新教材2023版高中數(shù)學(xué)第一章直線與圓1直線與直線的方程1.5兩條直線的交點坐標學(xué)生用書北師大版選擇性必修第一冊

1.5兩條直線的交點坐標最新課標能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標．[教材要點]要點兩條直線的交點坐標已知兩條不重合的直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)若點P(x0，y0)是l1與l2的交點，則__________________(2)若兩直線方程組成的方程組A1x+B1y+C1=0，A狀元隨筆兩直線相交的條件：①將兩直線方程聯(lián)立，解方程組，依據(jù)解的個數(shù)判斷兩直線是否相交．當方程組只有一解時，兩直線相交．②設(shè)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2相交的條件是A1B2－A2B1≠0或A1A2≠B1B2(A2③若兩直線斜率都存在，設(shè)兩條直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則l1與l2相交?k1≠k2.[基礎(chǔ)自測]1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)兩條直線不相交就平行．()(2)若兩直線相交，則交點坐標一定是兩直線方程所組成的二元一次方程組的解．()(3)兩直線平行，則由兩直線方程組成的方程組無解．()(4)若兩直線重合，則由兩直線方程組成的方程組有無數(shù)組解.()2．直線x＝1和直線y＝2的交點坐標是()A．(2，2)B．(1，1)C．(1，2)D．(2，1)3．兩條直線l1：2x－y－1＝0與l2：x＋3y－11＝0的交點坐標為()A．(3，2)B．(2，3)C．(－2，－3)D．(－3，－2)4．已知兩條直線l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1與l2相交，則實數(shù)a滿足的條件是________．題型一兩直線的交點問題例1分別判斷下列直線是否相交，若相交，求出它們的交點．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.方法歸納兩條直線相交的判定方法方法一：聯(lián)立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交．方法二：兩直線斜率都存在且斜率不等．方法三：兩直線的斜率一個存在，另一個不存在．跟蹤訓(xùn)練1(1)[多選題]下列直線與直線x－2y＋1＝0相交的是()A．x－2y＋3＝0B．2x＋y＋1＝0C．x2+y4＝1D．y＝(2)若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一點，則k的值為()A．－2B．－1C．2D．1題型二過兩直線交點的直線方程例2求過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0平行的直線方程．變式探究本例中若將“平行”改為“垂直”，又如何求解？方法歸納過兩條直線交點的直線方程的求法1．常規(guī)解法(方程組法)：一般是先解方程組求出交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．2．特殊解法(直線系法)：先設(shè)出過兩條直線交點的直線方程，再結(jié)合其他條件用待定系數(shù)法求出參數(shù)，最后確定直線方程．跟蹤訓(xùn)練2直線l經(jīng)過原點，且經(jīng)過另兩條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交點，則直線l的方程為()A．2x＋y＝0B．2x－y＝0C．x＋2y＝0D．x－2y＝0易錯辨析求點的坐標時因位置關(guān)系不清而致誤例3已知平行四邊形三個頂點的坐標分別為(－1，－2)，(3，1)，(0，2)，求這個平行四邊形第四個頂點的坐標．解析：設(shè)點A的坐標為(－1，－2)，點B的坐標為(3，1)，點C的坐標為(0，2)，第四個頂點D的坐標為(x，y)．(1)若四邊形ABCD是平行四邊形，則x+3解得x=所以點D的坐標為(－4，－1)．(2)若四邊形ABDC是平行四邊形，則x解得x=4所以點D的坐標為(4，5)．(3)若四邊形ACBD是平行四邊形，則-解得x=2所以點D的坐標為(2，－3)．綜上所述，這個平行四邊形第四個頂點的坐標為(－4，－1)或(4，5)或(2，－3)．【易錯警示】易錯原因糾錯心得誤認為是平行四邊形，考慮不全面而漏解考慮問題時，弄清平行四邊形頂點的順序，本題除了平行四邊形ABCD外，還有平行四邊形ABDC，平行四邊形ACBD.[課堂十分鐘]1．直線2x－y＝7與直線3x＋2y－7＝0的交點坐標是()A．(3，－1)B．(－1，3)C．(－3，－1)D．(3，1)2．已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－12x＋2的交點在第四象限，則實數(shù)k的取值范圍是(A．-12，C．-16，3．經(jīng)過直線2x－y＋4＝0與x－y＋5＝0的交點，且垂直于直線x－2y＝0的直線方程是()A．2x＋y－8＝0B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0D．2x－y＋8＝04．直線ax＋2y＋8＝0，x＋3y－4＝0和5x＋2y＋6＝0相交于一點，則a的值為________．1．5兩條直線的交點坐標新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(1)A1x0＋B1y0＋C1＝0A2x0＋B2y0＋C2＝0(2)相交(x0，y0)公共解[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：由x=1，y=2.得交點坐標為答案：C3．解析：解方程組2x－y－1＝0，答案：B4．解析：由題意得6a－12≠0，即a≠2.答案：a≠2題型探究·課堂解透例1解析：(1)方程組2x－因此直線l1和l2相交，交點坐標為(3，－1).(2)方程組2x這表明直線l1和l2重合．(3)方程組4x這表明直線l1和l2沒有公共點，故l1∥l2.跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)由兩條直線的斜率可判斷知A、D與直線x－2y＋1＝0平行，B、C與直線x－2y＋1＝0相交，故選BC.(2)易求直線2x＋3y＋8＝0與x－y－1＝0的交點坐標為(－1，－2)，代入x＋ky＝0，得k＝－12.故選答案：(1)BC(2)B例2解析：方法一解方程組2得x＝－35，y＝－7又所求直線與直線3x＋y－1＝0平行，所以所求直線的斜率為－3.故所求直線方程為y＋75＝－3(x＋35即15x＋5y＋16＝0.方法二設(shè)所求直線方程為(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)由于所求直線與直線3x＋y－1＝0平行，所以有（得λ＝112，代入(*)式得(2＋112)x＋(112－3)y＋(2×112－3)＝0，即15變式探究解析：設(shè)所求直線方程為(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，由于所求直線與直線3x＋y－1＝0垂直，則3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34所以所求直線方程為5x－15y－18＝0.跟蹤訓(xùn)練2解析：設(shè)所求直線方程為2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因為l過原點，所以λ＝8.則所求直線方程為2x－y＝0.故選B.答案：B[課堂十分鐘]1．解析：聯(lián)立兩直線的方程，得2x-y＝7，3x＋答案：A2．解析：由題意得k≠－12，由y＝kx＋2k＋1y＝-12x+2得x=-4答案：A3．