史上最難的1984全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題

./數(shù)學(xué)月刊七月號(hào)創(chuàng)難度之最的1984年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題編者說明編者說明1984年,是中國(guó)高考改革有創(chuàng)意的一年。就在這一年,數(shù)學(xué)命題組提出了高考"出活題,考基礎(chǔ),考能力"的命題指導(dǎo)思想。自1977年恢復(fù)高考以來,高考命題基本上是"模仿命題",模仿課本上的例習(xí)題,模仿教參上的參考題,考場(chǎng)上出現(xiàn)了"解題有套"的現(xiàn)象,高校傳出了"高分低能"的說法。1984年的數(shù)學(xué)試卷,創(chuàng)造了大批新題,即所謂活題。廣大考生第一次見到這樣的新題或活題,感到非常之難。當(dāng)年,北京市的分?jǐn)?shù),人均只有17分,創(chuàng)下了新中國(guó)成立以來,數(shù)學(xué)高考難度之"最"?！策@份試題共八道大題,滿分120分第九題是附加題,滿分10分,不計(jì)入總分一．〔本題滿分15分本題共有5小題,每小題選對(duì)的得3分;不選,選錯(cuò)或多選得負(fù)1分1〔C〔AXY〔BXY〔CX=Y〔DX≠Y2．如果圓x2+y2+Gx+Ey+F=0與x軸相切于原點(diǎn),那么〔C〔AF=0,G≠0,E≠0.〔BE=0,F=0,G≠0.〔CG=0,F=0,E≠0.〔DG=0,E=0,F≠0.3.如果n是正整數(shù),那么的值〔B〔A一定是零〔B一定是偶數(shù)〔C是整數(shù)但不一定是偶數(shù)〔D不一定是整數(shù)4.大于的充分條件是〔A〔A〔B〔C〔D5．如果θ是第二象限角,且滿足那么〔B〔A是第一象限角〔B是第三象限角〔C可能是第一象限角,也可能是第三象限角〔D是第二象限角編者說明編者說明數(shù)學(xué)試題選擇題,同上一年,即1983年一樣多,也是5道小題,但考生感到比上年難得多。有的考生拿到第1小題就不能動(dòng)筆。首先是因?yàn)?984年對(duì)選擇題的考題要求很嚴(yán)。第一次也是唯一一次提出"得負(fù)分"的評(píng)分要求。第二是選擇題的設(shè)計(jì),命題人第一次考慮到選擇題"淘汰法"解題方法。比如第1小題,排除3個(gè)錯(cuò)誤答案比選擇1個(gè)正確答案要迅速得多。可是,在剛剛出現(xiàn)選擇題〔1983年第一次用選擇題的考場(chǎng)上,考生幾乎沒有這種解題思想。許多交白卷的考生,首先就被第1題擋住了"去路"。二．〔本題滿分24分本題共6小題,每一個(gè)小題滿分4分只要求直接寫出結(jié)果1．答：2.函數(shù)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？答：x＜-2.3．求方程的解集答：4．求的展開式中的常數(shù)項(xiàng)答：-205．求的值答：06．要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單,任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰,問有多少種不同的排法〔只要求寫出式子,不必計(jì)算答：編者說明編者說明1984年的第二大題,含6個(gè)小題,比1983年的2個(gè)小題多出了4個(gè),從而使整個(gè)試卷的題量比1983年多出了3道。題目很活,題量又大,多數(shù)考生在規(guī)定的時(shí)間不能完成解答,這也是1984年數(shù)學(xué)得分很低的原因之一。三．〔本題滿分12分本題只要求畫出圖形1．設(shè)畫出函數(shù)y=H<x-1>的圖象2．畫出極坐標(biāo)方程的曲線解〔1〔21.2.解：1.2.編者說明編者說明1984年的第三大題,是1983年第二大題的發(fā)展。雖然仍為作圖題,但比1983年的考題難得多。1983年的題設(shè)式子是簡(jiǎn)單式子,看式便可作圖；而1984年的題設(shè)式子是"復(fù)雜式子",需要首先將式子變形化簡(jiǎn),從而增加了試題難度。四．〔本題滿分12分已知三個(gè)平面兩兩相交,有三條交線求證這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行證：設(shè)三個(gè)平面為α,β,γ,且從而c與b或交于一點(diǎn)或互相平行1．若c與b交于一點(diǎn),設(shè),∴所以,b,c交于一點(diǎn)〔即P點(diǎn)2.若c∥b,則由所以,b,c互相平行編者說明編者說明1984年的第四大題,考查立體幾何內(nèi)容。題目從表面看去,似乎不難。然而,由于命題人故意沒有給"題圖",使得廣大考生不知如何畫圖,從而陷入困境。五．〔本題滿分14分設(shè)c,d,x為實(shí)數(shù),c≠0,x為未知數(shù)討論方程在什么情況下有解有解時(shí)求出它的解解：原方程有解的充要條件是：由條件〔4知,所以再由c≠0,可得又由及x＞0,知,即條件〔2包含在條件〔1及〔4中再由條件〔3及,知因此,原條件可簡(jiǎn)化為以下的等價(jià)條件組：由條件〔1〔6知這個(gè)不等式僅在以下兩種情形下成立：①c＞0,1-d＞0,即c＞0,d＜1；②c＜0,1-d＜0,即c＜0,d＞1.再由條件〔1〔5及〔6可知編者說明1984年的第五題,考查對(duì)數(shù)函數(shù)。具體考查對(duì)數(shù)方程的有解條件。然而設(shè)計(jì)"創(chuàng)新到了對(duì)數(shù)底數(shù)",使得一直看慣了"底數(shù)只為單一字母"的考生不知所云。,原方程有解,它的解是編者說明1984年的第五題,考查對(duì)數(shù)函數(shù)。具體考查對(duì)數(shù)方程的有解條件。然而設(shè)計(jì)"創(chuàng)新到了對(duì)數(shù)底數(shù)",使得一直看慣了"底數(shù)只為單一字母"的考生不知所云。六．〔本題滿分16分1．設(shè),實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛數(shù)根z1,z2.再設(shè)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Z1,Z2求以Z1,Z2為焦點(diǎn)且經(jīng)過原點(diǎn)的橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)〔7分2．求經(jīng)過定點(diǎn)M〔1,2,以y軸為準(zhǔn)線,離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程〔9分解：1.因?yàn)閜,q為實(shí)數(shù),,z1,z2為虛數(shù),所以由z1,z2為共軛復(fù)數(shù),知Z1,Z2關(guān)于x軸對(duì)稱,所以橢圓短軸在x軸上又由橢圓經(jīng)過原點(diǎn),可知原點(diǎn)為橢圓短軸的一端點(diǎn)根據(jù)橢圓的性質(zhì),復(fù)數(shù)加、減法幾何意義及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可得橢圓的短軸長(zhǎng)=2b=|z1+z2|=2|p|,焦距離=2c=|z1-z2|=,長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a=2.因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)M〔1,2,且以y軸為準(zhǔn)線,所以橢圓在y軸右側(cè),長(zhǎng)軸平行于x軸設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為A〔x,y,因?yàn)闄E圓的離心率為,所以左頂點(diǎn)A到左焦點(diǎn)F的距離為A到y(tǒng)軸的距離的,從而左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為設(shè)d為點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離,則d=1根據(jù)及兩點(diǎn)間距離公式,可得這就是所求的軌跡方程編者說明1984年的第六題,考查解析幾何。第1小題將橢圓參數(shù)藏在復(fù)數(shù)方程的根中；第2小題求橢圓的軌跡方程,給出的"衍生軌跡"而不是"直接軌跡"。使得廣大考生無編者說明1984年的第六題,考查解析幾何。第1小題將橢圓參數(shù)藏在復(fù)數(shù)方程的根中；第2小題求橢圓的軌跡方程,給出的"衍生軌跡"而不是"直接軌跡"。使得廣大考生無模式可套。本題得分率也很低。事實(shí)上,當(dāng)年考生,能解答到本卷第六大題的人很少。七．〔本題滿分15分在△ABC中,∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊分別為,b,c,且c=10,,P為△ABC的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)求點(diǎn)P到頂點(diǎn)A,B,C的距離的平方和的最大值與最小值解：由,運(yùn)用正弦定理,有因?yàn)锳≠B,所以2A=π-2B,即A+B=由此可知△ABC是直角三角形由c=10,如圖,設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為O＇,切點(diǎn)分別為D,E,F,則AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10,所以內(nèi)切圓半徑r=EC=2.如圖建立坐標(biāo)系,則內(nèi)切圓方程為：<x-2>2+<y-2>2=4設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為<x,y>,則因?yàn)镻點(diǎn)在內(nèi)切圓上,所以,于是S最大值=88-0=88,S最小值=88-16=72解二：同解一,設(shè)內(nèi)切圓的參數(shù)方程為從而因?yàn)?所以S最大值=80+8=88,S最小值=80-8=72編者說明編者說明1984年的第七大題,已經(jīng)進(jìn)入后三大題的范疇,是一道典型的綜合題。它是三角、解析幾何和代數(shù)內(nèi)容的交叉。由于考查的內(nèi)容常規(guī),本題的設(shè)計(jì)難度并不大,滿分15分,比上一題第六題還少一分。但由于多數(shù)考生已被前面的低檔、中檔題所難倒,因此,大部分考生無緣與第七題見面,因而,從第七題開始,交白卷的甚多。八．〔本題滿分12分設(shè)＞2,給定數(shù)列{xn},其中x1=,求證：1．2．3．1．證：先證明xn＞2<n=1,2,…用數(shù)學(xué)歸納法由條件＞2及x1=知不等式當(dāng)n=1時(shí)成立假設(shè)不等式當(dāng)n=k<k≥1>時(shí)成立當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)橛蓷l件及歸納假設(shè)知再由歸納假設(shè)知不等式成立,所以不等式也成立從而不等式xn＞2對(duì)于所有的正整數(shù)n成立<歸納法的第二步也可這樣證：所以不等式xn>2<n=1,2,…成立再證明由條件及xn>2<n=1,2,…知因此不等式也成立〔也可這樣證：對(duì)所有正整數(shù)n有還可這樣證：對(duì)所有正整數(shù)n有所以2．證一：假設(shè)不等式當(dāng)n=k<k≥1>時(shí)成立當(dāng)n=k+1時(shí),由條件及知再由及歸納假設(shè)知,上面最后一個(gè)不等式一定成立,所以不等式也成立,從而不等式對(duì)所有的正整數(shù)n成立證二：用數(shù)學(xué)歸納法證不等式當(dāng)n=k+1時(shí)成立用以下證法：由條件知再由及歸納假設(shè)可得3．證：先證明若這是因?yàn)槿缓笥梅醋C法若當(dāng)時(shí),有則由第1小題知因此,由上面證明的結(jié)論及x1=可得即,這與假設(shè)矛盾所以本小題的結(jié)論成立編者說明編者說明1984年的第八大題,是本卷正卷的壓軸題,是當(dāng)年正卷上難度最大的題目?？疾榈膬?nèi)容是數(shù)列與不等式的綜合。數(shù)列不是用通項(xiàng)公式給定,而是用遞推式給定。遞推式實(shí)為教材的延伸,使得絕大多數(shù)考生可望而不可及。90%以上的考生與此題無緣,當(dāng)年在北京本題得滿分的僅僅只有兩人。本題的遞推數(shù)列對(duì)以后的若干年影響很大,在全國(guó)高中數(shù)學(xué)界掀起了研究遞推數(shù)列的熱潮。九．〔附加題,本題滿分10分,不計(jì)入總分⌒如圖,已知圓心為O、半徑為1的圓與直線l相切于點(diǎn)A,一動(dòng)點(diǎn)P自切點(diǎn)A沿直線l向右移動(dòng)時(shí),取弧AC的長(zhǎng)為,直線PC與直線AO交于點(diǎn)M又知當(dāng)AP=時(shí),點(diǎn)P的速度為v求這時(shí)點(diǎn)M的速度⌒解：作CD⊥AM,并設(shè)AP=x,AM=y,∠COD=θ由假設(shè),AC的長(zhǎng)為,半徑OC=1,可知θ考慮∵△APM∽△DCM,而編者說明編者說明這是1984年的附加題,在1983年中斷一年以后。附加題的重現(xiàn),是經(jīng)過了一番討論的,主要是北大、清華的命題人堅(jiān)持用附加題選拔尖