湖北省鄂西南三校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1湖北省鄂西南三校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所?故選：B.2.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)滿足，解得或，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.3.已知，則函數(shù)的〖解析〗式為（）A. B.（）C.（） D.（）〖答案〗C〖解析〗設(shè)（），則，，所以（）.故選：C.4.已知函數(shù)，則的圖象大致是（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，在定義域內(nèi)有，所以函數(shù)在定義域上是偶函數(shù)，則A選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，則B、C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.5.碳14是碳元素的一種同位素，具有放射性.活體生物組織內(nèi)的碳14質(zhì)量大致不變，當(dāng)生物死亡后，其組織內(nèi)的碳14開始衰減.已知碳14的半衰期為5730年，即生物死亡年后，碳14所剩質(zhì)量，其中為活體生物組織內(nèi)碳14的質(zhì)量.科學(xué)家一般利用碳14這一特性測(cè)定生物死亡年代.2023年科學(xué)家在我國發(fā)現(xiàn)的某生物遺體中碳14的質(zhì)量約為原始質(zhì)量的0.92倍，已知，則根據(jù)所給的數(shù)據(jù)可推斷該生物死亡的朝代為（）A.金（公元年） B.元（公元年）C.明（公元年） D.清（公元1616-1911年）〖答案〗B〖解析〗設(shè)活體生物組織內(nèi)碳14的質(zhì)量，由題意知：，又，，，所以該生物死亡的朝代為元.故選：B.6.已知關(guān)于的不等式恰有四個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式，可化為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為空集，不合題意；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，要使不等式恰有四個(gè)整數(shù)解，則，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，要使不等式恰有四個(gè)整數(shù)解，則，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．7.已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，即，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.8.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為（）A.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增B.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減D.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減〖答案〗D〖解析〗由，解得函數(shù)的定義域?yàn)椋捎陂_口向下，對(duì)稱軸為.在上遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列比較大小正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，可得成立，所以A正確；對(duì)于B，由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得成立，所以B不正確；對(duì)于C，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)，可得成立，所以C正確；對(duì)于D，由，所以，所以D不正確.故選：AC.10.中文“函數(shù)”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，下列選項(xiàng)中是同一個(gè)函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域不同，故不同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B，由得，即的定義域?yàn)椋傻?，即的定義域?yàn)?，結(jié)合，故是同一函數(shù)；對(duì)于C，因?yàn)榕c的定義域、〖解析〗式相同，故是同一函數(shù)；對(duì)于D，因?yàn)椋耘c的定義域、〖解析〗式相同，故是同一函數(shù).故選：BCD.11.定義函數(shù)為實(shí)數(shù)的小數(shù)部分，為不超過的最大整數(shù)，則不正確的有（）A.的最小值為0，最大值為1 B.在為增函數(shù)C.是奇函數(shù) D.滿足〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于D，因?yàn)?，使得，此時(shí)，，這表明了，故D正確；對(duì)于B，首先，由D選項(xiàng)分析可知，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由D選項(xiàng)分析可知，是周期為1的周期函數(shù)，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于A，由D選項(xiàng)分析得知，是周期為1的周期函數(shù)，所以只需研究它在上的最值情況即可，而當(dāng)時(shí)，，即的最小值為0，沒有最大值，故A錯(cuò)誤.故選：ABC.12.已知定義在的函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，恒有，則（）A.B.函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)D.〖答案〗BD〖解析〗令，則有，即，故A錯(cuò)誤；不妨設(shè)，由，可得，∴，∴函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，故B正確；由選項(xiàng)B可知，函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，可取，此時(shí)在區(qū)間為增函數(shù)，而，可知函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；∵函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，，∴，∴，∴，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，16題第一空2分，第二空3分．13.命題“?x∈R，<0”的否定是________________．〖答案〗,使得.〖解析〗因?yàn)閷?duì)全稱量詞的否定用特稱量詞，所以命題“?x∈R，<0”即為：“?x∈R，”，所以其否定是：“,使得”.故〖答案〗為：,使得.14.已知在定義域內(nèi)單調(diào)，則的取值范圍是_____________．〖答案〗〖解析〗由分段函數(shù)中當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增函數(shù)，而在上不單調(diào)，綜上可知，函數(shù)在R上單調(diào)遞增函數(shù)，因此可得，解得.故〖答案〗為：.15.已知，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗時(shí)，不合題意，因此且，∴.故〖答案〗為：．16.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則______；______.附注：.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且；又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即為偶函數(shù)，所以，所以以4為周期，所以，，，，所以，因?yàn)?，所以，同理，，，，，所以，所?故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）設(shè)，的值.解：（1）.（2），，，，，.18.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值集合．解：（1）由題意得集合，，故.（2）由得，由于，故時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，要滿足，則，故實(shí)數(shù)a的取值集合為.19.已知冪函數(shù)（）是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）若，求的取值范圍；解：（1）∵，∴，∵，∴，即或2，∵在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)，∴，即．（2）∵，∴，，，∴，即的取值范圍為．20.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求，的值：（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，故，所以，所以.（2）（i）在上單調(diào)遞減，，開口向下，對(duì)稱軸為，所以，解得.（ii）為定義在上的奇函數(shù)，故，又在上單調(diào)遞減，故在R上單調(diào)遞減，故，即恒成立，由于，故，實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.2023年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本5000萬元，每生產(chǎn)（百輛），需另投入成本（萬元），且，已知每輛車售價(jià)15萬元，全年內(nèi)生產(chǎn)的所有車輛都能售完.（1）求2023年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（2）2023年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，又，所以，2023年產(chǎn)量為百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為萬元.22.函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為y關(guān)于x的奇函數(shù)，給定函數(shù)．（1）求的對(duì)稱中心；（2）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）假設(shè)的圖象存在對(duì)稱