【Syx】余弦定理、正弦定理第2課時(shí)正弦定理 高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第二冊(cè)）

1第六章《平面向量及其應(yīng)用》人教A版2019必修第二冊(cè)6.4.3第2課時(shí)正弦定理1.掌握正弦定理的概念與公式，理解正弦定理的推導(dǎo)過程，學(xué)會(huì)正弦定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用；2.會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題，達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理核心素養(yǎng)水平一的要求.3.通過觀察，討論，概括總結(jié)等活動(dòng)，提高推理論證、運(yùn)算求解等能力，感受數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象，空間想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。學(xué)習(xí)目標(biāo)小明的家坐落在河岸的一側(cè)A處，河的對(duì)岸B處有一座電視塔，現(xiàn)在小明想測(cè)量他的家與電視塔的距離。但是他沒有辦法渡河，他的手邊只有測(cè)角儀與皮尺，那么他有辦法利用手邊的工具測(cè)得A與B之間的距離么？問題1：（1）在測(cè)量之前應(yīng)該借助什么圖形來研究？

（2）在構(gòu)造出的三角形中，哪些條件是已知條件？環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題探究

余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角、已知三邊直接解三角形的公式．如果已知兩角和一邊，是否也有相應(yīng)的直接解三角形的公式呢？

在初中，我們得到了三角形中等邊對(duì)等角的結(jié)論.實(shí)際上，三角形中還有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系.從量化的角度看，可以將這個(gè)邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為∶在△ABC中，設(shè)A的對(duì)邊為a，B的對(duì)邊為b，求A，B，a，b之間的定量關(guān)系.如果得出了這個(gè)定量關(guān)系，那么就可以直接解決“在△ABC中，已知A，B，a，求b”的問題.

我們從熟悉的直角三角形的邊、角關(guān)系的分析入手.根據(jù)銳角三角函數(shù)，在Rt△ABC中（如圖6.4-9），有環(huán)節(jié)二：觀察分析，感知概念

對(duì)銳角三角形和鈍角三角形，以上關(guān)系是否任然成立？因?yàn)樯婕叭切蔚倪?、角關(guān)系，所以任然采用向量的方法來研究.

我們希望獲得△ABC中的邊a，b，c與它們所對(duì)角A，B，C的正弦之間的關(guān)系式．在向量運(yùn)算中，兩個(gè)向量的數(shù)量積與長(zhǎng)度、角度有關(guān)，這就啟示我們可以用向量的數(shù)量積來探究．

在直角三角形中，有

向量的數(shù)量積中出現(xiàn)的是角的余弦,而我們需要的是角的正弦，如何實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？

由誘導(dǎo)公式可知，我們可以通過構(gòu)造角之間的互余關(guān)系，把邊與角的余弦關(guān)系轉(zhuǎn)化為正弦關(guān)系.

下面先研究銳角三角形的情形.

如圖6.4-10，在銳角三角形ABC中，過點(diǎn)A作與垂直的單位向量，則與的夾角為，與的夾角為.BAC環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念

當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)A為鈍角.

如圖6.4-11，過點(diǎn)A作與垂直的單位向量，則與的夾角為，與的夾角為.

如圖，在△ABC中，有所以

同理可得正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)的角的正弦的比相等，即問題：正弦定理有幾個(gè)等式，每個(gè)等式中有幾個(gè)元素？問題：利用正弦定理可以解決三角形的哪類問題？

正弦定理中有三個(gè)等式，每個(gè)等式中有四個(gè)元素（兩角及其對(duì)邊）.

利用正弦定理，我們可以解已知“兩角和一邊”和“兩邊和其中一邊的對(duì)角”的三角形.環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念【解析】由三角形內(nèi)角和定理可得，C=180°-(A+B)=120°

【例7】在△ABC中，已知A=15°，B=45°，

，解這個(gè)三角形．由正弦定理可得，環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，鞏固運(yùn)用解“已知兩角及和一邊”的三角形（1）已知兩角及其中一角的對(duì)邊，如A，B，a.①由A＋B＋C＝180°，求出C；②根據(jù)正弦定理

和

，分別求出邊b，c.（2）已知兩角及另外一角的對(duì)邊，如A，B，c.①由A＋B＋C＝180°，求出C；②根據(jù)正弦定理

和

，分別求出邊a，b.分析：這是已知三角形兩邊及其一邊的對(duì)角求解三角形的問題，可以利用正弦定理．為什么角C有兩個(gè)值？已知三角形中的三個(gè)元素解三角形：（1）已知兩邊及其夾角（SAS）；（2）已知三條邊（SSS）；（3）已知兩邊及一邊對(duì)角（SSA）；（4）已知兩角和一邊；注：已知兩邊或三邊的用余弦定理求解；

已知兩角的用正弦定理求解.---

用余弦定理求解---

用余弦定理求解---

用正、余弦定理都可解---

用正弦定理求解AABBCCaabbABCabAB1B2CaabABCba=bsinAABCba<bsinA若A為銳角時(shí):若A為直角或鈍角時(shí):考試中解答題不能直接用,需要給出證明ABCabcABCabcDABCabcD證法四：圖形證明2.正弦定理的外在形式是公式，它由三個(gè)等式組成即

每個(gè)等式都表示三角形的兩個(gè)角和它們的對(duì)邊的關(guān)系.1.三角形的三個(gè)內(nèi)角及其對(duì)邊叫做三角形的元素，已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形.環(huán)節(jié)六:歸納總結(jié)，反思提升3.利用正弦定理可以解決兩類解三角形的問題：一類是已知兩角和一邊解三角形；另一類是已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形.對(duì)于第二類問題，要注意確定解的個(gè)數(shù).已知三角形中的三個(gè)元素解三角形：（1）已知兩邊及其夾角（SAS）；（2）已知三條邊（SSS）；（3）已知兩邊及一邊對(duì)角（SSA）