遼寧省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1遼寧省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.已知U＝R，A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x||x－3|＞1}，則A∪＝（）A.{x|1≤x≤4} B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x＜2} D.{x|2＜x≤3}〖答案〗A〖解析〗因為，或，所以，，故選：A．2.已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵直線，直線與垂直，，解得，的傾斜角為.故選：B.3.已知是兩個單位向量，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為，等價于，即，即，又是兩個單位向量，則，即，所以，所以等價于，即“”是“”的充要條件.故選：C.4.某人將用“”進(jìn)行排列設(shè)置6位數(shù)字密碼，其中兩個“1”相鄰的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)已知條件：用“”進(jìn)行排列設(shè)置6位數(shù)字密碼共有種排列方法，其中兩個“1”相鄰的情況共有種方法，所以兩個“1”相鄰的概率是.故選：C.5.雙曲線的焦距為（）A. B.2 C. D.4〖答案〗D〖解析〗雙曲線的方程可化為，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得，軸，軸是其漸近線，且夾角為該雙曲線為等軸雙曲線，且實軸長為，，雙曲線的焦距為.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以故選：B7.若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則有，設(shè)過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，根據(jù)題意有，即，又，可得，因為，所以上式可化為，整理有：，因為過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，所以方程有兩解，所以，即，解得或.故選：D8.以半徑為的球為內(nèi)切球的圓錐中，體積最小值時，圓錐底面半徑滿足（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)圓錐的高為，如圖，為圓錐的軸截面，則，解得，故圓錐的體積，當(dāng)，即時，，所以圓錐體積最小值時，圓錐底面半徑滿足.故選：D.二?多選題9.已知為復(fù)數(shù)，設(shè)，，在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗設(shè)，，，，，，對于A，，故選項A正確；對于B，，，故選項B正確；對于C，，當(dāng)時，，故選項C錯誤；對于D，，可以為零，也可以不為零，所以不一定平行于，故選項D錯誤.故選:AB.10.已知正方體，點(diǎn)滿足，下列說法正確的是（）A.存在無窮多個點(diǎn)，使得過的平面與正方體的截面是菱形B.存在唯一一點(diǎn)，使得平面C.存在無窮多個點(diǎn)，使得D.存在唯一一點(diǎn)，使得平面〖答案〗ACD〖解析〗點(diǎn)滿足，即點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括正方形的四條邊）上運(yùn)動，對于A：取線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作正方體的截面，因為面面，面面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理知如果一個平面與兩個平行平面相交，則交線平行，所以有，即四邊形為平行四邊形，又為線段的中點(diǎn)，則有，所以四邊形為菱形，所以當(dāng)點(diǎn)在線段上時，過的平面與正方體的截面是菱形，故有無窮多個點(diǎn)，使得過的平面與正方體的截面是菱形，A正確；對于B：在正方體中，因為，且，所以四邊形為平行四邊行，所以，又面，面，所以面，同理可得面，又，面所以面面，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，有平面，故有無窮多個點(diǎn)，使得平面，B錯誤；對于C：連接，根據(jù)正方體可得，又面，所以面，又面，所以，同理，又面，所以面，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，有，故有無窮多個點(diǎn)，使得，C正確；對于D：由選項證明面同理可證明面，過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)位置時，有平面，所以存在唯一一點(diǎn)，使得平面，D正確.故選：ACD.11.已知數(shù)列，現(xiàn)在對該數(shù)列進(jìn)行一種變換，規(guī)則每個0都變?yōu)椤啊保總€1都變?yōu)椤啊?，得到一個新數(shù)列，記數(shù)列，且的所有項的和為，則以下判斷正確的是（）A.的項數(shù)為 B.C.中1的個數(shù)為 D.〖答案〗ABC〖解析〗設(shè)數(shù)列的項數(shù)為一個數(shù)列，因為中有項，即，根據(jù)題意：在作用下，每個0都變?yōu)椤啊保總€1都變?yōu)椤啊?，所以有，由此可知?shù)列為首相，公比的等比數(shù)列，所以的項數(shù)為；根據(jù)變換規(guī)則，若數(shù)列的各項中，與的個數(shù)相同，則與之相鄰的下一個數(shù)列中與的個數(shù)也相同；若比多個，則與之相鄰的下一個數(shù)列中比的個數(shù)少個；若比少個，則與之相鄰的下一個數(shù)列中比的個數(shù)多個；因為中有項，其中個，個，比少個，所以的項中，比的個數(shù)多個；以此類推，若為奇數(shù)，則數(shù)列的各項中比少個，若為偶數(shù)，則數(shù)列的各項中比多個；根據(jù)以上分析的項數(shù)為，所以A正確；中共有項，其中為奇數(shù)，所以數(shù)列中有個，有個，所以，所以B正確；中，項數(shù)為個，為偶數(shù)，所以1的個數(shù)為，所以C正確；D選項，的值與的奇偶有關(guān)，所以D錯誤.故選：ABC12.下列大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗作出和的圖象，如圖所示，由圖象可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，故A，B正確.令，則，在上單調(diào)遞減，所以，故C錯誤.，所以，故D正確.故選：ABD.三?填空題13.的展開式中的系數(shù)為____.〖答案〗28〖解析〗，所以的展開式中的系數(shù)就是中的系數(shù)，而中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為故〖答案〗為：28.14.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，其中的圖像在軸右側(cè)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次.且，則__________.〖答案〗〖解析〗由圖知最大值與最小值分別為……①由標(biāo)準(zhǔn)正弦函數(shù)圖像可知，相鄰兩個零點(diǎn)的差值為半周期，零點(diǎn)下標(biāo)差為2時，兩個零點(diǎn)的差值為整周期，即.由可知：……②①②代入有：令……③由③式可知在軸左側(cè)的第一個零點(diǎn)為，故.故〖答案〗為：.15.函數(shù)的最大值是______.〖答案〗〖解析〗，由定義知且.，故可設(shè)，，則有，可看作是動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率.而動點(diǎn)M的軌跡方程，即是半圓（如圖2-31所示）.設(shè)切線為，T為切點(diǎn)，，，，，即函數(shù)的值域為故〖答案〗為.16.已知拋物線：的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，分別過點(diǎn)，，作的垂線，垂足依次為，，，則當(dāng)取最小值時，______.〖答案〗〖解析〗依題意不妨設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消得，則，得，，，又因，則，當(dāng)時，取得最小值，此時，所以.故〖答案〗為：.四?解答題17.的內(nèi)角的對邊分別為設(shè).（1）求；（2）若，求的面積.解：（1）因為，由正弦定理得，即，所以，又，所以；（2）因為，所以，由余弦定理得，解得，所以，所以.18.已知正項數(shù)列的前項和為，且對一切正整數(shù)都成立，記.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知，為正整數(shù).記數(shù)列的前項和為，求.解：（1）由，令得，從而.時，有，則兩式相減得.整理得，從而，又，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由題意，，從而.19.如圖，在五棱錐中，平面，，，，，，.（1）求證：平面平面；（2）已知直線與平面所成的角為，求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：因為，，，在中，由余弦定理有：，即，解得，所以有，由此可知為等腰直角三角形，所以，又因為，所以，即；因為平面，平面，所以；因為，，平面，平面，，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）解：建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，如圖，取中點(diǎn)，連接，因為，，，，在中由余弦定理有，解得，，所以為等腰直角三角形，所以，；又因為，所以，所以，又，，所以四邊形為正方形，所以；點(diǎn)到軸距離為，點(diǎn)到軸距離為，所以，，，，；所以，，，設(shè)平面法向量為，則有，即，解得；因為直線與平面所成的角為，所以，整理有：，，因為，解得；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，平面的法向量為，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.20.已知橢圓（）的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，.過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，垂足為，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求四邊形的面積的最小值.解：（1）因為，垂足為，O為的中點(diǎn)，所以，即，又因為離心率，所以，，橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線BD的斜率不存在或斜率為零時，四邊形ABCD的面積為；當(dāng)直線BD的斜率存在且不為零時，設(shè)直線BD的方程為，，，聯(lián)立方程組，得，則，，，由，及橢圓的對稱性，，四邊形ABCD的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，因為，所以四邊形ABCD的面積最小值為.21.某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱10件，以箱為單位銷售，已知這批產(chǎn)品中每箱都有廢品.每箱的廢品率只有或者兩種可能，且兩種可能的產(chǎn)品市場占有率分別為.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場價格為100元，廢品不值錢，現(xiàn)處理價格為每箱840元，遇到廢品不予更換，以一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值作為決策依據(jù).（運(yùn)算結(jié)果保留分?jǐn)?shù)）（1）在不開箱檢驗的情況下，判斷是否可以購買；（2）現(xiàn)允許開箱，不放回地隨機(jī)從一箱中抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品①求此箱是廢品率為的概率；②判斷此箱是否可以購買，并說明理由.解：（1）在不開箱檢驗的情況下，一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值為：，所以在不開箱檢驗的情況下，可以購買.（2）①設(shè)事件A：發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，則，設(shè)事件：抽取的是廢品率為的一箱，則，所以發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品的條件下，此箱是廢品率為的一箱的概率為；②設(shè)正品價格的期望值為，則，事件：抽取的是廢品率為的一箱，則，所以,所以在已發(fā)現(xiàn)抽取檢驗的2件產(chǎn)品中恰有一件是廢品的情況下，此箱可以購買.22.對于定義在D上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若存在，使得，且是函數(shù)的極值點(diǎn)，則稱函數(shù)為“極致k函數(shù)”．（1）設(shè)函數(shù)，其中，．①若是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；②證明：函數(shù)不是“極致0函數(shù)”．（2）對任意，證明：函數(shù)是“極致0函數(shù)”．（1）①解：由題意，得．（i）若在上單調(diào)遞減，則恒成立，即恒成立，所以；（ii）若在上單調(diào)遞增，則恒成立，即恒成立，所以．綜上，實數(shù)a的取值范圍為．②證明：假設(shè)是“極致0函數(shù)”，則是的極值點(diǎn)，所以，解得，由①可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，與是的極值點(diǎn)矛盾，故不是“極致0函數(shù)”．（2）解：由題意，得，則．當(dāng)時，，易知當(dāng)時，．