（資料）6月16日知識(shí)資料6月17日知識(shí)資料高數(shù)-線代

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)1.6線性代數(shù)1.6.1行列式1.n階行列式有關(guān)概念(1)n階行列式：由定義知:n階行列式是n!項(xiàng)的代數(shù)和，每一項(xiàng)是取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積，符號(hào)由該項(xiàng)列標(biāo)羅列P1,P2,P3…，Pn的逆序數(shù)τ(P1,P2,P3…，Pn)決定。異常地，對(duì)二階行列式與三階行列式，可以采用對(duì)角線法則來(lái)計(jì)算，即注重：計(jì)算4階及以上的行列式時(shí)，不能用對(duì)角線法則。(2)轉(zhuǎn)置行列式:行列式的行列互換所得的行列式稱(chēng)為原行列式的轉(zhuǎn)置行列式，即這里AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣。(3)余子式與代數(shù)余子式。將n階行列式中元素aij所在的第i行和第j列的元素劃掉，剩余的元素按原位置次序所構(gòu)成的n-1階行列式，稱(chēng)為元素aij的余子式，記為Mij，即而Aij=(-1)i+jMij稱(chēng)為元素aij的代數(shù)余子式。2.行列式的性質(zhì)性質(zhì)1：|A|=|AT|，即行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的值相等。性質(zhì)2：兩行(列)互換位置，行列式的值變號(hào)。推論:兩行(列)相同，行列式的值為零。性質(zhì)3：某行(列)的公因子k可提到行列式符號(hào)外。推論:某行(列)元素全為零，行列式的值為零。性質(zhì)4:兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例，行列式的值為零。性質(zhì)5:倘若某行(列)的所有元素都是兩個(gè)數(shù)的和，則該行列式可以寫(xiě)成兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的這一行(列)的元素分離為對(duì)應(yīng)元素的兩個(gè)加數(shù)之一，其余各行(列)的元素與原行列式相同。性質(zhì)6:某行(列)各元素的k倍加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上,行列式的值不變。3.常用的結(jié)論(1)即上（下）三角行列式等于其對(duì)角線上元素的乘積。(2)(3)設(shè)A是n階方陣，則｜kA|=kn|A|。(4)設(shè)A,B都是n階方陣，則|AB|=|A||B|。由該公式可推得｜Ak｜=｜A｜k，及|AB|=|BA|。注重：|A+B|≠|(zhì)A||B|。(5)設(shè)A=(aij)nxn為aij的代數(shù)余子式，則其中稱(chēng)為按行展開(kāi)公式，按列展開(kāi)公式效果同上。(6)范德蒙行列式【例1-126】設(shè)其中，則解：從D1中每行提一個(gè)公因子3可得D2，故D1=3nD2，故挑選C【例1-127】設(shè)行列式Aij表示行列式元素aij的代數(shù)余子式，則A13+4A33+A43等于。A.-2B.2C.-1D.1解：故挑選A。【例1-128】設(shè)a1,a2,a3是三維列向量，|A|=|a1,a2,a3|則與|A|相等的是()。解:將第一列的-1倍加到第二列、第三列，再將第二列的-1倍加到第三列，，故選D?！纠?-129】設(shè)A是一個(gè)n階方陣，已知｜A｜=2，則丨-2A｜=()。解:由行列式的性質(zhì)：｜kA｜=kn|A|知故選B?！纠?-130】設(shè)A和B都是n階方陣，已知|A|=2,|B|=3，則|BA-1|=()。A.2/3B.3/2C.6D.5解:,故選B?！纠?-131】設(shè)A為n階方陣，且|A|=a≠0則|A*|=()。A.aB.1/aC.an-1D.an解：，故挑選C。1.6.2矩陣1.矩陣的概念(1)定義:m×n個(gè)數(shù)排成的m行n列的表格。稱(chēng)為是一個(gè)m×n矩陣，簡(jiǎn)記為A=(aij)m×n。數(shù)aij稱(chēng)為矩陣A的第i行第j列元素。當(dāng)m=n時(shí)稱(chēng)A為n階方陣，稱(chēng)-A=(-aij)m×n為A的負(fù)矩陣。(2)矩陣的相等。同型矩陣:兩個(gè)矩陣A=(aij)m×n,B=(bij)s×t，倘若m=s,n=t,則稱(chēng)A與B是同型矩陣。矩陣相等:兩個(gè)同型矩陣A=(aij)m×n,B=(bij)s×t的對(duì)應(yīng)元素都相等，即aij=bij(i=l，2，…，n)，則稱(chēng)A與B相等,記為A=B。2.矩陣的運(yùn)算(1)矩陣線性運(yùn)算及運(yùn)算邏輯。1)設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)m×n，則A與B的和A+B=(aij+bij)m×n。2)設(shè)A=(aij)m×n,k是一個(gè)常數(shù)，數(shù)k與A的數(shù)乘kA=(kaij)m×n。3)運(yùn)算邏輯A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C),A+0=A,A+(-A)=0，k(lA)=(kl)A,(K+l)A=kA+lA,

k(A+B)=kA+kB,1A=A,0A=0,(-1)A=-A.(2)矩陣乘法及運(yùn)算邏輯。1)定義:設(shè)A=(aij)m×k，B=(bij)k×n，A與B的乘積AB=(cij)m×n，其中2)乘法運(yùn)算邏輯：3)方陣的冪及運(yùn)算邏輯:A為n階方陣，稱(chēng)為A的n次冪，且有(3)轉(zhuǎn)置矩陣及性質(zhì)。1)設(shè)A=(aij)m×n,A的轉(zhuǎn)置矩陣AT=(aji)n×m。2)性質(zhì)(4)方陣的行列式。1)由n階方陣A=(aij)m×n,的元素構(gòu)成的行列式稱(chēng)為方陣A的行列式，記為|A|或detA。2)性質(zhì):設(shè)A，B都是n階方陣，則(5)矩陣運(yùn)算要重點(diǎn)注重的兩點(diǎn)。1)矩陣乘法不滿(mǎn)意交換律，即AB≠BA，由此造成以下式子不成立2)矩陣運(yùn)算不滿(mǎn)意消去律，即由AB=AC,且A≠0不能推出B=C。惟獨(dú)當(dāng)方陣A可逆時(shí)，該結(jié)論才干成立，由此造成以下結(jié)論不成立。①由AB=0，且A≠0不能推出B=0。②由A2=A，不能推出A=E或A=0，當(dāng)且僅當(dāng)方陣A可逆時(shí)有A=E;當(dāng)且僅當(dāng)方陣A-E可逆時(shí)有A=0。③由A2=0不能推出A=0，當(dāng)A為對(duì)稱(chēng)陣(AT=A)時(shí),命題才成立。3.幾類(lèi)異常矩陣(1)零矩陣:元素都是0的矩陣稱(chēng)為零矩陣，記為0。(2)行(列)矩陣:A=(a11，a12…a1n)稱(chēng)為行矩陣，常稱(chēng)為行向量;稱(chēng)為列矩陣，常稱(chēng)為列向量。(3)單位矩陣：(4)對(duì)角矩陣：數(shù)量矩陣(5)上（下）三角矩陣:設(shè)A=(aij)n×n，倘若A滿(mǎn)意aij=0(i>j)，即則稱(chēng)A為上三角矩陣。倘若A滿(mǎn)意aij=0(i<j)，則稱(chēng)A為下三角矩陣。(6)對(duì)稱(chēng)矩形：，倘若A滿(mǎn)意AT=A，即aij=aji(I,j=1,2,…n),則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣。(7)反駁稱(chēng)矩陣：，倘若A滿(mǎn)意AT=A，即aij=-aji(I,j=1,2,…n),則稱(chēng)A為反駁稱(chēng)矩陣。(8)非神奇矩陣:設(shè)A為n階方陣，倘若|A|≠0，則稱(chēng)A為非神奇矩陣;倘若|A|=0則稱(chēng)A為神奇矩陣。(9)正交矩陣:設(shè)A為n階方陣，倘若ATA=AAT=E,則稱(chēng)A為正交矩陣。4.矩陣的初等變換(1)初等變換。對(duì)矩陣舉行的以下三種變換:①交換兩行（列）；②以數(shù)k(≠0)乘某一行(列）的所有元素;③某一行(列）的所有元素加上另一行(列）對(duì)應(yīng)元素的k倍，稱(chēng)為矩陣的初等行(列）變換。初等行(列）變換統(tǒng)稱(chēng)為初等變換。(2)初等矩陣。由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣，共3類(lèi)：1) E(i，j)——交換E的i,j行(列）所得的初等矩陣;用E(i,J)左（右）乘A，相當(dāng)于將A的第i行(列)和第j行（列）交換。2) E[i(k)]——E的第i行（列）乘數(shù)k(≠0)所得的初等矩陣;用E[i(k)]左（右）乘A相當(dāng)于將A的第i行(列）乘以數(shù)k。3)E[i,j(k)]——將E的i行(j列)加上j行(i列)的k倍所得的初等矩陣;用E[i,j(k)]左(右)乘A相當(dāng)于在A的i行(j列)上加上j行(i列)的k倍。注重：初等矩陣是可逆的，且逆矩陣是同類(lèi)型的初等矩陣。 (3)等價(jià)矩陣。倘若矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣B，則稱(chēng)矩陣A與B等價(jià)，記為A~B。1) A~B?A與B同型且有相同的秩。2)A~B?存在可逆矩陣P，Q，使PAQ=B。3)可逆陣與單位陣等價(jià)。5.可逆矩陣與逆矩陣(1)陪同矩陣及性質(zhì)。1)定義:設(shè)A=(aij)n×n，由A的行列式｜A｜的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣稱(chēng)為A的陪同矩陣，記為A*。注重：2階方陣的陪同矩陣具有“主對(duì)角線互換，副對(duì)角線變號(hào)”的邏輯。 2)陪同矩陣的性質(zhì)①(kA)*=kn-1A*,(AB)*=B*A*,(Ak)*=(A*)k,(A-1)*=(A*)-1。②|A*|=|A|n-1，（A*)*=|A|n-2A。③AA*=A*A=|A|E(無(wú)論A是否可逆，該式總成立）。④A*=|A|A-1(當(dāng)A可逆時(shí)，常用該式推證A*的有關(guān)結(jié)果）。⑤(該式用于求陪同矩陣的逆矩陣），(A*)-1=(A*)*。⑥(2)可逆矩陣與逆矩陣。1)定義:設(shè)A是n階方陣，倘若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱(chēng)A是可逆矩陣，B是A的逆矩陣。A的逆矩陣唯一，記為A-1。2)逆矩陣的性質(zhì)：①②③注重：(A+B)-1≠A-1+B-1。3)矩陣可逆的充足須要條件:定理:n階方陣A可逆的充足須要條件為｜A｜≠0,且。其中A*是A的陪同矩陣。4)求逆矩陣的主意:主意一:利用公式，主要用于低階矩陣。主意二:利用初等變換(A:E)——→(E:A-1),初等行變換?！纠?-132】設(shè)A是3階矩陣，矩陣A的第1行的2倍加到第2行，得矩陣B，則以下選項(xiàng)中成立的是。A. B的第1行的-2倍加到第2行得AB. B的第1行的-2倍加到第2列得AC. B的第2行的-2倍加到第1行得AD.B的第2列的-2倍加到第1列得A解：因?yàn)榫仃嘊是將矩陣A的第1行的2倍加到第2行而得到，即矩陣B是由矩陣A經(jīng)過(guò)一次初等行變換而得到，要由矩陣B得到矩陣A，只要對(duì)矩陣B作上述變換的逆變換則可，即將B的第1行的-2倍加到第2行可得A，故應(yīng)選A?！纠?-133】，則解：故選B.【例1-134】設(shè)A,B均為n階矩陣,下列結(jié)論中準(zhǔn)確的是(）。A.若A，B均可逆，則A+B可逆 B.若A，B均可逆，則AB可逆C.若A+B可逆，則A-B可逆 D.若A+B可逆，則均可逆解:若A,B均可逆，|AB|=|A||B|≠0，故AB可逆，應(yīng)選B?！纠?-135】設(shè)A，B，C均為n階方陣，且ABC=E,則()。A.ACB=E B.CBA=E C.BAC=E D.BCA二E解：由ABC=E知，A，B，C均可逆，兩邊左乘A-1,得BC=A-1，再兩邊右乘A，可得BCA=E。事實(shí)上，只要將A，B，C三矩陣輪換，結(jié)論都成立，A、B、C中浮上了交換，結(jié)論不一定成立，故選D。6.矩陣的秩(1)有關(guān)概念。1)矩陣的子式:從m×n矩陣A種任取k行k列（k≤min{m,n}),由位于這些行列交錯(cuò)處的k2個(gè)元素按原順序構(gòu)成的k階行列式稱(chēng)為A的k階子式。2)矩陣的秩:矩陣A的非零子式的最高階數(shù)稱(chēng)為A的秩，記為r(A)或R(A)或rank(A)。零矩陣的秩規(guī)定為0。3)滿(mǎn)秩矩陣:設(shè)A是m×n矩陣，若r(A)=m，稱(chēng)A為行滿(mǎn)秩矩陣;若r(A)=n，稱(chēng)A為列滿(mǎn)秩矩陣;若A是n階方陣，且r(A)=n稱(chēng)A為滿(mǎn)秩矩陣(或非退化矩陣）；若r(A)<n，稱(chēng)A為降秩矩陣(或退化矩陣）。(2)求矩陣秩的主意:用初等行(列）變換把矩陣A變成行階梯形，這個(gè)階梯形矩陣中非零的行(列）的個(gè)數(shù)就是原矩陣A的秩。(3)與矩陣的秩有關(guān)的重要結(jié)論。證實(shí)（3）：設(shè)r(A)=r,r(B)=s,且矩陣A和B的列向量分離為，分離對(duì)應(yīng)一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，二者分離可以線性表示，從而可以由線性表示，證畢。證實(shí)（8）：因?yàn)锳*A=A,所以A(A-E)=0;故A-E的每個(gè)列向量都是方程Ax=0的解,因?yàn)锳-E中的列向量未必構(gòu)成解空間的基,所以R(A)+R(A-E)≤n；

又由R(A)+R(B)≥R(A+B)；可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)≥R(A+E-A)=R(E)=n;所以R(A)+R(A-E)=n.【例1-136】已知矩陣,則A的秩r(A)=。A.0 B.1 C.2D.3解:｜A｜=0，但A中有二階子式不為零，r(A)=2，應(yīng)選C。【例1-137】設(shè),其中ai≠0,bi≠0(1，2，…，n)，則矩陣A的秩等于。A. n B.0 C.1D.2解：顯然，矩陣A的所有行都與第一行成比例，故秩等于1，應(yīng)選C?！纠?-138】設(shè)，則秩A.1B.0C.1D.與a在取值有關(guān)解：是滿(mǎn)秩矩陣，顯然A的秩為2，故r(AB-A)=2，應(yīng)選B?！纠?-139】設(shè)A，B均為n階非零矩陣，且AB=0,則R(A),R(B)滿(mǎn)意。A.必有一個(gè)等于0 B.都小于nC.一個(gè)小于n，一個(gè)等于n D.都等于n解:由AB=0，有R(A)+R(B)≤n;又A，B均為非零矩陣，R(A)>0,R(B)>0，故R(A),R(B)都小于n，應(yīng)選B。【例1-140】設(shè)3階矩陣，已知，則a=()A.-2 B.-1 C.1D.2解：由A的陪同矩陣的秩為1知A的行列式為零，由得a=l，a=-2。當(dāng)a=l時(shí)，A的二階子式全為零,其陪同矩陣的秩不可能為1，故a=-2，應(yīng)選A。1.6.3n維向量的線性相關(guān)性1.基本概念(1)n維向量定義:數(shù)域F上的n個(gè)數(shù)a1，a2，…，an構(gòu)成的有序數(shù)組（a1,,a2，…,an)T,稱(chēng)為數(shù)域F上的一個(gè)n維向量，其中ai稱(chēng)為第i個(gè)分量，記作（a1,,a2，…,an)T。(2)向量組的線性組合由s個(gè)n維向量a1，a2，…，as及s個(gè)數(shù)k1，k2，…，ks構(gòu)成的向量k1a1，…，ksas稱(chēng)為向量組a1，a2，…，as的一個(gè)線性組合，數(shù)k1，k2，…，ks稱(chēng)為組合系數(shù)。(3)—個(gè)向量由一個(gè)向量組線性表出倘若n維向量β能表示成向量組合,數(shù)a1，a2，…，as的線性組合，即β=k1a1+…+ksas則稱(chēng)β可以由a1，a2，…，as線性表示，或稱(chēng)β是k1，k2，…，ks的線性組合。注重：（1)零向量是任一組向量的線性組合。 (2)向量組a1，a2，…，as中的任一向量aj(1≤j≤s)都是此向量組的線性組合。(3)任一n維向量a=(a1，a2，…，as)T都是n維基本單位向量組的線性組合，且(4)向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)對(duì)于n維向量組a1，a2，…，as，倘若存在一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks，使得k1a1+…+ksas=0，則稱(chēng)a1，a2，…，as,線性相關(guān);倘若僅當(dāng)k1=k2=…ks=0時(shí)，才有k1a1+…+ksas=0，或者說(shuō)，只要k1，k2，…，ks不全為零，必有k1a1+…+ksas≠0，則稱(chēng)a1，a2，…，as線性無(wú)關(guān)。注重：(1)單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)。(2)兩個(gè)向量線性相關(guān)?對(duì)應(yīng)分量成比例。(3)含零向量的向量組一定線性相關(guān)。(4)基本單位向量組線性無(wú)關(guān)。(5)向量組的極大無(wú)關(guān)組設(shè)有向量組A，倘若A中存在r個(gè)向量αl，α2，…，αr，滿(mǎn)意(I)αl，α2，…，αr線性無(wú)關(guān)；(II)A中任一個(gè)向量都可由αl，α2，…，αr線性表示，則稱(chēng)叫αl，α2，…，αr乂是向量組A的極大無(wú)關(guān)組。普通一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組不是唯一的，但極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)r是固定的，并且向量組A中隨意r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都可構(gòu)成一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。(6)向量組的秩向量組A的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)r就是該向量組的秩。一個(gè)矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。2.重要結(jié)論(1)向量組αl，α2，…，αm(m≥2)線性相關(guān)的充足須要條件是其中至少有一個(gè)向量可由其余m-1個(gè)向量線性表示。(2)倘若向量組αl，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)，而向量組αl，α2，…，αm，β線性相關(guān)，則β可由αl，α2，…，αm線性表示，且表示式唯一。(3)倘若向量組αl，α2，…，αs可由向量組，βl，β2，…，βt線性表出，而且s>t則αl，α2，…，αs線性相關(guān)。(4)部分相關(guān)，整體相關(guān);整體無(wú)關(guān)，部分無(wú)關(guān)。(5)線性無(wú)關(guān)的向量組將分量延伸后仍線性無(wú)關(guān)。(6)向量組所含向量的個(gè)數(shù)大于維數(shù)則一定線性相關(guān)。(7)倘若向量組αl，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)，且它可由βl，β2，…，βt線性表示，則s≤t。3.線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的判別主意1:設(shè)αl，α2，…，αm是一個(gè)n維列向量組，構(gòu)造n×m矩陣A=(αl，α2，…，αm),向量組αl，α2，…，αm線性相關(guān)等價(jià)于R(A)<m,向量組αl，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)等價(jià)于R(A)=m。異常地，當(dāng)m=n時(shí)，向量組αl，α2，…，αm線性相關(guān)等價(jià)于|A|=0；主意2:假設(shè)有數(shù)kl，k2，…，ks，使得klal+k2a2+…+ksas=0按照已知條件判斷，若kl，k2，…，ks至少有一個(gè)不為零，則αl，α2，…，αs線性相關(guān)；若kl，k2，…，ks全為零,則αl，α2，…，αs線性無(wú)關(guān)?！纠?-141】設(shè)A為三階方陣且|A|=0，則在A的行向量組中。A.必有一個(gè)行向量為零向量B.必存在兩個(gè)行向量，其對(duì)應(yīng)分量成比例C.任一個(gè)行向量都是其他兩個(gè)行向量的線性組合D.至少有一個(gè)行向量是其他兩個(gè)行向量的線性組合解：由|A|=0知A的行向量組線性相關(guān),至少有一個(gè)行向量是其他兩個(gè)行向量的線性組合,故選D?！纠?-142】n維向量組叫αl，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)的充足條件()。A.αl，α2，…，αm都不是零向量B.αl，α2，…，αm中隨意兩個(gè)向量都不成比例C.αl，α2，…，αm中任一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示D.m<n解:若向量組αl，α2，…，αm線性相關(guān)，則其中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示;反之，αl，α2，…，αm中任一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示，則該向量組線性無(wú)關(guān)。故選C。【例1143】設(shè)α，β，γ，δ是n維向量，已知α，β線性無(wú)關(guān)，γ可以由α，β線性表示，δ不能由α，β線性表示，則以下選項(xiàng)準(zhǔn)確的是。A.α，β，γ，δ線性無(wú)關(guān) B.α，β，γ線性無(wú)關(guān)C. α，β，δ線性相關(guān) D.α，β，δ線性無(wú)關(guān)解:γ可以由α，β線性表示，α，β，γ和α，β，γ，δ都是線性相關(guān)，因?yàn)棣?，β線性無(wú)關(guān)，若α，β，δ線性相關(guān)，則δ一定能由α，β線性表示,矛盾，故應(yīng)選D?！纠?-144】已知向量組，則該向量組在一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是。A.α2，α4 B.α3，α4 C.α1，α2D.α2，α3解：顯然α1，α2對(duì)應(yīng)坐標(biāo)不成比例，故線性無(wú)關(guān)。又，所以α1，α2是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，應(yīng)選C。1.6.4線性方程組1.線性方程組的概念(1)含有n個(gè)未知數(shù)x1，x2，…，xn的m個(gè)一次方程的方程組63稱(chēng)為n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組，簡(jiǎn)稱(chēng)線性方程組。倘若b1，b2，…，bm不全為零，則為非齊次線性方程組;倘若b1=b2=…=bm=0，即則稱(chēng)為齊次線性方程組。(2)矩陣形式:記則方程組(1-137)和方程組(1-138)可分離表示為Ax=b和Ax=0，并稱(chēng)A為方程組的系數(shù)矩陣，為方程組（1-137)的增廣矩陣。(3)向量形式：記則方程組（1-137)可表示為x1α1+x2α2+...+xnαn=b(方程組得向量形式）。注重：非齊次線性方程組有解的充足須要條件是其右端向量可由系數(shù)矩陣的列向量組線性表示。方程組（1-138)可表示為x1α1+x2α2+...+xnαn=0。注重：齊次線性方程組有解的充足須要條件是其系數(shù)矩陣的列向量組線性相關(guān)。2.線性方程組解的判定條件(1)齊次線性方程組Ax=0有非零解(即有無(wú)窮多解）的充要條件是：1) r(A)<n;[惟獨(dú)零解的充要條件是r(A)=n]。2)系數(shù)矩陣的列向量組線性相關(guān)。3)當(dāng)A為方陣時(shí)，齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是|A|=0。(2)非齊次線性方程組：1) Ax=b有解的充要條件是,當(dāng)時(shí)，Ax=b有無(wú)窮多解，當(dāng)時(shí),Ax=b有唯一解。2)非齊次線性方程組Ax=b有解的充要條件是b可由α1，α2，…，αn線性表示;若α1，α2，…，αn線性無(wú)關(guān)，有唯一解;若α1，α2，…，αn線性相關(guān)，有無(wú)窮多解。當(dāng)A為方陣時(shí)，即m=n,Ax=b有唯一解的充要條件為|A|≠0(即A可逆），解為x=A-1b。3)Cramer法則：當(dāng)A為方陣時(shí)，若|A|≠0，則線性方程組Ax=b有唯一解，其中3.線性方程組解的性質(zhì)(1)若差均為齊次線性方程組Ax=0的解（向量），則依然是Ax=0的解，即齊次線性方程組解的全體構(gòu)成線性空間。(2)若均為非齊次線性方程組ax=b的解（向量），則為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組如=0的解。(3)若為非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)解,為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的解,則是非齊次線性方程組Ax=b的解。(4)若是Ax=b的解，k1，k2,…,ks為常數(shù)，且k1+k2+…+ks=1，則,仍是Ax=b的解4.線性方程組解的結(jié)構(gòu)(1)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:若是齊次線性方程組Ax=0的線性無(wú)關(guān)的解（向量），并且Ax=0的任一解向量均可被線性表出，則稱(chēng)在構(gòu)成Ax=0的一組基礎(chǔ)解系。注重：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一，但基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)是固定的。(2)倘若齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣的秩為r，則它的基礎(chǔ)解系含n個(gè)解向量，且通解為，其中為Ax=0的一組基礎(chǔ)解系，為常數(shù)。注重：要求Ax=0的通解，只要求出一組基礎(chǔ)解系則可。(3)非齊次線性方程組Ax =b的任一解，均可表示為Ax=b的一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的某個(gè)解之和。(4)若Ax=b有無(wú)窮多解，則其通解為其中為Ax=0的一組基礎(chǔ)解系為隨意常數(shù)。5.線性方程組求解的主意(1)解齊次線性方程組Ax=0的主意：對(duì)系數(shù)矩陣A作初等行變換，化成行最簡(jiǎn)形，得到同解方程組，對(duì)自由未知量取隨意值，就可得到所有解。將同解方程組寫(xiě)成向量形式,還可得到基礎(chǔ)解系。注重：倘若齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣的秩為r，則它有n-r個(gè)自由未知量。(2)解非齊次線性方程組Ax=b的主意：對(duì)增廣矩陣作初等行變換，化成行最簡(jiǎn)形，得到同解方程組，對(duì)自由未知量取隨意值，就可得到所有解。將同解方程組寫(xiě)成向量形式，還可得到對(duì)應(yīng)齊次的基礎(chǔ)解系和非齊次的一個(gè)特解?！纠?-145】設(shè)A為m×n矩陣，齊次線性方程組Ax=0僅有零解的充足須要條件是。A.A的行向量組線性無(wú)關(guān)B.A的行向量組線性相關(guān)C.A的列向量組線性相關(guān) D.A的列向量組線性無(wú)關(guān)解:齊次線性方程組Ax=0僅有零解的充足須要條件是R(A)=n,而R(A)=n等價(jià)于A的列向量組線性無(wú)關(guān)，故選D。[例1146】已知是齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則此方程組的基礎(chǔ)解系還可選用。的等價(jià)向量組等秩向量組解：A、B中向量組不是線性無(wú)關(guān)的，故不可能是基礎(chǔ)解系；D中與等秩向量組不一定是方程組Ax=0的解；與基礎(chǔ)解系等價(jià)的向量組一定是基礎(chǔ)解系，故選C?！纠?-147】設(shè)A為矩陣，，，都是齊次線性方程組Ax=0的解，則矩陣A為()。解：因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，故R(A)=1,顯然選項(xiàng)A中的矩陣的秩為3，選項(xiàng)B和C中矩陣秩都為2，故應(yīng)選D?！纠?-148】設(shè)B是3階非零矩陣，已知B的每一列都是方程組的解,則t等于。A.0B.2C.-1D.1解：由條件知，齊次方程組有非零解,故系數(shù)行列式等于零，，得t=1，故選D?！纠?-149】設(shè)α1，α2，α3是四元非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)解向量，且r(A)=3，α1=(l，2，3，4)T,α2+α3=(0，1，2，3)T，C表示隨意常數(shù),則線性方程組Ax=b的通解為。解：因?yàn)閞(A)=3，故線性方程組Ax=b解空間的維數(shù)為4-r(A)=1,又由Aα1=b,Aα2=b,Aα3=b知。于是是Ax=0的解，故按照Ax=b的解的結(jié)構(gòu)理論知，Ax=b的通解為C選項(xiàng)。【例1-150】設(shè)β1、β2是線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解α1，α2是導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系名k1、k2是隨意常數(shù)，則Ax=b的通解是。解：Ax=b的通解是其導(dǎo)出組Ax=0的通解加上Ax=b的一個(gè)特解而得到，α1和(α1-α2)是Ax=0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，構(gòu)成它的基礎(chǔ)解系仍是Ax=b的特解，故是Ax=b的通解，應(yīng)選C。1.6.5矩陣的特征值與特征向量1.矩陣的特征值與特征向量(1)定義:設(shè)A是n階方陣，倘若存在數(shù)λ和n維非零向量x，使得Ax=λx (1-139)成立,則稱(chēng)λ為A的特征值，x是A對(duì)應(yīng)特征值λ的特征向量。因?yàn)槭剑?-139)等價(jià)于(λE-A)x=0 (1-140)而式（1-140)有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式|λE-A|=0，稱(chēng)行列式|λE-A|為A的特征多項(xiàng)式，|λE-A|=0稱(chēng)為A的特征方程,它的根就是的A的特征值;稱(chēng)矩陣入|λE–A|為A的特征矩陣，以它為系數(shù)矩陣的方程組(λE-A)x=0—定有非零解，其解就是A對(duì)應(yīng)特征值λ的特征向量。注重：(1)方陣A的特征值可能是實(shí)數(shù)，也可能是復(fù)數(shù)。(2)倘若x是A對(duì)應(yīng)特征值A(chǔ)的特征向量，則x—定是非零向量，且對(duì)隨意非零k≠0,常數(shù)kx仍是A對(duì)應(yīng)特征值λ的特征向量。(3)倘若x1，x2是A對(duì)應(yīng)特征值λ的特征向量，且當(dāng)k1x1+k2x2=0時(shí)，k1x1+k2x2仍是A對(duì)應(yīng)特征值λ的特征向量。 (4)倘若x1，x2是A對(duì)應(yīng)于不同特征值特征向量，則x1，x2不是A的特征向量。(2)特征值與特征向量的求法。1)求特征方程|λE-A|=0的根，得A的特征值。2)將每一個(gè)特征值λi代入方程組(λE-A)=0,求解方程組(λiE-A)x=0,得對(duì)應(yīng)特征向量。注重：若|A|=0，則λ=0為A的特征值，且Ax=0的基礎(chǔ)解系為對(duì)應(yīng)于λ=0的特征向量。(3)重要結(jié)論。1)設(shè)λ為A的特征值，則矩陣分離有特征值:kλ，aλ+b,λ2,λm,1/λ,|A|/λ且特征向量相同。2)若λi是A的ri重特征值，A對(duì)應(yīng)特征值λi有si個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則1≤si≤ri。3)倘若λ1，λ2，…，λt(是矩陣A的互不相同的特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量分離是x1，x2,...，xt，則x1，x2,...，xt線性無(wú)關(guān)。4)設(shè)的n個(gè)特征值為λ1，λ2，…，λn,5)若r(A)=1，則的n個(gè)特征值為【例1-151】可逆矩陣A與矩陣有相同的特征值。A.AT B.A-1 C.A2 D.A+E解：因?yàn)?，故A與AT有相同的特征值，故選A?！纠?-152】已知A=2是三階矩陣A的一個(gè)特征值，α1,α2,是A的屬于λ=2的特征向量。若α1=(1,2,0)T,α2=(1,0,1)T,向量β=(-1,2,-2)T,則Aβ=()。A.(2,2,1)T B.(-1,2,-2)TC.(-2,4,-4)TD.(-2,-4,4)解:，故應(yīng)選C?！纠?-153】設(shè)A是3階矩陣，α1=(1，0，1)T,α2=(1，1，0)T是A的屬于特征值1的特征向量,α3=(0,1，2)T是A的屬于特征值-1的特征向量，則。A.α1-α2是A的屬于特征值1的特征向量B.α1-α3是A的屬于特征值1的特征向量C.α1-α3是A的屬于特征值2的特征向量D. α1+α2+α3是A的屬于特征值1的特征向量解:屬于同一特征值的特征向量的線性組合仍是該特征值的特征向量，故應(yīng)選A?！纠?-154]設(shè)λ1，λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值ξ，η是A的分離屬于λ1，λ2的特征向量，則以下選項(xiàng)準(zhǔn)確的是。A.對(duì)隨意的k1≠0和k2≠0，都是A的特征向量B.存在常數(shù)k1≠0和k2≠0，使得是A的特征向量C.對(duì)隨意的k1≠0和k2≠0，都不是A的特征向量D.僅當(dāng)k1=k2=0時(shí)是A的特征向量解：因?yàn)棣?，λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，故ξ，η線性無(wú)關(guān)。若是A的特征向量，則應(yīng)存在數(shù)λ，使,,由ξ，η線性無(wú)關(guān)，有λ1=λ2=λ，矛盾，故應(yīng)選C。2.相似矩陣及矩陣的對(duì)角化(1)相似矩陣的概念與性質(zhì)。1)定義：設(shè)A，B為兩個(gè)n階方陣，倘若存在一個(gè)可逆矩陣P使得P-1AP=B成立，則稱(chēng)矩陣A與B相似，記為A~B。2)性質(zhì):倘若A~B，則有k為正整數(shù)；從而A，B有相同的特征值；|A|=|B|，從而A，B同時(shí)可逆或不可逆；A與B有相同的秩。注重：|λE-A|=|λE-B|，A與B不一定相似。(2)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)。1)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值都是實(shí)數(shù)，特征向量為實(shí)向量。2)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A屬于不同特征值的特征向量正交。3)若λi是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的ri重特征值，則A對(duì)應(yīng)特征值λi恰有ri個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，或，從而A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，與對(duì)角陣相似，且存在正交矩陣P使得，其中為A的特征值。(3)矩陣可相似對(duì)角化的充要條件。1)設(shè)A是n階方陣，若A與對(duì)角陣Λ相似，則稱(chēng)A可以相似對(duì)角化，并稱(chēng)Λ是A的相似標(biāo)準(zhǔn)型。2) A可相似對(duì)角化充要條件：①A可相似對(duì)角化?A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。)A可相似對(duì)角化?對(duì)A任一ri重特征值，恰有n-ri個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量與之對(duì)應(yīng)，或3)若A有n個(gè)互不相同的特征值，則A可相似對(duì)角化