新教材2023版高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)二十九拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程湘教版選擇性必修第一冊(cè)

課時(shí)作業(yè)(二十九)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程[練基礎(chǔ)]1．[2022·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)高二期末]拋物線y＝x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(eq\f(1,2)，0)B．(eq\f(1,4)，0)C．(0，eq\f(1,2))D．(0，eq\f(1,4))2．已知在平面直角坐標(biāo)系中有一定點(diǎn)F(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)(x≥0)到y(tǒng)軸的距離為d，且|PF|－d＝1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()A．y2＝xB．y2＝4xC．y2＝8xD．y2＝2x3．拋物線y＝ax2(a≠0)的準(zhǔn)線方程是y＝1，則a的值為()A．eq\f(1,4)B．－eq\f(1,4)C．4D．－44．若拋物線x2＝8y上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為8，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為()A．6B．±6C．7D．±4eq\r(3)5．已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(4，y0)為C上一點(diǎn)，若|MF|＝2y0，則C的準(zhǔn)線方程為()A．x＝－2B．y＝－2C．x＝－3D．y＝－36.(多選)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．若直線AF的斜率k＝－eq\r(3)，則下列結(jié)論正確的是()A．準(zhǔn)線方程為x＝－3B．焦點(diǎn)坐標(biāo)F(eq\f(3,2)，0)C．點(diǎn)P的坐標(biāo)為(eq\f(9,2)，3eq\r(3))D．PF的長(zhǎng)為37．[2022·湖南平江一中高二月考]若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)是橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝________．8．拋物線x2＝2py(p＞0)上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則該拋物線的方程為________．9．分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)過(guò)點(diǎn)(3，－4)；(2)焦點(diǎn)在直線x＋3y＋15＝0上．[提能力]10．如圖，已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)，邊長(zhǎng)為1的等邊三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB⊥x軸，則以O(shè)為頂點(diǎn)且過(guò)A，B的拋物線方程為()A．y2＝eq\f(3,2)xB．y2＝4xC．y2＝eq\f(\r(3),3)xD．y2＝eq\f(\r(3),6)x11．[2022·湖南師大附中高二期末](多選)設(shè)拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)M為C上一動(dòng)點(diǎn)，E(3，1)為定點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．準(zhǔn)線l的方程是x＝－2B．|ME|－|MF|的最大值為2C．|ME|＋|MF|的最小值為5D．以線段MF為直徑的圓與y軸相切12．[2022·湖南長(zhǎng)沙高二期末]已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l于A，若直線AF的傾斜角為120°，那么|PA|＝________．13．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線上，MN垂直x軸與于點(diǎn)N.若|MF|＝6，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為________；△MNF的面積為________．14．設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P到直線x＝－1的距離為d，A(－1，1)，求|PA|＋d的最小值；(2)若B(3，2)，求|PB|＋|PF|的最小值．[培優(yōu)生]15．已知P1、P2、P3、…、P10是拋物線y2＝8x上不同的點(diǎn)，點(diǎn)F(2，0)，若FP1＋FP2＋…＋FP10＝0，則|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP10|＝________．課時(shí)作業(yè)(二十九)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1．解析：由于拋物線的方程為y＝x2，所以2p＝1，p＝eq\f(1,2)，則eq\f(p,2)＝eq\f(1,4)，所以拋物線y＝x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，eq\f(1,4)).答案：D2．解析：∵動(dòng)點(diǎn)P(x，y)(x≥0)到y(tǒng)軸的距離為d，且|PF|－d＝1，∴動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1，0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線，并且其焦點(diǎn)為：F(1，0)，準(zhǔn)線為：x＝－1，所以其拋物線的方程為y2＝4x.答案：B3．解析：根據(jù)題意，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：x2＝eq\f(1,a)y，又其準(zhǔn)線是y＝1，故a＜0，且－eq\f(1,4a)＝1，解得a＝－eq\f(1,4).答案：B4．解析：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，因?yàn)閽佄锞€方程為x2＝8y，所以其準(zhǔn)線方程為y＝－2，又因?yàn)閽佄锞€上點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為8，由拋物線的定義得：y－(－2)＝8，解得y＝6，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6.答案：A5．解析：因點(diǎn)M(4，y0)在拋物線x2＝2py上，則y0＝eq\f(8,p)，拋物線C的準(zhǔn)線：y＝－eq\f(p,2)，又|MF|＝2y0，于是由y0＋eq\f(p,2)＝2y0得：y0＝eq\f(p,2)，因此，eq\f(8,p)＝eq\f(p,2)，而p＞0，解得p＝4，所以C的準(zhǔn)線方程為y＝－2.答案：B6．解析：由拋物線方程為y2＝6x，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)F(eq\f(3,2)，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(3,2)，A錯(cuò)B對(duì)；∵直線AF的斜率為－eq\r(3)，∴直線AF的方程為y＝－eq\r(3)(x－eq\f(3,2))，當(dāng)x＝－eq\f(3,2)時(shí)，y＝3eq\r(3)，∴A(－eq\f(3,2)，3eq\r(3))，∵PA⊥l，A為垂足，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3eq\r(3)，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(eq\f(9,2)，3eq\r(3))，C對(duì)；根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PA|＝eq\f(9,2)－(－eq\f(3,2))＝6，D錯(cuò)．答案：BC7．解析：因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)是(eq\f(p,2)，0)，故橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)也為(eq\f(p,2)，0)，可得eq\f(p,2)＝eq\r(3p－p)，解得p＝8.答案：88．解析：根據(jù)題意，拋物線x2＝2py的準(zhǔn)線為y＝－eq\f(p,2)，因?yàn)榭v坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離也為5，則有2－(－eq\f(p,2))＝5，解得：p＝6，所以拋物線的方程為x2＝12y.答案：x2＝12y9．解析：(1)∵點(diǎn)(3，－4)在第四象限，∴拋物線開口向右或向下，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).將(3，－4)的坐標(biāo)分別代入方程中，∴由(－4)2＝2p×3，得：2p＝eq\f(16,3)；由32＝－2p1×(－4)，得2p1＝eq\f(9,4).∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y.(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴拋物線的焦點(diǎn)為(0，－5)或(－15，0).∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－20y或y2＝－60x.10．解析：因?yàn)榈冗吶切蜛OB邊長(zhǎng)為1，且AB⊥x軸，不妨設(shè)A(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以(eq\f(1,2))2＝2p×eq\f(\r(3),2)，解得p＝eq\f(\r(3),12)，所以拋物線方程為y2＝eq\f(\r(3),6)x.答案：D11．解析：因?yàn)閽佄锞€的方程為y2＝8x，所以p＝4，則準(zhǔn)線l的方程是x＝－eq\f(p,2)＝－2，因此選項(xiàng)A正確；因?yàn)榻裹c(diǎn)F(2，0)，則|ME|－|MF|≤|EF|＝eq\r(（3－2）2＋（1－0）2)＝eq\r(2)，當(dāng)點(diǎn)F在線段ME上時(shí)取等號(hào)，所以|ME|－|MF|的最大值為eq\r(2)，因此選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的；過(guò)點(diǎn)M，E分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A，B，則|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MA|≥|EB|＝5，當(dāng)點(diǎn)M在線段EB上時(shí)取等號(hào)，所以|ME|＋|MF|的最小值為5，因此C選項(xiàng)正確；設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)，線段MF的中點(diǎn)為D，則xD＝eq\f(x0＋2,2)＝eq\f(|MF|,2)，所以以線段MF為直徑的圓與y軸相切，因此D選項(xiàng)正確．答案：ACD12．解析：如圖，令拋物線準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)E，連PF，點(diǎn)F(1，0)，直線l：x＝－1，因直線AF的傾斜角為120°，則有∠AFE＝60°，又PA⊥l于A，即PA∥x軸，得∠PAF＝60°，由拋物線定義知：|PF|＝|PA|，于是得△PAF為正三角形，即|PA|＝|AF|＝2|EF|＝4，所以|PA|＝4.答案：413．解析：因?yàn)閽佄锞€的方程為y2＝4x，故p＝2且F(1，0).因?yàn)閨MF|＝6，xM＋eq\f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq\r(5)，所以S△FMN＝eq\f(1,2)×(5－1)×2eq\r(5)＝4eq\r(5).答案：54eq\r(5)14．解析：(1)依題意，拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.由拋物線的定義，知|PF|＝d，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PA|＋|PF|的最小值．連接AF，交拋物線于點(diǎn)P，則最小值為eq\r(22＋12)＝eq\r(5).(2)把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入y2＝4x中，得y＝±eq\r(12)，因?yàn)閑q\r(12)>2，所以點(diǎn)B在拋物線內(nèi)部．自點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1(如圖)，由拋物線的定義，知|P1Q|＝|P1F|，則|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即|PB|＋|PF|的最小值為4.15．解析：設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，…，P10(x10，y10)，分別過(guò)P1，P2，P3，…，P10，作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為Q1，Q2，Q3，…，Q1