福建省福州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1福建省福州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，集合，則集合（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D.2.“”是“”的（）A.充分必要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由，可得或，所以是的充分不必要條件.故選：C.3.已知正數(shù)滿足，則當(dāng)取得最小值時(shí)()A. B. C.5 D.〖答案〗B〖解析〗，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：B.4.下列命題中的真命題是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗B〖解析〗選項(xiàng)A：若，則不成立，即A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由不等式性質(zhì)可知：若，則有，即B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，由，可得，即C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，有成立，但此時(shí)，，由可知，不成立，即D錯(cuò)誤故選：B.5.下列四個(gè)圖形中，不是以為自變量的函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)函數(shù)定義，在定義域內(nèi)，對(duì)于任意，只能有唯一確定的與其對(duì)應(yīng)，ABC滿足要求；D選項(xiàng)，在定義域內(nèi)對(duì)于，有兩個(gè)確定的與其對(duì)應(yīng)，D錯(cuò)誤.故選：D.6.已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.若，，則t的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知：當(dāng)時(shí)，，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且的最小值為；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，令，解得或，因?yàn)椋?，所?故選：D.7.已知，且，函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗（1）時(shí)，①，無(wú)實(shí)數(shù)根；②，有一個(gè)實(shí)數(shù)根；故與題意矛盾，不成立；（2）時(shí)，①若，有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則，解得：，若，無(wú)實(shí)數(shù)根，則；②，在上必有一個(gè)實(shí)數(shù)根；若，即，或，則在上有一個(gè)實(shí)數(shù)根，若，即，則在上無(wú)實(shí)數(shù)根；綜上，的取值范圍是.故選：D.8.中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，此扇形所在圓面中剩余部分面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面為“美觀扇面”.某扇環(huán)玉雕為“美觀扇面”的一部分，其所在扇面半徑，尺寸（單位：）如圖所示，則該玉雕的扇環(huán)面積為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知，，解得，所以該玉雕的扇環(huán)面積為.故選：A．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.正確選項(xiàng)全對(duì)得5分，正確選項(xiàng)不全得2分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分）9.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.若函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程沒(méi)有根，則不等式的解集為RB.不等式在上恒成立的條件是且C.若關(guān)于x的不等式的解集為，則D.不等式的解為〖答案〗AD〖解析〗A：函數(shù)不存在零點(diǎn)，若則不等式解集為，若則不等式解集為解集為空集，A錯(cuò)誤；B：由條件有不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象開口向下，所以，且函數(shù)圖象至多與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，故，B正確；C：當(dāng)時(shí)不等式解集為，顯然不符合題意，當(dāng)時(shí)由二次函數(shù)的性質(zhì)知：，解得，C正確；D：化不等式為分式不等式，解得，D錯(cuò)誤.故選：AD.10.己知冪函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.當(dāng)?shù)膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，為奇函數(shù)C.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，函數(shù)在為減函數(shù)D.函數(shù)的圖象都不經(jīng)過(guò)第四象限〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得：，則，對(duì)于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)?shù)膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有，解得：，則，此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得：，則，此時(shí)函數(shù)在為減函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，由不等式性質(zhì)可得：，所以函數(shù)的圖象都不經(jīng)過(guò)第四象限，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.在上為增函數(shù)B.為偶函數(shù)C.若，則D.若則〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，故，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)得：AC是正確的，B是錯(cuò)誤的；對(duì)D：，根據(jù)基本（均值）不等式得：，由題知等號(hào)取不到，所以，即，故D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法不正確的有（）A.若，則B.若，則C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D.若方程有三個(gè)不同的解，則或〖答案〗AC〖解析〗由，可得，由，得，即可得，解得或，故A不正確，B正確；在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：由函數(shù)圖象可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，故C不正確；由方程有三個(gè)不同的解，可知或，故D正確．故選：AC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)命題，，若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗是假命題，是真命題，，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，，可取到，，.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的最大值是______．〖答案〗8〖解析〗函數(shù)的圖象，如圖所示：關(guān)于的不等式，當(dāng)時(shí)，，由于關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，因此其整數(shù)解為3，又，所以，則，所以實(shí)數(shù)的最大值為8.故〖答案〗為：8.15.已知函數(shù)，則___________.〖答案〗〖解析〗由題意得，，所以.故〖答案〗為：.16.點(diǎn)在角終邊上，則______．〖答案〗〖解析〗，由題設(shè)，并根據(jù)三角函數(shù)定義得，則.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合，，．（1）求；；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）由題意知，，故，或，故.（2）因?yàn)?，故，若，則；若，則，綜合可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為.18.甲、乙兩地相距1000km，貨車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)100（km/h），若貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變成本和固定成本組成，可變成本是速度的平方的倍，固定成本為元.（1）將全程運(yùn)輸成本（元）表示為速度的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，貨車應(yīng)以多大的速度行駛?解：（1）由題意得可變成本為元，固定成本為a元，所用時(shí)間為，則，定義域?yàn)椋?）由（1）得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，貨車以km/h的速度行駛，全程運(yùn)輸成本最??；當(dāng)時(shí)，貨車以100km/h的速度行駛，全程運(yùn)輸成本最?。?9.已知冪函數(shù)滿足.（1）求〖解析〗式；（2）若，求實(shí)數(shù)取值范圍.解：（1）由是冪函數(shù)，可得，解得或；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不滿足；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿足，故.（2）由（1）知，則函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞增，又，所以解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.20.已知函數(shù)．（1）若是偶函數(shù)，求的值；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，故．（2）由題意知在上恒成立，則，又因?yàn)椋?，則，令，則，可得，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即a的取值范圍是．21.生物愛好者甲對(duì)某一水域的某種生物在自然生長(zhǎng)環(huán)境下的總量進(jìn)行監(jiān)測(cè).第一次監(jiān)測(cè)時(shí)的總量為（單位：噸），此時(shí)開始計(jì)時(shí)，時(shí)間用（單位：月）表示.甲經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的監(jiān)測(cè)得到一組如下表的數(shù)據(jù)：月噸為了研究該生物總量與時(shí)間的關(guān)系，甲通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)可以用以下的兩種函數(shù)模型來(lái)表達(dá)與的變化關(guān)系：①；②且.（1）請(qǐng)根據(jù)表中提供的前列數(shù)據(jù)確定第一個(gè)函數(shù)模型的〖解析〗式；（2）根據(jù)第列數(shù)據(jù)，選出其中一個(gè)與監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)差距較小的函數(shù)模型；甲發(fā)現(xiàn)總量由翻一番時(shí)經(jīng)過(guò)了個(gè)月，根據(jù)你選擇的函數(shù)模型，若總量再翻一番時(shí)還需要經(jīng)過(guò)多少個(gè)月？（參考數(shù)據(jù)：，）解：（1）將前列數(shù)據(jù)代入第一個(gè)函數(shù)模型得：，解得：，第一個(gè)函數(shù)模型的〖解析〗式為：.（2）將前列數(shù)據(jù)代入第二個(gè)函數(shù)模型得：，解得：，第二個(gè)函數(shù)模型的〖解析〗式為：；將代入第一個(gè)函數(shù)模型得：；代入第二個(gè)函數(shù)模型得：；將代入第一個(gè)函數(shù)模型得：；代入第二個(gè)函數(shù)模型得：；根據(jù)第列數(shù)據(jù)，第二個(gè)模型與監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)差距較小；總量翻一番時(shí)，，此時(shí)；若總量再翻一番，則，由得：，，，總量再翻一番時(shí)還需要經(jīng)過(guò)個(gè)月.22.已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（1）令，判斷函數(shù)的奇偶性；（2）是否