高一數(shù)學(xué)《概率與統(tǒng)計(jì)》

概率默統(tǒng)計(jì)類概率默統(tǒng)計(jì)類第6講66.1隨機(jī)抽樣考點(diǎn)1：抽樣方法知識點(diǎn)睛知識點(diǎn)睛一．隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣：滿足每個個體被抽到的時機(jī)是均等的抽樣，共有三種經(jīng)常采用的隨機(jī)抽樣方法：1．簡單隨機(jī)抽樣：從元素個數(shù)為的總體中不放回地抽取容量為的樣本，如果每一次抽取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣．簡單隨機(jī)抽樣是最簡單、最根本的抽樣方法．⑴抽出方法：①抽簽法：用紙片或小球分別標(biāo)號后抽簽的方法．②隨機(jī)數(shù)表法：隨機(jī)數(shù)表是使用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)的應(yīng)用程序生成隨機(jī)數(shù)的功能生成的一張數(shù)表．表中每一位置出現(xiàn)各個數(shù)字的可能性相同．⑵簡單隨機(jī)抽樣必須具備以下特點(diǎn)：①簡單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)是有限的．②簡單隨機(jī)樣本數(shù)小于等于樣本總體的個數(shù)．③簡單隨機(jī)樣本是從總體中逐個抽取的．④簡單隨機(jī)抽樣是一種不放回的抽樣．⑤簡單隨機(jī)抽樣的每個個體被抽取的可能性均為．<教師備案>樣本獲取分為兩種，一種是全面統(tǒng)計(jì)，一種是樣本統(tǒng)計(jì)．全面統(tǒng)計(jì)的例子非常多，比方美國大選，每個州的選民都是通過投票選出每個州的負(fù)責(zé)人．也就是每個人都表達(dá)了自己的意見．再比方我們調(diào)查學(xué)生是海淀還是非海淀，我們也是給每個學(xué)生打了，訪談出結(jié)果，每個同學(xué)也都表達(dá)了自己的意見．再比方一些小事，像一群人中午的時候討論去哪吃飯，每個人都可以說自己喜歡的地方．全面統(tǒng)計(jì)的好處在于無遺漏，數(shù)據(jù)準(zhǔn)確無偏差，但是缺點(diǎn)也很明顯，那就是非常的繁瑣、麻煩．對于大數(shù)據(jù)的處理很無力，所以我們需要有樣本統(tǒng)計(jì)．樣本統(tǒng)計(jì)的意義就是從一個大數(shù)據(jù)中抽取數(shù)據(jù)樣本分析，通過對樣本的分析來估計(jì)原數(shù)據(jù)的性質(zhì)．于是首要的問題就是如何抽樣．一個合理的抽樣方法的根本要求是“平等”，也就是每個個體被抽取的可能性是相同的．比方我們發(fā)現(xiàn)，老師選出的學(xué)生代表很可能不能真正代表全體同學(xué)的意見，因?yàn)槔蠋熯x取的一定是自己比擬熟悉的學(xué)生，這類學(xué)生平時一定非?；顫姡鴮τ谝恍┍葦M內(nèi)向，“存在感”比擬低的同學(xué)來說，老師可能就不會關(guān)注，被選中的可能性就會降低．由此可以推知，人為的抽樣一般是不靠譜的．再比方，現(xiàn)在很多的新聞都有網(wǎng)上的調(diào)查，有的媒體通過網(wǎng)上調(diào)查的數(shù)據(jù)來分析廣闊人民對新聞的反應(yīng)．這樣的調(diào)查也是不靠譜的，因?yàn)榫W(wǎng)上調(diào)查反映出來的大多是經(jīng)常上網(wǎng)的人的意見，而對于平時不上網(wǎng)的人就沒有調(diào)查，所以這樣的抽樣也是不合理的．最常見的合理抽樣方式是“抓鬮”，這可以保證每個個體都能“等可能”的被選中．當(dāng)然抓鬮的方式有很多，比方很多時候我們不需要每個人都去抓一次，我們可以把每個人編一個號，然后由一個人來抽號就可以了．比方我們常見的彩票大致就是這個原理．不過需要注意的是彩票里面的等可能是對彩票是等可能的，對人不一樣，因?yàn)橐粋€人可以買很多彩票．<教師備案>老師在講完簡單隨機(jī)抽樣后可以讓學(xué)生做例1的【鋪墊】⑴，本小題主要是讓學(xué)生理解什么是總體，什么是個體，什么是樣本容量，因?yàn)楹唵坞S機(jī)抽樣比擬簡單，而且在后邊要講的系統(tǒng)抽樣和分層抽樣中都要用到，所以這里就不再詳細(xì)講解了．2．系統(tǒng)抽樣：將總體分成均衡的假設(shè)干局部，然后按照預(yù)先制定的規(guī)那么，從每一局部抽取一個個體，得到所需要的樣本的抽樣方法．系統(tǒng)抽樣適用于大規(guī)模的抽樣調(diào)查，由于抽樣間隔相等，又被稱為等距抽樣．⑴抽出方法：從元素個數(shù)為的總體中抽取容量為的樣本，如果總體容量能被樣本容量整除，設(shè)，先對總體進(jìn)行編號，號碼從到，再從數(shù)字到中隨機(jī)抽取一個數(shù)作為起始數(shù)，然后順次抽取第個數(shù)，這樣就得到容量為的樣本．如果總體容量不能被樣本容量整除，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣方法進(jìn)行抽樣．⑵系統(tǒng)抽樣時，當(dāng)總體個數(shù)恰好是樣本容量的整數(shù)倍時，取；假設(shè)不是整數(shù)時，先從總體中隨機(jī)地剔除幾個個體，使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整．<教師備案>隨著數(shù)量的增大，抓鬮的方式效率會比擬低．當(dāng)然，隨著現(xiàn)在計(jì)算機(jī)的開展，數(shù)據(jù)量很大的時候也是可以通過“選號”的方式進(jìn)行隨機(jī)抽樣．課本上提到的系統(tǒng)抽樣其實(shí)現(xiàn)在已經(jīng)不怎么使用了．不過作為傳統(tǒng)意義下的抽樣方法，我們還是有必要介紹一下．系統(tǒng)抽樣的核心是“選出代表”，每個代表會直接代表一個群體的意見．系統(tǒng)抽樣的方式分為兩種，一種是橫向抽樣，也就是我們教科書上的抽樣方式，這種例子非常多，比方軍訓(xùn)的時候，可能我們出現(xiàn)過“一到三”報(bào)數(shù)，這樣就把我們分成了“一”“二”“三”三個組，然后就可以隨機(jī)選一個數(shù)“一”，然后所有的“一”就被選中了．同樣的道理，我們對人，選取一個人的樣本，那么我們就需要把總數(shù)分成組，每組個人，然后讓第一組的人抓鬮〔為的是隨機(jī)抽樣〕，比方“”抓到，那么每一組的“”就被選中了．另一種系統(tǒng)抽樣的方式是“縱向抽樣”，它出現(xiàn)的原理是這樣的：原始的系統(tǒng)抽樣方法會造成直觀上的不公平．比方我們?nèi)死锩孢x人去敘利亞旅游，大家肯定都不愿意去，第一組的人抓鬮之后，由于第一組的號被選中，那么每一組的號就都被選中了，其他組的號會認(rèn)為被第一組的號連累，因?yàn)樗麄兪恰氨弧边x中的．雖然從可能性上說，這沒有道理，不過直觀上確實(shí)有點(diǎn)“躺槍”的意思．于是人們改變了方式，也就是縱向系統(tǒng)抽樣．比方現(xiàn)在我們還是人里面選人去敘利亞，我們把所有人分成組，每組人，然后每組自行推舉一個代表上臺抓鬮，被選中的人所在的組，整組都被選中．這樣我們每個組都有人去抓鬮，也就實(shí)現(xiàn)了直觀上的公平．但是在可能性的角度，橫向和縱向抽樣都是“等可能”的，沒有本質(zhì)區(qū)別．<教師備案>老師在講完系統(tǒng)抽樣后就可以讓學(xué)生做例1的鋪墊⑵，例1⑵以及尖子班拓展⑵，這幾個題都是系統(tǒng)抽樣，老師可以選擇幾個讓學(xué)生做做，不一定都讓學(xué)生做，老師自己選擇．3．分層抽樣：當(dāng)總體有明顯差異的幾局部組成時，要反映總體情況，常采用分層抽樣，使總體中各個個體按某種特征分成假設(shè)干個互不重疊的幾局部，每一局部叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣．分層抽樣的樣本具有較強(qiáng)的代表性，而且各層抽樣時，可靈活選用不同的抽樣方法，應(yīng)用廣泛．<教師備案>簡單隨機(jī)抽樣〔抓鬮〕和系統(tǒng)抽樣都是絕對意義上的公平，但是分層抽樣就是相對意義上的公平，因?yàn)槲覀內(nèi)藶榈母蓴_了抽樣的過程．不過現(xiàn)實(shí)意義之下我們統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)必須進(jìn)行分層，否那么統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)會鬧出笑話．常見的一個就是我家房子平米，后來搬過來一個鄰居，房子面積是平米，那么我家的生活狀況有沒有改變．實(shí)際上沒有，但是統(tǒng)計(jì)數(shù)字可能告訴你，你們的平均面積增加了．現(xiàn)實(shí)生活中，很多的統(tǒng)計(jì)需要分層，比方統(tǒng)計(jì)收入水平的時候需要分不同的城市，統(tǒng)計(jì)生育問題的時候要分城市和農(nóng)村，統(tǒng)計(jì)化裝品消費(fèi)水平的時候要分性別等等．所以分層抽樣就是為了保證每個層面上的公平性，我們按照每個層次占到總體的多少來分配選取的比例．這里老師可以開發(fā)更多的統(tǒng)計(jì)實(shí)例，一定要講出現(xiàn)實(shí)意義來．<教師備案>老師在講完分層抽樣后可以讓學(xué)生做例1的鋪墊⑶，例1⑶以及目標(biāo)班專用⑷，讓學(xué)生熟練掌握分層抽樣，因?yàn)樵谝院罂荚嚭捅本└呖贾?，三個抽樣重點(diǎn)考察分層抽樣．老師在講完三個抽樣后一定要讓學(xué)生明白什么情況下用什么抽樣，這個時候就可以讓學(xué)生做例1⑴，尖子班拓展⑴．經(jīng)典精講經(jīng)典精講【鋪墊】⑴為了了解參加運(yùn)動會的名運(yùn)發(fā)動的年齡情況，從中抽取名運(yùn)發(fā)動；就這個問題，以下說法中正確的有〔〕個①名運(yùn)發(fā)動是總體；②每個運(yùn)發(fā)動是個體；③所抽取的名運(yùn)發(fā)動是一個樣本；④樣本容量為；⑤每個運(yùn)發(fā)動被抽到的概率相等A．B．C．D．⑵從編號為的枚最新研制的某種型號的導(dǎo)彈中隨機(jī)抽取枚來進(jìn)行發(fā)射實(shí)驗(yàn)，假設(shè)采用每局部選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法，那么所選取枚導(dǎo)彈的編號可能是〔〕A．B．C．D．⑶某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有種、種、種、種，現(xiàn)從中抽取一個容量為的樣本進(jìn)行食品平安檢測．假設(shè)采用分層抽樣的方法抽取樣本，那么抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是〔〕A．B．C．D．⑴B；④⑤正確，①②③錯誤⑵B；⑶C；．三種抽樣⑴現(xiàn)有以下兩項(xiàng)調(diào)查：①某裝訂廠裝訂圖書冊，要求檢驗(yàn)員從中抽取冊圖書，檢查其裝訂質(zhì)量狀況；②某市有大型、中型與小型的商店共家，三者數(shù)量之比為．為了調(diào)查全市商店每日零售額情況，抽取其中家進(jìn)行調(diào)查．完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是〔〕A．簡單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法B．分層抽樣法，簡單隨機(jī)抽樣法C．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法D．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法⑵用系統(tǒng)抽樣法要從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生隨機(jī)地從1～160編號，按編號順序平均分成20組〔號，號，…，號〕，假設(shè)第16組抽出的號碼為126，那么第1組中用抽簽的方法確定的號碼是．⑶某工廠生產(chǎn)、、三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為．現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為的樣本，樣本中種型號產(chǎn)品有件．那么此樣本的容量．⑷〔目標(biāo)班專用〕某校有名學(xué)生，型血的有人，型血的有人，型血的有人，為了研究血型與色弱有沒有關(guān)系，要從中抽取一個人的樣本，按分層抽樣，型血應(yīng)抽取的人數(shù)為人．⑴D；①是系統(tǒng)抽樣；②明顯是分層抽樣；⑵；不妨設(shè)第1組抽出的號碼為，那么第16組應(yīng)抽出的號碼是，∴．⑶；種型號的產(chǎn)品占總體的比例是，那么樣本容量．⑷該學(xué)校型血的人數(shù)為，按照分層抽樣的抽樣比相等得：，解得，即型血應(yīng)抽取的人數(shù)為人．66.2用樣本估計(jì)總體<教師備案>學(xué)習(xí)了抽樣后，需要對收集的這些有代表性的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，找出有用的信息，然后用這些樣本來估計(jì)總體．這種估計(jì)一般分成兩種，一種是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，另一種是用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征．用來估計(jì)的圖表和方法有很多種，本版塊在初中的根底上來學(xué)習(xí)頻率分布直方圖、莖葉圖和方差．考點(diǎn)2：頻率分布直方圖知識點(diǎn)睛知識點(diǎn)睛1．列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟：①計(jì)算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計(jì)算它們的差；②決定組距與組數(shù)：取組距，用決定組數(shù)；③決定分點(diǎn)：決定起點(diǎn)，進(jìn)行分組；④列頻率分布表：對落入各小組的數(shù)據(jù)累計(jì)，算出各小組的頻數(shù)，除以樣本容量，得到各小組的頻率．⑤繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標(biāo)，以的值為縱坐標(biāo)繪制直方圖，知小長方形的面積＝組距×＝頻率．2．頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖各個長方形上邊的中點(diǎn)用線段連接起來，就得到頻率分布折線圖，一般把折線圖畫成與橫軸相連，所以橫軸左右兩端點(diǎn)沒有實(shí)際意義．3．總體密度曲線：樣本容量不斷增大時，所分組數(shù)不斷增加，分組的組距不斷縮小，頻率分布直方圖可以用一條光滑曲線來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線．總體密度曲線精確地反映了一個總體在各個區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律．<教師備案>這里主要介紹的就是樣本分析方法，直方圖就是很重要的一種．其實(shí)直方圖的形成過程就是把數(shù)據(jù)按大小排序，然后分段截取數(shù)據(jù)．實(shí)際生活中最常見的方法就是“畫正字”，比方我們收到了一組數(shù)據(jù)是學(xué)生的跳繩次數(shù)，我們就可以把次數(shù)分成假設(shè)干組，然后一個一個數(shù)據(jù)看落在了哪個組里，利用“畫正字”的方式看出每組里有幾個數(shù)，最后畫出直方圖．直方圖的主要作用是看出數(shù)據(jù)的分布變化趨勢，很容易表示大量數(shù)據(jù)，缺點(diǎn)是原始數(shù)據(jù)不能在圖上表示出來．通過例2的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生可以由給出的頻率分布直方圖算出各組數(shù)據(jù)的頻率和頻數(shù)，理解橫縱坐標(biāo)代表的意義．頻率分布折線圖和總體密度曲線不需要深究，在頻率分布直方圖的根底上，簡單介紹即可．經(jīng)典精講經(jīng)典精講頻率分布直方圖⑴某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了根棉花纖維的長度〔棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)〕，所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間中，其頻率分布直方圖如下圖，那么其抽樣的根中，長度在內(nèi)的頻率為______，有______根棉花纖維的長度小于．⑵〔目標(biāo)班專用〕某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績大于等于14秒且小于15秒；……第六組，成績大于等于18秒且小于等于19秒．右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，設(shè)成績小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為，成績大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為，那么從頻率分布直方圖中可分析出和分別為〔〕A．，35 B．，45C．，35 D．，45⑴，；由頻率分布直方圖可得，長度在內(nèi)的頻率為．棉花纖維長度小于20mm的頻率為那么棉花纖維長度小于20mm的頻數(shù)為根．⑵〔目標(biāo)班專用〕A．考點(diǎn)3：莖葉圖知識點(diǎn)睛知識點(diǎn)睛<教師備案>當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較少時，可以用樣本分析的另一個常用圖表方法――莖葉圖，這個圖主要作用是兩組數(shù)據(jù)的比照．一左一右很容易估計(jì)出兩組數(shù)據(jù)的比照狀況，而且莖葉圖是把所有的數(shù)據(jù)都列出來，精確性上比直方圖要好一點(diǎn)，但是對于數(shù)據(jù)特征的分析不如直方圖直觀．可以結(jié)合鋪墊講解知識點(diǎn)，并簡單復(fù)習(xí)一下初中學(xué)過的中位數(shù)、平均數(shù)的概念．1．制作莖葉圖的步驟：①將數(shù)據(jù)分為“莖”、“葉”兩局部；②將最大莖與最小莖之間的數(shù)字按大小順序排成一列，并畫上豎線作為分隔線；③將各個數(shù)據(jù)的“葉”在分界線的一側(cè)對應(yīng)莖處按一定次序同行列出．<教師備案>“按一定次序”一般是按大小順序，也可以按統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的順序．2．平均數(shù)：平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．中位數(shù)：是指將統(tǒng)計(jì)總體當(dāng)中的各個數(shù)據(jù)值按大小順序排列起來，形成一個數(shù)列，處于數(shù)列中間位置的數(shù)據(jù)值就稱為中位數(shù)．當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時，處于最中間位置的數(shù)據(jù)值即為中位數(shù)；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時，中位數(shù)那么為處于中間位置的兩個數(shù)據(jù)值的平均數(shù)．經(jīng)典精講經(jīng)典精講【鋪墊】某班甲、乙兩學(xué)生的高考備考成績?nèi)缦拢杭祝阂遥孩儆们o葉圖表示兩學(xué)生的成績；②分別求兩學(xué)生成績的中位數(shù)和平均分．①兩學(xué)生成績的莖葉圖如下圖②將甲、乙兩學(xué)生的成績從小到大排列為：甲：，乙：．從以上排列可知甲學(xué)生成績的中位數(shù)為，乙學(xué)生成績的中位數(shù)為．甲學(xué)生成績的平均數(shù)為，乙學(xué)生成績的平均數(shù)為．莖葉圖隨機(jī)抽取某中學(xué)甲，乙兩班各名同學(xué)，測量他們的身高〔單位：〕，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖，那么以下關(guān)于甲，乙兩班這名同學(xué)身高的結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A．甲班同學(xué)身高在以上的人數(shù)較多B．甲班同學(xué)身高的中位數(shù)較大C．甲班同學(xué)身高的平均值較小D．甲、乙班同學(xué)身高的平均值一樣大C；甲班同學(xué)身高175以上的有3人，乙班有4人，故而A錯誤．甲班同學(xué)身高的中位數(shù)為169，乙班同學(xué)身高的中位數(shù)為．故而B錯誤．容易計(jì)算得知，，，故C對．考點(diǎn)4：統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征<教師備案>分析樣本數(shù)據(jù)時，我們已經(jīng)學(xué)過了眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)這些概念，它們都可以用來表示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的特征信息，各有利弊．平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)一個非常好的特征，它可以利用所有的樣本數(shù)據(jù)，而且比擬好算．也正因?yàn)槠骄鶖?shù)利用了所有的數(shù)據(jù)，所以它容易受到一些極端數(shù)據(jù)的影響．比方歌唱比賽時，去掉一個最高分和一個最低分，然后再平均，就是為了防止出現(xiàn)個別評委的極端喜惡，盡量表達(dá)評分的準(zhǔn)確和公正性．再比方公布一個地區(qū)的家庭平均收入時，平均數(shù)也掩蓋了一些極端情況的存在，而這些是不容無視的．怎么樣能反映這些極端情況呢，也就是數(shù)據(jù)的離散程度呢，從運(yùn)算方便等各方面考慮，引入了方差或標(biāo)準(zhǔn)差來進(jìn)行衡量．知識點(diǎn)睛知識點(diǎn)睛統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征1．用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)；用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差：2．?dāng)?shù)據(jù)的離散程度可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述：⑴極差又叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動幅度；⑵樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根．一般地，設(shè)樣本的元素為，樣本的平均數(shù)為，定義樣本方差為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，簡化公式：．<教師備案>這局部其實(shí)沒有真正的考察，現(xiàn)在最多也就是通過樣本的特征直接套用在整體數(shù)據(jù)上．寒假班對方差只需要初步理解它存在的意義即可，對方差的直觀理解放在春季同步班講解．經(jīng)典精講經(jīng)典精講方差甲、乙、丙三名射箭運(yùn)發(fā)動在某次測試中各射箭20次，三人的測試成績?nèi)缦卤恚?，分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)發(fā)動這次測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，那么有〔〕甲的成績乙的成績丙的成績環(huán)數(shù)78910環(huán)數(shù)78910環(huán)數(shù)78910頻數(shù)5555頻數(shù)6446頻數(shù)4664A．B．C．D．B；根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算∴；同理得∴．66.3隨機(jī)事件概率<教師備案>概率的定義是一個漫長的過程，最開始就是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，對統(tǒng)計(jì)事實(shí)的認(rèn)識．歷史上對概率的理解可以分為三個階段：第一階段：大量統(tǒng)計(jì)中發(fā)生的幾率有多大．比方很多數(shù)學(xué)家都玩過“扔硬幣”這個游戲，而且還統(tǒng)計(jì)了結(jié)果，如圖．大家發(fā)現(xiàn)，扔了很多很屢次之后，結(jié)果都差不多是正反面各占一半，所以大家認(rèn)為硬幣出正面的概率是．可能有人覺得這個做法很無聊，但是這只是概率的現(xiàn)象，是一個結(jié)果層面的東西，并不是概率的本質(zhì)．不過現(xiàn)在計(jì)算機(jī)在估計(jì)概率的時候也是用這樣的方法進(jìn)行屢次的實(shí)驗(yàn)，最終估計(jì)出一個結(jié)果．第二階段：人們開始想一些復(fù)雜的問題．這里面著名的問題有兩個，一個是賭徒分金問題〔注：兩個賭徒玩擲硬幣，規(guī)定正面那么甲加一分，反面那么乙加一分，誰先得到分誰就可以贏得一袋金幣，現(xiàn)在進(jìn)行到甲乙，警察來了，說不讓賭了，那么這些金幣該怎么分．〔【解析】按照的比例分；假設(shè)警察沒有來，那么乙贏的概率為：，甲贏的概率為：，應(yīng)該按照的比例分金幣〕，另一個問題是擲兩個骰子，至少有一個的概率〔【解析】：〕．這些問題根本上是很難通過實(shí)驗(yàn)來得出結(jié)論，畢竟情景比擬復(fù)雜，這就促使人們要從概率的理論角度入手解決．費(fèi)馬在概率的定義方面做出了杰出的奉獻(xiàn)，因?yàn)樗肓恕暗瓤赡堋边@個概念．就是我們需要先認(rèn)同一些根本的“等可能”的條件，然后再由此出發(fā)考慮復(fù)雜情況．第三階段：古典概型有弊端，因?yàn)楣诺涓判偷谋厝灰笫且岩粋€事件分解成假設(shè)干等可能的根本領(lǐng)件，不過有些問題中這件事是做不到的．比方打靶問題．所以才有了幾何概型這個概念．之后隨著函數(shù)論的開展，我們用函數(shù)根底定義概率的時候我們就有了新的概率理論．后續(xù)的離散型隨機(jī)變量說的就是這個階段的問題．建議老師在一開始教學(xué)的時候強(qiáng)化概率的直觀解釋．比方：擲硬幣模型，再比方：猜黑白〔俗稱手心手背〕．其實(shí)這就是利用了概率均等的原理進(jìn)行的．我們可以想一想，手心手背其實(shí)是很有效的一個等概率選取方式．另外，猜拳也是一個非常有效的等概率選取方式．這些概率其實(shí)挺難算的，不過我們可以讓學(xué)生直觀的理解概率的意義．同樣的問題還有：【趣題】1．甲乙兩個人去公園，公園有個景點(diǎn)，在這個景點(diǎn)中兩個人各自獨(dú)立的選取個，假定甲和乙同時出發(fā)，游覽每一個景點(diǎn)的時間都是相同的，那么他們在最后一個景點(diǎn)相遇的概率是多少？【解析】下面有三種方法，老師在給學(xué)生講本講的時候可以講法一，法二和法三供老師參考：法一：從概率意義的直觀理解，考慮甲最后在的一個景點(diǎn)，乙最后在任何一個景點(diǎn)的可能性相同，恰好在甲所在的景點(diǎn)的概率為．法二：甲最后一個景點(diǎn)為號景點(diǎn)的概率都為，乙最后一個景點(diǎn)為號景點(diǎn)的概率也為，故他們最后一個景點(diǎn)為同一個景點(diǎn)的概率為．法三：他們參觀景點(diǎn)的所有順序有種，每種參觀景點(diǎn)的順序出現(xiàn)的可能性相同，故在最后一個景點(diǎn)相遇的情況有，故所求概率為．2．華約的自招考題：個人傳球，每個人都等概率的傳給其他人，由甲開始第一次傳球，設(shè)為傳球次數(shù)，次傳球后球在甲手里的概率記為，問當(dāng)趨向于無窮的時候，趨向于多少？【解析】下面有兩種方法，老師在給學(xué)生講此題的時候可以講法一，法二供老師參考：法一：從概率意義的直觀理解，因?yàn)槊總€人都等可能的傳給其他人，所以球在甲手里的概率為，傳次球后球在甲手里的概率依然為．法二：記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，那么有，．所以與的關(guān)系式為，①設(shè)，比照得．于是①式可以變形為，從而是公比為的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為．故有，，②由②可得．另外還可以介紹一些概率不能直觀解釋的例子：比方生日悖論：世界上任取個人，他們至少有兩個人生日在同一天的概率是多少？請見以下圖〔轉(zhuǎn)自維基百科〕由此可見，當(dāng)取到個人的時候，概率已經(jīng)超過了，選取人的時候，概率應(yīng)該在左右．還有一個例子：乒乓球體育比賽中規(guī)定：如果雙方得分是，那么一方至少要得分才能獲勝，也就是至少比對方多兩分．那么這種“延球”制相對于沒有延球制度，到底是對強(qiáng)者更有利，還是幫助弱者有更大的時機(jī)翻身呢？〔【解析】延球制度對強(qiáng)者更有利；假設(shè)強(qiáng)者很強(qiáng)，那么再比賽一局有可能強(qiáng)者勝也有可能弱者勝，但是再比賽兩局或者比賽無窮多局，肯定是強(qiáng)者贏的概率更大〕，這些其實(shí)都是通過直觀解釋概率比擬復(fù)雜的問題．接下來我們可以定義事件：考點(diǎn)5：隨機(jī)事件的概率知識點(diǎn)睛知識點(diǎn)睛一．事件1．必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象必然現(xiàn)象是在一定條件下必然發(fā)生某種結(jié)果的現(xiàn)象；隨機(jī)現(xiàn)象是在相同條件下，很難預(yù)料哪一種結(jié)果會出現(xiàn)的現(xiàn)象．例子：判斷以下現(xiàn)象是否為隨機(jī)現(xiàn)象①某路口單位時間內(nèi)通過“寶馬”牌轎車的車輛數(shù)；②邊形的內(nèi)角和為；③某同學(xué)競選學(xué)生會主席成功；④一名籃球運(yùn)發(fā)動每場比賽所得的分?jǐn)?shù)．答案：⑴①③④是隨機(jī)現(xiàn)象2．試驗(yàn)：我們把觀察隨機(jī)現(xiàn)象或?yàn)榱四撤N目的而進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)統(tǒng)稱為試驗(yàn)，把觀察結(jié)果或?qū)嶒?yàn)的結(jié)果稱為試驗(yàn)的結(jié)果．一次試驗(yàn)是指事件的條件實(shí)現(xiàn)一次．3．事件在同樣的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)時，始終不會發(fā)生的結(jié)果，稱為不可能事件；在每次試驗(yàn)中一定會發(fā)生的結(jié)果，稱為必然事件；在試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的結(jié)果稱為隨機(jī)事件．通常用大寫英文字母來表示隨機(jī)事件，簡稱為事件．<教師備案>建議老師和學(xué)生強(qiáng)調(diào)，我們其實(shí)可以把任何一件事情看成一個事件，但是我們必須把事件說的準(zhǔn)確．比方我們不能說拋硬幣是一個事件，而“拋一次硬幣出現(xiàn)了正面”才是一個事件，因?yàn)檫@樣我才能定義這個事件的概率．再比方說我們不能說“擲骰子”是一個事件，我們必須說“擲一次骰子出現(xiàn)了偶數(shù)”是一個事件．簡單的說就是我們對事件的描述必須是準(zhǔn)確的，有結(jié)果的．<教師備案>根本領(lǐng)件放到古典概型里再講，老師在講完事件后就可以讓學(xué)生做例5⑴，這道題是考查事件的．二．隨機(jī)事件的概率計(jì)算1．如果事件同時發(fā)生，我們記作，簡記為；2．概率的統(tǒng)計(jì)定義：一般地，在次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻率，當(dāng)很大時，總是在某個常數(shù)附近擺動，隨著的增加，擺動幅度越來越小，這時就把這個常數(shù)叫做事件的概率，記為．從概率的定義中，我們可以看出隨機(jī)事件的概率滿足：．當(dāng)是必然事件時，，當(dāng)是不可能事件時，．3．互斥事件與事件的并互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件，或稱互不相容事件．由事件和事件至少有一個發(fā)生〔即發(fā)生，或發(fā)生，或都發(fā)生〕所構(gòu)成的事件，稱為事件與的并〔或和〕，記作．假設(shè)，那么假設(shè)發(fā)生，那么、中至少有一個發(fā)生，事件是由事件或所包含的事件組成的集合．4．互斥事件的概率加法公式：假設(shè)、是互斥事件，有假設(shè)事件兩兩互斥〔彼此互斥〕，有．事件“”發(fā)生是指事件中至少有一個發(fā)生．5．互為對立事件不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件叫做互為對立事件．事件的對立事件記作．有．例子：拋擲一枚骰子，記事件為“落地時向上的數(shù)是奇數(shù)”，事件為“落地時向上的數(shù)是偶數(shù)”，事件為“落地時向上的數(shù)是的倍數(shù)”，事件為“落地時向上的數(shù)是或”，那么以下每對事件是互斥事件但不是對立事件的是〔〕A．與B．與C．與D．與答案：C<教師備案>1．因?yàn)槭录母怕视洖榈鹊?，這種寫法和函數(shù)很相似，其實(shí)我們可以理解，概率可以認(rèn)為是一個事件到一個和之間實(shí)數(shù)的映射關(guān)系．有了事件的定義之后，我們可以定義事件的交集和并集，交集指的就是同時發(fā)生，并集就是二者至少有一個發(fā)生．所謂的互斥事件就是交集為空的事件，也就是不能同時發(fā)生的事件．而互斥事件中有一類特殊的事件就是對立事件，他們不僅交集為空，還滿足并集為全集．形象的說，一組對立事件就是對全部可能發(fā)生情況的一個劃分．于是我們就有了互斥事件和對立事件的公式．2．概率可以通過頻率來“測量”，或者說是頻率的一個近似，此處概率的定義叫做概率的統(tǒng)計(jì)定義．在實(shí)踐中，很多時候采用這種方法求事件的概率．隨機(jī)事件的頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總是在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，擺動的幅度越來越小，這個常數(shù)叫做這個隨機(jī)事件的概率．概率可以看成頻率在理論上的期望值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可近似地看作這個事件的概率．<教師備案>老師在講完互斥事件與對立事件后就可以讓學(xué)生體會一下什么是互斥事件，什么是對立事件，可以做例5⑵，在學(xué)生弄清互斥與對立的關(guān)系后就可以讓學(xué)生求互斥與對立事件的概率，就可以讓學(xué)生做例6和備選．經(jīng)典精講經(jīng)典精講判斷事件⑴指出以下事件是必然事件，不可能事件，還是隨機(jī)事件：①在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于時，冰融化；②今天晚上下雨；③沒有水分，種子發(fā)芽；④技術(shù)充分興旺后，不需要任何能量的“永動機(jī)”將會出現(xiàn)；⑤買彩票中一等獎．⑵有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件為“只訂甲報(bào)”，事件為“至少訂一種報(bào)”，事件為“至多訂一種報(bào)”，事件為“不訂甲報(bào)”，事件為“一種報(bào)也不訂”．判斷以下每對事件是不是互斥事件，再判斷它們是不是對立事件．①與；②與；③與；④與；⑤與；⑥與；⑦與；⑧與；⑨與．⑴①為不可能事件，②為隨機(jī)事件，③為不可能事件，④為不可能事件，⑤為隨機(jī)事件．⑵①不是互斥事件；②不是互斥事件；③是互斥事件，不是對立事件；④是互斥事件，且為對立事件；⑤不是互斥事件；⑥不是互斥事件；⑦不是互斥事件；⑧不是互斥事件；⑨不是互斥事件設(shè)和是兩個隨機(jī)事件，表示事件和事件都不發(fā)生的是〔〕A．B．C．D．D計(jì)算隨機(jī)事件概率某射手射擊一次射中環(huán)、環(huán)、環(huán)、環(huán)的概率分別為，計(jì)算這名射手射擊一次：⑴射中環(huán)或環(huán)的概率；⑵至少射中環(huán)的概率；⑶至多射中環(huán)的概率．射手一次射中環(huán)、環(huán)、環(huán)、環(huán)，是彼此互斥事件，分別記為事件，⑴射中環(huán)或環(huán)表示事件與的并，故；⑵至少射中環(huán)是事件的并，故；⑶至多射中環(huán)的對立事件是至少射中環(huán)，至少射中環(huán)是事件與的并，故所求概率為．或者利用⑵來求⑶，至少射中環(huán)與至多射中環(huán)是對立事件，故至多射中環(huán)的概率是，至多射中環(huán)是三個彼此互斥事件“至多射中環(huán)”、“恰好射中環(huán)”和“恰好射中環(huán)”的并，故所求的概率為．甲、乙兩人下棋，乙不輸?shù)母怕适?，下成和棋的概率為，分別求出甲、乙獲勝的概率．記甲勝為事件，乙勝為事件，和棋為事件，故彼此為互斥事件，乙不輸為，法一：甲、乙兩人下棋，結(jié)果只有三種：甲勝、和棋、乙勝，彼此都是互斥事件．其中乙不輸為互斥事件“乙勝”與“和棋”的并，從而可以求出乙勝的概率，進(jìn)而可求出甲勝的概率．，，故，．即甲、乙獲勝的概率分別為．法二：乙不輸與甲獲勝為對立事件，故可直接求出甲獲勝的概率，從而求出乙獲勝的概率．乙不輸與甲獲勝是對立事件，故，又結(jié)果只有三種：甲勝、和棋和乙勝，且兩兩互斥，故，即甲、乙獲勝的概率分別為．66.4古典概型與幾何概型考點(diǎn)6：古典概型知識點(diǎn)睛知識點(diǎn)睛一．古典概型1．根本領(lǐng)件：在一次試驗(yàn)中，可以用來描繪其它事件的，不能再分的最簡單的隨機(jī)事件，稱為根本領(lǐng)件．它包含所有可能發(fā)生的根本結(jié)果．所有根本領(lǐng)件構(gòu)成的集合稱為根本領(lǐng)件空間，常用表示．<教師備案>老師講完根本領(lǐng)件后，就可以讓學(xué)生做考點(diǎn)6的【鋪墊】，讓學(xué)生能夠?qū)懗鏊械母绢I(lǐng)件，從而為下邊要講的古典概型公式做鋪墊．根本領(lǐng)件一定是兩兩互斥的，它是互斥事件的特殊情形．2．古典概型：如果一個試驗(yàn)有以下兩個特征：⑴有限性：一次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，即只有有限個不同的根本領(lǐng)件；⑵等可能性：每個根本領(lǐng)件發(fā)生的可能性是均等的．稱這樣的試驗(yàn)為古典概型．3．概率的古典定義：隨機(jī)事件的概率定義為．<教師備案>古典概型實(shí)際是最土的一個方法，通俗的講就是數(shù)數(shù)，把所有的可能列出來，看我們要研究的事件占了幾個．這個問題中的事件要求所有的根本領(lǐng)件必須是等可能的，一個比擬經(jīng)典的例子就是擲兩個硬幣的時候，我們可能遇到的情況有正正，正反，反反三種，但是他們并不是等可能的，不能作為一組根本領(lǐng)件．另一方面，我們的根本領(lǐng)件要盡量的細(xì)一點(diǎn)，也就是要足夠的根本．比方我們要研究擲一個骰子，我們把點(diǎn)數(shù)分成六種情況，那么點(diǎn)數(shù)就是六個根本領(lǐng)件，也就可以研究之前提過的，擲兩次，至少有一個的概率．理論上我們也可以把擲出或，擲出或，擲出或看成一組根本領(lǐng)件，但是這組根本領(lǐng)件就非常的粗，我們要研究擲兩次至少出現(xiàn)一個的時候就沒有方法了．總的來說，古典概型的核心就是數(shù)數(shù)，需要注意的就是根本領(lǐng)件的選取要等可能，而且要盡可能的細(xì)．經(jīng)典精講經(jīng)典精講【鋪墊】同時轉(zhuǎn)動如下圖的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為，結(jié)果為．①寫出這個試驗(yàn)的根本領(lǐng)件空間；②求這個試驗(yàn)的根本領(lǐng)件總數(shù)；③“”這一事件包含哪幾個根本領(lǐng)件？“且”呢？④“”這一事件包含哪幾個根本領(lǐng)件？“”呢？①這個試驗(yàn)的根本領(lǐng)件空間為：；②根本領(lǐng)件的總數(shù)為；③“”包含以下個根本領(lǐng)件：；“且”包含以下個根本領(lǐng)件：．④“”包含以下個根本領(lǐng)件：；“”包含以下個根本領(lǐng)件：．古典概型一個盒子中裝有張卡片，每張卡片上寫有個數(shù)字，數(shù)字分別是、、、．現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片．⑴假設(shè)一次抽取張卡片，求張卡片上數(shù)字之和大于的概率；⑵假設(shè)第一次抽張卡片，放回后再抽取張卡片，求兩次抽取中至少一次抽到數(shù)字的概率．⑶〔目標(biāo)班專用〕按⑵的抽取方式，抽出的兩張卡片的和為偶數(shù)的概率是多少？⑴設(shè)表示事件“抽取張卡片上的數(shù)字之和大于”，任取三張卡片，三張卡片上的數(shù)字全部可能的結(jié)果是，，，．其中數(shù)字之和大于的是，，所以．⑵設(shè)表示事件“至少一次抽到”，第一次抽1張，放回后再抽取一張卡片的根本結(jié)果有：，共個根本結(jié)果．事件包含的根本結(jié)果有，共個根本結(jié)果．所以所求事件的概率為．⑶．【拓展】袋里裝有30個球，每個球上都記有1到30的一個號碼，設(shè)號碼為的球的重量為〔克〕．這些球以等可能性〔不受重量，號碼的影響〕從袋里取出．⑴如果任意取出1球，求其號碼是3的倍數(shù)的概率．⑵如果任意取出1球，求重量不大于其號碼的概率；⑶如果同時任意取出2球，試求它們重量相同的概率．⑴設(shè)“其號碼是3的倍數(shù)”為事件，那么⑵由，可解得由題意知，5，6，7，8，9，10，11，共8個值，所以所求概率為；⑶任意取出個球，一共有種情況設(shè)第號和第號的兩個球的重量相等，其中，當(dāng)時，可以得到，那么，，…，，共5種情況，所以所求概率為．盒中有6只燈泡，其中有2只是次品，4只是正品．從中任取2只，試求以下事件的概率．⑴取到的2只都是次品；⑵取到的2只中恰有一只次品．將6只燈泡分別標(biāo)號為1，2，3，4，5，6；從6只燈泡中取出2只的根本領(lǐng)件：、、、、、、、、、、、、、、共有15種⑴從6只燈泡中取出2只都是次品的事件只有1個，因此取到2只次品的概率為．⑵不妨設(shè)標(biāo)號為1、2的為次品，故取到的2只產(chǎn)品中正品，次品各一只的事件有、、、、、、、共有8種，而總的根本領(lǐng)件共有15種，因此取到2只產(chǎn)品中恰有一只次品的概率為．考點(diǎn)7：幾何概型知識點(diǎn)睛知識點(diǎn)睛幾何概型事件理解為區(qū)域的某一子區(qū)域，的概率只與子區(qū)域的幾何度量〔長度、面積或體積〕成正比，而與的位置和形狀無關(guān)，滿足此條件的試驗(yàn)稱為幾何概型．幾何概型中，事件的概率定義為，其中表示區(qū)域的幾何度量，表示區(qū)域的幾何度量．<教師備案>古典概型需要數(shù)數(shù)，但是有些問題是不能數(shù)出來的，比方打靶問題，于是人們引入了幾何概型．關(guān)于幾何概型的例子，我們講義上提到了很多，在這里建議老師可以介紹一下幾何概型的應(yīng)用問題，比方幾何概型可以用來計(jì)算．方法就是隨機(jī)取點(diǎn)原理：在邊長為的正方形內(nèi)做一個內(nèi)切圓，在正方形內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，設(shè)共取了個點(diǎn)，其中有個落在了圓以內(nèi)，那么當(dāng)趨向于無窮的時候，就無限接近圓的面積和正方形面積的比值，通過這個原理我們就可以得到的精度很高的近似值．這種通過概率的角度來研究圖形面積的方法稱為蒙特卡洛方法．同樣的方法可以被用于求不規(guī)那么圖形面積的近似值．說是近似，其實(shí)只要“投點(diǎn)”的次數(shù)足夠多，這個精度是可以非常高的．現(xiàn)代計(jì)算機(jī)計(jì)算面積的時候也是這么做的．經(jīng)典精講經(jīng)典精講幾何概型⑴在區(qū)間中任意取一個數(shù)，那么它與之和大于的概率是______．【追問】大于如果改成大于等于，結(jié)果會有什么變化？⑵〔目標(biāo)班專用〕小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，假設(shè)此點(diǎn)到圓心的距離大于，那么周末去看電影；假設(shè)此點(diǎn)到圓心的距離小于，那么去打籃球；否那么，在家看書．那么小波周末在家看書的概率為．⑶一只小蜜蜂在一個棱長為30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機(jī)飛行，假設(shè)蜜蜂在飛行過程中與正方體玻璃容器6個外表中至少有一個的距離不大于10，那么就有可能撞到玻璃上而不平安；假設(shè)始終保持與正方體玻璃容器6個外表的距離均大于10，那么飛行是平安的，假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飛行是平安的概率為〔〕A．B．C．D．⑴幾何概型，只能在取數(shù)，所求概率為．【追問】結(jié)果不變，．⑵〔目標(biāo)班專用〕；概率為．⑶C；如下圖，小正方體與大正方體的左右間隔都是10，所以小正方體的棱長為10，概率是小正方體體積與大正方體體積之比．【拓展】如圖，，，，在線段上任取一點(diǎn)，試求：⑴為鈍角三角形的概率；⑵為銳角三角形的概率．如圖，由平面幾何知識：當(dāng)時，；當(dāng)時，，．⑴當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段或上時，為鈍角三角形，記“為鈍角三角形”為事件，那么，即為鈍角三角形的概率為．⑵當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時，為銳角三角形，記“為銳角三角形”為事件，那么，即為銳角三角形的概率為．點(diǎn)評：為直角三角形的概率等于，但直角三角形是存在的，因此概率為的事件不一定是不可能事件．易混點(diǎn)一：簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等從總體中逐個抽取總體中的個體數(shù)較少系統(tǒng)抽樣將總體均分成幾局部，按事先確定的規(guī)那么在各局部抽取在起始局部抽樣時才用簡單隨機(jī)抽樣總體中的個體數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾局部組成1．某年級有個班，每個班同學(xué)按編號，為了了解班上某方面情況，要求每班編號為號的同學(xué)去開一個座談會，這里應(yīng)用的抽樣方法是〔〕A．分層抽樣B．系統(tǒng)抽樣C．簡單隨機(jī)抽樣D．抽簽法B根據(jù)定義可知這種方法為系統(tǒng)抽樣，應(yīng)選B．2．某校高中部有學(xué)生人，其中高一年級學(xué)生人，高二年級學(xué)生人，其余為高三年級學(xué)生，假設(shè)采用分層抽樣從高中部所有學(xué)生中抽取一個容量為的樣本，那么每個年級應(yīng)該抽取多少人？高一＿＿＿，高二＿＿＿，高三＿＿＿．；；．高一：，高二：，高三：．易混點(diǎn)二：互斥事件與對立事件⑴不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件⑵兩個事件中必有一個發(fā)生的互斥事件叫做對立事件事件與互斥不一定對立；與對立一定互斥．3．判斷以下給出的每對事件：⑴是否為互斥事件，⑵是否為對立事件，并說明理由從撲克牌張〔紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從各張〕中任取一張．⑴“抽出紅桃”與“抽出黑桃”⑵“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”⑶“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于”⑴是互斥事件，不是對立事件理由是：從張撲克牌中，任意抽取一張．“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件．同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件．⑵既是互斥事件，又是對立事件理由是：從張撲克牌中，任意抽取一張．“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”這兩個事件不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件⑶不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件理由是：從張撲克牌中，任意抽取一張．“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練【演練1】⑴某學(xué)校有職工人，其中教師人，教輔行政人員人，總務(wù)后勤人員人．為了解職工的某種情況，要從中抽取一個容量為的樣本．以下的抽樣方法中，依簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣順序的是：〔〕方法：將人從編號，然后制作出有編號的個形狀、大小相同的號簽，并將號簽放入同一箱子里進(jìn)行均勻攪拌，然后從中抽取個號簽，編號與簽號相同的個人被選出．方法：將人分成組，每組人，并將每組人按編號，在第一組采用抽簽法抽出號，那么其余各組號也被抽到，個人被選出．A．方法，方法，方法B．方法，方法，方法C．方法，方法，方法D．方法，方法，方法⑵某單位有名老年人，名中年人，名青年人．為了調(diào)查他們的身體情況，用分層抽樣的方法從他們中抽取了個人進(jìn)行體檢，其中有名老年人，那么．⑴C；⑵36；由比例可得抽取的中年職工共有12人，青年職工共有18人，于是．【演練2】某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示，在某時段內(nèi)，有輛汽車通過該站，現(xiàn)在隨機(jī)抽取其中的輛汽車進(jìn)行車速分析，分析的結(jié)果表示為如圖的頻率分布直方圖，那么估計(jì)在這一時段內(nèi)通過該站的汽車中速度不小于的車輛數(shù)為〔〕A． B．C． D．D不小于的頻率為：．故車輛數(shù)為．【演練3】甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如圖，中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù)，那么這天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為和．24；23．【演練4】在邊長為的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于的概率為．當(dāng)點(diǎn)在陰影內(nèi)部時，滿足到點(diǎn)的距離小于，概率滿足幾何概型，故所求的概率為面積比．【演練5】某商場為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)