5.2 概率及運(yùn)算 2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊

高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊第五章概率5.2概率及運(yùn)算5.2.1古典概型

狀元隨筆(1)由古典概型的定義可得古典概型滿足基本事件的有限性和等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不用通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過對一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．(2)在古典概型中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相等，稱這些基本事件為等可能基本事件．

要點(diǎn)二概率的基本性質(zhì)(1)任何事件的概率P(A)滿足0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率為1，即P(Ω)＝1.(3)不可能事件的概率為0，即P(?)＝0.

√×××2．下列試驗(yàn)中是古典概型的是(

)A．在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽B．口袋里有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取一球C．向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的D．射擊運(yùn)動員向一靶心進(jìn)行射擊，試驗(yàn)結(jié)果為命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中0環(huán)答案：B

答案：B

4．在20瓶飲料中，有2瓶已過了保質(zhì)期．從中任取1瓶，取到已過保質(zhì)期的飲料的概率是________．

題型1古典概型的判斷例1

(多選)下列概率模型中，是古典概型的是(

)A．從集合{x∈R|1≤x≤10}中任取一個(gè)數(shù)，求取到4的概率B．從集合{x∈Z|1≤x≤10}中任取一個(gè)數(shù)，求取到4的概率C．從裝有2個(gè)白球和3個(gè)紅球的盒子中任取2個(gè)球(除顏色外其他均相同)，求取到一白一紅的概率D．向上拋擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，求出現(xiàn)正面向上的概率答案：BC解析：A不是古典概型．因?yàn)閺膮^(qū)間[1，10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，雖滿足等可能性，但由于區(qū)間內(nèi)有無數(shù)個(gè)對象可取，所以它不具備“有限性”這個(gè)條件．B是古典概型．因?yàn)樵囼?yàn)結(jié)果只有10個(gè)，并且每個(gè)數(shù)被抽到的可能性相等，所以它不僅具備“有限性”，而且還具備“等可能性”．C是古典概型．道理同B.D不是古典概型．雖然試驗(yàn)的結(jié)果只有2種，但是這枚硬幣的質(zhì)地不均勻，故它不具備“等可能性”．方法歸納判斷古典概型的方法(1)一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于是否具有兩個(gè)特征：有限性和等可能性．(2)并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型，下列三類試驗(yàn)都不是古典概型：①樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，但非等可能．②樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無限，但等可能．③樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無限，也不等可能．跟蹤訓(xùn)練1

下列試驗(yàn)不是古典概型的是(

)A．從6名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性大小B．同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為6的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率答案：C解析：ABD是古典概型，因?yàn)榉瞎诺涓判偷亩x和特點(diǎn)．C不是古典概型，因?yàn)椴环系瓤赡苄?，降雨受多方面因素影響．題型2簡單的古典型概率的計(jì)算例2

在集合{1，2，3，4，5}中，任取兩個(gè)不同的數(shù)，觀察結(jié)果．(1)樣本空間共有多少個(gè)樣本點(diǎn)？(2)A＝“兩數(shù)之和等于6”，求P(A)．

方法歸納求古典概型的概率有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)判斷是否是古典概型；(2)準(zhǔn)確求出樣本空間和每個(gè)事件的樣本點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練2

(1)擲兩顆骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于8的概率等于____．

(2)2021年湖南新高考實(shí)行“3＋1＋2模式”，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理與歷史2選1，政治、地理、化學(xué)和生物4選2，共有12種選課模式．今年高一小明與小芳都準(zhǔn)備選歷史與政治，假設(shè)他們都對后面三科沒有偏好，則他們選課相同的概率為________．

題型3較復(fù)雜的古典概型的概率計(jì)算角度1與順序有關(guān)的古典概型例3有A，B，C，D四位貴賓，應(yīng)分別坐在a，b，c，d四個(gè)席位上，現(xiàn)在這四人均未留意，在四個(gè)席位上隨便就坐時(shí)．(1)求這四人恰好都坐在自己席位上的概率；(2)求這四人恰好都沒坐在自己席位上的概率；(3)求這四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．

解析：將A，B，C，D四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來：如圖所示，本題中的等可能基本事件共有24個(gè)．

角度2與順序無關(guān)的古典概型例4一般地，一個(gè)大于1的正整數(shù)可以表示為兩個(gè)或兩個(gè)以上的正整數(shù)之和，我們定義：將一個(gè)正整數(shù)n(n>1)表示為k個(gè)正整數(shù)的和，叫做正整數(shù)n的k拆分，若不考慮拆分部分之間的順序，稱為正整數(shù)n的無序k拆分．例如，4的所有無序2拆分記作：{1，3}，{2，2}．(1)寫出9的所有無序2拆分；(2)從9的所有無序3拆分中任取一個(gè)，求“所取拆分中的3個(gè)數(shù)可以作為△ABC的三邊長”的概率．

方法歸納解決有序和無序問題應(yīng)注意兩點(diǎn)(1)不放回抽樣，既可看成是有序的，也可看成是無序的，不影響結(jié)果，但必須注意觀察角度要一致．(2)放回抽樣，注意在連續(xù)抽取兩次時(shí)因順序不同所得到的樣本點(diǎn)也不同，所以存在順序．跟蹤訓(xùn)練3

從含有兩件正品a1，a2和一件次品b的三件產(chǎn)品中，每次任取一件．(1)若每次取后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率．(2)若每次取后放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率．

易錯(cuò)辨析對“有序”和“無序”判斷不準(zhǔn)而出錯(cuò)例5

甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有5道不同的題目，其中選擇題3道，填空題2道．甲、乙兩人依次抽取1道題，求甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率．

易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得在計(jì)算基本事件的總數(shù)時(shí)，若分不清“有序”和“無序”，將會出現(xiàn)“重算”或“漏算”的錯(cuò)誤．突破這一思維障礙的方法是交換次序，看是否對結(jié)果造成影響，有影響是“有序”，無影響是“無序”．

答案：C

答案：C

答案：B

4．袋子中有大小和質(zhì)地完全相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅球，2個(gè)白球，不放回地從中依次隨機(jī)摸出2球，則2球顏色相同的概率等于________．

5．現(xiàn)共有6家企業(yè)參與某項(xiàng)工程的競標(biāo)，其中A企業(yè)來自遼寧省，B，C兩家企業(yè)來自福建省，D，E，F(xiàn)三家企業(yè)來自河南?。隧?xiàng)工程需要兩家企業(yè)聯(lián)合施工，假設(shè)每家企業(yè)中標(biāo)的概率相同．(1)列舉所有企業(yè)的中標(biāo)情況；(2)在中標(biāo)的企業(yè)中，至少有一家來自福建省的概率是多少？

高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊第五章概率5.2概率及運(yùn)算5.2.2概率的運(yùn)算

P(A)＋P(B)1－P(A)

×√××

答案：A

3．甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動員在一場比賽中甲獲勝的概率是0.2，若不出現(xiàn)平局，那么乙獲勝的概率為(

)A．0.2B．0.8C．0.4D．0.1答案：B解析：乙獲勝的概率為1－0.2＝0.8.

0.3

題型1利用概率的加法公式求概率例1黃種人群中各種血型的人所占的比例見下表：已知同種血型的人可以互相輸血，O型血可以給任一種血型的人輸血，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血．小明是B型血，若他因病需要輸血，問：(1)任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是多少？(2)任找一個(gè)人，其血不能輸給小明的概率是多少？血型ABABO該血型的人所占的比例/%2829835解析：對任何一個(gè)人，其血型為A，B，AB，O型血的事件分別記為A′，B′，C′，D′，它們是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.(1)因?yàn)锽，O型血可以輸給B型血的人，所以“任找一個(gè)人，其血可以輸給小明”為事件B′＋D′，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，得P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能輸給B型血的人，故“任找一個(gè)人，其血不能輸給小明”為事件A′＋C′，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.方法歸納運(yùn)用概率的加法公式解題的步驟：(1)確定題中哪些事件彼此互斥；(2)將待求事件拆分為幾個(gè)互斥事件之和；(3)先求各互斥事件分別發(fā)生的概率，再求和．跟蹤訓(xùn)練1

在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績在90分(及90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括80分和89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，求：(1)小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上的成績的概率；(2)小明數(shù)學(xué)考試及格的概率．解析：分別記小明的成績在“90分(及90分)以上”“80分～89分”“70分～79分”“60分～69分”為事件A，B，C，D，這四個(gè)事件彼此互斥．(1)小明的成績在80分以上的概率是P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)方法一小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.方法二小明數(shù)學(xué)考試不及格的概率是0.07，所以小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是1－0.07＝0.93.

方法歸納(1)當(dāng)事件A的概率不易求，直接計(jì)算概率比較煩瑣時(shí)，可先間接地計(jì)算其對立事件B的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1求其概率．(2)應(yīng)用對立事件的概率公式時(shí)，一定要分清事件和其對立事件．該公式常用于“至少”“至多”型問題的求解．跟蹤訓(xùn)練2

一名射手在某次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21，0.23，0.25，0.28，計(jì)算這個(gè)射手在這次射擊中：(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率；(2)射中的環(huán)數(shù)低于7環(huán)的概率．

題型2一般概率加法公式的應(yīng)用例3如圖，一面旗幟由3部分構(gòu)成，這3部分必須分別涂上不同的顏色，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、黑四種顏色可供選擇，計(jì)算下列事件的概率：(1)紅色被選中；(2)第1部分是黑色或第2部分是紅色．

方法歸納概率加法公式和一般概率加法公式的區(qū)別在于A，B是否互斥．跟蹤訓(xùn)練3

在所有的兩位整數(shù)中，任取一個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)能被2或3整除的概率．