4.3.2　空間中直線與平面的位置關(guān)系 2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊

高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊第四章立體幾何初步4.3直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系4.3.2空間中直線與平面的位置關(guān)系第1課時直線與平面平行的判定教材要點要點一空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形寫法公共點情況直線在平面內(nèi)__________直線上所有的點都是公共點直線和平面相交__________有且只有一個公共點直線和平面平行__________沒有公共點a?α

a∥α

要點二直線與平面平行的判定定理文字語言如果________一條直線與此________的一條直線平行，那么該直線與此平面平行圖形語言符號語言________________平面外平面內(nèi)若a?α，b?α，a∥b，則a∥α狀元隨筆(1)直線與平面平行的判定定理，主要作用是可以證明直線與平面平行．(2)應(yīng)用直線與平面平行的判定定理，必須具備三個條件：①直線a在平面外，即a?α.②直線b在平面內(nèi)，即b?α.③兩直線a，b平行，即a∥b.(3)線面平行的判定定理，可簡記為“線線平行，則線面平行”．基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α.(

)(2)若直線與平面不相交，則直線與平面平行．(

)(3)兩條平行線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行．(

)(4)若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α.(

)××××2．下列結(jié)論正確的是(

)A．過直線外一點，與該直線平行的平面只有一個B．過直線外一點，與該直線平行的直線有無數(shù)條C．過平面外一點，與該平面平行的直線有無數(shù)條D．過兩條平行線中的一條的任一平面均與另一條直線平行答案：C解析：過平面外一點，與該平面平行的直線有無數(shù)條，只要直線與平面無公共點，就是直線與平面平行．3．如圖，在長方體ABCD--A′B′C′D′的六個面所在的平面中，與AB平行的平面是_______________________．平面A′B′C′D′，平面DCC′D′解析：由于AB∥A′B′，AB?平面A′B′C′D′，A′B′?平面A′B′C′D′，所以AB∥平面A′B′C′D′，同理證得AB∥平面DCC′D′.題型1直線與平面位置關(guān)系的判定例1下列條件為直線a與平面α平行的充分條件的是(

)A．b?α，a∥bB．b?α，c∥α，a∥b，a∥cC．b?α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．a(chǎn)?α，b?α，a∥b答案：D解析：若b?α，a∥b，則a∥α或a?α，故選項A不是．若b?α，c∥α，a∥b，a∥c，則a∥α或a?α，故選項B不是．若滿足此條件，則a∥α或a?α或a與α相交，故選項C不是．選項D是直線與平面平行的充分條件．方法歸納1．平行問題是以無公共點為主要特征的，直線和平面平行即直線與平面沒有任何公共點，緊緊抓住這一點，平行的問題就可以順利解決．2．解決此類題目，可以采用直接法，也可以使用排除法．

答案：CD解析：結(jié)合直線與平面位置關(guān)系可知AB錯誤，CD正確．題型2直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用角度1中位線模型例2

如圖，直三棱柱ABC--A1B1C1中，D是AB的中點．證明：BC1∥平面A1CD.

證明：如圖，連接AC1交A1C于點F，則F為AC1的中點．又因為D是AB的中點，連接DF，則DF∥BC1.因為DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.方法歸納“要證線面平行，先證線線平行”，三角形的中位線，梯形的中位線是證明線線平行的主要工具．當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點”字樣的條件時，要想到中位線，如中點不夠，往往需要再“找”或“作”中點，即“由中點想中位線，取中點連中位線”．角度2平行四邊形模型例3如圖，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點，求證：EF∥平面BDD1B1.

方法歸納使用直線與平面平行的判定定理時，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，一般遵循“先找后作”的原則，即現(xiàn)有的平面中沒有出現(xiàn)與已知直線平行的直線時，我們再考慮添加輔助線．跟蹤訓(xùn)練2

(1)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，E為PC的中點，PF＝2FD，求證：BE∥平面AFC.證明：如圖，連接BD，交AC于點O，取PF的中點G，連接EG，ED，ED交CF于點M，連接MO.在△PCF中，E，G分別為PC，PF的中點，則EG∥FC.在△EDG中，MF∥EG，且F為DG的中點，則M為ED的中點．在△BED中，O，M分別為BD，ED的中點，則BE∥MO.又因為MO?平面AFC，BE?平面AFC，所以BE∥平面AFC.(2)已知公共邊為AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對角線AE，BD上的點，且AP＝DQ，如圖所示．求證：PQ∥平面CBE.

易錯辨析判斷直線與平面平行時忽略直線在平面內(nèi)的情形致誤例4已知M是兩條異面直線a，b外一點，則過點M且與直線a，b都平行的平面(

)A．有且只有一個

B．有兩個C．沒有或只有一個D．有無數(shù)個答案：C解析：過點M作直線a′∥a，過點M作直線b′∥b，則直線a′，b′確定平面α.當(dāng)a，b都不在由a′，b′確定的平面α內(nèi)時，過點M且與a，b都平行的平面只有一個；當(dāng)a?α或b?α?xí)r，過點M且與a，b都平行的平面不存在．易錯警示易錯原因糾錯心得解題時易忽略a?α或b?α的情況，從而錯選A.直線與平面的位置關(guān)系的分類要清晰，一種分法是直線在平面內(nèi)與不在平面內(nèi)(包括直線與平面平行和相交)；另一種分法是直線與平面平行(無公共點)和直線與平面不平行(直線在平面內(nèi)和直線與平面相交)．課堂十分鐘1．下列選項中，一定能得出直線m與平面α平行的是(

)A．直線m在平面α外B．直線m與平面α內(nèi)的兩條直線平行C．平面α外的直線m與平面內(nèi)的一條直線平行D．直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行答案：C解析：選項A不符合題意，因為直線m在平面α外也包括直線與平面相交；選項B與D不符合題意，因為缺少條件m?α；選項C中，由直線與平面平行的判定定理，知直線m與平面α平行，故選項C符合題意．2．圓臺的底面內(nèi)的任意一條直徑與另一個底面的位置關(guān)系是(

)A．平行

B．相交C．在平面內(nèi)D．不確定答案：A解析：圓臺底面內(nèi)的任意一條直徑與另一個底面無公共點，則它們平行．3．點M，N是正方體ABCD--A1B1C1D1中A1A，A1B1的中點，P是正方形ABCD的中心，則MN與平面PCB1的位置關(guān)系是(

)A．平行B．相交C．MN?平面PCB1D．以上三種情況都有可能答案：A解析：平面PCB1即平面B1AC，∵MN∥AB1，MN?平面B1AC，AB1?平面B1AC，∴MN∥平面ACB1，即MN∥平面PCB1.高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊第四章立體幾何初步4.3直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系4.3.2空間中直線與平面的位置關(guān)系第2課時直線與平面平行的性質(zhì)教材要點要點直線與平面平行的性質(zhì)文字語言一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行．符號語言圖形語言a?β

基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若直線a∥平面α，則直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都無公共點．(

)(2)若直線a∥平面α，則直線a平行于平面α內(nèi)的任意一條直線．(

)(3)若直線a與平面α不平行，則直線a就與平面α內(nèi)的任一直線都不平行．(

)(4)若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，則a∥b.(

)√×××2．如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的(

)A．一條直線不相交B．兩條直線不相交C．無數(shù)條直線不相交D．任意一條直線都不相交答案：D解析：因為a∥平面α，直線a與平面α無公共點，因此a和平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交．3．如果直線a∥平面α，b?α，那么a與b的關(guān)系是(

)A．相交B．平行或異面C．平行D．異面答案：B

平行解析：由線面平行的性質(zhì)得，AB∥CD，AB∥EF，由基本事實4得CD∥EF.題型1利用線面平行的性質(zhì)定理證明線線平行

例1如圖所示，已知兩條異面直線AB與CD，平面MNPQ與AB，CD都平行，且點M，N，P，Q依次在線段AC，BC，BD，AD上，求證：四邊形MNPQ是平行四邊形．證明：∵AB∥平面MNPQ，且過AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又過AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可證NP∥MQ.∴四邊形MNPQ為平行四邊形．方法歸納運用線面平行的性質(zhì)定理時，應(yīng)先確定線面平行，再尋找過已知直線的平面與這個平面相交的交線，然后確定線線平行．證題過程應(yīng)認真領(lǐng)悟線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系．簡記為“過直線，作平面，得交線，得平行”．跟蹤訓(xùn)練1

一平面截空間四邊形的四邊得到四個交點，如果該空間四邊形只有一條對角線與這個截面平行，判斷這四個交點圍成的四邊形的形狀．解析：如圖所示，AC∥平面EFGH，則EF∥HG.而對角線BD與平面EFGH不平行，所以EH與FG不平行．所以EFGH是梯形．題型2利用線面平行的性質(zhì)求線段比例2如圖，已知E，F(xiàn)分別是菱形ABCD的邊BC，CD的中點，EF與AC交于點O，點P在平面ABCD之外，M是線段PA上一動點，若PC∥平面MEF，試求PM∶MA的值．

方法歸納解此類題的關(guān)鍵：一是轉(zhuǎn)化，即把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行；二是計算，把要求的線段長或線段比問題，轉(zhuǎn)化為同一個平面內(nèi)的線段長或線段比問題去求解，此時需認真運算，才能得出正確的結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練

2

如圖，AB，CD為異面直線，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分別交α于M，N兩點．求證：AM∶MC＝BN∶ND.

證明：連接AC，A1C1在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四邊形ACC1A1是平行四邊形，所以AC∥A1C1，因為AC?平面A1BC1，A1C1?平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，因為AC?平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN.因為MN?平面ABCD，AC?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.方法歸納直線與平面平行的性質(zhì)定理和直線與平面平行的判定定理經(jīng)常綜合使用，即通過線線平行推出線面平行，再通過線面平行推出新的線線平行．跟蹤訓(xùn)練3

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點O，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.證明：如圖，連接MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點．又M是PC的中點，∴AP∥OM.又AP?平面BDM，OM?平面BDM，∴AP∥平面BDM.又AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.

答案：B解析：由直線與平面平行的性質(zhì)定理知l∥m.2.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，F(xiàn)，G分別是線BC，CD的中點，EH∥平面CBD，則EH與FG的位置關(guān)系是(

)A．平行B．相交C．異面D．不確定答案：A解析：因為EH∥平面CBD，EH?平面ABD，平面CBD∩平面ABD＝BD，所以EH∥BD，又FG∥BD，所以EH∥FG.3．過平面α外的直線l，作一組平面與α相交，如果所得的交線為a，b，c，…，則這些交線的位置關(guān)系為(

)A．都平行

B．都相交且一定交于同一點C．都相交不一定交于同一點D．平行或相交于同一點答案：D

4．如圖所示，棱柱ABC--A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，設(shè)D是A1C1上的點且A1B∥平面B1CD，則A1D∶DC1的值為________．1

高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊第四章立體幾何初步4.3直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系4.3.2空間中直線與平面的位置關(guān)系第3課時直線與平面垂直的判定教材要點要點一直線與平面垂直的定義定義如果直線l與平面α相交，并且垂直于這個平面內(nèi)的________直線，稱直線l與平面α互相垂直．記法________有關(guān)概念直線l叫作平面α的垂線，平面α叫作直線l的垂面，它們的交點叫作垂足．畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直．所有l(wèi)⊥α圖示性質(zhì)(1)過一點有且只有一條直線和一個平面垂直．(2)過一點有且只有一個平面和一條直線垂直．狀元隨筆對直線與平面垂直的幾點說明(1)定義中的“所有直線”這一詞語與“任意一條直線”是同義語，與“無數(shù)條直線”不是同義語．(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形．(3)由直線與平面垂直的定義，得如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線．這是判斷兩條直線垂直的一種重要方法．要點二直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的________直線垂直，那么該直線與此平面垂直．符號語言a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，__________，則l⊥α圖形語言兩條相交

狀元隨筆(1)不能用“一條直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直來判斷此直線與平面垂直”．實際上，由基本事實4可知，平行具有“傳遞性”，因此一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么它與這個平面內(nèi)平行于這條直線的所有直線都垂直，但不能保證與其他直線平行．(2)線面垂直的判定定理可簡記為“線線垂直，則線面垂直”．基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)直線l垂直于平面α內(nèi)的兩條直線，則直線l垂直于平面．(

)(2)如果一條直線與平面的垂線垂直，則該直線與這個平面平行．(

)(3)直線l垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線l垂直于平面α.(

)(4)如果l⊥α，那么直線l垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線．(

)×××√2．在正方體ABCD--A1B1C1D1中，與BC1垂直的平面是(

)A．平面DD1C1C

B．平面A1B1CDC．平面A1B1C1D1D．平面A1DB答案：B

3．直線n⊥平面α，n∥l，直線m?α，則l，m的位置關(guān)系是________．l⊥m解析：由題意可知l⊥α，所以l⊥m.題型1直線與平面垂直關(guān)系的判斷例1下列說法正確的是(

)A．垂直于同一條直線的兩條直線平行B．如果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直C．如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個平面垂直D．若l與平面α不垂直，則平面α內(nèi)一定沒有直線與l垂直答案：B解析：因為空間內(nèi)與一條直線同時垂直的兩條直線可能相交，可能平行，也可能異面，故A不正確．由線面垂直的定義可得，B正確．因為這兩條直線可能是平行直線，故C不正確．如圖，l與α不垂直，但a?α，l⊥a，故D不正確．方法歸納直線與平面垂直的定義的“雙向”作用(1)證明線面垂直：若一條直線與一個平面內(nèi)任意一條直線都垂直，該直線與已知平面垂直．即線線垂直?線面垂直．(2)證明線線垂直：若一條直線與一個平面垂直，則該直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直．即線面垂直?線線垂直．跟蹤訓(xùn)練1

如果直線l與平面α不垂直，那么在平面α內(nèi)(

)A．不存在與l垂直的直線B．存在一條與l垂直的直線C．存在無數(shù)條與l垂直的直線D．任一條都與l垂直解析：平面α內(nèi)與l在α內(nèi)的射影垂直的直線，垂直于直線l，這樣的直線有無數(shù)條，故A，B不正確，C正確；若在平面α內(nèi)，任一條都與l垂直，則直線l與平面α垂直，與題設(shè)矛盾，故D不正確．答案：C題型2直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用例2如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，S是△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.

方法歸納(1)證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②線面垂直的判定定理．③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．④如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面．(2)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧：證明線面垂直時要注意分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系，進而證明線面垂直．三角形全等、等腰三角形底邊的中線、高；菱形、正方形的對角線、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找線線垂直的方法．

跟蹤訓(xùn)練2

如圖，該幾何體的三個側(cè)面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是矩形．若AA1＝2AC，AC⊥AB，M為CC1的中點．證明：A1M⊥平面ABM.

題型3線面垂直的判定定理與線面垂直的定義的綜合應(yīng)用例3如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE.求證：AE⊥BE.

方法歸納證明線面垂直與線線垂直問題時，注意線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化．

易錯辨析邏輯推理不嚴密致誤例4

如圖，在三棱柱ABC--A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中點，連接CD.求證：CD⊥平面ABB1A1.

易錯警示易錯原因糾錯心得沒有正確使用直線與平面垂直的判定定理，忽略了“垂直于平面的兩條相交直線”這一條件致錯．應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理時，要熟記定理的應(yīng)用條件，不能忽略“兩條相交直線”這一關(guān)鍵條件．課堂十分鐘1．(多選)下列說法中正確的是(

)A．過平面外一點有且只有一條直線和已知平面垂直B．過直線外一點有且只有一個平面和已知直線垂直C．過平面外一點可作無數(shù)條直線與已知平面平行D．過直線外一點只可作一條直線與已知直線垂直答案：ABC解析：由線面垂直的性質(zhì)及線面平行的性質(zhì)知ABC正確；D錯，過直線外一點作平面與直線垂直，則平面內(nèi)過這一點的所有直線都與該直線垂直．2．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(

)A．平面OAB

B．平面OACC．平面OBC

D．平面ABC答案：C

3.如圖所示，定點A和B都在平面α內(nèi)，定點P?α，PB⊥α，C是平面α內(nèi)異于A和B的動點，且PC⊥AC，則△ABC為(

)A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法確定答案：B解析：易證AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，所以△ABC為直角三角形．4．在直三棱柱ABC--A1B1C1中，BC＝CC1，當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿足條件______________時，有AB1⊥BC1.(注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況)∠A1C1B1＝90°解析：如圖所示，連接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C，即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可．因為A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的條件，如∠A1C1B1＝90°等)5．如圖，在四棱錐S--ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求證：SD⊥平面SAB.

高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊第四章立體幾何初步4.3直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系4.3.2空間中直線與平面的位置關(guān)系第4課時直線與平面垂直的性質(zhì)教材要點要點一直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線________符號語言圖形語言作用①線面垂直?線線平行；②作平行線

平行a∥b狀元隨筆(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法．(2)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù)．(3)線面垂直的性質(zhì)定理可簡記為“線面垂直，則線線平行”．要點二點面距、線面距1．點到平面的距離過一點S向平面ABC作垂線，垂足為A，則稱垂線段SA的長度為點S到平面ABC的距離．2．直線與平面的距離一條直線和一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫作這條直線與這個平面的距離．要點三直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線l與一個平面α________，但不與平面α________，則直線l稱為平面α的一條斜線．斜足斜線l與平面α的交點A稱為斜足．投影過斜線l上斜足以外的一點P向平面α作垂線，過垂足O和斜足A的直線AO稱為斜線l在平面α上的投影．直線與平面所成的角(1)平面的一條斜線與它在該平面上的投影所成的銳角，叫作這條直線與這個平面所成的角．(2)直線與平面所成的角θ的取值范圍是__________．相交垂直[0°，90°]狀元隨筆把握定義應(yīng)注意兩點：①斜線上不同于斜足的點P的選取是任意的；②斜線在平面上的投影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段．基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若l⊥β，且α∥β，則l⊥α.(

)(2)垂直于同一條直線的兩平面平行．(

)(3)如果一條直線上有兩點到一平面的距離相等，那么直線不一定與平面平行．(

)(4)如果一個平面內(nèi)任意一點到另一個平面的距離相等，那么這兩個平面平行．(

)√√√√2．已知△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則不重合的直線l，m的位置關(guān)系是(

)A．相交B．異面C．平行D．不確定答案：C

3．棱長為2的正方體ABCD--A′B′C′D′中，P是平面ABCD內(nèi)一點，則點P到平面A′B′C′D′的距離是(

)A．1

B．2C．3

D．4答案：B4．在正方體ABCD--A1B1C1D1中，直線AC與平面A1D所成的角為________．45°解析：如圖，因為CD⊥平面ADD1A1，所以直線AC與平面A1D所成的角為∠CAD，因為△ADC是等腰直角三角形，所以∠CAD＝45°.題型1直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用例1如圖，已知正方體ABCD--A1B1C1D1.(1)求證：A1C⊥B1D1.(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.

方法歸納(1)若已知一條直線和某個平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個平面垂直．(2)在證明時注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練1

如圖所示，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1.

題型2有關(guān)距離的計算例2已知在