信號與系統(tǒng)-奧本海姆課件CH

信號與系統(tǒng)SIGNALSANDSYSTEMS第3章周期信號的傅里葉級數(shù)表示Ⅰ.周期信號的頻域分析III.LTI系統(tǒng)的頻域分析II.傅立葉級數(shù)的性質(zhì)本章主要內(nèi)容：3.0

引言Introduction

時域分析方法的基礎(chǔ)：信號在時域的分解。LTI系統(tǒng)滿足線性、時不變性。2.具有普遍性，能夠用以構(gòu)成相當(dāng)廣泛的信號。

1.本身簡單，且LTI系統(tǒng)對它的響應(yīng)能簡便得到。

從分解信號的角度出發(fā)，基本信號單元必須滿足兩個要求：1768年生于法國1807年提出“任何周期信號都可以用正弦函數(shù)的級數(shù)來表示”拉格朗日反對發(fā)表1822年首次發(fā)表“熱的分析理論”1829年狄里赫利第一個給出收斂條件傅里葉（1768—1830）3.1歷史的回顧（AHistoricalPerspective）傅里葉的兩個最重要的貢獻(xiàn)——“周期信號都可以表示為成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”——傅里葉的第一個主要論點“非周期信號都可以用正弦信號的加權(quán)積分來表示”——傅里葉的第二個主要論點由時域分析方法有，3.2LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)

考查LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號和的響應(yīng)

可見LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)是很容易求得的。這說明和符合對單元信號的第一項要求。特征函數(shù)(Eigenfunction)

如果系統(tǒng)對某一信號的響應(yīng)只不過是該信號乘以一個常數(shù)，則稱該信號是這個系統(tǒng)的特征函數(shù)。系統(tǒng)對該信號加權(quán)的常數(shù)稱為系統(tǒng)與特征函數(shù)相對應(yīng)的特征值。結(jié)論：

只有復(fù)指數(shù)函數(shù)才能成為一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。

復(fù)指數(shù)函數(shù)、是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。、分別是LTI系統(tǒng)與復(fù)指數(shù)信號相對應(yīng)的特征值。

對時域的任何一個信號或者,若能將其表示為下列形式：利用系統(tǒng)的齊次性與疊加性同理：即：所以有由于*問題：究竟有多大范圍的信號可以用復(fù)指數(shù)信號的線性組合來表示？例：3.3連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示如果將該信號集中所有的信號線性組合起來，一.連續(xù)時間傅里葉級數(shù)

成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集:

，其中每個信號都是以為周期的，它們的公共周期為，且該集合中所有的信號都是彼此獨(dú)立的。

顯然也是以為周期的。該級數(shù)就是傅里葉級數(shù)，稱為傅立葉級數(shù)的系數(shù)。這表明用傅里葉級數(shù)可以表示連續(xù)時間周期信號，即:連續(xù)時間周期信號可以分解成無數(shù)多個復(fù)指數(shù)諧波分量。稱為第k次諧波，直流分量有例1：

顯然該信號中，有兩個諧波分量，為相應(yīng)分量的加權(quán)因子，即傅立葉系數(shù)。

例2：在該信號中，有四個諧波分量，即時對應(yīng)的諧波分量。傅里葉級數(shù)表明：連續(xù)時間周期信號可以按傅立葉級數(shù)分解成無數(shù)多個復(fù)指數(shù)諧波分量的線性組合。二.頻譜（Spectral）的概念

在傅里葉級數(shù)中，各個信號分量（諧波分量）間的區(qū)別也僅僅是幅度（可以是復(fù)數(shù)）和頻率不同。因此，可以用一根線段來表示某個分量的幅度，用線段的位置表示相應(yīng)的頻率。

信號集中的每一個信號，除了成諧波關(guān)系外，每個信號隨時間的變化規(guī)律都是一樣的，差別僅僅是頻率不同。分量

可表示為表示為

因此，當(dāng)把周期信號

表示為傅里葉級數(shù)

時，就可以將

表示為這樣繪出的圖稱為頻譜圖

頻譜圖其實就是將隨頻率的分布表示出來，即的關(guān)系。由于信號的頻譜完全代表了信號，研究它的頻譜就等于研究信號本身。因此，這種表示信號的方法稱為頻域表示法。三.傅里葉級數(shù)的其它形式

或

若是實信號,則有，于是若令，則為實數(shù)。于是即：表明的模關(guān)于偶對稱，幅角關(guān)于奇對稱。

——傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)表示式

若令則因此即的實部關(guān)于偶對稱，虛部關(guān)于奇對稱。

——傅里葉級數(shù)的另一種三角函數(shù)形式將此關(guān)系代入，可得到四.連續(xù)時間傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定對兩邊同時在一個周期內(nèi)積分，有則有如果周期信號可以表示為傅里葉級數(shù)即

在確定此積分時，只要積分區(qū)間是一個周期即可，對積分區(qū)間的起止并無特別要求，因此可表示為是信號在一個周期的平均值，通常稱直流分量。

五.周期性矩形脈沖信號的頻譜其中

根據(jù)可繪出的頻譜圖。稱為占空比不變變化3.4連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的收斂

這一節(jié)來研究用傅氏級數(shù)表示周期信號的普遍性問題，即滿足什么條件的周期信號可以表示為傅里葉級數(shù)。ConvergenceoftheFourierseries傅里葉級數(shù)收斂的兩層含義：是否存在?

級數(shù)是否收斂于?

Dirichlet條件：，在任何周期內(nèi)信號絕對可積。在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個極值點，且極值為有限值。在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個第一類間斷點。因此，信號絕對可積就保證了的存在。3.5連續(xù)時間傅里葉級數(shù)的性質(zhì)

學(xué)習(xí)這些性質(zhì)，有助于對概念的理解和對信號進(jìn)行級數(shù)展開。一.線性：若和都是以為周期的信號，且則二.時移:三.反轉(zhuǎn):若是以為周期的信號，且則若是以為周期的信號，且則四.尺度變換:若是以為周期的信號，且則以為周期，于是令，于是有：五.相乘:若和都是以為周期的信號，且則也即證明：六.共軛對稱性:若是以為周期的信號，且則由此可推得，對實信號有：或?qū)嵭盘?，?dāng)時，（實偶函數(shù)）當(dāng)時，（虛奇函數(shù)）七.Parseval

定理：表明：一個周期信號的平均功率就等于它所有諧波分量的平均功率之和.*掌握表3.1例1：-T1T0……10……-T．．T例2：周期性矩形脈沖將其微分后，可利用例1表示為10……設(shè)由時域微分性質(zhì)有根據(jù)時移特性，有由例1知一.離散時間傅里葉級數(shù)（DFS）

考察成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集:該信號集中每一個信號都以為周期，且該集合中只有個信號是彼此獨(dú)立的。

3.6離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示

這個級數(shù)就稱為離散時間傅里葉級數(shù)（DFS），其中也稱為周期信號的頻譜。

將這個獨(dú)立的信號線性組合起來，一定能表示一個以為周期的序列。即：其中為個相連的整數(shù)二.傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定給兩邊同乘以，得：顯然仍是以為周期的，對兩邊求和而

顯然上式滿足，即也是以為周期的，或者說中只有個是獨(dú)立的。三.周期性方波序列的頻譜

顯然的包絡(luò)具有的形狀。時周期性方波序列的頻譜

當(dāng)不變、時，頻譜的包絡(luò)形狀不變，只是幅度減小，譜線間隔變小。

當(dāng)改變、

不變時，由于

的包絡(luò)具有

的形狀，而，可知其包絡(luò)形狀一定發(fā)生變化。當(dāng)時，包絡(luò)的第一個零點會遠(yuǎn)離原點從而使頻譜主瓣變寬。這一點也與連續(xù)時間周期矩形脈沖的情況類似。

周期序列的頻譜也具有離散性、諧波性，當(dāng)在區(qū)間考查時，也具有收斂性。不同的是，離散時間周期信號的頻譜具有周期性。三.DFS的收斂

DFS

是一個有限項的級數(shù)，確定的關(guān)系式也是有限項的和式，因而不存在收斂問題，也不會產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象。1.相乘2.差分周期卷積3.7DFS的性質(zhì)DFS有許多性質(zhì)，這里只選幾個加以討論。３.Paseval定理

左邊是信號在一個周期內(nèi)的平均功率，右邊是信號的各次諧波的總功率。

這表明：一個周期信號的平均功率等于它的所有諧波分量的功率之和。也表明：周期信號的功率既可以由時域求得，也可以由頻域求得。3.8

傅里葉級數(shù)與LTI系統(tǒng)

LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號所起的作用只是給輸入信號加權(quán)了一個相應(yīng)的特征值。對連續(xù)時間系統(tǒng)對離散時間系統(tǒng)、被稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。如果則被稱為連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)如果則稱為離散時間LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對而言，是以為周期的。如果一個LTI系統(tǒng)輸入周期性信號或

則*可見，LTI系統(tǒng)對周期信號的響應(yīng)仍是一個周期信號，LTI系統(tǒng)的作用是對各個諧波頻