山西省部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

2023~2024學(xué)年第二學(xué)期高三開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。3．考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4．本卷命題范圍：高考范圍。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．3．“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．“暢通微循環(huán)，未來生活更舒適”．我國開展一刻鐘便民生活圈建設(shè)，推進生活服務(wù)業(yè)“規(guī)范化、連鎖化、便利化、品牌化、特色化、智能化”發(fā)展，以提質(zhì)便民為核心，高質(zhì)量建設(shè)國際消費中心城市，便民商業(yè)體系向高品質(zhì)發(fā)展．某調(diào)研機構(gòu)成立5個調(diào)研小組，就4個社區(qū)的便民生活圈的建設(shè)情況進行調(diào)研，每個調(diào)研小組選擇其中1個社區(qū)，要求調(diào)研活動覆蓋被調(diào)研的社區(qū)，共有派出方案種數(shù)為（）A．120 B．240 C．360 D．4805．已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A．8 B．9 C．16 D．176．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．7．已知圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為直角，半徑為2的扇形，則此圓錐內(nèi)切球的半徑為（）A． B． C． D．8．已知橢圓：的離心率為，左、右焦點分別為，，是上一動點，若點到焦點的最大距離為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)7，8，9，11，10，14，18的平均數(shù)為11B．?dāng)?shù)據(jù)7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位數(shù)為16C．隨機變量，則標(biāo)準(zhǔn)差為2D．設(shè)隨機事件和，已知，，，則10．正方體的棱長為2，是正方形的中心，為線段上一動點，則（）A．B．直線與直線所成角的余弦值為C．不存在點使得平面D．三棱錐的體積為定值11．已知為定義在上的偶函數(shù)且不是常函數(shù)，，，若是奇函數(shù)，則（）A．的圖象關(guān)于對稱B．C．是奇函數(shù)D．與關(guān)于原點對稱三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若函數(shù)的部分圖象如圖，則的圖象的一個對稱中心為________．13．已知，，，則的最小值是________．14．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在的左支上，，，延長交的右支于點，點為雙曲線上任意一點（異于，兩點），則直線與的斜率之積________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本小題滿分13分）記的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，的面積為，且．（1）證明：；（2）求的外接圓的半徑．16．（本小題滿分15分）如圖，已知四邊形為菱形，平面，平面，．（1）證明：平面平面；（2）若平面平面，求的長．17．（本小題滿分15分）2023年9月23日第19屆亞運會在杭州開幕，本屆亞運會共設(shè)40個競賽大項，包括31個奧運項目和9個非奧運項目．為研究不同性別學(xué)生對杭州亞運會項目的了解情況，某學(xué)校進行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件“了解亞運會項目”，“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計，．（1）根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為該校學(xué)生對亞運會項目的了解情況與性別有關(guān)?了解不了解合計男生女生合計（2）現(xiàn)從該校了解亞運會項目的學(xué)生中，采用分層隨機抽樣的方法隨機抽取9名學(xué)生，再從這9名學(xué)生中隨機抽取4人，設(shè)抽取的4人中男生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，18．（本小題滿分17分）如圖，已知拋物線：與點，過點作的兩條切線，切點分別為，．（1）若，求切線的方程；（2）若，求證：直線恒過定點．19．（本小題滿分17分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

2023~2024學(xué)年第二學(xué)期高三開學(xué)質(zhì)量檢測·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細則1．C由可得所以．故選C．2．C因為，所以，．故選C．3．B若兩直線平行，則有且，應(yīng)選B．4．B將這5個調(diào)研小組分成2，1，1，1這4個小組，然后派往4個社區(qū)，所以派出方案種數(shù)為．故選B．5．A設(shè)，則，因為為等比數(shù)列，所以，，，仍成等比數(shù)列．因為，所以所以故．故選A．6．D因為，所以得，所以．故選D．7．D側(cè)面展開圖扇形的弧長為，圓錐底邊的半徑滿足，解得，所以該圓錐軸截面是一個兩腰長為2，底邊長為1的等腰三角形，底邊上的高為，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則，．故選D．8．B由題意知，，所以，，所以，故的方程為，設(shè)，又，，故，，所以．故選B．9．ACD對于A，，即平均數(shù)為11，A正確；對于B，該組數(shù)據(jù)共10個，則，第80百分位數(shù)為，B錯誤；對于C，，方差為4，則標(biāo)準(zhǔn)差為2，C正確；對于D，，D正確．故選ACD．10．ABD對于A項，在中，，是的中點，所以，故A正確；對于B項，設(shè)是的中點，連接，則，所以是異面直線與直線所成角（或其補角），在中，，，所以，故B正確；對于C項，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，由于平面，平面，所以平面，同理可證得平面，由于，，平面，所以平面平面，當(dāng)時，平面，所以平面，即存在點使得平面，故C錯誤；對于D項，，故D正確．故選ABD．11．ABC由題意，得，即，整理，得，所以的圖象關(guān)于對稱，故A正確；又為偶函數(shù)，則，所以，，所以，故B正確；，故C正確；因為，所以與關(guān)于軸對稱，不關(guān)于原點對稱，故D錯誤．故選ABC．12．（答案不唯一）由題圖可知，因為當(dāng)時，，所以．因為，所以，所以．由題圖可知，所以，所以．由題圖可知，當(dāng)時，取得最大值，所以，，解得，．又，所以，所以．令，，解得，，所以圖象的對稱中心為，，當(dāng)時，圖象的一個對稱中心為．13．14由題意知，，，則當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以的最小值是14．14．2依題意，設(shè)雙曲線的半焦距為，則，，因為是的中點，所以，故由得，因為，，所以．在中，在中，所以，則，，所以．15．（1）證明：因為所以 2分所以， 4分整理得，所以． 6分（2）解：由（1）知，又，所以，， 8分由余弦定理，得，所以， 10分由正弦定理，得，所以 13分16．（1）證明：因為平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面 2分因為四邊形為菱形，所以，又平面，平面，所以平面 4分因為，，平面，所以平面平面． 6分（2）解：設(shè)交于點，取中點，連接，所以，底面．以為原點，以，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，設(shè)，則，，，，， 8分所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則令，得； 10分，，設(shè)平面的一個法向量為，則令，得 13分因為平面平面，所以，解得，故的長為1． 15分17．解：（1）因為，，所以對杭州亞運會項目了解的女生為，了解亞運會項目的學(xué)生為， 2分結(jié)合男生和女生各50名，填寫列聯(lián)表為：了解不了解合計男生153550女生302050合計4555100 3分零假設(shè)：該校學(xué)生對杭州亞運會項目的了解情況與性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)依據(jù)的獨立性檢驗，可以推斷成立，即該校學(xué)生對杭州亞運會項目的了解情況與性別無關(guān) 7分（2）由（1）知，采用分層隨機抽樣的方法隨機抽取9名學(xué)生，其中男生人數(shù)為（人）；女生人數(shù)為（人） 8分由題意可得，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3．，，隨機變量的分布列如下：0123 13分則 15分18．（1）解：顯然切線的斜率存在且不為0，設(shè)切線：，代入，得， 2分由，解得 4分所以直線的方程為，即． 6分（2）證明：設(shè)，，切線：，代入，得 8分由，解得． 9分所以直線的方程為，即 10分同理直線的方程為 11分因為在直線和上，所以可得點，在直線上，所以直線的方程為 14分因為，所以，則直線的方程為，由可得故直線過定點 17分19．解：（1）由題意知的定義域為，， 1分若，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增； 2分若，令，得，令，得， 4分所以函數(shù)