2023年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題（試卷）（附答案解析）VIP

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）理科數(shù)學一、選擇題1.設集合A{xkkZB{xkkZ}U為整數(shù)集，U(AB)（）{x|xk,k}{xkkZ}A.D.{xkkZ}2.若復數(shù)ai1iaRa（））A.0·1D.23.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的B（A.213455D.89abc2cosac,bc4.abc0（）12524A.D.555aaSaSS4S（45.已知正項等比數(shù)列為前n項和，）n1nn53A.7915D.306.有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部概率為（A..80.4）0.2D.0.1第頁共頁7.“sin2sin21”“sin0”（）A.充分條件但不是必要條件充要條件必要條件但不是充分條件D.既不是充分條件也不是必要條件x22y22(x2(y1A，28.已知雙曲線ab的離心率為5，其中一條漸近線與圓abB兩點，則||（）14555255AD.559.有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務選擇種數(shù)為（）A.1206040D.30ππ112fxy2xyfxyx向左平移與10.為函數(shù)的交點個662數(shù)為（）A.123D.4在四棱錐P為正方形，PCA45積為（）A.223242D.52x2y23F,FFPF|PO1212.己知橢圓1，OP為橢圓上一點，12965（）2530235352A.D.二、填空題πy(x2axsinxa13.若為偶函數(shù)，則________．22x3y33x2y3xy1z3x2yz的最大值為____________．14.設x，y滿足約束條件ABCDAB的中點，則以為直徑的球面與正方體每條1115.在正方體中，，F(xiàn)分別為CD，1111第頁共頁棱的交點總數(shù)為____________．16.在中，AB2，60,6，D為上一點，為的平分線，則AD_________．三、解答題aa12Sa2Sn．n17.已知數(shù)列為前n項和，nnna1）求的通項公式；nan12）求數(shù)列nTn．2n-ABC12ACABC，A1B到平面的距離為1．118.在三棱柱，11111C1）求證：2）若直線；1B與平面所成角的正弦值．1與距離為211119.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組1）設其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為XX的分布列和數(shù)學期望；2）測得40只小鼠體重如下（單位：g對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.414.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0i40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：mm對照組第頁共頁實驗組ii）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用．參考數(shù)據(jù)：k00.100.050.0106.635Pk2k02.7063.841x2y10與拋物線C:y22px(p0),B兩點，且|420.已知直線．p1）求；2）設C的焦點為，MN為C上兩點，0MNF面積的最小值．sinxπf(x),x21.3x21）若a8，討論f(x)的單調性；f(x)sin2x2）若恒成立，求a的取值范圍．四、選做題x2t22.Pl:（t為l的傾斜角，l與x軸，y軸正半軸交于AB兩y1tsin||||4．1）求的值；2）以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求l的極坐標方程．f(x)2xa,a023.．1）求不等式fxx的解集；yfx與坐標軸所圍成的圖形的面積為2．a(chǎn)2）若曲線第頁共頁第頁共頁2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）理科數(shù)學一、選擇題1.設集合A{xkkZB{xkkZ}U為整數(shù)集，U(AB)（）{x|xk,k}{xkkZ}A.D.{xkkZ}【答案】A【解析】【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補集的運算即可解出．【詳解】因為整數(shù)集Zx|xk,kZx|xkkZx|xkkZ，UZ，所eABx|xk,kU．故選：A．2.若復數(shù)ai1iaRa（）A.0·1D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的代數(shù)運算以及復數(shù)相等即可解出．【詳解】因為ai1aiaa2iia2a1ai22，2a2，解得：a1．1a02故選：3.執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的B（）第1共頁A.213455D.89【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖模擬運行，即可解出．【詳解】當n1時，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，A123，B325，n112；當n2時，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，A358，B85，n213；當n3時，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，A821，B21，n314；當n4時，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出B．故選：abc2cosac,bc4.abc0（）125245A.D.55【答案】D【解析】【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.rr【詳解】因為abc0,a+b=-c,r即a2babc2,即112ab2,ab0.2如圖,設a,b,c,第2共頁由題知,2,是等腰直角三角形,22邊上的高,AD,222322CDCO2,2CD13,cos,3ac,bc2221234521.10故選aaSaSS4S（45.已知正項等比數(shù)列為前n項和，）n1nn53A7915D.30【答案】C【解析】qqS【分析】根據(jù)題意列出關于的方程,計算出,即可求出.4【詳解】由題知1qq2q3q451qq24,q3q4qq2即q3q2q40,即(q2)(qq0.即q0q=2由題知,.S41248.故選6.有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球第3共頁俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（）A..80.40.2D.0.1【答案】A【解析】從而得出某人報足球俱樂部的概率和報兩個俱樂部的概率,利用條件概率的知識求解.【詳解】報名兩個俱樂部的人數(shù)為，記“某人報足球俱樂部”為事件A,記“某人報兵乓球俱樂部”為事件B，547則P(),P(AB)，74P(AB)P()75P().7故選:A.7.“sin2sin21”“sin0”）A.充分條件但不是必要條件充要條件必要條件但不是充分條件D.既不是充分條件也不是必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關系得解.π【詳解】當sin即sinsin2sin21時，例如,0但sin0，2221推不出sin0；sin()即sin0能推出sinsin1.當sin0sin222sin1，222綜上可知，sin故選：B2sin1是sin0成立的必要不充分條件.2x22y22(x2(y1A，28.已知雙曲線ab的離心率為5，其中一條漸近線與圓abB兩點，則||（）第4共頁154555255A.D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.c22a2b2ba22【詳解】由e515，aa2b2，ay2x所以雙曲線的一條漸近線不妨取，|223|5(2,到漸近線d則圓心，21521545所以弦長||2r故選：D2d221.59.有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)為（）A.1206040D.30【答案】B【解析】【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天社區(qū)服務的情況，即可得解.a,b,c,d,e【詳解】不妨記五名志愿者為，aA244人抽取2種方法，同理：,c,d,e連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務，也各有12種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務的選擇種數(shù)有5種.故選：ππ112fxy2xyfxyx10.為函數(shù)向左平移與的交點個662數(shù)為（）第5共頁A.123D.4【答案】C【解析】112fx2xfxyx與【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質求得，再作出的部分大致圖像，2112fxyx與考慮特殊點處【詳解】因為的大小關系，從而精確圖像，由此得解.2ππy2x向左平移個單位所得函數(shù)為66πππy2x2xsin2xfx2x，所以，662111與0而yx顯然過兩點，222112fxyx與的部分大致圖像如下，23π3π7π23π3π7π112x,2x,2xx,x,x處fxyx與的大小關系，22444223π3πsin13π11，y3π4當xf1；442242843π3π13π13π4當x當xfsinsin1，y1；4224287π47π7π217π1，y17π4f1；42428112fxyx與所以由圖可知，的交點個數(shù)為3.2故選：在四棱錐P為正方形，PCA45積為（）A.223242D.52第6共頁【答案】C【解析】，再在中利用余弦定理求得，從而求得17，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；1法二：先在中利用余弦定理求得，PCB33PB,17間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關于中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】法一：AC,OO為AC,的中點，如圖，，連結因為底面為正方形，AB4，所以42DOCO22，又PCPD3，POOP，所以，又PCPD3，42，所以，在PCAC42,PCA45，2則由余弦定理可得2222cos3292423，2故17，PCPB17,BC4，PC2BC2PB29161723413cosPCB，2PCBC223又0π，所以sin12，第7共頁11223的面積為Ssin3442.22法二：AC,OO為AC,的中點，如圖，，連結因為底面為正方形，AB4，所以42，在，2則由余弦定理可得2222cos32924232，22217923217PAPCPAPCAPC1733，17m,不妨記，2112POPAPCPBPD，所以PAPCPBPD，222222即則，PAPC2PAPCPBPD2PBPD923m2923m，整理得m2mcos110△PBDmcos0兩式相加得2m340m，PCPB17,BC4222cosm96m2m22，第8共頁PC2BC2PB29161723413cosPCB，2PCBC223又0π，所以sin12，1122的面積為Ssin3442.223故選：x2y23F,FOP為橢圓上一點，12FPF|PO1212.己知橢圓1，965（）2530235352A.D.【答案】B【解析】【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出△1F的面積，即可得到點P的坐標，從而得出的222方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出,，再結合中線的向量公式以及數(shù)量積1212即可求出；22方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．12π1【詳解】方法一：設F,0，所以Sb22b2tan，1212222sin212312由F2，解得：tan，12221tan2+sin5a2bca222b3，2由橢圓方程可知，111所以，S12FFy23y6，解得：y2p3，12pp222392922x2p91x2py2p3即，因此．6故選：B．方法二：因為222a62FFF，1212121212第9共頁6522即②，聯(lián)立①②，12121522解得：PFPF,PFPF21，1212211而，所以，121222211212322即．121122252故選：B．222a62FFF12121212方法三：因為，12652222即②，聯(lián)立①②，解得：21，12121230222222FF2PFPF42由中線定理可知，，易知FF23，解得：．121212故選：B．【點睛】本題根據(jù)求解的目標可以選擇利用橢圓中的二級結論焦點三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．二、填空題πy(x2axsinxa________．13.若為偶函數(shù)，則2【答案】2【解析】ππff【分析】利用偶函數(shù)的性質得到，從而求得a2，再檢驗即可得解.22π22yfxx1axsinxx1axx為偶函數(shù)，定義域為R，【詳解】因為222ππππππππffasa，2222222222ππ則a112πa2，222fxx12xxx21x，第頁共頁2fxx1xxxfx，2fx又定義域為R為偶函數(shù)，a2.故答案為：2.2x3y33x2y3xy1z3x2yz的最大值為____________．14.設x，y滿足約束條件【答案】15【解析】【分析】由約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求最值即可.【詳解】作出可行域，如圖，3z由圖可知，當目標函數(shù)yxAz有最大值，222x3y3x3,由3x2y3y3z3323.故答案為：1515.在正方體ABCDAB的中點，則以為直徑的球面與正方體每條11中，，F(xiàn)分別為CD，1111棱的交點總數(shù)為____________．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.【詳解】不妨設正方體棱長為2，EF中點為O，取AB，1,M，側面BBCCN的中心為11,,,,接，如圖，第共頁由題意可知，O為球心，在正方體中，即R2，222222，22則球心O到的距離為122212，21所以球O相切，球面與棱1個交點，11同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，所以以為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.故答案為：1216.在中，AB2，60,6，D為上一點，為的平分線，則AD_________．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據(jù)等面積法求出AD；方法二：利用余弦定理求出，再根據(jù)正弦定理求出B,C，即可根據(jù)三角形的特征求出．【詳解】c,b,a如圖所示：記方法一：由余弦定理可得，2b0，解得：b13，，2b222b606，SSS由可得，第頁共頁12112bsin2sin30bsin30，222313b2．解得：b3312故答案為：2．方法二：由余弦定理可得，22b222b606，因為b0，解得：b13，6b2622由正弦定理可得，，解得：sinB，sinC，sin6042sinBsinC因為1362，所以C，B180，6045又30o，所以ADAB2．故答案為：2．【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規(guī)．三、解答題aa12Sa2Sn前n項和，．n17.已知數(shù)列為nnna1）求的通項公式；nan12）求數(shù)列nTn．2nan1n【答案】（）1n2）n22n2【解析】S,n11an）根據(jù)即可求出；SS,n2nn12）根據(jù)錯位相減法即可解出．【小問1詳解】2Sn，n1aa0；1當n11第頁共頁當n3當n22133aa2，332Sn1n1n12SSnana2a，所以，nn1nn1nnn13化簡得：n2nnan31ann1，n1n1n22n2,3an1nNn*．當時都滿足上式，所以【小問2詳解】123nan1n1111，所以T1n23n，2n2n2222213nn11111n12(nn，22222兩式相減得，1n11123nn122112111111n，nn212222221n1nnn22n1，nN*．11222-ABC12ACABC，A1B到平面的距離為1．118.在三棱柱，11111C1）求證：2）若直線；1B與平面所成角的正弦值．1與距離為2111【答案】（）證明見解析132）13【解析】第頁共頁AO111O為1中點，即可得證；2）利用直角三角形求出的長及點A到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.1【小問1詳解】如圖，C，面，CAC,1AACC，，,111AB，1111AB，1111A1AOCC1于OAAO11A，1過作交，又平面BCCBCC，1111111O11A到平面B的距離為1，AO1，1111在Rt△ACCACAC,CC2，1111111設xCO2x1，△AOC△AOC△ACC為直角三角形，且12，11111CO2O2C2，O21212，C21C2，21x21(2x)24，解得x1，ACAC2，111ACC第頁共頁【小問2詳解】ACAC,，111Rt△≌Rt△CBBABA，1于DD為中點，1過B作11距離為2，所以21由直線與11D1，2，1B5，在△，BCAB3，AC22，連接CM1，CMAC,CMACA為平行四邊形，11由知四邊形1111CMAC1MAM，，111MRt△1M2AC,CMAC1(2AC)22，C，11△C22BCBC3，在AC(2AC)AC，11111AB1(22)2(2)2(3)213,1B又A到平面距離也為1，11131B與平面所成角的正弦值為.11131319.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組1）設其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為XX的分布列和數(shù)學期望；2）測得40只小鼠體重如下（單位：g對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.414.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0第頁共頁i40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：mm對照組實驗組ii）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用．參考數(shù)據(jù)：k00.100.050.0106.635Pk2k02.7063.841E(X)1【答案】（）分布列見解析，2i）m23.4ii【解析】）利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學期望；2i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得m23.4，從而求得列聯(lián)表；ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.【小問1詳解】依題意，X的可能取值為2，C020C22C120C2120C2C0P(XP(XP(X則，，，CCC2X的分布列為：X012197820391978P192019故E(X)0121.783978【小問2詳解】i4020位與第21位數(shù)據(jù)第頁共頁的平均數(shù)，由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀察對照組第一排數(shù)據(jù)與實驗組第二排數(shù)據(jù)即可，可得第位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，2021位數(shù)據(jù)為，23.223.6m23.4，2故列聯(lián)表為：m6m146對照組202040實驗組14202040(661414)202020202ii）由（i）可得，K6.4003.841，所以能有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.x2y10與拋物線C:y22px(p0),B兩點，且|4．20.已知直線p1）求；2）設C的焦點為，MN為C上兩點，0MNF面積的最小值．p2【答案】（）2）1282【解析】p）利用直線與拋物線的位置關系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出；2：xn，Mx,y,Nx,y,0m,nMNF1122的面積表達式，再結合函數(shù)的性質即可求出其最小值．【小問1詳解】Ax,y,Bx,y設，AABBx2y10由y242p0，所以yy4p,yy2p，可得，y22ABAB第頁共頁222ABxxyy5yy5yy4yy415，ABABABABAB2p2p60，因為p0，解得：p2．即【小問2詳解】F0，顯然直線的斜率不可能為零，設直線：xnMx,y,Nx,y，，1122y24x由可得，y244n0，所以，yym,yyn，1212xn16m216n0m2n0，xxyy00，所以，1212nnyy0即，12122myymnyyn0，12122yym,yyn將代入得，1212224mn26n1，4mnn0，2n1n26n10，解得n322或n322．n1F到直線的距離為d，所以d，1m222xxyy1m2yy1m216m16n212121221m24n26n16n21m2n1，11n1的面積Sd21mn1n2，2221m2而n322或n322，所以，2當n322的面積S2221282．m,n【點睛】本題解題關鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到的關系，一是為了減元，二是通過相互的制約關系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.sinxπf(x),x21.3x2第頁共頁1）若a8，討論f(x)的單調性；f(x)sin2x2）若恒成立，求a的取值范圍．【答案】（）答案見解析.(,3]2）【解析】）求導,然后令tx,討論導數(shù)的符號即可;2g(x)f(x)sin2x,g(x)的最大值,然后與0比較大小,的分界點,討論即可.aa2）構造【小問1詳解】x3x3sinxxsinx2f(x)ax62x3sin2x32cosx2aa4xx4令xt則t23tt32則f(x)gt)at2t2t2t3(2tt當af(x)gt)t2t21ππtx,,f(x)0.當,即2421π當t,1x,