2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第25講 倍角與半角公式與第26講 三角函數(shù)性質(zhì)-解析版70

第25講倍角與半角公式通關(guān)一、二倍角公式公式推導(dǎo)：把兩角和與差公式中的代換為，則可得到二倍角公式。再利用，可得：.通關(guān)二、半角公式通關(guān)三、三倍角公式通關(guān)四、三角函數(shù)化簡(jiǎn)的“三看”原則1．一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；2．二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”；3．三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”等。結(jié)論一、二倍角正弦變形1:變形【例1】設(shè),則（）. A. B. C. D.【答案】【解析】解法一，展開后得，所以,兩邊平方得,所以.故選A.解法二故選【變式】若,則（）. A. B. C. D.【答案】D【解析】解法一：因?yàn)椋?，兩邊平方?所以.故選D.解法二：.故選.結(jié)論二、二倍角余弦變形1:升冪公式:變形2:降冪公式:變形3:平方差公式:【例2】若，則__________.【答案】【解析】.【變式】已知,則（） A. B. C. D.【答案】【解析】由題意，利用誘導(dǎo)公式求得.故選D.結(jié)論三、二倍角正切【例3】已知.則（）. A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，則，故.故選A.【變式】已知,則_____________.【答案】【解析】,所以結(jié)論四、萬能公式【例4】若,則等于（）. A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，解得，，將正切值代入得到，故選A.【變式】若，則（） A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所?所以.故選.結(jié)論五、半角公式1.半角的正弦、余弦、正切公式，，2.半角正切的變形公式①②【例5】若,且,則_____________.【答案】【解析】由,得,.【變式】已知是第四象限的角，且，則（） A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，是第四象限的角，所以，，則故選.結(jié)論六、輔助角公式當(dāng)時(shí),，，角的終邊過點(diǎn).常見的幾個(gè)公式：；；.【例6】函數(shù)的最小正周期為（） A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù),因?yàn)椋?故選C.【變式】函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（） A. B. C. D.【答案】C【解析】.由知，所以，所以函數(shù)的最大值是.第26講三角函數(shù)性質(zhì)通關(guān)一、，，的圖像與性質(zhì)性質(zhì)函數(shù)定義域圖像值域?qū)ΨQ性對(duì)稱軸：對(duì)稱中心：對(duì)稱軸：對(duì)稱中心：對(duì)稱中心：周期性單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)減區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)增區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)減區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)增區(qū)間：奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)通關(guān)二、y=Asin(ωx類別y=Asin(ωx+φ)y=Acos綜述類比研究y=sinx(y=cosx)的性質(zhì)，只需將y=Asin(ωx+φ)（y=Acosωx+φ）中的ωx+φ看成y=sinx(y=cosx）中的x，但在求y=Asin圖像解法一(五點(diǎn)法):設(shè),令求出相應(yīng)的值,計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖像.解法二(圖像變換法):先作出的圖像,再進(jìn)行圖像的平移、伸縮變換.這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用的方法.共性振幅：A；②最小正周期：T=2πω；③頻率f=1T=ω2π;④相位：ωx+φ；⑤初相：φ【解析】式函數(shù)【解析】式中未知系數(shù)的確定：A由最值確定；②ω由周期確定；③初相φ由圖像上的特殊點(diǎn)確定，代點(diǎn)（最高、低）法性質(zhì)最值當(dāng)ωx+φ=π2當(dāng)ωx+φ=?π2當(dāng)ωx+φ=2kπ(k∈Z)時(shí)，取最大值A(chǔ);當(dāng)ωx+φ=?π+2kπ(k∈Z)時(shí)，取最小值-A對(duì)稱軸令ωx+φ=π2令ωx+φ=kπ(k∈Z)得對(duì)稱軸x=對(duì)稱中心令ωx+φ=kπ(k∈Z)得對(duì)稱中心（令ωx+φ=π2單調(diào)性ωx+φ∈2kπ?ωx+φ∈2kπ+ωx+φ∈?π+2kπ,2kπωx+φ∈2kπ平移、伸縮圖像的平移與伸縮永遠(yuǎn)發(fā)生在x與y本身結(jié)論一、求三角函數(shù)解析式或稱為振幅,稱為相位,稱為初相.①的確定:表示該三角函教的平衡位置,.②的確定:最高點(diǎn)或最低點(diǎn)到平衡位置的距離為振幅,.③的確定:先求周期,兩個(gè)相鄰最高點(diǎn)或最低點(diǎn)之間的距高為一個(gè)周期一個(gè)最高點(diǎn)與相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)之間的距離或兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之間的距離為半個(gè)周期,一個(gè)最高點(diǎn)(最低點(diǎn))與相鄰的零點(diǎn)之間的距離為,然后利用.④的確定:代入圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)通常代入最高點(diǎn)或最低點(diǎn),不能代入零點(diǎn)(平衡點(diǎn))]或通過平移.【例1】已知函數(shù)的圖像（部分）如圖所示,則的【解析】式是(). B. C. D. 【答案】C【解析】由圖像可知,最小正周期,所以,所以.又因?yàn)?即,即,所以,所以.又因?yàn)?所以,所以.故選C.【變式】已知函數(shù)的圖像如圖所示，,則（）. A. B. C. D.【答案】【解析】解法一:由圖像可知,則,所以.因?yàn)?所以,而,由于點(diǎn)在遞增的那段曲線上,所以,所以,所以,,解得.所以.故選C.解法二:由圖像可知最小正周期為,于是,注意到與關(guān)于對(duì)稱,則.故選C.結(jié)論二、三角函數(shù)單調(diào)性1.2.3.的單調(diào)性可根據(jù)和的單調(diào)性來研究,由得單調(diào)遞增區(qū)間;由得單調(diào)遞減區(qū)間;4.的單調(diào)性可根據(jù)和的單調(diào)性來研究,由得單調(diào)遞增區(qū)間;由得單調(diào)遞減區(qū)間.【例2】設(shè)在區(qū)間上單調(diào)增加,則的最大值為（）. A. B. C. D.【答案】D【解析】,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加,因?yàn)?函數(shù),所以的增區(qū)間滿足:,解得,當(dāng)時(shí)的增區(qū)間為.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)單加,所以,解得.所以的最大值為.故選D.【變式】函數(shù)的部分圖像如圖所示,則的單調(diào)遞減區(qū)間為（). A. B. C. D.【答案】【解析】由函數(shù)的部分圖像可得函數(shù)的周期為,所以.再根據(jù)函數(shù)的圖像及五點(diǎn)法作圖,可得,即.由,求得故的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選.結(jié)論三、三角函數(shù)奇偶性的結(jié)論1.若為奇函數(shù),則;2.若為偶函數(shù),則;3.若為奇函數(shù),則;4.若為偶函數(shù),則;5.若為奇函數(shù),則,該函數(shù)不可能為偶函數(shù).【例3】使函數(shù)為偶函數(shù)的最小正數(shù)（）. A. B. C. D.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),所以,所以使函數(shù)為偶函數(shù)的最小正數(shù).故選B.【變式】若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位,所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱,則的最小正值是（）. A. B. C. D.【答案】【解析】將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位,所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)【解析】式為,關(guān)于軸對(duì)稱,則,,即,故的最小正值為.故選.結(jié)論四、三角函數(shù)對(duì)稱性結(jié)論1.函數(shù)的對(duì)稱軸為,對(duì)稱中心為;2.函數(shù)的對(duì)稱軸為,對(duì)稱中心為;3.函數(shù)無對(duì)稱軸,對(duì)稱中心為;4.函數(shù)對(duì)稱軸的求法:令,得;對(duì)稱中心的求法:令,得,即對(duì)稱中心為;5.函數(shù)對(duì)稱軸的求法:令,得;對(duì)稱中心的求法:令,得,即對(duì)稱中心為.【例4】已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則的最小值為（）. A.2 B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,所以,,當(dāng)時(shí),解得.所以的最小值為.故選.【變式】函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,則(). A. B. C. D.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱,且,所以函數(shù)圖像過原點(diǎn),即.所以,即.故選.結(jié)論五、三角函數(shù)周期性結(jié)論1.函數(shù)的周期分別為:.2.函數(shù)的周期均為3.函數(shù)的周期均為.【例5】在函數(shù)①②③④中,最小正周期為的所有函數(shù)為(). A.(1)(2)(3) B.(1)(3)(4) C.(2)(4) D.(1)(3)【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)①,