高考數(shù)列壓軸題

高考數(shù)列壓軸題

一.解答題（共50小題）

1.數(shù)列｛aj滿足a】=l,a2=A；+A、，…'an=A1+A2+-+Ajj(neN)

(1)求a2;a3,a4,a5的值；

(2)求an與a”i之間的關(guān)系式(nWN*,n22)；

(3)求證：(1+L)(1+A-)...(1+J^)<3(n@N*)

ala2an

2.已知數(shù)列｛xj滿足：Xi=l,Xn=Xn，i+ln(l+xni)(n@N*),證明：當(dāng)n@N*時(shí),

(I)0<xn+i<xn；

(II)2xn+1-XnW士皿_；

2

(III)-1—WXnW二一.

2n-12n-2

2

3.數(shù)列｛a［中，ai=4-，an+i=——#-----(n￡N*)

2a?-a+1

nn

(I)求證：an-i<an；

(ID記數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn<l.

4.已知正項(xiàng)數(shù)列｛a#輛足an2+an=3a2n*i+2an+i，ai=l.

（1）求a2的值；

（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)nWN*,anW2ami；

（3）記數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn，證明：對(duì)任意nGN*,2-，_WSn<3.

5.已知在數(shù)列｛aj中，a[=^-，&田=a，2&n+2,'n*N*

(1)求證：l<aivi<an<2；

2n-1+2

(2)求證:-^<a

2n-1+3n<2n-1+l

(3)求證：n<sn<n+2.

6.設(shè)數(shù)列｛a#滿足a^Fa，-an+1(n?N*),Sn為｛aj的前n項(xiàng)和.證明：對(duì)任意n^N*,

(I)當(dāng)OWaiWl時(shí)，OWanWl；

(II)當(dāng)ai>l時(shí),an>(a「1)

(III)當(dāng)ai=工時(shí)，n-V2n<Sn<n.

2

7.已知數(shù)列｛an1滿足五=1,Sn=2an+i，其中Sn為E｝的前n項(xiàng)和(nGN*).

(I)求S1，S2及數(shù)列｛Sn｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列｛bj滿足b二且｛bj的前n項(xiàng)和為「，求證：當(dāng)n22時(shí)，1<|T|<1.

nS3nly9

8.已知數(shù)列⑸｝滿足a1=l,a，-二L(nWN*),

a

n+ln

(I)證明：an+2=&n；

nn+1

(II)證明：2(析1)《專擊+…+(nva*

3

9.設(shè)數(shù)列匕力的前n項(xiàng)的和為Sn，已知ai=3,an,i=—著--，其中nWN*.

22an-3an+2

(1)證明：an<2；

(2)證明：an<an+i；

(3)證明：2n-WwSnW2n-1+(工)n.

32

10.數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正數(shù)，且ani=an+2-1(ndN*),｛an｝的前n項(xiàng)和是Sn.

an

(I)若｛aj是遞增數(shù)列，求a1的取值范圍；

(H)若a]>2,且對(duì)任意nWN*,都有Snenai-[(n-1),證明：Sn<2n+1.

3

2

11.設(shè)an=x：bn=(―),Sn為數(shù)列耳曲｝的前n項(xiàng)和，令fn(x)=Sn-1,xGR,aGN*.

n

(I)若x=2,求數(shù)歹u｛組zL｝的前n項(xiàng)和Tn；

an

(ID求證：對(duì)VnGN*,方程fn(x)=0在XnG[Z,1]上有且僅有一個(gè)根；

3

(III)求證：對(duì)VpGN*,由(II)中Xn構(gòu)成的數(shù)列｛xj滿足OVXn-Xn,pVL.

12.已知數(shù)列,屈｝,(bn｝1ao=l>a,1——(n=0,1,2,...),(n-1,2,3,…)，Tn為

n11+a：n

數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和.

求證：(I)an+i<an；

(II)&n《卷(n=l,2,3,)；

:-

("1)anC^_*Tn(n=l,2,3,…)?

2

13.已知數(shù)列｛aj滿足:3i=—,an=an-i+an-i(n22且nGN).

2

a1

(I)求a2,a3；并證明：22--l<an<1.32?

22

(ID設(shè)數(shù)列匕聲的前n項(xiàng)和為A。，數(shù)歹(J｛_L_｝的前n項(xiàng)和為證明：工”

an+1Bn2

14.已知數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)，其前n項(xiàng)和為工，且對(duì)任意的n^N*,都有a〈十吟

（1）若ai=l,3505=2017,求的最大值；

（2）若對(duì)任意nWN*,都有SnWl,求證：04&_a

nn（n+l）

6+

15.已知數(shù)列｛aj中，ai=4,an.1=^\,n6N*,Sn為｛aj的前n項(xiàng)和.

(I)求證：nGN*時(shí)，an>an+i；

(II)求證：nWN*時(shí)，2WSn-2n<W.

7

16.已知數(shù)歹NaJ滿足，a1=l,an=-l_-l

an+l2

(1)求證：a^—；

n3

(2)求證：Iami-aI^—；

n3

(3)求證：|a_a|^―-

2nn27

2a

17.設(shè)數(shù)列｛aj滿足：ai=a,an+i=°"(a>0且aWl,nGN*).

a：+l

(1)證明：當(dāng)n22時(shí)，an<an+1<l；

(2)若be(a2?1),求證：當(dāng)整數(shù)時(shí),ak+i>b.

a2(l-b)

2

18.設(shè)a>3,數(shù)列｛a#中，aqa,an+1=-^—,n^N*.

2-3

(I)求證：an>3,且目±LV1；(II)當(dāng)aW4時(shí)，證明：an<3+-l-

an5n-1

22

19.已知數(shù)列｛aj滿足an>0,ai=2,且(n+1)an+i=nan+an(n《N*).

(I)證明：an>l；

222

(II)證明：氏+氏+...+區(qū)<2(nB2).

49n25

20.已知數(shù)列｛aj滿足：a>0,.,+—<2(n€N*)-

nrativ1Ja

n

;

(1)求證：an+2<an+1<2(n€N*)

(2)求證：an〉l(n€N*),

21.已知數(shù)列｛aj滿足ai=l,且an.J+a/uZ(amian+ami-an-1).

2

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)求證：士+』+...+』〈工；

Z/c.A

ala2an4

(3)記Sn=L+L+...+L,證明：對(duì)于一切n22,都有S，>2(11+11+..+^L).

a?a28n23n

22.已知數(shù)列｛aj滿足ai=l,an+1=—?—，nGN,.

3an+2

(1)求證：3WanWl；

5

(2)求證：Ia2n-anWZ.

5

23.已知數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和記為Sn，且滿足Sn=2an-n,n￡N*

(I)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(II)證明：

23a2a3、+I2

2

&n

24.已知數(shù)列｛aj滿足：ai=l-,an，i=+an(nWN*).

22016

(1)求證:ani>an；

(2)求證:a2oi7〈l;

(3)若ak>l,求正整數(shù)k的最小值.

2

25.已知數(shù)列｛aj滿足：an-an-an+i+l=O,a1=2

(1)求a2>a3；

(2)證明數(shù)列為遞增數(shù)列；

(3)求證：1+1+-1-+…

ala2a3an

2

26.已知數(shù)列｛aj滿足：a1=l,-?尸a+。(nCN*)

n+1n(n+1)2

(I)求證：an^l；

(II)證明：芻竺Lei+—L—

an(n+1)

(III)求證：2(n+l)(aeVn+l.

n+3

27.在正項(xiàng)數(shù)列數(shù)少中,已知ai=l,且滿足an+i=2an.---(n￡N*)

aj1

(I)求a2,a3;

(II)證明.aR(W)nT.

2

28.設(shè)數(shù)列｛aj滿足二家a肝產(chǎn)(n€N*),

Jn

(1)證明：%<&什1<1(11€/)；

(2)證明：an>2r^l

29.已知數(shù)列｛aj滿足神=2,an+i=2(Sn+n+l)(nWN*),令b產(chǎn)an+1.

(I)求證：｛bj是等比數(shù)列；

(II)記數(shù)列｛nbj的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn；

(III)求證：—<J-f-1-<1L.

22X3nala2a3an16

2

30.已知數(shù)列｛aj中，ai=3,2an41=an-2an+4.

(I)證明：antl>an；

(II)證明：an^2+(W)n%

2

(HI)設(shè)數(shù)歹U｛1-｝的前n項(xiàng)和為Sn，求證：1-(Z)ySnVl.

31.已知數(shù)列｛aj滿足ai=2,an+i=，n《N*.

53-an

(1)求a2；

(2)求的通項(xiàng)公式；

an

(3)設(shè)｛aj的前n項(xiàng)和為Sn，求證：1(1-(2)n)WSn<生.

5313

32.數(shù)列｛aj中，ai=l,an=^aa^-2'

(1)證明：an<an.i；

(2)證明：anan+i^2n+l；

(3)設(shè)6=碧，證明:

2<bn<V5(n22)?

Vn

33.已知數(shù)列｛aj滿足i=l,a"a2+-

1ITrlgnro

(1)若數(shù)列｛an｝是常數(shù)列，求m的值；

(2)當(dāng)m>2時(shí)，求證:an<an+i;

(3)求最大的正數(shù)m,使得an<4對(duì)一切整數(shù)n恒成立，并證明你的結(jié)論.

34.已知數(shù)列｛aj滿足：a,山，P>1，a4

1pn+11啊

(1)證明：an>ani>l；

(2)證明：2hi_<a

an+l&什12

(3)證明：；x*Yln(a］七…an)<Lx弓?

p+12n_112anp2n-1

35.數(shù)列｛aj滿足ai=L,an+i-an+anan+i=O(nGN*).

2

(I)求數(shù)列｛a。｝的通項(xiàng)公式；

(II)求證：ai+aia2+aia2a3+..+a1a2...an<l.

36.已知數(shù)列｛aj滿足ai=l,ae皂，+p.

4

(1)若數(shù)列｛aj就常數(shù)列，求p的值；

(2)當(dāng)p>l時(shí)，求證：an<anti；

(3)求最大的正數(shù)p,使得an<2對(duì)一切整數(shù)n恒成立，并證明你的結(jié)論.

37.已知數(shù)列｛a/滿足ai=a>4,a+12a+g，(nGN)

(1)求證：an>4；

(2)判斷數(shù)列｛a。｝的單調(diào)性；

(3)設(shè)Sn為數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和，求證：當(dāng)a=6時(shí)，4n+2<Sn<4n+—?

38.已知數(shù)列｛aj滿足ai=l,an*i=―亭一.

an4】

(I)求證：an4<an;

(II)求證：―二一.

2n-13-2n-4

2

39.已知數(shù)列｛aj滿足：a1=l,an+1=A/ari-2an+3+b-

(1)若b=L證明：數(shù)列｛Qn-1)2｝是等差數(shù)列;

(2)若b=-l,判斷數(shù)列｛a2n-1｝的單調(diào)性并說明理由；

(3)若b=-1,求證：a1+a?+…+a2n_1<電臺(tái)

—

40.已知數(shù)列｛aj輛足沏^^~，(1+3p(n=l,2,3...),^^=2an^3n,Sn=bi-b2+...+bn.

證明：(I)an-i<an<l(n》l)；

(II)0<S<n4(n，2).

n2

41.已知數(shù)列｛aj滿足ai=l,a,i=-n—,n《N*,記S,Tn分別是數(shù)列｛an｝,｛a2｝的前n項(xiàng)和

nnn

證明：當(dāng)n^N*時(shí)，

(1)dn+1Va*

(2)Tn=^—-2n-l；

an+l

(3)岳-l<Sn<V2^.

2

42.已知數(shù)列｛aj滿足ai=3,an.i=an+2an,nGN*,設(shè)bn=log2(an+l).

(I)求｛aj的通項(xiàng)公式；

(II)求證：1+L+L+...+—I—<n(n22)；

23bn-l

(III)若2%=，，求證：2W(&曳)n<3.

cn

43.已知正項(xiàng)數(shù)列｛aj滿足a1=3,a：+]+/+]=2an，nGN*.

(1)求證：l<an^3,nGN*；

分-1

(2)若對(duì)于任意的正整數(shù)n,都有H—<M成立，求M的最小值;

an-1

++

(3)求證：ai+a2a3...+an<n+6,n^N,.

44,已知在數(shù)列國(guó)｝中，ai=1，%+產(chǎn)a：⑵"nGN-

(1)求證:1<an+iVan<2；

nH

(2)求證:6幺-2+2

(3)求證：n<sn<n+2.

45.已知數(shù)列｛aj中，a,=」一，a(nGN*).

al2n+12

(1)求證：—<a<1；

(2)求證：｛_L｝是等差數(shù)列；

an-1

c494

(3)設(shè)b」——7T~1~7----L記數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為Sn，求證:Sn*

n(l+ai)(l+a2)-(l+an)

46.已知無窮數(shù)列｛aj的首項(xiàng)ai=L,—=—(J:)nGN*.

2a*]20a

(I)證明：OVanVl;

/_\2

(ID記bn=n-adJ,Tn為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，證明：對(duì)任意正整數(shù)n,Tn<J_.

ananM10

47.已知數(shù)歹!!｛Xn｝滿足X[=l,Xn+i=2,+3,求證:

(I)0<xn<9；

(II)Xn<Xn-l；

0-1,

(UDxn>9-8*(y)

48.數(shù)列｛aj各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意n￡N*,滿足an-Lan+ca,(c>0且為常數(shù)).

(I)若a]，2a2,3a3依次成等比數(shù)列，求a1的值(用常數(shù)c表示);

(II)設(shè)一，Sn是數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，

1+can

(i)求證：——L=_J；

an+lan1+can

(ii)求證：Sn<Sn+i<-^.

C&1

49.設(shè)數(shù)列滿足國(guó)-2《1,n￡N*.

2

n1

(I)求證：|an|^2-(laj-2)(nWN*)

(II)若屈1<(W)「n￡N*,證明：an|<2,n「N*.

2

2

&n

50.已知數(shù)列｛aj滿足：ai=l,an，i=an+o.(n￡N*)

(n+1)2

(I)證明：毛L2i+_J；

an(n+1)

(II)求證：2(n+l)VamiVn+1.

n+3

高考數(shù)列壓軸題

參考答案與試題解析

一.解答題（共50小題）

1.數(shù)列｛aj滿足ai=l,a2=^^+^|,...?an=^^+^n.(neN*)

(1)求a2,83,84,的值;

(2)求去與i之間的關(guān)系式(n￡N*,n22)；

(3)求證：(1+-^)(1+-^)...(1+-1-)<3(neN-)

ala2an

【解答】解：（1）22=A；+A|=2+2=4.

a3=Ag+A『A科+6+6=15,

a產(chǎn)A；+A；+A*A：=4+4X3+4X3X2+4X3X2X1=64,

+

a5=A：+AgA[+A^+A/=5+20+60+120+120=325；

=n+n[(n-1)+(n-1)(n-2)+...+(n-1)I]

l+a_i1

(3)證明：由(2)可知----LnLJL,

ann

1111+ai1+a1+a

所以(I+_JL_)(I+^L_)...(i+-±_)=---------!-?--------9-..........n-

ala2anala2an

1+an1AnAnAn1111

=-----------=------'------++...+------=------+---------------+---------------...+---------------

nlnlnlnlnlnl(n-1)1(n-2)I(n-n)1

=-1_+_L_+_LJ-...+_L.^I+]+1+1+...+----1------

011121nl1?22?3(n-l)n

=2+1--L+...+—1---L=3--<3(n72).

223n-lnn

所以n22時(shí)不等式成立，而n=l時(shí)不等式顯然成立，所以原命題成立.

2.已知數(shù)列儀才滿足：Xi=l,xn=xnl+ln（1+Xn，i）（n￡N*）,證明：當(dāng)n已N"時(shí),

(I)0<Xn1<Xn；

2

(III)—■_?xn?——.

2n-12nT

【解答】解：(I)用數(shù)學(xué)歸納法證明：xn>0,

當(dāng)n=l時(shí),Xi=l>0,成立，

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，則Xk>0,

那么n=k+l時(shí)，若XkiVO,則OVXk=Xk1+ln(l+xkl)<0?矛盾，

故Xni>0,

因此Xn>0,(nGN*)

，

?-Xn=Xnl+ln(1+Xni)>Xn-v

因此OVxniVXn(nGN-),

(II)由X/Xn-i+ln(1+Xn，i)得XnXn，i-4Xni+2Xn=Xn，i2?2Xn-i+(Xna+2)In(1+Xn^),

記函數(shù)f(x)=x2-2x+(x+2)In(1+x),x，O

:.r(x)jJ+x+in(i+x)>o,

x+1

Af(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

Af(x)3f(0)=0,

因此XnJ-2Xn,i+(Xn.1+2)In(1+Xn，i)20，

故227代皇士L

2

(HI)Tx/Xnu+ln(1+Xni)WXni+Xn^ZXni，

?x>1

2n-1

由XnXnH必近_x0得二:--->2(―-_L)>o,

2?n+l2xn2

(—i--L)>.?>2nl(-1--L=2n-2,

xn2xn_12Xi2

綜上所述」_wX.W-A-.

2n-12n-2

2

1an

3.數(shù)列｛aj中，a1=i,an.1=——---------------(n￡N*)

2a?-a+1

nn

求證:；

(I)ani<an

（記數(shù)列｛的前項(xiàng)和為，求證：

IDajnSnSn<l.

【解答】證明：（I）??,a.*.a>0,

nn

2

.___an

,,anl-an=Z

a?n-a?n+l

??an?iVan；

2

an1-an

(II)*.*1-a.i=l-

na2-a+1a2-a+1

nnnn

2

1an-an+11

------------------------------=----------a?

1-an+l1-an1-ann

]

1-an+l

]

al+a2+"'+an=2^

1-an+i

又

an>0,

]

S=+a+-+a=2--<1-

nai2n1-anM

已知正項(xiàng)數(shù)列｛滿足。，=

4.aja+a0=3an*i+2an-iajl.

(1)求a2的值；

證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)

(2)nGN*,an?2anl：

記數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和為證明：對(duì)任意，

(3)a0nSn,nGN,2-_l_^sn<3.

2n-1

【解答】解：()22

1an+an=3an.1+2anl,a^l,

即有22+

a1+a1=3a22a2=2?

解得a2=*-l(負(fù)的舍去)；

3

(證明：2+2

2)anan=3an.1+2an.p

可得22+2

3n-4antian-2an?i+ani=0,

即有++2

(an-2ani)(an2an-i+l)ani=0?

由于正項(xiàng)數(shù)列｛aj,

即有

an+2ani+l>0,4a2n.i>0,

則有對(duì)任意實(shí)數(shù)nWN*,anW2an，i；

(3)由(1)可得對(duì)任意實(shí)數(shù)nCN，,an<2an.1；

即為2a2，可得az'L,a3>

2

????an2-

2n-1

1

前n項(xiàng)和為Sn=a1+a2+...+a,,>l+—+—+...+?

24

事1-，

142-1

2+a=2+2+

乂ann3an*i2an1>an?iant1,

即有(an-)(an+an-i+l)>0,

則aX+i，數(shù)列｛aj遞減,

1

即有Sn=a1+a2+...+an<l+l+—+—+...+?

242n~2

1-Fzri

=1+---------——=3(1----)<3.

工2n-l

2

則有對(duì)任意nCN'，2--1■■■—"gSn<3.

2n-1

nGN

5.己知在數(shù)列｛an｝中，a]=|,a什i=a：-2an+2-

(1)求證：l<an*i<an<2；

(3)求證：n<sn<n+2.

【解答】證明：(1)先用數(shù)學(xué)歸納法證明l〈an<2.

??n=i時(shí)1<&]2，

②.假設(shè)n=k時(shí)成立，即l<ak<2.

那么n=k+i時(shí)，ak+1=a2_2ak+2€(1,2),ak€(1,2)成立?

由①②知i<a?<2,n6N*恒成立.an+1-an=-3an+2=(an-l)(an-2)<0-

所以l<anl<an<2成立.

力_3_6_5、6

⑵al=?T-----TT,----

23+243+2

當(dāng)眾3時(shí)，一—<1而l<an<2.所以a>~~--

2n-1+3n2rrl+3

由an+l=an-2an+2,2-an+l=2an-an

=萬5一4人-+94昌-+1)

2-an+l22-anan22~an

=-----1<—(k―--1)

2』22-an

所以'F、4an4泉卷

(3)由(1)l〈an<2得Sn>n

由⑵得/《黑e/v己,

Sn＜（l+木）+（l+會(huì)+…+(1+帚)=n+—j-n+2(1余<n+2

13

6.設(shè)數(shù)列｛aj滿足anFa，-an+1(n￡N*),Sn為｛aj的前n項(xiàng)和.證明：對(duì)任意nEN",

(I)當(dāng)O〈ai〈l時(shí)，OWanWl；

1

(II)當(dāng)ai>l時(shí)，an>(a「1)a/'；

(III)當(dāng)ai=L時(shí)，n-V2n<Sn<n.

2

【解答】證明：(I)用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=l時(shí)，OWanWl成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k(k￡N*)時(shí)，O^ak^l,

則當(dāng)n=k+l時(shí)，分二分2_+1=(上)2+巨仁[3l]c[o,1],

ak+lakak+1ak244

由①②知，?！?n€N*),

J當(dāng)OWaKl時(shí),OWanWl.

(II)由an，i?an=(a2-a+1)-an=⑸?1)220,知anRan.

若ai>l,則an>l,(n￡N“),

3n=an

從而&口一1一1二(a,一8n+l)-1=an^'(即-0，

即Pn+LLan2u

an-1

n

,,an-li>(aj-1)SjL

,當(dāng)4>1時(shí)，an>(ax-1)ajT.

(Ill)當(dāng)c由(I)，0<an<l(nGN"),故Sn<n,

12

令bn=l-an(n&N*),由(I)(H),bn>bn<1>0,(nSN,),

*an+l=an2-an+1,^bn2=bn-bn+f

b

b.，b/+…+b2=<：i'b2)+(b2-b3)+...+(bn-bn-1)=b「垢1〈比=工

D1TD2Dn2

v22,,,2>2.

b1+b2++bnnbn

.?.nb；<L即卜<二,(nGN,),

2%標(biāo)—

???咨<廠S(石但)，

nv2nv2nVnWn-1

；?bi+b2+…+3<亞［<VT^/O)++…+(Vn-Vnnl)

,

即n?Sn<加添亦即Sn>n-^/2n

‘當(dāng)勺/'n7^<%<n—

7.已知數(shù)列｛aj滿足ai=LSn=2anl,其中S。為｛a0｝的前n項(xiàng)和(nGN*).

(I)求Si，Sz及數(shù)列｛Sn｝的通項(xiàng)公式;

(ID若數(shù)列｛b｝滿足b="。二，

n且｛bn｝的前n項(xiàng)和為Tn，求證:當(dāng)n>2時(shí),y<|T|<y

n$nn

【解答】解：(I)數(shù)列｛aj滿足S/2an，i，則Sn=2an.i=2(Sn「Sn),BP3Sn=2Sn.1,

.，n+l3

??------:z—?

Sn2

即數(shù)列｛sj為以1為首項(xiàng)，以芭為公比的等比數(shù)列,

2

1

???Sn=(A)"(nGN,).

2

.?.Si=l,S2=—；

2

(-1)n(-1)nT

(II)在數(shù)列｛b.｝中，bn-c=-1X<1,

*mnT

Tn為{bj的前n項(xiàng)和,

則I訃[TX{1+（得渴+[-號(hào)）3]+…+（?n"J"=11+（孑）+卜電事…+’：）.I

（吟）（1）

n-1

，，(-1)

而當(dāng)n22時(shí),i4<|i+(4)+9+Hf)3]+,+鴻得

即已工|得?

8.己知數(shù)列⑸｝滿足比=1,a.=L(nCN‘)，

n+1n

(I)證明：&n+2=an；

nn+1

(II)證明：2(V^-l)<V-+v-+---+rTrT——<n

2a33a4(n+1Jan+2

【解答】(I)證明：,-a=L?，???ao.a

an+lannan+2an+ln+1

由②+①得：目坦3旦=.=U_,

a"anann+1

.an+2_an

n-n+l

(II)證明：由(1)得：(n+1)an.2=na?

,,,+/-+,,,+7V-----%】~++?1-

a

2a33aqkn+lj&八+2i2a2nan

令bn=nan，則:na^.(n+1)an+F("+1)二田③

riRTinn~in

，bni?bn=r?

由b產(chǎn)ai=l,b2=2,易得bn>0

L

由③-④得：T-=brt.1-b1(n^>2)

Kxu1IIL

n

/.b1<b3<...<b2n-1,b2<b4<...<b2n,得

根據(jù)bn?bni=n+l得：bniWn+1,.?.lWbnWn

=4(b3-bi)+M七)+…+(!>—+

1

=*+bn+bn+「b「b2=bn+bn+「2

1

一方面：bn+bn4.1-2>2A/bnbn+1-2=2(Vn+l-l)

另一方面：由KbnWn可知：b+bn-2=b+^^-24min{l+n+1-2,n+^+l-2}<n,

nnLn

a3

設(shè)數(shù)列匕力的前項(xiàng)的和為，已知,其中

9.nSnai=￡>,an.x=——--------n￡N”.

22a〉3aj2

證明：：

(1)an<2

(證明：

2)an<an41；

(3)證明：2n-2n-1+(X)n.

32

3(an-2)(a：-2an+2)

an

【解答】證明：(1)an-i-2=——--------

2an-3an+22an-3an+2

由于八+2=fa_1)2*-1>0,OA2_O+2=2(a?工>o.

anzanzan15ankan4?g

與同號(hào)，因此與同號(hào)，而-工<

...anr-2a?-2ax-2a1-2=0,

2

.,.a?<2.

(an-l)(a2-an+2)1

⑵

an-!-1='----,可得：a。1T與a。-1同號(hào)，因此與a「l同號(hào)，而a「1=L>0,...anAL

2an-3an+22

-a(a-1)(an-2)

又加<<<-="

2.??1^an^2.an-jan---y-----------,可得分子>o,分母>o.

2an?-3a?n+2

故

.*.an.i-an>0,anVani

(3)n=l時(shí)，Si=苴，滿足不等式.

2

0

a2a-2a+22-=12-劣口1i

n+lnn102F9zr>(i)n,即…會(huì)

n22時(shí),(1+

an-22a^-3a+222a-3a+222al2

nnn

/.2n-S?^---------------------=1-(A-)n.即SnW2n-1+(-1-)n.

1/

2-&n2-an

另一方面：由(II)可知：—<<2--(2an-3)(a/2)+4(2+才看

2%an、c2a：-3aj2

從而可得：an+l2w反

an-28

2an^2'X(^!■產(chǎn)L?■?2n-Sngx5"^|,[l-(-|-)n]-

.?.S62n-4[i-(^-)n]>2n-4,

OoJ

綜上可得：2n-aWSnW2n-l+(工)

32

10.數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正數(shù),且ari=an+2-l(nWN‘)，｛aj的前n項(xiàng)和是Sn.

an

(I)若｛aj是遞增數(shù)列，求說的取值范圍；

(II)若電>2,且對(duì)任意nWN*,都有Sn>nai-L(n-1),證明：Sn<2n+1.

3

【解答】(I)解：由a2>ai>0<=>al>ai>0,解得0<ai<2,①.

1a

又a3>az>0，0a04-->32-㈡OVa2<200<1<2,解得IVa^VZ,②.

-1

2a2l

由①②可得：l<aj<2.

下面利用數(shù)學(xué)歸