1.4 向量的分解與坐標(biāo)表示 2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊(cè)

高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊(cè)第一章平面向量及其應(yīng)用1.4向量的分解與坐標(biāo)表示1.4.1向量分解及坐標(biāo)表示教材要點(diǎn)要點(diǎn)一平面向量基本定理1．定理：設(shè)e1，e2是平面上兩個(gè)________向量，則(1)平面上每個(gè)向量v都可以分解為e1，e2的實(shí)數(shù)倍之和，即__________，其中x，y是實(shí)數(shù)．(2)實(shí)數(shù)x，y由___________唯一決定．也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，則x＝x′，y＝y(tǒng)′.2．基：我們稱不共線向量e1，e2組成平面上的一組基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系數(shù)x，y組成的有序數(shù)組(x，y)，稱為v在這組基下的坐標(biāo)．不共線v＝xe1＋ye2v＝xe1＋ye2

要點(diǎn)二平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示1．把一個(gè)向量分解為兩個(gè)________的向量，叫作把向量正交分解．2．平面上互相垂直的________向量組成的基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基，記作________，其中i＝(1，0)，j＝(0，1)．3．若單位向量e1，e2的夾角為90°，非零向量v的模|v|＝r，且e1與v的夾角為α，則v＝____________．狀元隨筆標(biāo)準(zhǔn)正交基是平面向量的一組特殊的基．互相垂直單位{i，j}(rcosα，rsinα)基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一個(gè)基．(

)(2)平面向量的基確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都能用這個(gè)基唯一表示．(

)(3)若{e1，e2}是平面α內(nèi)所有向量的一個(gè)基，則λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α內(nèi)．(

)(4)基向量可以是零向量．(

)×√××

答案：AC

答案：B

4．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知i，j是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若a＝2i－3j，則向量用坐標(biāo)表示a＝________．(2，－3)解析：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知i，j是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若a＝2i－3j，則向量用坐標(biāo)表示a＝(2，－3)．題型

1對(duì)平面向量基本定理的理解例1

(1)設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有(

)A．e1，e2一定平行B．e1，e2的模相等C．對(duì)同一平面內(nèi)的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)D．若e1，e2不共線，則對(duì)同一平面內(nèi)的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)答案：D解析：D選項(xiàng)符合平面向量基本定理．故選D.(2)(多選)設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)所有向量的一組基，下列四組向量中能作為基的是(

)A．e2和e1＋e2

B．2e1－4e2和－e1＋2e2C．e1和e1－e2

D．e1＋2e2和2e1＋e2答案：ACD解析：e1、e2是平面內(nèi)所有向量的一組基，e2和e1＋e2，顯然不共線，可以作為基；e1和e1－e2，顯然不共線，可以作為基；2e1－4e2和－e1＋2e2，存在－2，使得2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，所以2e1－4e2和－e1＋2e2共線，不可以作為基；因?yàn)閑1＋2e2和2e1＋e2不存在λ，使得e1＋2e2＝λ(2e1＋e2)，故不共線，可以作為基．

答案：B

方法歸納用基表示向量的兩種基本方法用基表示向量的基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算對(duì)待求向量不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基表示為止；另一種是通過(guò)列向量方程(組)，利用基表示向量的唯一性求解．

題型3平面向量的坐標(biāo)表示例4

在平面直角坐標(biāo)系中，向量a，b，c的方向如圖所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，求向量a，b，c的坐標(biāo)．

方法歸納始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)由終點(diǎn)的坐標(biāo)決定．一般可以借助三角函數(shù)的定義來(lái)確定點(diǎn)的坐標(biāo)，此時(shí)需明確點(diǎn)所在的象限，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與x軸正方向的夾角．跟蹤訓(xùn)練3

(1)如圖，{e1，e2}是一組基，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，則向量a的坐標(biāo)為(

)A．(1，3)B．(3，1)C．(－1，－3)D．(－3，－1)答案：A解析：因?yàn)閑1，e2分別是x軸、y軸正方向上的兩個(gè)單位向量，由題圖可知a＝e1＋3e2，根據(jù)平面向量坐標(biāo)的定義可知a＝(1，3)．

答案：C易錯(cuò)辨析對(duì)基成立的條件理解有誤例5

已知e1≠0，λ∈R，向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，則向量a與b共線的條件為(

)A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0

答案：D易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得忽略基的條件“兩個(gè)向量不共線”導(dǎo)致錯(cuò)誤．平面內(nèi)任意一對(duì)不共線的向量都可以組成表示該平面內(nèi)所有向量的一組基，一定要注意“不共線”這一條件，還要注意零向量不能作為基．高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊(cè)第一章平面向量及其應(yīng)用1.4向量的分解與坐標(biāo)表示1.4.2向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示教材要點(diǎn)要點(diǎn)一平面向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

文字?jǐn)⑹龇?hào)表示加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝________________減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝________________數(shù)乘一個(gè)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)乘以向量相應(yīng)的坐標(biāo)若a＝(x，y)，則λa＝__________向量的坐標(biāo)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)

要點(diǎn)二中點(diǎn)坐標(biāo)公式已知點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是線段P1P2的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)___________．要點(diǎn)三向量共線的坐標(biāo)表示a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)向量a，b(b≠0)共線的充要條件是____________．

x1y2－x2y1＝0

基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同．(

)(2)向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．(

)(3)在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)相等向量的坐標(biāo)相同．(

)(4)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同．(

)××√×2．已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，則b－a等于(

)A．(－2，1)B．(2，－1)C．(2，0)D．(4，3)答案：B解析：b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．

答案：B

(3，4)

方法歸納(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，另外，解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用．(2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)進(jìn)行求解．

答案：B

(2)設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c等于(

)A．(1，－1)B．(－1，1)C．(－4，6)D．(4，－6)答案：D解析：因?yàn)橄蛄?a，3b－2a，c對(duì)應(yīng)的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．題型

2平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用例2如圖，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，用向量的方法證明：DE∥BC.

方法歸納建立直角坐標(biāo)系，利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，可以很容易地解決一些平面幾何問(wèn)題．

方法歸納向量共線的判定方法(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判斷a與b是否平行．

答案：A

方法歸納根據(jù)向量共線的條件求參數(shù)問(wèn)題的兩種思路(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)列方程組求解．(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0求解．

方法歸納利用向量解決三點(diǎn)共線問(wèn)題的一般思路：(1)利用三點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)向量，求出唯一確定的實(shí)數(shù)λ；(2)利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示得出兩向量共線，再結(jié)合兩向量過(guò)同一點(diǎn)，可得兩向量所在的直線必重合，即三點(diǎn)共線．

易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得在將模的關(guān)系轉(zhuǎn)換為向量之間的關(guān)系時(shí)，均需要從方向角度加以分析，若不能確定，則