4.3.2　空間中直線與平面的位置關(guān)系 2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊(cè)

高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊(cè)第四章立體幾何初步4.3直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系4.3.2空間中直線與平面的位置關(guān)系第1課時(shí)直線與平面平行的判定教材要點(diǎn)要點(diǎn)一空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形寫法公共點(diǎn)情況直線在平面內(nèi)__________直線上所有的點(diǎn)都是公共點(diǎn)直線和平面相交__________有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線和平面平行__________沒(méi)有公共點(diǎn)a?α

a∥α

要點(diǎn)二直線與平面平行的判定定理文字語(yǔ)言如果________一條直線與此________的一條直線平行，那么該直線與此平面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言________________平面外平面內(nèi)若a?α，b?α，a∥b，則a∥α狀元隨筆(1)直線與平面平行的判定定理，主要作用是可以證明直線與平面平行．(2)應(yīng)用直線與平面平行的判定定理，必須具備三個(gè)條件：①直線a在平面外，即a?α.②直線b在平面內(nèi)，即b?α.③兩直線a，b平行，即a∥b.(3)線面平行的判定定理，可簡(jiǎn)記為“線線平行，則線面平行”．基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α.(

)(2)若直線與平面不相交，則直線與平面平行．(

)(3)兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行．(

)(4)若直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l∥α.(

)××××2．下列結(jié)論正確的是(

)A．過(guò)直線外一點(diǎn)，與該直線平行的平面只有一個(gè)B．過(guò)直線外一點(diǎn)，與該直線平行的直線有無(wú)數(shù)條C．過(guò)平面外一點(diǎn)，與該平面平行的直線有無(wú)數(shù)條D．過(guò)兩條平行線中的一條的任一平面均與另一條直線平行答案：C解析：過(guò)平面外一點(diǎn)，與該平面平行的直線有無(wú)數(shù)條，只要直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，就是直線與平面平行．3．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD--A′B′C′D′的六個(gè)面所在的平面中，與AB平行的平面是_______________________．平面A′B′C′D′，平面DCC′D′解析：由于AB∥A′B′，AB?平面A′B′C′D′，A′B′?平面A′B′C′D′，所以AB∥平面A′B′C′D′，同理證得AB∥平面DCC′D′.題型1直線與平面位置關(guān)系的判定例1下列條件為直線a與平面α平行的充分條件的是(

)A．b?α，a∥bB．b?α，c∥α，a∥b，a∥cC．b?α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．a(chǎn)?α，b?α，a∥b答案：D解析：若b?α，a∥b，則a∥α或a?α，故選項(xiàng)A不是．若b?α，c∥α，a∥b，a∥c，則a∥α或a?α，故選項(xiàng)B不是．若滿足此條件，則a∥α或a?α或a與α相交，故選項(xiàng)C不是．選項(xiàng)D是直線與平面平行的充分條件．方法歸納1．平行問(wèn)題是以無(wú)公共點(diǎn)為主要特征的，直線和平面平行即直線與平面沒(méi)有任何公共點(diǎn)，緊緊抓住這一點(diǎn)，平行的問(wèn)題就可以順利解決．2．解決此類題目，可以采用直接法，也可以使用排除法．

答案：CD解析：結(jié)合直線與平面位置關(guān)系可知AB錯(cuò)誤，CD正確．題型2直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用角度1中位線模型例2

如圖，直三棱柱ABC--A1B1C1中，D是AB的中點(diǎn)．證明：BC1∥平面A1CD.

證明：如圖，連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)．又因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，連接DF，則DF∥BC1.因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.方法歸納“要證線面平行，先證線線平行”，三角形的中位線，梯形的中位線是證明線線平行的主要工具．當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”字樣的條件時(shí)，要想到中位線，如中點(diǎn)不夠，往往需要再“找”或“作”中點(diǎn)，即“由中點(diǎn)想中位線，取中點(diǎn)連中位線”．角度2平行四邊形模型例3如圖，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BDD1B1.

方法歸納使用直線與平面平行的判定定理時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，一般遵循“先找后作”的原則，即現(xiàn)有的平面中沒(méi)有出現(xiàn)與已知直線平行的直線時(shí)，我們?cè)倏紤]添加輔助線．跟蹤訓(xùn)練2

(1)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，E為PC的中點(diǎn)，PF＝2FD，求證：BE∥平面AFC.證明：如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O，取PF的中點(diǎn)G，連接EG，ED，ED交CF于點(diǎn)M，連接MO.在△PCF中，E，G分別為PC，PF的中點(diǎn)，則EG∥FC.在△EDG中，MF∥EG，且F為DG的中點(diǎn)，則M為ED的中點(diǎn)．在△BED中，O，M分別為BD，ED的中點(diǎn)，則BE∥MO.又因?yàn)镸O?平面AFC，BE?平面AFC，所以BE∥平面AFC.(2)已知公共邊為AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ，如圖所示．求證：PQ∥平面CBE.

易錯(cuò)辨析判斷直線與平面平行時(shí)忽略直線在平面內(nèi)的情形致誤例4已知M是兩條異面直線a，b外一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)M且與直線a，b都平行的平面(

)A．有且只有一個(gè)

B．有兩個(gè)C．沒(méi)有或只有一個(gè)D．有無(wú)數(shù)個(gè)答案：C解析：過(guò)點(diǎn)M作直線a′∥a，過(guò)點(diǎn)M作直線b′∥b，則直線a′，b′確定平面α.當(dāng)a，b都不在由a′，b′確定的平面α內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)M且與a，b都平行的平面只有一個(gè)；當(dāng)a?α或b?α?xí)r，過(guò)點(diǎn)M且與a，b都平行的平面不存在．易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得解題時(shí)易忽略a?α或b?α的情況，從而錯(cuò)選A.直線與平面的位置關(guān)系的分類要清晰，一種分法是直線在平面內(nèi)與不在平面內(nèi)(包括直線與平面平行和相交)；另一種分法是直線與平面平行(無(wú)公共點(diǎn))和直線與平面不平行(直線在平面內(nèi)和直線與平面相交)．課堂十分鐘1．下列選項(xiàng)中，一定能得出直線m與平面α平行的是(

)A．直線m在平面α外B．直線m與平面α內(nèi)的兩條直線平行C．平面α外的直線m與平面內(nèi)的一條直線平行D．直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行答案：C解析：選項(xiàng)A不符合題意，因?yàn)橹本€m在平面α外也包括直線與平面相交；選項(xiàng)B與D不符合題意，因?yàn)槿鄙贄l件m?α；選項(xiàng)C中，由直線與平面平行的判定定理，知直線m與平面α平行，故選項(xiàng)C符合題意．2．圓臺(tái)的底面內(nèi)的任意一條直徑與另一個(gè)底面的位置關(guān)系是(

)A．平行

B．相交C．在平面內(nèi)D．不確定答案：A解析：圓臺(tái)底面內(nèi)的任意一條直徑與另一個(gè)底面無(wú)公共點(diǎn)，則它們平行．3．點(diǎn)M，N是正方體ABCD--A1B1C1D1中A1A，A1B1的中點(diǎn)，P是正方形ABCD的中心，則MN與平面PCB1的位置關(guān)系是(

)A．平行B．相交C．MN?平面PCB1D．以上三種情況都有可能答案：A解析：平面PCB1即平面B1AC，∵M(jìn)N∥AB1，MN?平面B1AC，AB1?平面B1AC，∴MN∥平面ACB1，即MN∥平面PCB1.高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊(cè)第四章立體幾何初步4.3直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系4.3.2空間中直線與平面的位置關(guān)系第2課時(shí)直線與平面平行的性質(zhì)教材要點(diǎn)要點(diǎn)直線與平面平行的性質(zhì)文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行．符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言a?β

基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)若直線a∥平面α，則直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都無(wú)公共點(diǎn)．(

)(2)若直線a∥平面α，則直線a平行于平面α內(nèi)的任意一條直線．(

)(3)若直線a與平面α不平行，則直線a就與平面α內(nèi)的任一直線都不平行．(

)(4)若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，則a∥b.(

)√×××2．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的(

)A．一條直線不相交B．兩條直線不相交C．無(wú)數(shù)條直線不相交D．任意一條直線都不相交答案：D解析：因?yàn)閍∥平面α，直線a與平面α無(wú)公共點(diǎn)，因此a和平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交．3．如果直線a∥平面α，b?α，那么a與b的關(guān)系是(

)A．相交B．平行或異面C．平行D．異面答案：B

平行解析：由線面平行的性質(zhì)得，AB∥CD，AB∥EF，由基本事實(shí)4得CD∥EF.題型1利用線面平行的性質(zhì)定理證明線線平行

例1如圖所示，已知兩條異面直線AB與CD，平面MNPQ與AB，CD都平行，且點(diǎn)M，N，P，Q依次在線段AC，BC，BD，AD上，求證：四邊形MNPQ是平行四邊形．證明：∵AB∥平面MNPQ，且過(guò)AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又過(guò)AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可證NP∥MQ.∴四邊形MNPQ為平行四邊形．方法歸納運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)先確定線面平行，再尋找過(guò)已知直線的平面與這個(gè)平面相交的交線，然后確定線線平行．證題過(guò)程應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)悟線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系．簡(jiǎn)記為“過(guò)直線，作平面，得交線，得平行”．跟蹤訓(xùn)練1

一平面截空間四邊形的四邊得到四個(gè)交點(diǎn)，如果該空間四邊形只有一條對(duì)角線與這個(gè)截面平行，判斷這四個(gè)交點(diǎn)圍成的四邊形的形狀．解析：如圖所示，AC∥平面EFGH，則EF∥HG.而對(duì)角線BD與平面EFGH不平行，所以EH與FG不平行．所以EFGH是梯形．題型2利用線面平行的性質(zhì)求線段比例2如圖，已知E，F(xiàn)分別是菱形ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在平面ABCD之外，M是線段PA上一動(dòng)點(diǎn)，若PC∥平面MEF，試求PM∶MA的值．

方法歸納解此類題的關(guān)鍵：一是轉(zhuǎn)化，即把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行；二是計(jì)算，把要求的線段長(zhǎng)或線段比問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面內(nèi)的線段長(zhǎng)或線段比問(wèn)題去求解，此時(shí)需認(rèn)真運(yùn)算，才能得出正確的結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練

2

如圖，AB，CD為異面直線，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分別交α于M，N兩點(diǎn)．求證：AM∶MC＝BN∶ND.

證明：連接AC，A1C1在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四邊形ACC1A1是平行四邊形，所以AC∥A1C1，因?yàn)锳C?平面A1BC1，A1C1?平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，因?yàn)锳C?平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN.因?yàn)镸N?平面ABCD，AC?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.方法歸納直線與平面平行的性質(zhì)定理和直線與平面平行的判定定理經(jīng)常綜合使用，即通過(guò)線線平行推出線面平行，再通過(guò)線面平行推出新的線線平行．跟蹤訓(xùn)練3

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)O，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.證明：如圖，連接MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)．又M是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM.又AP?平面BDM，OM?平面BDM，∴AP∥平面BDM.又AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.

答案：B解析：由直線與平面平行的性質(zhì)定理知l∥m.2.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，F(xiàn)，G分別是線BC，CD的中點(diǎn)，EH∥平面CBD，則EH與FG的位置關(guān)系是(

)A．平行B．相交C．異面D．不確定答案：A解析：因?yàn)镋H∥平面CBD，EH?平面ABD，平面CBD∩平面ABD＝BD，所以EH∥BD，又FG∥BD，所以EH∥FG.3．過(guò)平面α外的直線l，作一組平面與α相交，如果所得的交線為a，b，c，…，則這些交線的位置關(guān)系為(

)A．都平行

B．都相交且一定交于同一點(diǎn)C．都相交不一定交于同一點(diǎn)D．平行或相交于同一點(diǎn)答案：D

4．如圖所示，棱柱ABC--A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1的值為_(kāi)_______．1

高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊(cè)第四章立體幾何初步4.3直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系4.3.2空間中直線與平面的位置關(guān)系第3課時(shí)直線與平面垂直的判定教材要點(diǎn)要點(diǎn)一直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α相交，并且垂直于這個(gè)平面內(nèi)的________直線，稱直線l與平面α互相垂直．記法________有關(guān)概念直線l叫作平面α的垂線，平面α叫作直線l的垂面，它們的交點(diǎn)叫作垂足．畫(huà)法畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直．所有l(wèi)⊥α圖示性質(zhì)(1)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直．(2)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直．狀元隨筆對(duì)直線與平面垂直的幾點(diǎn)說(shuō)明(1)定義中的“所有直線”這一詞語(yǔ)與“任意一條直線”是同義語(yǔ)，與“無(wú)數(shù)條直線”不是同義語(yǔ)．(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形．(3)由直線與平面垂直的定義，得如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線．這是判斷兩條直線垂直的一種重要方法．要點(diǎn)二直線與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的________直線垂直，那么該直線與此平面垂直．符號(hào)語(yǔ)言a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，__________，則l⊥α圖形語(yǔ)言兩條相交

狀元隨筆(1)不能用“一條直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直來(lái)判斷此直線與平面垂直”．實(shí)際上，由基本事實(shí)4可知，平行具有“傳遞性”，因此一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么它與這個(gè)平面內(nèi)平行于這條直線的所有直線都垂直，但不能保證與其他直線平行．(2)線面垂直的判定定理可簡(jiǎn)記為“線線垂直，則線面垂直”．基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)直線l垂直于平面α內(nèi)的兩條直線，則直線l垂直于平面．(

)(2)如果一條直線與平面的垂線垂直，則該直線與這個(gè)平面平行．(

)(3)直線l垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則直線l垂直于平面α.(

)(4)如果l⊥α，那么直線l垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線．(

)×××√2．在正方體ABCD--A1B1C1D1中，與BC1垂直的平面是(

)A．平面DD1C1C

B．平面A1B1CDC．平面A1B1C1D1D．平面A1DB答案：B

3．直線n⊥平面α，n∥l，直線m?α，則l，m的位置關(guān)系是________．l⊥m解析：由題意可知l⊥α，所以l⊥m.題型1直線與平面垂直關(guān)系的判斷例1下列說(shuō)法正確的是(

)A．垂直于同一條直線的兩條直線平行B．如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直C．如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直D．若l與平面α不垂直，則平面α內(nèi)一定沒(méi)有直線與l垂直答案：B解析：因?yàn)榭臻g內(nèi)與一條直線同時(shí)垂直的兩條直線可能相交，可能平行，也可能異面，故A不正確．由線面垂直的定義可得，B正確．因?yàn)檫@兩條直線可能是平行直線，故C不正確．如圖，l與α不垂直，但a?α，l⊥a，故D不正確．方法歸納直線與平面垂直的定義的“雙向”作用(1)證明線面垂直：若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線都垂直，該直線與已知平面垂直．即線線垂直?線面垂直．(2)證明線線垂直：若一條直線與一個(gè)平面垂直，則該直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直．即線面垂直?線線垂直．跟蹤訓(xùn)練1

如果直線l與平面α不垂直，那么在平面α內(nèi)(

)A．不存在與l垂直的直線B．存在一條與l垂直的直線C．存在無(wú)數(shù)條與l垂直的直線D．任一條都與l垂直解析：平面α內(nèi)與l在α內(nèi)的射影垂直的直線，垂直于直線l，這樣的直線有無(wú)數(shù)條，故A，B不正確，C正確；若在平面α內(nèi)，任一條都與l垂直，則直線l與平面α垂直，與題設(shè)矛盾，故D不正確．答案：C題型2直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用例2如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.

方法歸納(1)證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②線面垂直的判定定理．③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．④如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面．(2)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧：證明線面垂直時(shí)要注意分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系，進(jìn)而證明線面垂直．三角形全等、等腰三角形底邊的中線、高；菱形、正方形的對(duì)角線、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找線線垂直的方法．

跟蹤訓(xùn)練2

如圖，該幾何體的三個(gè)側(cè)面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是矩形．若AA1＝2AC，AC⊥AB，M為CC1的中點(diǎn)．證明：A1M⊥平面ABM.

題型3線面垂直的判定定理與線面垂直的定義的綜合應(yīng)用例3如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.求證：AE⊥BE.

方法歸納證明線面垂直與線線垂直問(wèn)題時(shí)，注意線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化．

易錯(cuò)辨析邏輯推理不嚴(yán)密致誤例4

如圖，在三棱柱ABC--A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中點(diǎn)，連接CD.求證：CD⊥平面ABB1A1.

易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得沒(méi)有正確使用直線與平面垂直的判定定理，忽略了“垂直于平面的兩條相交直線”這一條件致錯(cuò)．應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理時(shí)，要熟記定理的應(yīng)用條件，不能忽略“兩條相交直線”這一關(guān)鍵條件．課堂十分鐘1．(多選)下列說(shuō)法中正確的是(

)A．過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直B．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直C．過(guò)平面外一點(diǎn)可作無(wú)數(shù)條直線與已知平面平行D．過(guò)直線外一點(diǎn)只可作一條直線與已知直線垂直答案：ABC解析：由線面垂直的性質(zhì)及線面平行的性質(zhì)知ABC正確；D錯(cuò)，過(guò)直線外一點(diǎn)作平面與直線垂直，則平面內(nèi)過(guò)這一點(diǎn)的所有直線都與該直線垂直．2．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(

)A．平面OAB

B．平面OACC．平面OBC

D．平面ABC答案：C

3.如圖所示，定點(diǎn)A和B都在平面α內(nèi)，定點(diǎn)P?α，PB⊥α，C是平面α內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且PC⊥AC，則△ABC為(

)A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無(wú)法確定答案：B解析：易證AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，所以△ABC為直角三角形．4．在直三棱柱ABC--A1B1C1中，BC＝CC1，當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿足條件______________時(shí)，有AB1⊥BC1.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況)∠A1C1B1＝90°解析：如圖所示，連接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C，即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可．因?yàn)锳1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的條件，如∠A1C1B1＝90°等)5．如圖，在四棱錐S--ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求證：SD⊥平面SAB.

高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊(cè)第四章立體幾何初步4.3直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系4.3.2空間中直線與平面的位置關(guān)系第4課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)教材要點(diǎn)要點(diǎn)一直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線________符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言作用①線面垂直?線線平行；②作平行線

平行a∥b狀元隨筆(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法．(2)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù)．(3)線面垂直的性質(zhì)定理可簡(jiǎn)記為“線面垂直，則線線平行”．要點(diǎn)二點(diǎn)面距、線面距1．點(diǎn)到平面的距離過(guò)一點(diǎn)S向平面ABC作垂線，垂足為A，則稱垂線段SA的長(zhǎng)度為點(diǎn)S到平面ABC的距離．2．直線與平面的距離一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫作這條直線與這個(gè)平面的距離．要點(diǎn)三直線與平面所成的角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線一條直線l與一個(gè)平面α________，但不與平面α________，則直線l稱為平面α的一條斜線．斜足斜線l與平面α的交點(diǎn)A稱為斜足．投影過(guò)斜線l上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α作垂線，過(guò)垂足O和斜足A的直線AO稱為斜線l在平面α上的投影．直線與平面所成的角(1)平面的一條斜線與它在該平面上的投影所成的銳角，叫作這條直線與這個(gè)平面所成的角．(2)直線與平面所成的角θ的取值范圍是__________．相交垂直[0°，90°]狀元隨筆把握定義應(yīng)注意兩點(diǎn)：①斜線上不同于斜足的點(diǎn)P的選取是任意的；②斜線在平面上的投影是過(guò)斜足和垂足的一條直線而不是線段．基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)若l⊥β，且α∥β，則l⊥α.(

)(2)垂直于同一條直線的兩平面平行．(

)(3)如果一條直線上有兩點(diǎn)到一平面的距離相等，那么直線不一定與平面平行．(

)(4)如果一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，那么這兩個(gè)平面平行．(

)√√√√2．已知△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則不重合的直線l，m的位置關(guān)系是(

)A．相交B．異面C．平行D．不確定答案：C

3．棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD--A′B′C′D′中，P是平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面A′B′C′D′的距離是(

)A．1

B．2C．3

D．4答案：B4．在正方體ABCD--A1B1C1D1中，直線AC與平面A1D所成的角為_(kāi)_______．45°解析：如圖，因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1，所以直線AC與平面A1D所成的角為∠CAD，因?yàn)椤鰽DC是等腰直角三角形，所以∠CAD＝45°.題型1直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用例1如圖，已知正方體ABCD--A1B1C1D1.(1)求證：A1C⊥B1D1.(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.

方法歸納(1)若已知一條直線和某個(gè)平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個(gè)平面垂直．(2)在證明時(shí)注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練1

如圖所示，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1.

題型2有關(guān)距離的計(jì)算例2已知在