新教材2023版高中數(shù)學第三章空間向量與立體幾何4向量在立體幾何中的應(yīng)用4.2用向量方法研究立體幾何中的位置關(guān)系第2課時空間中直線平面的垂直學生用書北師大版選擇性必修第一冊

第2課時空間中直線、平面的垂直[教材要點]要點空間垂直關(guān)系的向量表示設(shè)向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量，則線線垂直l⊥m?l⊥m線面垂直l⊥α?l∥n1面面垂直α⊥β?n1⊥n2[基礎(chǔ)自測]1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若兩直線方向向量的數(shù)量積為0，則這兩條直線一定垂直相交．()(2)若一直線與平面垂直，則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0.()(3)兩個平面垂直，則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直．()(4)如果一個向量與平面內(nèi)兩個向量垂直，則此向量是平面的一個法向量．()2．若直線l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量為n＝(－2，0，－4)，則()A．l∥αB．l⊥αC．l?αD．l與α斜交3．設(shè)直線l的方向向量u＝(－2，2，t)，平面α的一個法向量v＝(6，－6，12)，若直線l⊥平面α，則實數(shù)t等于()A．4B．－4C．2D．－24．已知平面α和平面β的法向量分別為a＝(1，2，3)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，則x＝________．題型一直線與直線垂直例1已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CN＝14CC1.求證：AB1⊥MN方法歸納建立空間直角坐標系，將兩直線的方向向量用坐標表示，再證明其數(shù)量積為0.跟蹤訓練1已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，點E為CC1的中點，點F為BD1的中點．證明：EF⊥BD1，EF⊥CC1.題型二直線與平面垂直例2如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點．求證：A1O⊥平面GBD.方法歸納利用坐標法證明線面垂直的步驟方法一1．建立空間直角坐標系；2．將直線的方向向量用坐標表示；3．找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量；4．分別計算直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0.方法二1．建立空間直角坐標系；2．將直線的方向向量用坐標表示；3．求出平面的法向量；4．證明直線的方向向量與平面的法向量平行．跟蹤訓練2如圖，已知平面BCC1B1是圓柱的軸截面(經(jīng)過圓柱的軸的截面)，BC是圓柱底面的直徑，O為底面圓心，E為CC1的中點，A是底面圓周上異于B，C的一點，A1是上底面圓周上異于B1，C1的一點，且AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝4，求證：B1O⊥平面AEO.題型三平面與平面垂直例3在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分別是AC、AD的中點，求證：平面BEF⊥平面ABC.方法歸納1．利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€途徑，一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，證明兩個法向量垂直，從而得到兩個平面垂直．2．利用法向量證明面面垂直思路比較簡單，但往往運算量大；而利用面面垂直的判定定理證明則運算量較小，但思維難度比較大，這兩種策略同學們要靈活選擇．跟蹤訓練3在正三棱錐(底面是正三角形且側(cè)棱相等)P－ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分別為BC、PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求證：平面GEF⊥平面PBC.[課堂十分鐘]1．若直線l1、l2的方向向量分別為a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，則l1與l2的位置關(guān)系是()A．l1⊥l2B．l1∥l2C．l1、l2相交不垂直D．不能確定2．若平面α的法向量為u＝(1，－3，－1)，平面β的法向量為v＝(8，2，2)，則()A．α∥βB．α與β相交C．α⊥βD．不確定3．已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則BP等于(A．407，15C．-407，4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中點．證明：CD⊥平面PAE.第2課時空間中直線、平面的垂直新知初探·課前預(yù)習[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，∴n∥a，∴l(xiāng)⊥α.答案：B3．解析：因為直線l⊥平面α，所以u∥v，則-26＝2-解得t＝－4，故選B.答案：B4．解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x－4＋9＝0，∴x＝－5.答案：－5題型探究·課堂解透例1證明：設(shè)AB中點為O，作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標原點，OB為x軸，OC為y軸，OO1為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．由已知得A(－12，0，0)，B(12，0，C(0，32，0)，N(0，32，14)，B1(1∵M為BC中點，∴M(14，3∴MN＝-14，34，1∴MN·AB1＝－14∴MN⊥AB1，∴跟蹤訓練1證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0，1，0)，D1(1，0，2)，C1(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(12，12，1)，C(0，∴EF＝12，12，0，CC∴EF·BD1例2證明：方法一如圖以D為坐標原點，DA、DC、DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．設(shè)正方體棱長為2，則O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，∴OA1＝(1，－1，2)，OB＝(1，1，0)，BG＝(－2，0而OA1·OB＝1－1＋0＝0，OA1·BG＝－2＋∴OA1⊥OB，OA1⊥BG，即OA而OB∩BG＝B∴OA1⊥平面GBD.方法二同方法一建系后，BG＝(－2，0，1)，BD＝(－2，－2，0)，設(shè)平面GBD的法向量為n＝(x，y，z)則BG·n令x＝1，得z＝2，y＝－1，∴平面GBD的一個法向量為n＝(1，－1，2)顯然A1O＝(－1，1，－2)＝－∴A1O∥n，∴A1O⊥平面跟蹤訓練2證明：由題意可知AB，AC，AA1兩兩互相垂直，以A為原點，AB，AC，AA1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(4，0，0)，E(0，4，2)，O(2，2，0)，B1(4，0，4)，∴B1O＝(－2，2，－4)，EO＝(2，－2，－2)，AO＝(2，2，設(shè)平面AEO的法向量為n＝(x，y，z)，則n即2x令x＝1，得平面AEO的一個法向量為n＝(1，－1，2)．∵B1O＝(－2，2，－4)＝－2n，∴B1O∥n，∴B1O例3證明：以B為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)A(0，0，a)，則易得B(0，0，0)，C(32a，32a，0)，D(0，3a，0)，E(34a，34a，a2)，F(xiàn)(0，3故AB＝(0，0，－a)，BC＝(32a，32a，設(shè)平面ABC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則n1·取x1＝1∴n1＝(1，－1，0)為平面ABC的一個法向量．設(shè)n2＝(x2，y2，z2)為平面BEF的一個法向量，同理可得n2＝(1，1，－3)．∵n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－3)＝0，∴平面BEF⊥平面ABC.跟蹤訓練3證明：以三棱錐的頂點P為原點，以PA、PB、PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．令PA＝PB＝PC＝3，則A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(xiàn)(0，1，0)，G(1，1，0)，P(0，0，0)∴EF＝(0，－1，－1)，EG＝(1，－1，－1)．設(shè)平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，則有n⊥EF，n⊥EG.∴y+z=0令y＝1，得z＝－1，x＝0即n＝(0，1，－1)∵n·PA＝0∴n⊥PA即平面PBC的法向量與平面EFG的法向量互相垂直．∴平面EFG⊥平面PBC.[課堂十分鐘]1．解析：由題意，直線l1、l2的方向向量分別為a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，a·b＝－2＋6－4＝0，∴l(xiāng)1與l2的位置關(guān)系是l1⊥l2.故選A.答案：A2．解析：∵平面α的法向量為u＝(1，－3，－1)，平面β的法向量為v＝(8，2，2)，∴u·v＝(1，－3，－1)·(8，2，2)＝8－6－2＝0.∴u⊥v，∴α⊥β.故選C.答案：C3．解析：因為AB⊥BC，所以AB·BC＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z＝0，所以z＝4，因為BP⊥平面ABC，所以BP⊥AB，且BP⊥BC，即1×(x－1)＋5y＋(－2)×(－3)＝0，且3(x－1)＋y＋(－3)×4＝0.解得x＝407，y＝－157，于是BP＝337答案：D4．證明：如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所