江蘇省徐州市沛縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省徐州市沛縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)等差數(shù)列的公差為，若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，解得.故選：B.2.函數(shù)在上的平均變化率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得平均變化率為，故選：C.3.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，成等差數(shù)列，則（）A.7 B.12 C.15 D.31〖答案〗C〖解析〗設(shè)公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，則，解得：或0（舍去）.因?yàn)椋?，?故選：C4.已知P，Q為曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（）A. B. C. D.3〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，兩式相減得，所以．此時(shí)直線方程為，，代入雙曲線方程有：，整理得，，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，又，是中點(diǎn)，滿足題意．故選：C．5.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，則（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，則故選：B.6.已知數(shù)列的前4項(xiàng)分別為，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗觀察可知，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為.故選：D.7.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B. C.2022 D.2023〖答案〗A〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，即，由，則，即，由，則，即，將代入，解得，.故選：A.8.按照小方的閱讀速度，他看完《巴黎圣母院》共需820分鐘，2023年12月1日，他開始閱讀《巴黎圣母院》，當(dāng)天他讀了1個(gè)小時(shí)，從第二天開始，他每天閱讀此書的時(shí)間比前一天減少2分鐘，則他恰好讀完《巴黎圣母院》的日期為（）A.2023年12月21日 B.2023年12月20日C.2023年12月19日 D.2023年12月18日〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，他每天閱讀的時(shí)間（單位：分鐘）依次構(gòu)成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為60，公差為，則由，且，解得，所以小方讀此書20天恰好可以讀完，故他恰好讀完《巴黎圣母院》的日期為2023年12月20日.故選：B.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（）A.是遞增數(shù)列B.C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)或4時(shí)，取得最大值〖答案〗BCD〖解析〗A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，又，所以，因?yàn)?，則是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由可得，故B正確；C選項(xiàng)，令，解得，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，開口向下，又，所以當(dāng)或4時(shí)，取得最大值，故D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)的圖象如下圖，則函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率情況是（）A.在區(qū)間上的平均變化率最小B.在區(qū)間上的平均變化率大于0C.在區(qū)間上的平均變化率比上的大D.在區(qū)間上的平均變化率最大〖答案〗BC〖解析〗函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，由函數(shù)圖象可得，在區(qū)間上，，即函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率小于0；在區(qū)間，，上時(shí)，且相同，由圖象可知函數(shù)在區(qū)間上的最大.故選：BC11.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為，是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.過點(diǎn)與拋物線有唯一公共點(diǎn)的直線有2條C.的最小值為D.拋物線C：通徑為4〖答案〗AD〖解析〗由拋物線知，，焦點(diǎn)為，對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，正確；對(duì)于B，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，即直線為y軸時(shí)，滿足直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率為0時(shí)，直線為，滿足直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線為，聯(lián)立，得，由題意，解得，所以過點(diǎn)與拋物線有唯一公共點(diǎn)的直線有3條，錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，錯(cuò)誤；對(duì)于D，聯(lián)立，得，所以通徑兩端點(diǎn)坐標(biāo)為，所以拋物線C：通徑為4，正確.故選：AD12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則下列說法中正確的是（）A. B.C.是等比數(shù)列 D.是等比數(shù)列〖答案〗ABD〖解析〗數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則，即，解得，A正確；由，得當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，，顯然不滿足上式，因此，數(shù)列不是等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；顯然，B正確；因?yàn)?，，則，于是是等比數(shù)列，D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．13.在等比數(shù)列中，若，，則___________.〖答案〗32〖解析〗設(shè)公比為，即，即，得，所以.故〖答案〗為：32.14.若雙曲線（）的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為______.〖答案〗〖解析〗雙曲線（）的漸近線方程為，直線斜率為，由一條漸近線與直線垂直得，解得，所以離心率為.故〖答案〗為：15.已知曲線一條切線的斜率是，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為________．〖答案〗〖解析〗設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，，得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為.故〖答案〗為：16.畢達(dá)哥拉斯樹是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)“勾股定理”所畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的圖形.也叫“勾股樹”，是由一個(gè)等腰直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方形而得到.現(xiàn)按照這種思想，以一個(gè)內(nèi)角為、斜邊長(zhǎng)為2個(gè)單位的直角三角形的每一條邊向外作正方形得到“類勾股樹”，圖1為第1代“類勾股樹”，重復(fù)圖1的作法得到第2代“類勾股樹”（如圖2），如此繼續(xù).則第2代“類勾股樹”上的所有正方形的面積之和為_____________；第代“類勾股樹”上的所有正方形的面積之和為___________.〖答案〗①.12②.〖解析〗設(shè)表示第代“類勾股樹”上的所有正方形的面積之和，則，第2代“類勾股樹”在第1代的最上面的每個(gè)正方形上各增加兩個(gè)小正方形，由勾股定理知，增加的兩個(gè)小正方形的面積之和恰好等于原來的正方形面積，即，則，依次類推，是以8為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以.故〖答案〗為：12；.四?解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，記其前n項(xiàng)和為．從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．條件①：，；條件②：，．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）選條件①，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，因此，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.選條件②，由，得等差數(shù)列的公差，由，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）選條件①，由（1）知，，則，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)、公比均為4，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.選條件②，由（1）知，，，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.已知函數(shù)（1）寫出；（2）求出；（3）求出；（4）寫出，，解：（1）；（2）；（3）；（4）由（2）知，則，.19.記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．解：（1）在等差數(shù)列中，，則，解得，設(shè)數(shù)列的公差為d，于是，又，則，而公差d不為零，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，，由不等式，得，整理得，解得或，又n為正整數(shù)，所以n的最小值為9．20.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿足，點(diǎn)在直線上，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，故，故，而，故，且恒成立，故，其中，故為等比?shù)列，故.，即，故為等差數(shù)列，故.（2），，故，故，整理得到.21.已知橢圓C：（）的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）直線l：與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若面積為，求直線的方程.解：（1）由焦點(diǎn)為得，又離心率，得到，所以