湖北省部分市州2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1湖北省部分市州2024屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?單選題1.已知虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.定義全集，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，且，可得，即，則，所以.故選：A.3.設(shè)命題：數(shù)列是等比數(shù)列，命題：數(shù)列和均為等比數(shù)列，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列；所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列；故是的充分條件；若數(shù)列，明顯數(shù)列和均為等比數(shù)列，但，，所以數(shù)列不是等比數(shù)列；故是的不必要條件；故是的充分不必要條件.故選：A.4.已知任何大于1的整數(shù)總可以分解成素因數(shù)乘積的形式，且如果不計(jì)分解式中素因數(shù)的次序，這種分解式是唯一的.如，則2000的不同正因數(shù)個(gè)數(shù)為（）A.25 B.20 C.15 D.12〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所?000的不同正因數(shù)個(gè)數(shù)為.故選：B.5.某校高一年級(jí)有1200人，現(xiàn)有兩種課外實(shí)踐活動(dòng)供學(xué)生選擇，要求每個(gè)同學(xué)至少選擇一種參加.統(tǒng)計(jì)調(diào)查得知，選擇其中一項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)占總數(shù)的60%到65%，選擇另一項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)占50%到55%，則下列說法正確的是（）A.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有100人B.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有180人C.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有260人D.同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有320人〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，，，則同時(shí)選A，B的人數(shù)在到之間，換算成人數(shù)為，即120到240之間，因此符合題意的選項(xiàng)只有B．故選：B.6.圓錐中，為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓的圓心，底面圓半徑為3，側(cè)面展開圖面積為，底面圓周上有兩動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值為（）A4 B. C. D.6〖答案〗D〖解析〗令圓錐母線長為，顯然圓錐側(cè)面展開圖扇形弧長為，由側(cè)面展開圖面積為，得，解得，又圓錐軸截面等腰三角形底邊長為6，底角滿足，即，因此圓錐軸截面等腰三角形頂角為，等腰的頂角，則面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為6.故選：D.7.拋物線的方程為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗顯然直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，由消去y并整理得，則，所以.故選：C8.已知函數(shù)，則下列關(guān)于說法正確的是（）A.的一個(gè)周期為B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.的最小值為〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連續(xù)，且不可能在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的圖象不可能關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題設(shè)易知是偶函數(shù)，.不妨研究，此時(shí)，令，則，在上恒成立在時(shí)單調(diào)遞減，，故D正確.故選：D.二?多選題9.新能源汽車相比較傳統(tǒng)汽車具有節(jié)能環(huán)保?乘坐舒適?操控性好?使用成本低等優(yōu)勢，近幾年在我國得到越來越多消費(fèi)者的青睞.某品牌新能源汽車2023年上半年的銷量如下表：月份x123456銷量y（萬輛）11.712.413.813.214.615.3針對(duì)上表數(shù)據(jù)，下列說法正確的有（）A.銷量的極差為3.6B.銷量的分位數(shù)是13.2C.銷量的平均數(shù)與中位數(shù)相等D.若銷量關(guān)于月份的回歸方程為，則〖答案〗ACD〖解析〗將銷量按升序排列可得11.7，12.4，13.2，13.8，14.6，15.3，對(duì)于選項(xiàng)A：銷量的極差為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋凿N量的分位數(shù)是第4位數(shù)13.8，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)殇N量的平均數(shù)，銷量的中位數(shù)，所以銷量的平均數(shù)與中位數(shù)相等，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)樵路莸钠骄鶖?shù)，可知回歸方程為過樣本中心點(diǎn)，即，解得，故D正確；故選：ACD.10.已知圓與軸交于（原點(diǎn)）,兩點(diǎn),點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),,則（）A.的最大值為B.的最小值為1C.D.令,則存在兩個(gè)不同的點(diǎn),使〖答案〗ACD〖解析〗圓的圓心為半徑故正確；由題知當(dāng)時(shí),取得最小值為故錯(cuò)誤；根據(jù)向量投影的幾何意義,知在方向上的投影的取值范圍為故正確；若且,則三點(diǎn)共線.直線的方程為圓心到直線的距離為所以直線與圓相交,故存在兩個(gè)不同的點(diǎn),使,故正確.故選：.11.設(shè)，點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，可能作（）A.0條 B.1條 C.2條 D.3條〖答案〗BC〖解析〗設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，則函數(shù)圖象在點(diǎn)B處的切線方程為，即，整理得，，解得1或當(dāng)時(shí)，，方程僅有一個(gè)實(shí)根，切線僅可以作1條；當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不同實(shí)根，切線可以作2條.故選：.12.如圖，某工藝品是一個(gè)多面體，點(diǎn)兩兩互相垂直，且位于平面的異側(cè)，則下列命題正確的有（）A.異面直線與所成角的余弦值為B.當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，線段的最小值為C.工藝品的體積為D.工藝品可以完全內(nèi)置于表面積為的球內(nèi)〖答案〗BC〖解析〗根據(jù)題意可以構(gòu)造長寬高分別為的長方體，對(duì)于A，因?yàn)?，且，則為平行四邊形，可得，可知異面直線與所成的角為（或其補(bǔ)角），在中，可知，由余弦定理可得，所以異面直線與所成角的余弦值為，故A錯(cuò)誤：對(duì)于B，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，可知，且BM垂直于長方體的上下底面，所以垂直于長方體的上下底面，此時(shí)線段的最小值為，故B正確：對(duì)于C，工藝品的體積，故C正確；對(duì)于D，由于的頂點(diǎn)都在長方體的頂點(diǎn)處，可知的外接球即為長方體的外接球，設(shè)的外接球半徑為，則，所以外接球的表面積為，且，所以不可以完全內(nèi)置于表面積為的球內(nèi)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三?填空題13.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)，則，可得恒成立，所以，解得.且當(dāng)時(shí)，的定義域均為R，符合題意.故〖答案〗為：.14.若角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則__________.〖答案〗7〖解析〗依題意，，所以.故〖答案〗為：715.已知方程有唯一實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗或〖解析〗令，則，而在上遞增，結(jié)合函數(shù)和的圖象易知，當(dāng)直線與相切時(shí)，或者直線的斜率時(shí)，符合題意.若直線與相切，設(shè)切點(diǎn)，又則切線的斜率為，所以切線方程為，即，所以，故，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故〖答案〗為：或.16.設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為過右焦點(diǎn)作軸的垂線與橢圓在第一象限交于點(diǎn),連接并延長交直線于點(diǎn),若,且,則橢圓離心率的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為,直線與軸交于點(diǎn),,,.且..故〖答案〗為：.四?解答題17.如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，（1）求的面積；（2）求線段的長.解：（1），而.（2）解法1：，，在中，，在等腰中，，Rt中，，.解法2：，由得，,即，解得.18.如圖，在多面體中，底面為菱形，平面，，且為棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn).（1）求二面角的正弦值；（2）是否存在點(diǎn)使得平面？若存在，求的值；否則，請(qǐng)說明理由.解：（1）連接交于點(diǎn)，由四邊形為菱形，得，過點(diǎn)作平面，顯然直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，由平面，得，又，且，則，，設(shè)平面，平面的法向量分別為，則，取，得，則，取，得，設(shè)二面角的大小為，則，因此，所以二面角的正弦值為.（2）存在符合題意，且.理由如下：令，而，棱的中點(diǎn)，則，，，若平面，而平面的法向量，則，即，因此，解得，即，則，所以在點(diǎn)使得平面，.19.第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州舉行.這是中國為世界呈現(xiàn)的體育盛會(huì)，也是亞洲人民攜手寫就的嶄新篇章.現(xiàn)有某場乒乓球比賽采用5局3勝制，先贏3局的一方獲勝，比賽結(jié)束.若參加比賽的甲每局比賽戰(zhàn)勝對(duì)手乙的概率均為.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求比賽恰好進(jìn)行4局甲獲勝的概率；（2）設(shè)比賽進(jìn)行的總局?jǐn)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）如果某場比賽賽前有3局2勝制和5局3勝制兩種方案供選手選擇，從概率角度考慮，乙如何選擇對(duì)自己有利？請(qǐng)直接寫出選擇方案.解：（1）比賽進(jìn)行4局后甲獲勝，則甲在前3場需要?jiǎng)?局，第4局勝，所以比賽恰好進(jìn)行4局甲獲勝的概率（2）由題意知，的取值可能為，則有：，，，可得的分布列為：345所以.（3）乙應(yīng)該選擇3局2勝制，理由如下：“3局2勝制”，乙可能兩種方式獲勝，獲勝概率：，“5局3勝制”，乙可能三種方式獲勝，獲勝概率：，因?yàn)?，所以乙?yīng)該選擇3局2勝制對(duì)自己更有利.20.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：當(dāng)時(shí)，，由于，解得；當(dāng)時(shí)，，整理得；所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）解：由（1）可知：，因?yàn)?，整理得，可知?shù)列是常數(shù)列.所以，即，可得，所以.21.已知.（1）證明：；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）證明：先證：當(dāng)時(shí)，，令，則在時(shí)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，若證，等價(jià)于，等價(jià)于，令，則，則在在上單調(diào)遞增，可得，即，所以當(dāng)時(shí)，.（2）解：令，則，令，則，且，則在上單調(diào)遞減，可得，可知的值域?yàn)?，（i）當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，所以符合題意；（ii）當(dāng)，即時(shí)，即，且當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，則存在使得當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍.22.已知雙曲線與雙曲線有相同的浙近線，且雙曲線的上焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于2.（1）已知為上任意一點(diǎn)，求的最小值；（2）已知?jiǎng)又本€與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線與兩坐標(biāo)軸分別交于.設(shè)點(diǎn).（i）求點(diǎn)的軌跡方程；（ii）若對(duì)于一般情形，曲線方程為，動(dòng)直線方程為，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的軌跡方程.解：（1）設(shè)雙曲線的方程為，其上焦點(diǎn)坐標(biāo)為，一條浙近線方程