18.1.2　平行四邊形的判定 課件 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十八章平行四邊形18.1平行四邊形18.1.2平行四邊形的判定第1課時(shí)

平行四邊形的判定（1）導(dǎo)入新課1．回顧平行四邊形的性質(zhì)．B2．不一定具有的性質(zhì)是(

)A．對(duì)角平行四邊形相等B．對(duì)角互補(bǔ)C．鄰角互補(bǔ)D．內(nèi)角和是360°兩組對(duì)邊分別平行，相等.兩組對(duì)角分別相等，鄰角互補(bǔ).兩條對(duì)角線互相平分.兩條平行線間的距離相等探究新知思考

如圖，將兩長(zhǎng)兩短的四根細(xì)木條用小釘絞合在一起，做成一個(gè)四邊形，使等長(zhǎng)的木條成為對(duì)邊，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形，使它形狀改變，在圖形變化過(guò)程中，它一直是一個(gè)平行四邊形嗎？由上面的過(guò)程你得到了什么結(jié)論？是平行四邊形，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.如何證明這個(gè)結(jié)論呢？ABCD證明：連接BD．∵AB=CD，AD=BC，BD是公共邊，∴△ABD≌△CDB．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴AB∥DC，AD∥BC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．DABC1234你能用平行四邊形的定義來(lái)證明嗎？知識(shí)歸納兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．判定定理1由上述證明可以得到：幾何語(yǔ)言：ABCD在四邊形ABCD中，∵AB=CD，AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形.證明：∵多邊形ABCD是四邊形，∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°．又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°．∴AD∥BC，AB∥DC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．判定定理2DABC證明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB．∴∠OAD=∠OCB．∴

AD∥BC．同理AB∥DC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OC，OB=OD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．判定定理3DABCO現(xiàn)在，我們一共有哪些判定平行四邊形的方法呢？

知識(shí)歸納定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．

判定定理：（1）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．練習(xí)如圖，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.圖中有哪些互相平行的線段？解：AB∥CD∥EF，AD∥BC，DE∥CF.例題與練習(xí)例1

如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度數(shù)；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．解：(1)∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；(2)∵AB∥DC，∴∠CAB＝∠2＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四邊形ABCD是平行四邊形．如圖，□ABCD

的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E,F是AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF.使得四邊形BFDE是平行四邊形.

BODACEF證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

AO=CO,BO=DO.∵AE=CF，∴AO-AE=CO-CF,即EO=OF.又BO=DO.∴四邊形BFDE是平行四邊形.例2教材P46例3.如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn).求證：BE=DF.

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DO=OB，AO=OC，又E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，∴EO=FO，在△DOF與△BOE中，DO=BO，∠DOF=∠BOE，F(xiàn)O=EO，∴△DOF≌△BOE，∴BE=DF.練習(xí)例3如圖，在△ABC中，分別以AB，AC，BC為邊在BC的同側(cè)作等邊三角形ABD，等邊三角形ACE，等邊三角形BCF.試說(shuō)明四邊形DAEF是平行四邊形．解：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF＝AE.同理可證△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四邊形DAEF是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形)．例題與練習(xí)練習(xí)1.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，則∠A的度數(shù)為(

)A．110°

B．80°

C．70°

D．90°C2．在四邊形ABCD中下面給出的∠A，∠B，∠C，∠D的度數(shù)之比，其中能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是(

)A．1∶2∶3∶4B．2∶3∶2∶3C．2∶2∶3∶3D．1∶2∶2∶3B3．如圖，在?ABCD中，AF＝CH，DE＝BG.求證：四邊形EFGH是平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AD＝BC，AB＝DC.又∵AF＝CH，DE＝BG，∴AE＝CG，F(xiàn)B＝DH.在△AEF和△CGH中，∴△AEF≌△CGH(SAS)，∴EF＝GH.同理，可證EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．課堂小結(jié)平行四邊形的判定1定義法:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十八章平行四邊形18.1平行四邊形18.1.2平行四邊形的判定第2課時(shí)

平行四邊形的判定（2）導(dǎo)入新課回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的平行四邊形有哪些判定定理？?jī)山M對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.探究新知思考我們知道，兩組對(duì)邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形，如果只考慮四邊形的一組對(duì)邊，他們滿足什么條件時(shí)這個(gè)四邊形能成為平行四邊形呢？猜想：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.你能證明嗎？如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：連接AC.∵AB∥CD，∴∠1=∠2.又AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA.∴BC=DA.∴四邊形ABCD的兩組對(duì)邊分別相等，它是平行四邊形.ABCD21知識(shí)歸納一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；于是，我們又得到平行四邊形的一個(gè)判定定理：幾何語(yǔ)言描述：在四邊形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.BDAC

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，EB//FD．又∵EB=AB，F(xiàn)D=CD，∴EB=FD．∴四邊形EBFD是平行四邊形．如圖

，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn).求證：四邊形EBFD是平行四邊形.例1教材P47例4.探究新知練習(xí)1.為了保證鐵路的兩條直鋪的鐵軌互相平行，只要使互相平行的夾在鐵軌之間的枕木長(zhǎng)相等就可以了，你能說(shuō)出其中的道理嗎？解：由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可知，兩條直鋪的鐵軌互相平行.2.如圖，在平行四邊形ABCD中，BD是它的一條對(duì)角線，過(guò)A，C兩點(diǎn)分別作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F(xiàn)為垂足.求證：四邊形AFCE是平行四邊形.證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，又∠AED=∠CFB=90°，∴△AED≌△CFB，∴AE=CF.又∵∠AEF=∠CFE=90°，∴AE∥CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形.例2如圖，已知E，F(xiàn)是四邊形ABCD對(duì)角線上兩點(diǎn)，且AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，試說(shuō)明四邊形ABCD為平行四邊形．解：由AF＝CE，得AE＝CF.又∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，∴∠DFC＝∠BEA.又∵DF＝BE，∴△CDF≌△ABE(SAS)，∴CD＝AB，∠DCA＝∠CAB，例題與練習(xí)∴CD∥AB，∴四邊形ABCD為平行四邊形．例3如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意選取兩個(gè)作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”作為結(jié)論構(gòu)造命題．以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題嗎？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)舉出反例．解：以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題．證明如下：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD.在△AOB和△COD中，∴OB＝OD.∵OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴△AOB≌△COD(ASA)，例題與練習(xí)練習(xí)1．在四邊形中，有兩條邊相等，另外兩邊也相等，則這個(gè)四邊形(

)A．一定是平行四邊形B．一定不是平行四邊形C．可能是平行四邊形，也可能不是平行四邊形D．上述答案都不對(duì)C2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，問(wèn)幾秒時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形？解：設(shè)xs時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形．根據(jù)題意，得AP＝x，CQ＝2x，∴BQ＝6－2x，只有AP＝BQ時(shí)，四邊形ABQP才是平行四邊形，∴x＝6－2x，解得x＝2，∴2s時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形．課堂小結(jié)平行四邊形的判定2判定定理4平行四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十八章平行四邊形18.1平行四邊形18.1.2平行四邊形的判定第3課時(shí)

三角形的中位線導(dǎo)入新課1．回顧平行四邊形的概念和性質(zhì)．2．回顧三角形的中線的概念．3．如圖，在測(cè)量池塘的長(zhǎng)AB時(shí)，由于繩長(zhǎng)不夠，于是在平地上取一點(diǎn)O，找出OA，OB的中點(diǎn)M，N，小剛說(shuō)只要量出了MN的長(zhǎng)，就能求出AB的長(zhǎng).你知道這是什么原理嗎？探究新知思考如圖，△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，連接DE.像DE這樣，連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．A

B

C

D

E

我們?cè)谘芯科叫兴倪呅螘r(shí)，經(jīng)常采用把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題，反過(guò)來(lái)，能否用平行四邊形研究三角形呢？一個(gè)三角形有幾條中位線？三角形的中位線和中線一樣嗎？問(wèn)題1一個(gè)三角形有幾條中位線？你能在△ABC中畫(huà)出它所有的中位線嗎？ABCDEF有三條，如圖，△ABC的中位線是DE、DF、EF.問(wèn)題2三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？中位線是連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段.

中線是連接一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段.探究新知探究問(wèn)題3如圖，DE是△ABC的中位線，DE與BC之間有什么數(shù)量關(guān)系？DE兩條線段的關(guān)系位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系分析：DE與BC的關(guān)系猜想：DE∥BC？度量一下你手中的三角形，看看是否有同樣的結(jié)論？并用文字表述這一結(jié)論．平行角平行四邊形或線段相等一條線段是另一條線段的一半倍長(zhǎng)短線分析1：DE猜想：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半．問(wèn)題4：如何證明你的猜想？分析2：DE互相平分平行四邊形倍長(zhǎng)DE構(gòu)造延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE．F∴四邊形BCFD是平行四邊形.∴△ADE≌△CFE.∴∠ADE=∠F，連接FC．∵∠AED=∠CEF，AE=CE，證法1

AD=CF.∴BDCF.又∵，∴DF

BC

.∴DE∥BC，.

∴CF

AD

,證明：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E分別是AB,AC邊的中點(diǎn)，求證：

EBCAD==--證法2如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E分別是AB,AC邊的中點(diǎn)，求證：

BCAD證明：延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE．連接AF,CF,DC．∵AE=EC，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∴四邊形BCFD是平行四邊形.∴CF

AD

.∴CF

BD

.又∵，∴DF

BC．∴DE∥BC，.FE==--三角形的中位線定理：知識(shí)歸納DE符號(hào)語(yǔ)言：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．

1.如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，在圖中，你能畫(huà)出多少個(gè)平行四邊形？為什么？解：能在圖中畫(huà)出3個(gè)平行四邊形，如圖，連接DE，EF，F(xiàn)D，則四邊形BFED，DECF，DFEA即為所畫(huà)的3個(gè)平行四邊形.練習(xí)ABCDEF2.如圖，直線l1∥l2，在l1，l2上分別截取AD，BC，使AD=BC，連接AB，CD.AB和CD有什么關(guān)系？為什么？解：ABCD.理由：∵l1∥l2，即AD∥BC又AD=BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴ABCD3.如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開(kāi)，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC，BC.怎樣測(cè)出A，B兩點(diǎn)間的距離？根據(jù)是什么？解：分別取AC，BC的中點(diǎn)D，E，連接DE，并量出DE的長(zhǎng)，則AB=2DE.根據(jù)三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.例題與練習(xí)例1如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OE＝5cm，則AD的長(zhǎng)是______cm.10例2如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．∴EF＝GH，EF∥GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．證明：連接AC.∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF＝

AC，EF∥AC.同理可得GH＝

AC，GH∥AC，解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴∠DAM＝∠CAM，∠AMD＝∠AMC.在△AMD和△AMC中，∴△AMD≌△AMC(ASA)，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.∴BN＝CN，∴