如圖：在CA上截取CD=CB,以E為圓心EC為半徑畫弧，與AC交于點(diǎn)F，∵AB=AC=m，∠A=20°，

∴∠B=∠C=80°,∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠DCE=40°,∵CE=CE,∴△BCE≌△DCE,∴∠CDE=∠B=80°,∠DEC=∠BEC=60°,BE=DE,∴∠CDE=40°,∵EC=EF,∴∠EFC=∠ECF=40°,∴∠DEF=∠CDE-∠DFE=40°,∴DE=DF,∠AEF=∠DFE-∠A=40°-20°=20°,∴EF=AF,∴BE=DF,CE=AF,∴△BCE的周長(zhǎng)=BC+CE+BE=CD+AF+DF=AC=m.11．在中，，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．特例感知：（1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B．通過觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，得到．請(qǐng)給予證明．猜想論證：（2）當(dāng)三角尺沿AC方向移動(dòng)到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作垂足為E．此時(shí)請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量DE，DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

聯(lián)系拓展：（3）當(dāng)三角尺在圖2的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)移動(dòng)到圖3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，請(qǐng)你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明）【答案】（1）證明見詳解；（2）DE+DF=CG，證明見詳解；（3）成立．【詳解】（1）∵，∴∠ABC=∠ACB，在△BFC和△CGB中，∴△BFC≌△CGB，∴（2）DE+DF=CG，如圖，過點(diǎn)B作BM⊥CF交CF延長(zhǎng)線于M，過點(diǎn)D作DH⊥BM于H，

∵，∴∠ABC=∠ACB，在△BMC和△CGB中，∴△BMC≌△CGB，∴BM=CG，由題意和輔助線可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，∴四邊形MHDF為矩形，∴MH=DF，DH∥MF，∴∠HDB=∠MCB，∴∠HDB=∠ABC，在△BDH和△DBE中，∴△BDH≌△DBE，∴BH=DE，∵BM=CG，BM=BH+HM，∴DE+DF=CG，（3）成立，如圖，過點(diǎn)B作BM⊥CF交CF延長(zhǎng)線于M，過點(diǎn)D作DH⊥BM于H，

同（2）中的方法∵，∴∠ABC=∠ACB，在△BMC和△CGB中，∴△BMC≌△CGB，∴BM=CG，由題意和輔助線可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，∴四邊形MHDF為矩形，∴MH=DF，DH∥MF，∴∠HDB=∠MCB，∴∠HDB=∠ABC，在△BDH和△DBE中，∴△BDH≌△DBE，∴BH=DE，∵BM=CG，BM=BH+HM，∴DE+DF=CG．

12．已知為等邊三角形．（1）如圖1，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，連接，求證：．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，以為邊作等邊三角形，求證：無論點(diǎn)D的位置如何變化，的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)P始終在的角平分線上．（3）如圖3，以為腰作等腰直角三角形，取斜邊的中點(diǎn)E，連接，交于點(diǎn)F．試判斷線段，，之間存在何種數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3），證明見解析．【詳解】（1）∵和都是等邊三角形，∴．∴，即．在和中，

，∴．（2）過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，交射線BA于點(diǎn)N，∴，∵為內(nèi)角平分線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，

∴，∴平分，即無論點(diǎn)D的位置如何變化，的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)P始終在的角平分線上．（3）在上截，連接，∵，∴，在和中，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴∵E為斜邊中點(diǎn)，∴，∴∴，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴．

13．在銳角△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于點(diǎn)D．(1)如圖1，過點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G，求證：AC=BF；(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DB運(yùn)動(dòng)，連接AP，過點(diǎn)A作AQ⊥AP，且滿足．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線線段BD上時(shí)，連接PQ分別交AD、AC于點(diǎn)M、N．請(qǐng)問是否存在某一時(shí)刻使得△APM和△AQN成軸對(duì)稱，若有，求此刻∠APD的大??；若沒有，請(qǐng)說明理由．②如圖3，連接BQ，交直線AD與點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，試猜想BP和DF的數(shù)量關(guān)系并證明；當(dāng)點(diǎn)P在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】(1)證明過程見解析．(2)①存在某一時(shí)刻使得△APM和△AQN成軸對(duì)稱，∠APD=30°，理由見解析．②BP=2DF，【詳解】（1）證明：∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°又∵∠B=45°∴△ABD是等腰直角三角形∴AD=BD∵BG⊥AC∴∠BGC=90°又∵∠C=60°∴∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°∠FBD=90°-∠C=90°-60°=30°∴∠DAC=∠FBD在△BDF和△ADC中，

∴△BDF≌△ADC∴AC=BF（2）①存在某一時(shí)刻使得△APM和△AQN成軸對(duì)稱∵AQ⊥AP∴∠QAP=90°由(1)的證明知∠DAC=30°，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，得∠PAD=∠QAC===30°∵∠ADP=90°∴∠APD=90°-∠PAD=90°-30°=60°②BP=2DF理由如下:如圖4所示,過Q作QE⊥AD，交AD與點(diǎn)E,那么∠AEQ=∠FEQ=90°∴∠AQE+∠QAE=90°又∵∠PAD+∠QAE=90°∴∠AQE=∠PAD在△APD和△QAE中，，∴△APD≌△QAE

∴AE=PD；AD=QE，∴DE=BP又∵AD=BD，∴BD=QE在△QEF和△BDF中，，∴△QEF≌△BDF，∴EF=DF，∴BP=2DF當(dāng)點(diǎn)P在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如下圖所示，由上述證明過程可知PB=2DF，BD=AD又已知，∴DF=AD∴PB=2×BD=BD，∴=14．如圖，在中，是的平分線．(1)在線段上任意取一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，通過這樣的作圖能得到結(jié)論