27.2.1 相似三角形的判定 課件 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)

人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定第1課時(shí)平行線分線段成比例1.理解相似三角形的概念.2.理解平行線分線段成比例的基本事實(shí)及其推論，掌握相似三角形判定定理的預(yù)備定理的有關(guān)證明.

(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.

掌握平行線分線段成比例的基本事實(shí)及其推論的應(yīng)用，會(huì)用平行線判定兩個(gè)三角形相似并進(jìn)行證明和計(jì)算.(重點(diǎn)、難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.相似多邊形的對(duì)應(yīng)角

，對(duì)應(yīng)邊

，對(duì)應(yīng)邊的比叫做

.2.如圖，△ABC和△A′B′C′相似需要滿足什么條件？相等成比例相似比ABCA′B′C′相似用符號(hào)“∽”表示，讀作“相似于”.△ABC與△A′B′C′相似記作“△ABC∽△A′B′C′”.復(fù)習(xí)引入平行線分線段成比例（基本事實(shí)）如圖1，小方格的邊長(zhǎng)都是1，直線l1∥l2∥l3，分別交直線m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.A1A2A3B1B2B3mnl1l2l3圖1合作探究1新課講解A1A2A3B1B2B3mnl1l2l3

(1)計(jì)算，你有什么發(fā)現(xiàn)？新課講解(2)將l2

向下平移到如圖2的位置，直線m，n與直線

l2

的交點(diǎn)分別為A2，B2.你在問(wèn)題(1)中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？如果將l2

平移到其他位置呢？A1A2A3B1B2B3mnl1l2l3圖2新課講解(3)根據(jù)前兩問(wèn)，你認(rèn)為在平面上任意作三條平行線，用它們截兩條直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例嗎？新課講解

一般地，我們有平行線分線段成比例的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.符號(hào)語(yǔ)言：若l1∥l2∥l3，則，，

歸納：

A1A2A3B1B2B3l2l3l1新課講解1.如何理解“對(duì)應(yīng)線段”？2.“對(duì)應(yīng)線段”成比例都有哪些表達(dá)形式？

想一想：

新課講解如圖，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中錯(cuò)誤的是()A.B.C.D.DACEBDFl2l1l3隨堂即練

如圖，直線l1∥l2∥l3，由平行線分線段成比例的基本事實(shí)，我們可以得出圖中對(duì)應(yīng)成比例的線段，平行線分線段成比例定理的推論A1A2A3B1B2B3l2l3mnl1把直線n向左或向右任意平移，這些線段依然成比例.新課講解觀察與思考2A1A2A3l2l3mB1B2B3nl1

直線n向左平移到B1與A1重合的位置，說(shuō)說(shuō)圖中有哪些成比例線段？

把圖中的部分線擦去，得到新的圖形，剛剛所說(shuō)的線段是否仍然成比例？A1(B1)A2A3B2B3()新課講解A1A2A3l2l3mB1B2B3nl1

直線n向左平移到B2與A2重合的位置，說(shuō)說(shuō)圖中有哪些成比例線段？

把圖中的部分線擦去，得到新的圖形，剛剛所說(shuō)的線段是否仍然成比例？A2(B2)A1A3B1B3()新課講解

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.A1(B1)A2A3B2B3A2(B2)A1A3B1B3

歸納：

新課講解

如圖，DE∥BC，，則

；FG∥BC，，則

.ABCEDFG隨堂即練

如圖，在△ABC中，EF∥BC.(1)如果E、F分別是AB和AC上的點(diǎn)，AE=BE=7，

FC=4，那么AF的長(zhǎng)是多少？ABCEF解：∵∴解得AF=4.新課講解例題(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的長(zhǎng)是多少？ABCEF解：∵∴解得AC=.∴FC=AC－AF=.新課講解

如圖，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，則AC=

；FG∥BC，AF=4.5，則AG=

.ABCEDFG7.56隨堂即練

如圖，在△ABC中，D為AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線DE，交AC于點(diǎn)E.問(wèn)題1

△ADE與△ABC的三個(gè)角分別相等嗎？問(wèn)題2分別度量△ADE與△ABC的邊長(zhǎng)，它們的邊長(zhǎng)是否對(duì)應(yīng)成比例？BCADE相似三角形的引理新課講解合作探究3問(wèn)題3

你認(rèn)為△ADE與△ABC之間有什么關(guān)系？平行移動(dòng)DE的位置，你的結(jié)論還成立嗎？BCADE通過(guò)度量，我們發(fā)現(xiàn)△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，這個(gè)結(jié)論恒成立.新課講解想一想：BCADE

我們通過(guò)度量三角形的邊長(zhǎng)，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定義去證明它，我們需要證明什么？

由前面的結(jié)論，我們可以得到什么？還需證明什么？新課講解

，而除DE外，其他的線段都在△ABC的邊上，要想利用前面學(xué)到的結(jié)論來(lái)證明三角形相似，需要怎樣做呢？BCADE

由前面的結(jié)論可得，需要證明的是可以將DE平移到BC邊上去新課講解證明：在△ADE與△ABC中，∠A=∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.如圖，過(guò)點(diǎn)

D作DF∥AC，交BC于點(diǎn)F.CABDEF用相似的定義證明△ADE∽△ABC∵DE∥BC，DF∥AC，∴∵四邊形DFCE為平行四邊形，∴DE=FC，∴△ADE∽△ABC.∴新課講解由此我們得到判定三角形相似的定理：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.新課講解三角形相似的兩種常見類型：“A”型

“X”型DEABCABCDE新課講解1.已知：如圖，AB∥EF∥CD，圖中共有___對(duì)相似三角形.3CDABEFO相似具有傳遞性2.若△ABC與△A′B′C′相似，一組對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)為AB=3cm，

A′B′=4cm，那么△A′B′C′與△ABC的相似比是_____.4︰3隨堂即練3.若△ABC的三條邊長(zhǎng)的比為3cm，5cm，6cm，與其相似的另一個(gè)△A′B′C′的最小邊長(zhǎng)為12cm，那么A′B′C′的最大邊長(zhǎng)是______.24cm隨堂即練1.如圖，△ABC∽△DEF，相似比為1:2，若BC=1，則EF的長(zhǎng)為()A.1B.2C.3D.4BCAEFDB隨堂即練2.如圖，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，

BC=4cm，EF長(zhǎng)()AA.1cmB.cm

C.3cmD.2cmABCEF隨堂即練3.如圖，在△ABC中，DE∥BC，則△____∽△____，對(duì)應(yīng)邊的比例式為＝＝ADEABC————．BCADE4.已知△ABC∽△A1B1C1，相似比是1:4，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比是1:5，則△ABC與△A2B2C2的相似比為

.1:20隨堂即練5.如圖，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，

EF=4，求CD的長(zhǎng)．解：∵EF∥AB，DE:EA=2:3，DACBEF∴即∴△DEF∽△DAB，解得AB=10.又∵四邊形ABCD為□，∴CD=AB=10.隨堂即練6.如圖，已知菱形ABCD內(nèi)接于△AEF，AE=5cm，

AF=4cm，求菱形的邊長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD為菱形，BCADEF∴CD∥AB，∴設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為xcm，則CD=AD=xcm，DF=(4－x)cm，∴解得x=∴菱形的邊長(zhǎng)為cm.隨堂即練兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例?推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例?相似三角形判定的引理平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似?基本事實(shí)平行線分線段成比例課堂小結(jié)人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定第2課時(shí)三邊成比例的兩個(gè)三角形相似1.復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過(guò)的三角形相似的判定定理.2.掌握利用三邊來(lái)判定兩個(gè)三角形相似的方法，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.(重點(diǎn)、難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)2.證明三角形全等有哪些方法？你能從中獲得證明三角形相似的啟發(fā)嗎？1.什么是相似三角形？在前面的課程中，我們學(xué)過(guò)哪些判定三角形相似的方法？你認(rèn)為這些方法是否有其缺點(diǎn)和局限性？ABCDE復(fù)習(xí)引入3.

類似于判定三角形全等的SSS方法，我們能不能通過(guò)三邊來(lái)判定兩個(gè)三角形相似呢？復(fù)習(xí)引入三邊成比例的兩個(gè)三角形相似

畫△ABC和△A′B′C′，使，動(dòng)手量一量這兩個(gè)三角形的角，它們分別相等嗎？這兩個(gè)三角形是否相似？ABCC′B′A′新課講解合作探究ABCC′B′A′

通過(guò)測(cè)量不難發(fā)現(xiàn)∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因?yàn)閮蓚€(gè)三角形的邊對(duì)應(yīng)成比例，所以△ABC∽△A′B′C′.下面我們用前面所學(xué)得定理證明該結(jié)論.新課講解∴C′B′A′證明:在線段AB(或延長(zhǎng)線)上截取AD=A′B′，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.BCADE新課講解新課講解∴DE=B′C′，EA=C′A′.

∴△ADE≌△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.又，AD=A′B′，∴，.

由此我們得到利用三邊判定三角形相似的定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．歸納：∵，∴△ABC∽△A′B′C.符號(hào)語(yǔ)言：新課講解

判斷圖中的兩個(gè)三角形是否相似，并說(shuō)明理由．ABC33.54DFE1.82.12.4新課講解例1解：在△ABC

中，AB>BC>CA，在△DEF中，

DE>EF>FD.∴△ABC∽△DEF.

ABC33.54DFE1.82.12.4∵，，，∴.

新課講解方法總結(jié)：判定三角形相似的方法之一：如果題中給出了兩個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)，分別算出三條對(duì)應(yīng)邊的比值，看是否相等.注意：計(jì)算時(shí)最長(zhǎng)邊與最長(zhǎng)邊對(duì)應(yīng)，最短邊與最短邊對(duì)應(yīng).新課講解

已知△ABC和△DEF，根據(jù)下列條件判斷它們是否相似.(3)AB=12，BC=15，AC＝24，DE＝16，EF＝20，DF＝30.(2)AB=4，BC=8，

AC＝10，DE＝20，EF＝16，DF＝8；(1)AB=3，BC=4，AC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝9；是否否隨堂即練

如圖，在Rt△ABC

與Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′

=90°，且求證：△A′B′C′∽△ABC.

新課講解例2

證明：由已知條件得AB=2A′B′，AC=2A′C′，

∴BC2=AB2－AC2=(2A′B′)2－(2A′C′)2=4A′B′2－4A′C′2=4(A′B′2－A′C′2)=4B′C′2=(2B′C′)2.∴△A′B′C′∽△ABC.(三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似)∴BC=2B′C′，∴∠BAC=∠DAE，∠BAC

－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.

∴△ABC∽△ADE(三邊成比例的兩個(gè)三角形相似).

如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD=20°，求∠CAE的度數(shù).ABCDE解：∵新課講解例3解：在△ABC和△ADE中，∵

AB:CD=BC:DE=AC:AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.∴∠BAC－∠CAD=∠DAE－∠CAD，∴∠BAD=∠CAE.故圖中相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.

如圖，已知AB:AD=BC:DE=AC:AE，找出圖中相等的角(對(duì)頂角除外)，并說(shuō)明你的理由.ABCDE隨堂即練1.如圖，若△ABC∽△DEF，則x的值為()ABCDEFA.20B.27

C.36

D.45C隨堂即練2.如圖，在大小為4×4的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是()①②③④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④C隨堂即練3.如圖，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列結(jié)論正確的是()

A.△PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDA

C.△ABC∽△DBAD.△ABC∽△DCA

ACBPDC∵

AB:BC

=BD

:AB

=AD

:AC，∴△ABC∽△DBA.解析：設(shè)AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，∴AB=，AC=，AD=.隨堂即練4.根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似：AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=21cm.答案：不相似.隨堂即練5.如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA

的中點(diǎn)，求證：△ABC∽△EFD．∴△ABC∽△EFD.證明：∵△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，∴∴隨堂即練6.如圖，某地四個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)A，B，C，D之間建有公路，已知AB=14千米，AD=28千米，BD=21千米，

DC=31.5千米，公路AB與CD平行嗎？說(shuō)出你的理由.ACBD2814214231.5解：公路AB與CD平行.∴∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC.隨堂即練三邊成比例的兩個(gè)三角形相似

利用三邊判定兩個(gè)三角形相似相似三角形的判定定理的運(yùn)用課堂小結(jié)人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定第3課時(shí)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似學(xué)習(xí)目標(biāo)1.

探索“兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)角形相似”的判定定理.2.

會(huì)根據(jù)邊和角的關(guān)系來(lái)判定兩個(gè)三角形相似，并進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.回憶我們學(xué)習(xí)過(guò)的判定三角形相似的方法.類比證明三角形全等的方法，猜想證明三角形相似還有哪些方法？2.

類似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通過(guò)

兩邊和夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似呢？復(fù)習(xí)引入

利用刻度尺和量角器畫△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A′，量出BC及B′C′的長(zhǎng)，它們的比值等于k嗎？再量一量?jī)蓚€(gè)三角形另外的兩個(gè)角，你有什么發(fā)現(xiàn)？△ABC與△A′B′C′有何關(guān)系？

兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似兩個(gè)三角形相似改變k和∠A的值的大小，是否有同樣的結(jié)論？新課講解合作探究我們來(lái)證明一下前面得出的結(jié)論：如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，證明：在△A′B′C′的邊A′B′上截取點(diǎn)D，使A′D=AB．過(guò)點(diǎn)D作DE∥B′C′，交A′C′于點(diǎn)E.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.求證：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴新課講解∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'∵A′D=AB，∴新課講解由此得到利用兩邊和夾角來(lái)判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．符號(hào)語(yǔ)言：∵∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′.歸納：新課講解

對(duì)于△ABC和△A′B′C′，如果

A′B′:AB=A′C′:AC.∠B=∠B′，這兩個(gè)三角形一定會(huì)相似嗎？

不會(huì)，如下圖，因?yàn)椴荒茏C明構(gòu)造的三角形和原三角形全等.

A

B

C思考：

A′

B′

B″

C′新課講解結(jié)論：

如果兩個(gè)三角形兩邊對(duì)應(yīng)成比例，但相等的角不是兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角，那么兩個(gè)三角形不一定相似，相等的角一定要是兩條對(duì)應(yīng)邊的夾角.新課講解

根據(jù)下列條件，判斷△ABC

和△A′B′C′是否相似，并說(shuō)明理由：∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，

∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm．解：∵∴又∠A′=∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.新課講解例11.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求證：△DEF∽△ABC.ACBFED證明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，又∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC.∴隨堂即練2.

如圖，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AD=AE，

AB=AC，∠DAB=∠CAE.求證：△ABC∽△ADE.證明：∵△ABC與△ADE是等腰三角形，∴AD=AE，AB=AC，∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△ADE.ABCDE隨堂即練解：∵AE=1.5，AC=2，

如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的長(zhǎng).ACBED∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴提示：解題時(shí)要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊.新課講解例2證明：∵CD是邊AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=

90°.

如圖，在

△ABC

中，CD是邊AB上的高，且，求證∠ACB=90°．ABCD∵方法總結(jié)：解題時(shí)需注意隱含條件，如垂直關(guān)系，三角形的高等.新課講解例31.判斷(1)兩個(gè)等邊三角形相似()(2)兩個(gè)直角三角形相似()(3)兩個(gè)等腰直角三角形相似()(4)有一個(gè)角是50°的兩個(gè)等腰三角形相似()×√√×隨堂即練2.如圖，D是△ABC一邊BC上一點(diǎn)，連接AD，使

△ABC∽△DBA的條件是

()

A.AC:BC=AD:BD

B.AC:BC=AB:AD

C.AB2=CD·BC

D.AB2=BD·BCDABCD隨堂即練3.如圖△AEB和△FEC

(填“相似”或“不相似”).

54303645EAFCB12相似隨堂即練解析：當(dāng)△ADP∽△ACB時(shí)，AP:AB=AD:AC，∴AP:12=6:8，解得AP=9；當(dāng)△ADP∽△ABC時(shí)，AD:AB=AP:AC，∴6:12=AP:8，解得AP=4.∴當(dāng)AP的長(zhǎng)度為4或9時(shí)，△ADP和△ABC相似．4.如圖，已知△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，P為邊

AB上一點(diǎn)，AB=12，AC=8，AD=6，當(dāng)AP的長(zhǎng)度為

時(shí)，△ADP和△ABC相似.ABCD4或9PP隨堂即練5.如圖，在四邊形ABCD中，已知∠B=∠ACD，

AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的長(zhǎng)．ABCD解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=，∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，

∴，∴隨堂即練6.如圖，∠DAB=∠CAE，且AB·AD=AE·AC，求證△ABC∽△AED.

ABCDE證明：∵AB·AD=AE·AC，

∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE

=∠CAE+∠BAE

，即∠DAE=∠BAC，∴

△ABC∽△AED.

隨堂即練兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似利用兩邊及夾角判定三角形相似相似三角形的判定定理的運(yùn)用課堂小結(jié)人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定第4課時(shí)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似的判定定理.2.掌握利用兩角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似的方法，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.掌握判定兩個(gè)直角三角形相似的方法，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.

學(xué)校舉辦活動(dòng)，需要三個(gè)內(nèi)角分別為90°，60°，30°的形狀相同、大小不同的三角紙板若干.小明手上的測(cè)量工具只有一個(gè)量角器，他該怎么做呢？？？？新課引入問(wèn)題一度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的長(zhǎng)，并計(jì)算出它們的比值.你有什么發(fā)現(xiàn)？CABA'B'C'兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似

與同伴合作，一人畫△ABC，另一人畫△A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列問(wèn)題：這兩個(gè)三角形是相似的新課講解1合作探究證明：在△ABC的邊AB（或AB的延長(zhǎng)線）上，截取AD=A′B′，過(guò)點(diǎn)D作DE//BC，交AC于點(diǎn)E，則有△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B.∵∠B=∠B′，∴∠ADE=∠B′.又∵

AD=A′B′，∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.CAA'BB'C'DE問(wèn)題二

試證明△A′B′C′∽△ABC.新課講解由此得到利用兩組角判定兩個(gè)三角形相似的定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符號(hào)語(yǔ)言：CABA'B'C'歸納：新課講解如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC.AEFBCD證明:∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.∴△ADE∽△EFC.隨堂即練證明：∵在△

ABC中，∠A=40°，∠B=80°，

∴

∠C=180°－∠A－∠B=60°.

∵

在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°.

∴

∠B=∠E，∠C=∠F.

∴△ABC∽△DEF.

如圖，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°

．求證：△ABC∽△DEF.

ACBFED新課講解例1

如圖，弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)P，求證：PA·PB=PC·PD.證明:連接AC，DB.∵∠A和∠D都是弧CB所對(duì)的圓周角，∴∠A=_______，同理∠C=_______，∴△PAC∽△PDB，∴______

即PA·PB=PC·PD.∠D∠BODCBAP新課講解例21.如圖，在△ABC和△A'B'C'中，若∠A=60°，∠B=40°，∠A'=60°，當(dāng)∠C'=

時(shí)，△ABC∽

△A'B'C'.CABB'C'A'80°隨堂即練2.如圖，⊙O的弦AB，CD相交于點(diǎn)P，若PA=3，

PB=8，PC=4，則PD=

.

6ODCBAP隨堂即練∴解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.又∠C=90°，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC.判定兩個(gè)直角三角形相似

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一點(diǎn)，AE=5，ED⊥AB，垂足為D.求AD的長(zhǎng).DABCE∴新課講解2例3由此得到一個(gè)判定直角三角形相似的方法：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似.歸納：新課講解

對(duì)于兩個(gè)直角三角形，我們還可以用“HL”判定它們?nèi)?那么，滿足斜邊和一直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似嗎？思考：新課講解

如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，.求證：Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′.CAA'BB'C'要證明兩個(gè)三角形相似，即是需要證明什么呢？目標(biāo)：新課講解證明：設(shè)____________=k

，則AB=kA′B′，AC=kA′B′.由

，得

∴＿＿＿＿＿＿＿＿.∴Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′.勾股定理∴

CAA'BB'C'新課講解由此得到另一個(gè)判定直角三角形相似的方法：斜邊和一直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.歸納：新課講解

如圖，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=，當(dāng)AB的長(zhǎng)為

時(shí)，△ACB與△ADC相似．CABD新課講解例4解析：∵∠ADC=90°，AD=2，CD=，要使這兩個(gè)直角三角形相似，有兩種情況：(1)當(dāng)Rt△ABC∽R(shí)t△ACD時(shí)，有AC